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Presión y Densidad Los tres estados comunes, o fases, de la materia son el sólido, el líquido y el gaseoso. Podemos distinguir esas tres fases como sigue. Un sólido mantiene forma fija y un tamaño fijo; aun si una gran fuerza es aplicada sobre un sólido, no cambia fácilmente de forma o de volumen. Un líquido no mantiene una forma (toma la forma del recipiente que lo contiene), pero al igual que un sólido, no es fácilmente compresible y su volumen puede ser cambiado sólo por una fuerza muy grande. Un gas no tiene ni forma fija ni volumen fijo, sino que se expande hasta llenar su recipiente. Por ejemplo, cuando se bombea aire a un neumático de automóvil, el aire no se acumula en el fondo del neumático como lo haría un líquido, sino que se dispersa llenando todo volumen del neumático. Como los líquidos y gases no mantienen una forma fija, tienen la capacidad de fluir; por ello a veces se les llama fluidos. Ahora, se conocen otros estados de la materia que a veces se comportan como sólidos, otras veces como líquidos; tal es el caso de los plásticos. También existe otra fase de la materia que no puede ser clasificado ni como sólido, ni como liquido ni como gas. Tal es el caso de los plasmas. Presión La presión es la magnitud de la fuerza por unidad de área. Un fluido bajo presión ejerce una fuerza hacia fuera sobre cualquier superficie en contacto con el fluido. La fuerza ∆F ejercida por el fluido sobre esa superficie depende de la presión p de acuerdo con ∆F = p∆A (1.1) como los vectores representando a la fuerza y el área son paralelos, la presión se puede expresar en términos de una relación escalar

∆Fp = ∆A

(1.2)

La presión tiene dimensiones de Fuerza sobre área, y la unidad más común es N/m2, que en el SI se le denomina Pascal (Abreviado Pa). Otras unidades muy utilizadas de la presión son: • lb/in2 (abreviado a veces como psi) que utilizan los medidores de presión de las

llantas. • La atmósfera, que es igual a la presión ejercida por una columna de atmósfera

de la tierra al nivel del mar (Abreviado atm). 1 atm = 14.7 lb/in2 = 1.01325 x 105 Pa.

• Para el pronóstico del clima se utiliza el bar. 1 bar = 105 Pa.

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• la columna de mercurio. 760 mm (29.9 in) de una columna de mercurio es equivalente a una atmósfera de presión en una localidad donde g = 9.80665 m/s2 a una temperatura de 0oC.

Como ejemplo del cálculo de una presión, una persona de 60 kg cuyos dos pies cubren un área de 500 cm2 ejerce una presión igual a F/A = mg/A = (60kg)(9.8m/s2)/(0.050m2) = 12 X 103 N/m2 sobre el suelo. Si la persona está parada sobre un solo pie, la fuerza es la misma pero el área será la mitad, por lo que la presión será el doble: 24 X 103 N/m2. Densidad La densidad de un pequeño elemento de cualquier material es igual a la masa ∆m del elemento dividido por su volumen ∆V.

∆mρ = ∆V

(1.3)

Si la densidad de un objeto tiene el mismo valor en todos los puntos del objeto entonces

mρ = V

(1.4)

La densidad de un material depende de factores ambientales, incluyendo la temperatura y la presión, aunque para líquidos y sólidos la variación de la densidad es muy pequeña para amplios rangos de variación de la temperatura y la presión y para muchas aplicaciones se puede considerar constante.

Tabla 1. Densidades de algunas sustancias comunes

sustancia

ρ (kg / m3 )a sustancia ρ (kg / m3 )a

Hielo 0.917 x 103 Agua 1.00 x 103 Aluminio 2.70 x 103 Agua de mar 1.03 x 103 Hierro 7.86 x 103 Alcohol etílico 0.806 x 103 Cobre 8.92x 103 Benceno 0.879 x 103 Plata 10.5 x 103 Mercurio 13.6 x 103 Plomo 11.3 x 103 Aire 1.29 Oro 19.3 x 103 Oxigeno 1.43 Platino 21.4 x 103 Hidrógeno 8.99 x 103 Glicerina 1.26 x 103 Helio 1.79 x 101

Coeficiente de Compresibilidad Una propiedad importante de los líquidos es el coeficiente de compresibilidad, medido mediante el modulo de bulto (bulk modulus)

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∆pB = - ∆V/V

(1.5)

Un incremento en la presión (∆p > 0) causa una disminución del volumen (∆V < 0). B tiene las mismas dimensiones que la presión. Los líquidos y los sólidos tienen un modulo de compresibilidad muy alto. En cambio, en los gases el modulo de compresibilidad es pequeño, de tal manera que los gases son fácil de comprimir. Variación de la presión dentro de un fluido en reposo Si un fluido esta en equilibrio, cada porción del fluido está en equilibrio. Esto significa que la suma de fuerzas y torcas sobre cada elemento del fluido debe de ser igual a cero. Considérese un pequeño elemento de fluido que forma parte de un fluido. Supóngase que dicho elemento de fluido tiene la forma de un pequeño disco delgado y que esta a una altura y medida desde cierto sistema de referencia. El espesor del disco es dy y cada cara tiene una superficie A. La masa de este elemento es dm = ρdV = ρAdy y su peso es (dm)g = ρgAdy . Las fuerzas ejercidas por el fluido sobre este pequeño elemento de fluido son perpendiculares a su superficie en cada punto. La fuerza horizontal sobre el elemento de fluido es cero ya que no tiene aceleración horizontal. En la dirección vertical el fluido tampoco tiene aceleración de tal manera que su fuerza resultante en la dirección vertical es cero. Un diagrama de cuerpo libre muestra que el balance de fuerzas en la dirección vertical se equilibra de acuerdo con la ecuación yF = pA - (p + dp)A - ρgAdy = 0∑ donde pA es la fuerza hacia arriba ejercida por el liquido en el fondo del disco. Hacia abajo actúan las fuerzas (p + dp)A, debida a la presión y (dm)g = ρgAdy debida al peso del elemento. De la ecuación anterior se obtiene

dp = - ρgdy

(1.6)

Esta ecuación describe como varia la presión con la elevación por arriba de algún nivel de referencia. Conforme la elevación aumenta (dy > 0), la presión disminuye (dp < 0). La causa de esta variación de presión es el peso por unidad de área transversal de las capas de fluido que están entre medio de las capas cuya presión se está midiendo. De (1.6) se obtiene que dp = -ρgdy . Si p1 es la presión a una elevación y1 y p2 es la presión a una elevación y2, medidas desde algún punto de referencia, integrando la ecuación anterior resulta que

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2 2

1 1

p y

p y

dp = - ρgdy∫ ∫ (1.7)

para líquidos incompresibles, la densidad es prácticamente constante. Suponiendo que g es constante entre las elevaciones consideradas, se obtiene que 2 1 2 1p - p = - ρg(y - y ) (1.8) expresión que es válida para líquidos homogéneos. Esta ecuación proporciona la relación entre las presiones entre cualesquier dos puntos dentro de un fluido, independiente de la forma del contenedor.

Figura 1. Si un líquido tiene una superficie abierta a la atmósfera de la Tierra (p2 = p0), como se muestra en la figura 1 y suponiendo que se selecciona una muestra del líquido dentro de un cilindro imaginario con área transversal A extendiéndose desde la superficie del liquido hasta una profundidad h donde la presión p1 = p, entonces de acuerdo con la ecuación (1.7) 0 2 1p - p = - ρg(y - y ) de donde se obtiene que la presión ejercida a una profundidad h = y2 – y1 es 0p = p + ρgh (1.9) Variación de la presión en la atmósfera Para los gases la densidad es relativamente muy pequeña y para diferencias de altura pequeñas, la presión es prácticamente constante. Sin embargo, este no es el caso si y2 – y1 es muy grande. La presión del aire varía mucho conforme se asciende a grandes alturas. Más aun, la densidad varía con la altitud y se debe de conocer una expresión de cómo varia antes de integrar la ecuación (1.7). Principio de Pascal

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El principio de Pascal establece que “La presión aplicada a un fluido encerrado en un recipiente, se transmite sin variación a cada porción del fluido y a las paredes del recipiente”. Una aplicación muy importante del principio de Pascal es la prensa hidráulica mostrada en la figura 2. Una fuerza F1 se aplica a un pequeño pistón de área A1. La presión es transmitida por el líquido a un pistón más grande de área A2. Dado que la presión es la misma en ambos cilindros, se tiene que P = F1/A1 = F2/A2. Entonces la fuerza F2 es mas grande que F1 por el factor A2/A1.

Figura 2 La figura 3 muestra una prensa hidráulica manual que funciona de la siguiente manera: Para el movimiento hacia abajo de la prensa pequeña, la válvula 1 se cierra y la válvula 2 se abre. Pero, durante el movimiento hacia arriba, la válvula 1 se abre y la válvula 2 se cierra.

Figura 3.

Principio de Arquímedes La fuerza hacia arriba que ejercen un fluido sobre un objeto sumergido en él se llama fuerza de flotación o boyantes (buoyant force). La fuerza hacia abajo representa el peso del objeto. Véase la figura 4.

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Flot F DesplF = ρ V g

o o oPeso = m g = ρ V g

Figura 4 El principio de Arquímedes establece que “Cualquier cuerpo parcial o totalmente sumergido en un fluido es empujado hacia arriba por una fuerza de flotación igual al peso del fluido desalojado por el cuerpo”.

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A F C 0 FF = ρ V g + (P + ρ gh)A

L

h

Área A

Fρ ( )B 0 FF = P + ρ g(h + L) A

Fρ

Figura 5 Un objeto totalmente sumergido en un liquido que es menos denso que el liquido en el que esta sumergido, experimentara una fuerza resultante hacia arriba. Un objeto totalmente sumergido más denso que el fluido se hunde. Los barcos que están construidos con metal (que es más denso que el agua) flotan en el mar porque los barcos están llenos de aire y la densidad de este es cerca de una centésima la densidad del agua. Por lo tanto, el peso total del barco es menor que el peso del volumen de agua desalojada. El principio de Arquímedes puede ser verificado de la siguiente manera. Suponga que se observa un cubo de fluido sumergido dentro de un recipiente lleno del mismo fluido. Véase la figura 5. El cubo de fluido está en equilibrio. Es decir la suma de las fuerzas que actúan sobre el suman cero. La fuerza hacia abajo es la suma de dos fuerzas: el peso F CW = mg = ρ V g y la fuerza debida a la presión ( 1 0 FP = P + ρ gh ) dada por 1 1F = P A . ¿Qué cancela esa fuerza hacia abajo? la fuerza que apunta hacia arriba debida a la presión ( 2 0 FP = P + ρ g(h + L) ) dada por 2 2F = P A . La diferencia F2 – F1 = ρFgL es la fuerza debida a la diferencia de presión y que apunta hacia arriba es la que cancela la fuerza asociada al peso. A esa fuerza se le conoce como fuerza de

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boyantes, fuerza de flotación o fuerza de empuje. Es decir la fuerza de boyantes (B) que actúa sobre el cubo es igual al peso del cubo de fluido:

B = F2 – F1 = W

Ahora, imagínese que el cubo de fluido se reemplaza por un cubo de acero con las mismas dimensiones. ¿Cuál es la fuerza de flotación sobre el acero? El fluido alrededor del cubo se comporta igual independientemente que sea un cubo de fluido o un cubo de acero el que se empuja hacia arriba. La fuerza de boyantes actuando sobre el cubo de acero es igual a la fuerza de boyantes que actúa sobre el cubo de fluido que tenga las mismas dimensiones. Es conveniente comparar las fuerzas que actúan sobre un cuerpo totalmente sumergido y sobre uno que flota. Un objeto totalmente sumergido en un fluido de densidad fρ , es empujado por una fuerza de boyantes hacia arriba f oB = ρ V g donde Vo es el volumen del objeto. Si el objeto tiene una densidad oρ , su peso es igual a o oW = mg = ρ V g y la fuerza resultante es B – W = f o o(ρ - ρ )V g . Entonces si la densidad del objeto es menor que la densidad del fluido, el objeto se acelerará hacia arriba. Pero si es más denso que el fluido, se hundirá. Un objeto que flota en equilibrio estático sobre un fluido, es decir, un objeto parcialmente sumergido, es afectado por una fuerza de boyantes, que actúa hacia arriba, y otra fuerza debida al peso del objeto que actúa hacia abajo. Estas fuerzas se equilibran entre si. Si el volumen del liquido desplazado por el objeto es V (que corresponde a la parte del objeto abajo del nivel del fluido) entonces la fuerza de flotación tiene una magnitud B = fρ Vg . Como el peso del objeto es

o oW = mg = ρ V g y como B = W, entonces f o oρ Vg = ρ V g , de donde resulta que

o

f o

ρ V= ρ V

(1.10)

Ejemplo 1. Considérese un objeto de aluminio suspendido de una balanza de resorte como se muestra en la figura 6.a y sumergido en un recipiente con agua como se observa en la figura 6.b. Suponga que el aluminio tiene una masa de 1 kg. y que su densidad es 2.7 x 103 kg/m3. Calcúlese la tensión en la balanza en ambos casos.

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Figura 6. Solución: Cuando el aluminio está suspendido en el aire, la tensión será igual al peso del objeto; despreciando el efecto de la fuerza de boyantes producida por el aire. Es decir, T1 = Mg = (1.0 kg)(9.8 m/s2) = 9.8 N. Cuando el aluminio está sumergido en el agua, las fuerzas que actúan sobre el aluminio son el peso hacia abajo, la tensión T2 y la boyantes B hacia arriba. Es decir

T2 + B – Mg = 0 Para calcular la fuerza de boyantes se requiere conocer el volumen del aluminio que está dado por la expresión

-4 3Al 3 3

Al

M 1kgV = = 3.7×10 mρ 2.7×10 kg/m

=

La fuerza de boyantes es igual al peso del líquido desalojado, entonces a a AlB = M g = ρ V g Es decir B = (1.0 x 103 kg/m3)(3.7 x 10-4 m3)(9.8 m/s2) = 3.6 N. Por lo tanto T2 = 9.8 N – 3.6 N = 6.2 N. Ejemplo 2. Un cubo de hielo flota en el agua como se muestra en la figura 7. ¿Qué fracción del cubo está arriba del nivel del agua?

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Figura 7. Solución: El peso del cubo de hielo es h h hw = ρ V g donde hρ = 917 kg/m3 es la densidad del hielo y Vh es el volumen del cubo. La fuerza boyante hacia arriba es igual al peso del agua desalojada; es decir aB = ρ Vg , donde V es el volumen del cubo abajo del agua y aρ = 1000 kg/m3 es la densidad del agua. Como las fuerzas están en equilibrio, wh = B; es decir, h h aρ V g = ρ Vg . La fracción del cubo arriba del agua es entonces

h

a

ρ 917f = 1 - = 1 - = 0.083ρ 1000

Es decir el 8.3% del cubo está fuera del agua. Ejemplo 3. Un objeto cúbico de lado L = 0.608 m y peso W = 4450 N en el vació se suspende de un alambre dentro de un tanque, abierto, lleno de un liquido con densidad ρ = 944 kg/m3, como se muestra en la figura. (a) Encontrar la fuerza total ejercida por la atmósfera y el agua en la parte superior del objeto, (b) Encontrar la fuerza total hacia arriba que actúa en el fondo del objeto, (c) Encontrar la tensión del alambre, (d) Calcular la fuerza de boyantes en el objeto utilizando el principio de Arquímedes. (e) ¿Qué relación existe entre esas cantidades?

Solución: (a) Farriba = (P0 + ρg(0.5L))(L2) = [1.013 x 105 + (944)(9.81)(0.304)](0.608)2 = 38,487.65 N

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(b) Fabajo = (P0 + ρg(1.5L))(L2) = [1.013 x 105 + (944)(9.81)(0.912)](0.608)2 = 40,569.03 N (c) FTensión = W + Farriba – Fabajo = 4,450 + 38,487.65 – 40,569.03 = 2368.62 N (d) FFlot = ρVg = (944)(0.608)3(9.81) = 2081.38 N FFlot = Fabajo – Farriba = 40,569.03 -38, 487.65 = 2081.38 N (e) La relación entre estas fuerzas es la que aparece en (c), basada en el principio de Arquímedes. Las fuerzas arriba y abajo del cubo debidas a la presión son las que producen la fuerza de flotación; es decir, FFlot = Fabajo – Farriba y también FFlot = ρVg. Bibliografía Estas notas están basadas principalmente en el libro “Physics” de R. A. Serway. Fourth Edition, Saunders College Publishing.