Unidad 2: La Teora de la Decisin Estadstica

Sesiones 4, 5, 6, 7, 8 y 9

Estadstica Aplicada a la Administracin

Objetivos Al concluir el captulo, ser capaz de:

1. Definir una hiptesis y las pruebas de hiptesis.

2. Describir el procedimiento de prueba de una hiptesis en

cinco pasos.

3. Distinguir entre las pruebas de hiptesis de una y dos

colas.

4. Llevar a cabo una prueba de hiptesis para una media

poblacional.

5. Llevar a cabo una prueba de hiptesis para una

proporcin poblacional.

6. Definir los errores tipo I y tipo II.

7. Calcular la probabilidad de un error tipo II.

Qu es una Hiptesis? Hiptesis : Afirmacin relativa a un parmetro de la poblacin sujeta a verificacin.

Ejemplos de hiptesis hechos a partir de un parmetro poblacional son: El ingreso promedio mensual para los analistas de Sistemas es $3,625. El veinte por ciento de todos los consumidores de Bovines Chop House regresan para saborear otra vez los deliciosos platos dentro de un mes.

Qu es la Prueba de Hiptesis?

Prueba de Hiptesis Procedimiento basado en evidencia de la muestra y la teora de la probabilidad para determinar si la hiptesis es una afirmacin razonable o se debe rechazar.

Pasos para probar una hiptesis

1. Se establecen las Hiptesis Nula y Alternativa.

2. Se selecciona el Nivel de Significancia.

3. Se identifica el estadstico de la prueba.

4. Se formula una regla para tomar decisiones.

5. Se toma una muestra; se llega a una decisin.

1.- Se establecen las Hiptesis Nula y Alternativa

Hiptesis Nula 0H

Enunciado relativo al valor de un parmetro

poblacional formulado con el fin de probar evidencia

numrica.

Hiptesis Alternativa 1H

Afirmacin que se acepta si los datos de la muestra

ofrecen suficiente evidencia para rechazar la hiptesis

nula.

Se le conoce como hiptesis de investigacin.

2.- Seleccionar el Nivel de Significancia.

Nivel de Significancia Probabilidad de rechazar la hiptesis nula cuando es verdadera.

Se le conoce tambin como nivel de riesgo puesto que se trata de correr el riesgo de rechazar Ho cuando

es verdadera.

Error Tipo I Rechazar la hiptesis nula, Ho, cuando es verdadera.

Error Tipo II Acepta la hiptesis nula cuando es falsa.

Nivel de Significancia = Nivel de Riesgo

No existe ningn nivel de significancia que se aplique a todas

las pruebas

Se recomienda:

Nivel de Significancia Eleccin para -

0,05 = 5% Proyectos de Investigacin

relacionado con los

consumidores-

0,01 = 1% Control de Calidad

0,10 = 10% Encuestas Polticas

Usted como investigador de su mercado, debe elegir el Nivel de Significancia antes de

formular una regla de decisin y recopilar datos de la muestra.

Tabla resumen de decisiones

Aceptar Ho Rechazar Ho

Ho verdadera Decisin

correcta Error Tipo I

Ho falsa Error Tipo II Decisin

correcta

Cuando es

Conclusin: Acepto Ho cuando es Ho verdadera entonces decisin correcta.

Acepto Ho cuando es Ho falsa, entonces error tpico II (riesgo ) Rechazo Ho cuando es Ho verdadera entonces error tpico I (riesgo ) Rechazo Ho cuando es Ho falsa entonces decisin correcta.

Ampliando el resumen:

Aplicaciones sobre la Decisin

3.- Se selecciona el Estadstico de Prueba

Hay mucho estadsticos de prueba. En este captulo se utilizan z y t como tales.

Estadstico de Prueba Valor , determinado a partir de la informacin de la muestra, para determinar

si se rechaza la hiptesis nula.

El estadstico de prueba es un valor obtenido de la

informacin de la muestra para compararlo con el

criterio de contraste y rechazar o aceptar la hiptesis. El

estadstico de prueba cambia de acuerdo a la

distribucin que se utilice. Z y T son los estadsticos de

prueba.

Prueba de la Media cuando se conoce

XZ

n

Media de la poblacin Media de la muestra

Estadstico de prueba

Desviacin estndar de la poblacin

Tamao de la muestra

Es la frmula para calcular el Valor de Z y/o t calculado.

4.- Se formula la regla de decisin.

Una regla de decisin es una afirmacin sobre las

condiciones especficas en que se rechaza la

hiptesis nula y aquellas en las que no se rechaza.

Grfica de una distribucin muestral del estadstico

z

Observando el contenido de la grfica:

1. El rea en que se acepta la hiptesis nula se localiza a la izquierda de

1,65

2. El rea de rechazo se encuentra a la derecha de 1,65.

3. Se aplica una prueba de una sola cola.

4. Se eligi el nivel de significancia de 0,05.

5. La distribucin muestral del estadstico z tiene una distribucin normal. 6. El valor 1,65 separa las regiones en que se rechaza la hiptesis nula y en

la que se acepta.

7. El valor de 1,65 es el valor crtico

Regin zona de

aceptacin

Regin zona de

rechazo

Valor Crtico Punto de divisin entre la regin en que se rechaza la hiptesis nula y aquella en la que se acepta.

El estadstico de prueba debe ser comparado con el Valor

Crtico

El valor de corresponde a una rea bajo la curva, denominada regin de rechazo o zona crtica.

5.- Toma de decisin

Se calcula que z = 2,34

valor supuesto

La decisin de rechazar Ho se tom porque 2,34 se localiza en la zona

regin de rechazo

Regin marrn es

zona de rechazo Regin amarilla es

zona de aceptacin

Valor crtico

El quinto y ltimo paso en la prueba de hiptesis

consiste en calcular el estadstico de la prueba,

comparndola con el valor crtico, y tomar la decisin

de rechazar o no la hiptesis nula. De acuerdo con la

grfica de la diapositiva anterior, si, a partir de la

informacin de la muestra, se calcula que z tiene un valor de 2,34, se rechaza la hiptesis nula con un nivel

de significancia de 0,05. La decisin de rechazar Ho se

tom porque 2,34 se localiza en la regin de rechazo;

es decir, ms all de 1,65. Se rechaza la Ho porque es

poco probable que un valor z tan alto se deba al error de muestreo (azar).

Continuacin .//// ///

1HTipo de Prueba de Hiptesis

ste depende bsicamente de la

H0: = 0

H1: = 0

H0: < 0

H1: > 0 H0: > 0

H1: < 0

z

1n,t

1z

1n,1t

2/z 2/z

1,2/ nt 1,2/ nt

Prueba de una cola Vs. Dos colas

Dos colas

Una cola a la izquierda

Una cola a la derecha

Cola a la derecha o a la izquierda?

Keywords

Inequalit

y

Symbol

Part

of:

Larger (or more) than > H1

Smaller (or less) < H1

No more than H0

At least H0

Has increased > H1

Is there difference? H1

Has not changed = H0

Has improved, is better than. is more effective

See right H1

De acuerdo a esta tabla que contiene palabras claves , de acuerdo a

los signos : > , < , ser la direccin de la (s) cola(s)

PRUEBA DE HIPTESIS PARA LA MEDIA POBLACIONAL

Estadstica de Prueba

conocida

desconocida:

Si n< 30 : Si n 30:

n/

xz

0

2

2

n/S

xt

0

n/S

xz

0

Nota:

2

: Varianza de la Poblacin

Ejemplo

Una muestra aleatoria de 100 personas

presenta una vida promedio de 71,8

aos. Si la desviacin estndar de la

poblacin es 8,9aos. Esto parece

indicar que la vida media es mayor que

70 aos?.Use = 0,05

Solucin :

1. Hiptesis:

2. Nivel Significancia

3. Estadstica de Prueba:

4. Criterio de

decisin

5. Decisin:

Una muestra aleatoria de 100 personas presenta

una vida promedio de 71,8 aos. Si la desviacin

estndar de la poblacin es 8,9aos. Esto parece

indicar que la vida media es mayor que 70 aos?.

Use = 0,05

1. Hiptesis:

2. Nivel Significancia

3. Estadstica de Prueba:

4. Criterio de

decisin

5. Decisin:

Un fabricante sostiene que sus autos consumen en

promedio 5,50 galones de gasolina cada 100 kilmetros.

Un vendedor de la compaa comprueba el consumo de

gasolina de 35 autos y encuentra que el consumo medio

de ese grupo es de 5,65 galones cada 100 kilmetros, con

una desviacin estndar de 0,35 galones. Con estos datos

y con una confianza del 99%, Puede dudarse de lo

sustentado por la compaa?

1. Hiptesis:

2. Nivel Significancia

3. Estadstica de Prueba:

4. Criterio de

decisin

5.- Decisin:

Una mquina para enlatar conservas de pescado ha sido

regulada para que el contenido de cada lata sea de 16

onzas. Usando un nivel de significancia del 5% Dira

usted que la mquina ha sido adecuadamente regulada, si

una muestra de 20 latas dio un peso medio de 16,05

onzas y una desviacin tpica de 1,5 onzas?

1. Hiptesis:

2. Nivel Significancia

3. Estadstica de Prueba:

4. Criterio de

decisin

5.- Decisin:

PRUEBA DE HIPTESIS PARA LA PROPORCIN POBLACIONAL

00 : H

0 :H1

Z

00 : H

0 :H100 : H

0 :H1

n

pZ

)1( 00

0

Estadstico :

1Z 2/Z

EJEMPLO

Antonio le dice a Luis que al menos un 15% de los alumnos

de la universidad, tienen celular. Como discrepan, Luis

realiza una encuesta aleatoria a 200 compaeros de la

universidad, y encuentra que 18 de ellos tienen celular. A un

nivel de significacin del 1%, cul de los dos tiene

estadsticamente la razn? Por qu?

1. Hiptesis:

2. Nivel Significancia

3. Estadstica de Prueba:

4. Criterio de

decisin

5.- Decisin:

Aplicaciones Pruebas para la media de una poblacin: Se conoce la

desviacin standard poblacional.

Jamestown Steel Company fabrica y arma escritorios

y otros muebles para oficina en diferentes plantas en el

oeste del estado de New York. La produccin semanal del

escritorio modelo A325 en la planta de Fredonia tiene una

distribucin normal, con una media de 200 y una desviacin

standard 16. Hace poco, con la expansin del mercado, se

introdujeron nuevos mtodos de produccin y se contrat a

ms empleados. El vicepresidente de fabricacin pretende

investigar si hubo algn cambio en la produccin semanal

del escritorio modelo A325 . En otras palabras, la cantidad

media de escritorios producidos en la planta de Fredonia es

diferente de 200 escritorios semanales con un nivel de

significancia de 0,01?

Solucin

Paso 1 : Se establecen las hiptesis nula y alternativa.

La hiptesis nula es : la media de la poblacin es de 200 . La hiptesis alternativa es: la media es diferente de 200 la media no es de 200. Estas dos hiptesis se representan de dos maneras:

Ho : = 200

H1 : 200

Esta es una prueba de 2 colas ( segn tabla anterior )

Paso 2 : Se selecciona el nivel de significancia

Como ya se indic, se utiliza el nivel de significancia de 0,01.

ste es , la probabilidad de cometer un error tipo I, que es la posibilidad de rechazar una hiptesis nula verdadera.

Paso 3 : Se selecciona el estadstico de prueba.

Como es una muestra grande, luego el estadstico es Z.

Paso 4 : Se formula la regla de decisin.

La regla de decisin se formula al encontrar los valores

crticos de z. Por tanto, la regla de decisin es : Rechazar la hiptesis nula y aceptar la hiptesis alternativa ( que indica que la

media poblacional no es 200 ) si el valor de z calculado no se encuentra entre 2,58 y + 2,58. La hiptesis nula no se rechaza si z se ubica entre 2,58 y + 2,58, y la grfica ser:

XZ

n

Paso 5.- Se toma una decisin y se interpreta el resultado

Se toma una muestra de la poblacin (produccin semanal), se

calcula z, se aplica la regla de decisin y se llega a la decisin de rechazar o no Ho . La cantidad media de escritorios producidos el

ao pasado ( 50 semanas, pues la planta cerr 2 semanas por

vacaciones) es de 203,50 . La desviacin standard de la poblacin

es de 16 escritorios semanales. Al calcular el valor z se obtiene:

Como 1,55 no cae en la regin de rechazo, Ho no se rechaza. La

conclusin es: la media de la poblacin no es distinta de 200.

203.50 2001.546796084

16

50

XZ

n

1.55Z

Continuacin .///.

As, se informa al vicepresidente de

fabricacin que la evidencia de la muestra no

indica que la tasa de produccin en la planta

de Fredonia haya cambiado de 200

semanales. La diferencia de 3,50 unidades

(203.50 200) entre la produccin semanal histrica y la del ao pasado puede atribuirse

razonablemente al error de muestreo. Esta

informacin se resume en el siguiente

diagrama:

Grfica de la regla de decisin para el nivel de significancia de

0,01.

58.2not is 55.1

50/16

2005.203

/

2/01.

2/

2/

Z

Zn

X

ZZ