presiones sobre muros

5/9/2018 presiones sobre muros - slidepdf.com

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APÉNDICE 1 HIDROSTÁTICA HIDRÁULICA

EMPUJE HIDROSTÁTICO

DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN PARA CALCULAR EL EMPUJE HIDROSTÁTICO (E) SOBREUNA PARED VERTICAL Y FORMA RECTANGULAR, CONSIDERANDO LA EXISTENCIA DEAGUA DE UN SOLO LADO DE LA PARED.

Primer enfoque:

Empuje hidrostático = Volumen de la cuña de presiones (Figura 1).

E = Vcp (1)

E = empuje hidrostático en N, Kg, ton, libras, etc.Vcp = Volumen de la cuña de presiones

El volumen de la cuña de presiones representa la integral o sumatoria de las fuerzas que actuansobre el Área de una pared que retiene un líquido.

Vcp = A * b (2)

A = Área del triángulo que representa la distribución de presiones hidrostáticas dentro de un líquidoretenido por una pared.

b = Ancho de la pared

Sustituyendo la ecuación (2) en (1)

b A E *= (3)

El área de un triángulo se calcula con:

2

* alturabase A = (4)

Si base = Pe h y altura = h, entonces:

22

*2h

P hh P

A ee == (5)

Sustituyendo la ecuación (5) en la ecuación (3) queda:

2

2hb P E e= (6)

M.C. JESÚS ENRIQUE LÓPEZ AVENDAÑO PÁGINA 1 DE 13




Segundo enfoque:

Considerando al empuje hidrostático como el “vector resultante” que integra la suma vectorial detodo el perfil de distribuciones de presión, aplicada sobre un punto de aplicación conocido como“centro de presiones”, para ello es necesario considerar el “centro de gravedad” de la paredsobre la cual actúa el empuje y el área de la misma pared.

Recordando la definición de presión; la presión es la fuerza que se aplica por unidad de área, deahí que la ecuación para presión es:

A

F P = (7)

por lo tanto despejando F queda que


b

E

A

Una forma de considerar el empuje hidrostáticoes como el volumen de la cuña de presiones.Donde A es el área del triángulo y b es el anchode la cuña.

Peh

Distribución de presiones hidrostáticas dentrode un líquido retenido por una pared, en lasuperficie del líquido la presión vale 0 porquese toma ese punto como valor de referenciapara medir la profundidad (h). El valor de lapresión hidrostática aumenta conformeaumenta la profundidad del líquido.

hh

Peh

Figura 1.- Representación gráfica del empuje hidrostático sobre unapared vertical de forma rectangular.

h yh

hg y

g

θ

Figura 2.- Gráfica para representar la relación existenteentre h y el centro de gravedad de la pared o placa (y

g).




∫ = dA P F . dA es el cambio o diferencial de Área (8)

Si el empuje hidrostático es una fuerza entonces

E = F; (9)

Si la presión hidrostática es

P = Peh (10)

Sustituyendo las ecuaciones (9) y (10) en la ecuación (8)

∫ = dAh P E e ..

(11)

De acuerdo con la Figura 2;

h yh sen =θ ; despejando h

h y senh .θ = (12)

Sustituyendo la ecuación (12) en la ecuación (11)

∫ = dA y sen P E he ... θ

(13)

considerando el peso específico del agua y el seno del ángulo como constantes, se sacan de laintegral, quedando como sigue:

∫ = dA y sen P E he .. θ

(14)

Para obtener el empuje del líquido sobre la placa o pared inclinada de la Figura 2, se considera elmomento estático de la placa o pared con respecto a la superficie libre del líquido, expresada entérminos de la profundidad del centro de gravedad y el área de la pared o placa. Entonces elmomento estático de la placa o pared respecto a la superficie libre del líquido es:

dA ydA y g h .. =∫ (15)

Sustituyendo la ecuación (15) en la ecuación (14) queda:

dA y sen P E g e ∫ = θ . una vez realizada la integral, la ecuación queda finalmente se obtiene;





La ecuación general para calcular el empuje hidrostático sobre unasuperficie plana e inclinada cuyo ángulo de inclinación con respecto a lasuperficie libre del agua es θ (Figura 2 y Figura 4).

A y sen P E g e... θ = (16)

La ecuación general para calcular el empuje hidrostático sobre unasuperficie plana y vertical (Figura 3 y Figura 5).

Si la pared es vertical formando un ángulo de 90° respecto a la superficie libre del agua, elsen θ = sen 90° = 1, por lo tanto la ecuación general queda;

A y P E g e..=

(17)

Si el área (A) de un rectángulo es

A = base x altura (18)

Si la base es igual al ancho de la pared (b) y la altura es h, entonces;

A = b * h (19)

Cada figura geométrica tiene su centro de gravedad definido1, para el caso del rectángulo el centrode gravedad es igual a:

2

h y g = (20)

Sustituyendo las ecuaciones (19) y (20) en la ecuación (17) queda que:

22

2h

b P bhh

P E ee ==

(21)

La ecuación (21) es igual a la ecuación (6)

1 Hidráulica General; Sotelo Ávila; página 35; Tabla para determinar centros de gravedad y radio de giro de diversas figurasgeométricas.





DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN PARA CALCULAR EL CENTRO DE PRESIONES (yk)CUANDO LA PARED SOBRE LA CUAL ACTÚA EL EMPUJE HIDROSTÁTICO ES VERTICAL YDE FORMA RECTANGULAR.

La fórmula general para calcular el centro de presiones (yk) sobre el cual actúa el empujehidrostático es (Figura 3):

g

g

xk y

yr y +=

2

(22)

Aplicando la ecuación (22) para calcular el punto de aplicación o centro de presiones (y k) delempuje hidrostático sobre una pared rectangular vertical, la ecuación queda como sigue:

El centro de gravedad se calcula con la ecuación (20), mientras que para el radio de giro se utilizala siguiente expresión1:

12

2

2 hr x = (23)



Generalmente el valor del centro de presiones se localiza un poco más profundo que elcentro de gravedad, como se puede observar en la fórmula para calcular el centro depresiones (y

k).

Figura 3.- Representación gráfica del empuje hidrostático sobre una pared vertical deforma rectangular, considerando al empuje hidrostático como el “vector resultante” que integra la suma vectorial de todo el perfil de distribuciones aplicada sobre unpunto de aplicación conocido como “centro de presiones”, para ello es necesarioconsiderar el “centro de gravedad” de la pared sobre la cual actúa el empuje y elárea de la misma pared.

h

yg

b

E

Peh

h

g y

k y




2

2

12

2

h

h

h

yk += Desarrollando la ecuación queda como sigue:

=

=

+

=

+=

+=+=

3

2

12

8

12

62

2

1

12

2

2

1

12

2

212

22

hhhhh

hh

h

h

h yk

Por lo tanto para calcular el centro de presiones del empuje hidrostático sobre una paredrectangular vertical, la ecuación queda:

h yk 3

2= (24)

DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN PARA CALCULAR EL EMPUJE HIDROSTÁTICO DEL AGUA

SOBRE UNA PARED INCLINADA, DE FORMA RECTANGULAR Y CON LÍQUIDO EN AMBOSLADOS DE LA PARED (FIGURA 4).

Denominemos triángulo 1 al triángulo de la izquierda y triángulo 2 al triángulo de la derecha.

Para calcular el empuje hidrostático (E) total se procede de la siguiente manera:

Se calcula el empuje hidrostático del lado izquierdo de la pared (E 1) y posteriormente se calcula elempuje hidrostático del lado derecho de la pared (E 2), y el empuje hidrostático total (E) se calculacomo la diferencia entre E1 y E2.


C

Peh2

Peh1

BA

θ

h1

h2

θ

h1 h

A B

C

Figura 4.- Representación gráfica del empuje que se genera en una compuerta opared inclinada con un ángulo θ respecto a la superficie libre del agua, y retieneagua en ambos lados de la misma.

Triángulo 1

Triángulo 2




Para calcular el empuje hidrostático del triángulo 1, se parte de la deducción general de la ecuaciónpara el empuje hidrostático representada por la ecuación (16);

A y sen P E g e ... θ =

Se sabe que el centro de gravedad (yg) para una superficie rectangular se calcula con la ecuación(20). Para determinar el valor de h se proyecta el triángulo formado por ABC, y se realizan lasoperaciones trigonométricas necesarias, quedando como sigue:

hipotenusa

opuestocateto sen

−=θ

cateto opuesto = h1

hipotenusa = h

h

h sen 1=θ Despejando h

θ sen

hh 1= (25)

Considerando el centro de gravedad de la pared inclinada que tiene forma rectangular, para ello seutiliza la ecuación (20);

2

h y g =

Sustituyendo el valor de h de la ecuación (25) en la ecuación para el centro de gravedad (20), la

ecuación queda como sigue:

θ sen

h y g

2

1= (26)

Para calcular el área de la pared rectangular se utiliza la expresión (4) y se sustituye el valor de h(ecuación (25)), quedando la ecuación como sigue:

θ sen

hbhb A 1** == (27)

Sustituyendo las ecuaciones (26) y (27) en la ecuación (16) queda:

=

θ θ θ

sen

h

sen

h senb P E

e

11

1

2.. (28)

Factorizando la ecuación (28), finalmente queda como;





=

=

θ θ θ θ

sen

hb P

sen

h

sen

h senb P E ee

22..

2

111

1 (29)

Igualmente se desarrolla la ecuación para calcular E2, quedando la ecuación siguiente:

=

=

θ θ θ θ

sen

hb P

sen

h

sen

h senb P E ee

22..

2

222

2 (30)

El empuje hidrostático total es entonces;

E = E1 – E2

−

=

θ θ sen

hb P

sen

hb P E ee

22

2

2

2

1 Factorizando la ecuación quedaría;

se obtiene el factor común Peb en el lado derecho de la ecuación, y se saca el mínimo comúndenominador que en este caso es 2senθ , quedando la ecuación de la siguiente manera:

−=

θ θ sen

h

sen

hb P E e

22

2

2

2

1

−=

θ sen

hhb P E e

2

2

2

2

1 (31)

DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN PARA CALCULAR EL CENTRO DE PRESIONES (yk)CUANDO LA PARED SOBRE LA CUAL ACTÚA EL EMPUJE HIDROSTÁTICO ES INCLINADA,DE FORMA RECTANGULAR Y AGUA EN AMBOS LADOS DE LA PARED.

Primeramente se calcula el empuje hidrostático para E1 en el triángulo 1 de la Figura 4.

Partiendo de la ecuación (24), donde la ecuación representa el centro de presiones sobre unapared plana y rectangular;

h yk 3

2=

Considerando el valor de h, representado por la ecuación (25);

θ sen

hh 1=

Sustituyendo la ecuación (25) en la ecuación (24)





θ sen

h yk

1

1

3

2= (32)

Para el triángulo 2 se calcula como sigue;

De la Figura 4, se puede deducir la ecuación para el centro de presiones en el triángulo 2,

sabemos por analogía con el triángulo 1, que yk2 se ubica también aθ sen

h2

3

2, sin embargo habría

que sumarle la parte de h1 que está por encima del nivel del agua del lado derecho de la pared, yeso representaría otra incógnita que resolver.

Ahora bien, se conoce el valor de h1, y a ese valor se le resta el tercio que le hace falta paracompletar el valor de h2, por lo tanto la ecuación quedaría como sigue:

θ θ sen

hh

sen

hh

yk

3

3

1

21

21

2

−=

−

=(33)

Considerando momentos de las fuerzas respecto del punto B de la Figura 2, para ello se multiplicacada uno de los empujes (E) calculados por sus respectivos puntos de aplicación o centros depresiones (yk), con ello se obtiene la siguiente ecuación:

2211 k k k y E y E Ey −= (34)

Sustituyendo las ecuaciones (29(, (30), (32) y (33) en la ecuación (34), nos queda;

−

−

= θ θ θ θ sen

hh

sen

hb P sen

h

sen

hb P Ey eek

323

2

2

21

2

21

2

1

(35)

Sustituyendo el valor de E,

−

−

=

−θ θ θ θ θ sen

hh

sen

hb P

sen

h

sen

hb P y

sen

hhb P

eek e323

2

22

21

2

21

2

1

2

2

2

1

yk se puede despejar para posteriormente factorizar y finalmente la ecuación quedaría de lasiguiente forma:

2

2

2

1

3

2

3

11

3

1

hh

hh

sen sen

h yk

−

−

−=

θ θ (36)

DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN PARA CALCULAR EL EMPUJE HIDROSTÁTICO DEL AGUASOBRE UNA PARED VERTICAL, DE FORMA RECTANGULAR Y CON LÍQUIDO EN AMBOSLADOS DE LA PARED (FIGURA 5).





En este caso el ángulo de inclinación de la pared respecto al nivel de la superficie libre del agua esde 90º, por lo que

seno 90º = 1; sustituyendo este valor en la ecuación (31), la ecuación para calcular el empujehidrostático que se ejerce sobre una pared rectangular, vertical y con agua en ambos lados de lapared es:

−=

2

2

2

2

1hh

b P E e (37)

DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN PARA CALCULAR EL CENTRO DE PRESIONES (yk)CUANDO LA PARED SOBRE LA CUAL ACTÚA EL EMPUJE HIDROSTÁTICO ES VERTICAL,DE FORMA RECTANGULAR Y AGUA EN AMBOS LADOS DE LA PARED.

Para calcular el centro de presiones se utiliza la ecuación (36), haciendo el seno de 90º = 1 ysustituyendo en la misma ecuación queda como sigue:

2

2

2

1

3

2

3

1

1

3

1

hh

hhh yk

−

−

−= (38)


Figura 5.- Representación gráfica del empuje que se genera en una compuerta o paredvertical, rectangular y retiene agua en ambos lados de la misma.

Peh

2

E

Peh

1

h1

h2




DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN PARA CALCULAR EL EMPUJE HIDROSTÁTICO DEL AGUASOBRE UNA PARED VERTICAL, DE FORMA TRIANGULAR Y CON LÍQUIDO EN UN SOLOLADO DE LA PARED (FIGURA 6).

Para calcular el Empuje hidrostático sobre una pared vertical de forma triangular se parte de laecuación general (16)

A y sen P E g e... θ =

Si la pared se encuentra en posición vertical, entonces el seno 90º es igual a 1, por lo que laecuación queda:

A y P E g e ..=

(39)

el centro de gravedad de una pared triangular 1 se calcula mediante la expresión:

h y g 3

2

= (40)

Mientras que el área de un triángulo se calcula con;

2

bh A = (41)

Sustituyendo las ecuaciones (40) y (41) en la ecuación (39);

2

6

2

23

2hb P

bhh P E ee ==

Por lo tanto la ecuación queda:

3

2hb P E e= (42)


h

b

hP

eh

Figura 6.- Representación gráfica del Empuje hidrostático que se ejercesobre una pared de forma triangular y en posición vertical.




DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN PARA CALCULAR EL CENTRO DE PRESIONES (yk)CUANDO LA PARED SOBRE LA CUAL ACTÚA EL EMPUJE HIDROSTÁTICO ES VERTICAL,DE FORMA TRIANGULAR Y AGUA DE UN SÓLO LADO DE LA PARED.

Para calcular el centro de presiones se utiliza la ecuación (22)

g

g

x

k y y

r y +=

2

El cuadrado del radio de giro (r x) de un pared triangular es1;

18

2

2 hr x = (43)

Sustituyendo las ecuaciones (39) y (42) en la ecuación (22), queda:

h

h

h

yk 3

2

3

2

18

2

+= = hh

h

3

2

36

32

+ = hh3

2

12

1+ =

12

8hh +=12

9h

Finalmente;

h yk 4

3= (44)

DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN PARA CALCULAR EL EMPUJE HIDROSTÁTICO DEL AGUASOBRE UNA PARED VERTICAL, DE FORMA CIRCULAR Y CON LÍQUIDO EN UN SOLO LADODE LA PARED (FIGURA 7).

Para calcular el Empuje hidrostático que ejerce el agua sobre la compuerta circular se parte de laecuación general (16)


D

D

h

Peh

Figura 7.- Representación gráfica del Empuje hidrostático que se ejercesobre una pared de forma circular y en posición vertical.




A y sen P E g e... θ =

Si la pared es vertical el ángulo θ es igual a 90º, por lo que el seno de 90º es igual a 1, entonces laecuación queda:

A y P E g e..=

(45)

El centro de gravedad de la pared será ;

R y g = (46)

el área de un círculo es;

2 R A π = (47)


2.. R R P E e π = = 3

R P E eπ =(48)

DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN PARA CALCULAR EL CENTRO DE PRESIONES (yk)CUANDO LA PARED SOBRE LA CUAL ACTÚA EL EMPUJE HIDROSTÁTICO ES VERTICAL,DE FORMA CIRCULAR Y AGUA DE UN SÓLO LADO DE LA PARED.

Para calcular el centro de presiones se utiliza la ecuación (22)

g

g

x

k y

y

r y +=

2

El cuadrado del radio de giro (r x) de un pared triangular es1;

4

2

2 Rr x = (49)

Sustituyendo las ecuaciones (45) y (48) en la ecuación (22), queda:

R

R

R

yk

+=4

2

= R R

R+

4

2

= R R+

4=

4

4 R R +=

4

5 R

Finalmente;

R yk 4

5= (50)


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