MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Presentado por:

Juan Alejandro ÁvilaEdgard Felipe CadenaDiego Eduardo García

Juan Pablo NaranjoEliana Pinto

Braulio VanegasEstadística Aplicada 2014-2

CONTENIDOMedidas de tendencia

Central:

1. Moda

2. Mediana

3. Media Aritmética

4. Media Ponderada

5. Media Armónica

6. Media Cuadrática

7. Media Cúbica

8. Media Geométrica

Mapa mental:

9. Pierre Simon Laplace

Cuando hay más de un valor con la misma frecuencia máxima, la distribución puede ser multimodal

Ej: 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 9, 9, 9 Mo=1, 5, 9 Si todos los datos tienen la misma frecuencia, no hay moda.

Ej: 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5

MODACONSIDERACIONES:

Valor que tiene mayor frecuencia absoluta en una distribución de datos.

Ej: 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5. Mo=4

DATOS NO AGRUPADOS

Si dos valores adyacentes tienen la frecuencia máxima, la moda es el promedio de ellas.

Ej: 0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8 Mo=4

(No aplica si además de ellos hay otra moda) Ej: 9,9

DATOS AGRUPADOS

MODA

Intervalo modal: Intervalo que posee las mayor frecuencia y en el cual se encuentra la moda

Fórmula aproximada:

DATOS AGRUPADOS

MODA

Intervalo Frecuencia[60, 63) 5[63,66) 18[66,69) 42[69,72) 27[72,75) 8

Total 100

EJEMPLO DE APLICACIÓN(Intervalos con igual

amplitud)

Fórmula aproximada:

EJEMPLO DE APLICACIÓN 2. (Intervalos con diferente amplitud)Calificaciones de 50 estudiantes

DATOS AGRUPADOS

MODA

Calificación Frecuencia Altura[0,5) 15 3[5,7) 20 10[7,9) 12 6

[9,10) 3 3Total 50

Primero se hallan las alturas

Luego:

Inconvenientes:

Usa muy pocas observaciones, de tal modo que grandes variaciones en los datos fuera de la moda, no afectan en modo alguno a su valor.

Puede haber más de una moda o puede no darse.

En distribuciones muy asimétricas suele ser un dato poco representativo.

Ventajas:

Al depender sólo de las frecuencias, puede calcularse para variables cualitativas. Es por ello el parámetro más utilizado cuando al resumir una población no es posible realizar otros cálculos.

Es estable a los valores extremos

Inconvenientes:

Su valor es independiente de la mayor parte de los datos, lo que la hace muy sensible a variaciones muestrales dentro de una misma población.

En variables agrupadas, su valor depende excesivamente del número de intervalos y de su amplitud, por eso es la medida de tendencia central más inestable.

MODA

MEDIANA• Es el valor del medio que divide la

distribución de datos ordenados en

dos partes.• Ordenados de menor a mayor.• Variables cuantitativas

• Me

Para datos no agrupadosOrdenan datos de menor a mayor

Par Me =

Impar Me

Ejemplo • Resultados de un prueba aplicada por un profesor

para ciertos estudiantes ( 2, 3, 4, 4, 1, 5, 5, 5, 4.5, 4.5, 3)

Estudiante Puntaje X1 1X2 2X3 3X4 3X5 4X6 4X7 4.5X8 4.5X9 5X10 5X11 5

Me

Me =

El valor esta posicionado en cuyo valor es 4. El valor de la mediana para este caso equivale a 4

Para datos agrupados

• Tabla de frecuencias– Frecuencias absolutas y frecuencias acumuladas Me = +

Donde: Limite inferior de la clase donde se encuentra la mediana Frecuencia acumulada que antecede al intervalo de la mediana Frecuencia absoluta del intervalo donde se

encuentra la mediana Amplitud del intervalo

Ejemplo Se hace una encuesta a una población acerca de su edad , N=31

Edad fi Fi

[0-10) 3 3

[10-20) 6 9

[20-30) 7 16

[30-40) 12 28

[40-50) 3 31

Proceso: 1. Calculamos N/2. Para este caso 15,5 2. Intervalo donde se encuentra la mediana 20-30

3. Aplicamos la fórmula Me = +

Me = 20 + 10Me = 29,286

El valor de la mediana para esta encuesta equivale a 29.286

Consideraciones

• Los datos se disponen de menor a mayor • La mediana no se ve influida por los valores

extremos de la variable • Dado que en su calculo no intervienen los

valores extremos hace que se pueda obtener fácilmente incluso en presencia de intervalos abiertos

MEDIA ARITMÉTICA

Es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos.

Ejemplo. Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio.

R/. 80 Kg

MEDIA ARITMÉTICA PARA DATOS AGRUPADOS

Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la media es:

xi fi xi · fi

[10, 20) 15 1 15[20, 30) 25 8 200[30,40) 35 10 350[40, 50) 45 9 405[50, 60 55 8 440[60,70) 65 4 260[70, 80) 75 2 150 42 1 820

Ejemplo:

R/. 43,33

1.

2.

3.

4.

PROPIEDADES

Se puede hallar sólo para variables cuantitativas.

Es independiente de las amplitudes de los intervalos.

OBSERVACIONES

Es muy sensible a las puntuaciones extremas.

No se puede calcular si hay un intervalo con una amplitud indeterminada.

OTRAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

MEDIA PONDERADA

Aplicación de la media aritmética en la que cada una de las observaciones tiene una importancia relativa respecto a las demás

Aplicaciones:• Notas de

asignaturas• IPC

Cálculo de la Media ponderada

• xi = elemento • wi = peso del elemento xi

Ejemplo de cálculo• La nota final de una asignatura es una media ponderada de

las notas que han obtenido los alumnos en los cuatro elementos evaluables que determina el profesor. El responsable de la asignatura otorga un peso de 3 al examen inicial, de 1 al trabajo entregable, 2 al trabajo final y 4 al examen final. Las notas de un alumno han sido las siguientes:

Ejemplo de cálculo

• Se suman los productos de las notas por el peso de cada una y se divide por la suma de los pesos:

MEDIA ARMÓNICA

Se calcula como el recíproco del promedio de los recíprocos de cada uno de los datos en la muestra

Se emplea para transformar las variables y obtener una mejor distribución de los datos

• Se emplea para datos con variables o tasas en porcentajes

• Se utiliza cuando la unidad de evaluación es igual al numerador de una razón

• No funciona con valores nulos

MEDIA ARMÓNICA

• Datos no agrupados:

• xi = elemento • n = número de

elementos

Ejemplo de cálculo

La velocidad de producción de azúcar de tres máquinas procesadoras es de 0.5, 0.3 y 0.4 minutos por kilogramo, halle el tiempo promedio de producción después de 4800 minutos de proceso

𝑋=3

10,5

+10,3

+10,4

=0,383

Cálculo de la Media armónica

• Datos agrupados:

• xi= elemento• fi = frecuencia del

elemento xi• n = número de elementos

Cálculo de la Media armónica

• Datos agrupados en intervalos

• xmi= marca de clase del intervalo

• fi = frecuencia del elemento xi• n = número de elementos

Ejemplo de cálculo

• En la tabla se muestran los datos sobre el tiempo que tardan los estudiantes en hacer una prueba de estadística, calcular el tiempo promedio que tarda el estudiante en realizar esta prueba

Ejemplo de cálculo

Con ayuda de los datos se construye la siguiente tabla:

Aplicando la fórmula se obtiene:

=

Media Cuadrática

• Es la raíz cuadrada de la media aritmética del cuadrado de una serie de datos.

• Para datos sin agrupar

• Para datos agrupados

n

i

i

nx

RMS1

2

k

i

ii

nxf

RMS1

2

Aplicaciones

• Cuando se quiere trabajar con la magnitud de las variables.

• Ciencias biológicas y medicas• Longitudes relacionadas a áreas• Determinación del valor eficaz de un

parámetro sinusoidal en electricidad• Velocidad de un gas

Ejemplo 1Se conocen las medidas de los radios de 4 círculos que son 6, 8, 11 y 15 cm respectivamente. Hállese el radio de círculo cuya área sea el promedio de las áreas circulares propuestas.

Sean r1= 6, r2 = 8, r3 = 11 y r4 = 15.Se aplica la media cuadrática

y para los valores respectivos resulta el valor del radio:

lo que difiere de la media aritmética de los radios que sería

Ejemplo 2• Un profesor pide a sus alumnos que realicen un experimento

en el laboratorio. Espera que los alumnos obtengan 5 litros de ácido clorhídrico. Anota en una tabla una columna con las cantidades de ácido obtenidos por cada alumno y en la otra el error por falta o exceso de la cantidad esperada, de la siguiente manera:

Media Cúbica

• Es una medida derivada de la media cuadrática

• Consiste en obtener el valor del lado que tiene el cubo media de un conjunto de n cubos.

3

1

3

n

i

ic n

xx

Ejemplo• Se conocen las medidas de las aristas de 3 cubos que son 8, 10 y 12.

• Hállese la medida de un cubo que represente el volumen promedio de los cubos dados.

Sean a1 = 8, a2 = 10 y a3 = 12

• En este caso se va a aplicar la media potencial de grado 3

• y con los valores propuestos resulta la medida de la arista:

• resultado diferente a la media aritmética de las medidas de las aristas

que sería

Astrónomo físico y

matemático francés

libros de estadística

Ensayo filosófico sobre la probabilidad

Teoría analítica de las probabilidades

Considerado el newton de

Francia

Formula curiosa de probabilidadTransformada

de Laplace

Ley de Laplace-

GaussEcuación de

Laplace

Descubrimientos

PIERRE SIMON LAPLACE

MEDIA GEOMETRICA

XX

PROPIEDADES• El logaritmo de la media geométrica es igual a la

media aritmética de los logaritmos de los valores de la variable.

• La media geométrica de un conjunto de números positivos es siempre menor o igual que la media aritmética

VENTAJAS:• Es menos sensible que la media aritmética a los valores

extremos.• Considera todos los valores de la distribución

DESVENTAJAS:• Es de significado estadístico menos intuitivo que la media

aritmética• Su cálculo es más difícil y en ocasiones no queda

determinada; por ejemplo, si un valor xi = 0, entonces la media geométrica se anula

• Solo es relevante la media geométrica si todos los números son positivos

EJEMPLOUna cadena de expendedores de gasolina el año pasado aumentó sus ingresos respecto al año anterior en 21%; y han proyectado que este año van a llegar a un aumento de 28% con respecto al año pasado. ¿Cuánto es el promedio anual del aumento porcentual?

Definitivamente no es..(21% + 28%)/2 = 24,5%.

SOLUCION

El monto de la producción, al final de dos años, es 100(1,21)(1,28)= 154,88. Si en cada año se tuviera una tasa anual de aumento de i% resulta:

• 100 → 100(1+i) → 100(1 +i)2.

Entonces:• 100(1 +i)2 = 154,88• (1 +i)2 = 1,54881 • 1+ i = =1,244507• i = 0,244507 = 24,451%

APLICACIONEs recomendada para datos de progresión geométrica, para promediar razones, interés compuesto y números índices.

En general podemos encontrar que La media geométrica es relevante cuando varias cantidades son multiplicadas para producir un total.

• Pero además la podemos observar en:• La altura de un triángulo rectángulo cumple  siendo m y n las proyecciones

de los catetos sobre la hipotenusa.• Un cateto b cumple   bdonde m es su proyección y a la hipotenusa.• La tangente t a una circunferencia   t, s es secante y k la parte interna.• El lado de un cuadrado equivalente a un rectángulo es la media

geométrica de los lados de este; el radio de un círculo equivalente a una elipse es la media geométrica de los semiejes de esta. Lo mismo el caso de la esfera con la elipsoide

• El lado (arista) d de un cubo equivalente a un ortoedro de lados a, b, c es  t• El peso w de una sustancia que tiene pesos hallados por dos balanzas u y

v , resulta   w

Mapas mentales

Bibliografía

• http://www.vitutor.net/2/11/moda_media.html• http://www.portaleducativo.net/terra/octavo-basico/792/

Media-moda-y-mediana-para-datos-agrupados• Libro: Estadística descriptiva y calculo de probabilidades.

Isabel Castillo y Marta Guijarro• Tomado de:

http://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_10.html

• 1 Unidad Didáctica, “Estadística Descriptiva”, 1.1 Parte Básica. Tomado de: http://biplot.usal.es/problemas/libro/1%20Descriptiva.pdf

Bibliografía

• http://www.ugr.es/~eaznar/markov.htm• http://www.biografiasyvidas.com/biografia/m/markov.htm• http://www.britannica.com/EBchecked/topic/365793/Andrey-

Andreyevich-Markov• http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001065/html/

un1/cont_126_26.html• http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001065/html/

un1/cont_124_24.html• http://servicios.educarm.es/templates/portal/images/ficheros/

etapasEducativas/secundaria/3/secciones/373/contenidos/9290/ponderada

Gracias