PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 3°

COLEGIO PREUNIVERSITARIO TTeerrcceerr AAoo

Geometra 1

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

Tercer Ao

EL SATELITE SPUTNIK 1Sputnik 1 Lanzado el 4 de octubre de 1957, el Sputnik 1 fue la primera nave en rbitaalrededor de la Tierra. Llamado as por la frase rusa "compaero de viaje por elmundo" (Sputnik Zemli), era un pequeo satlite que slo meda 58 cm de ancho.Completaba una rbita en torno a la Tierra una vez cada 96,2 minutos y transmitainformacin sobre la atmsfera terrestre. Tras un vuelo de 57 das, volvi a entrar enla atmsfera y se destruy.


Geometra 2

IMPRESIONES Y FOTOCOPIADOV.L.E.B.

TELF.: 5400814 / 98503121

DPTO. DE PUBLICACIONES


Geometra 3

TEMA: CUADRILTEROS

DEFINICION.-Es aquel polgono que tiene 4 lados, teniendo dos a dos un extremo comn.

A B

CD

B1

B4

B3

B21 2

34

ELEMENTOS.-1) LADOS ( )DAyCD,BC,AB

Son los segmentos rectilneos que lo limitan. Los lados que no tienevrtice comn recibe el nombre de lados opuestos.Ejm: AB y CD , son lados opuestos como BC y DA .

2) VERTICES: (A, B, C y D)Son las intersecciones de dos lados consecutivos. En todocuadriltero, el nmero de lados es igual al nmero de vrtices.

3) NGULOS INTERIORES (1, 2, 3 y 4)Son los ngulos que se forman por dos lados consecutivos, la sumade

s interiores en un cuadriltero es = 360. Se cumple que:

1 + 2 + 3 + 4 = 360

4) NGULOS EXTERIORES (B1, B2, B3 y B4)Son los ngulos formados en un vrtice por un lado y la prolongacindel lado consecutivo.Los ngulos exteriores son adyacentes a los interiores.La suma de sus ngulos exteriores en un cuadriltero es igual a 360

B1 + B2 + B3 + B4 = 360

5) DIAGONALES ( )BDyACSon los segmentos de recta que unen dos vrtices no consecutivos.


Geometra 4

CLASIFICACIN DE LOS CUADRILTEROS

Por la forma de su contorno

Convexos.- Son aquellos cuadrilteros en los que cualquier recta secante,determina 2 puntos de corte.

A

B

C

D

1

2

Cncava.- Son aquellos cuadrilteros en los que existe al menos unasecante que determina ms de dos puntos de corte.

1 432

CLASIFICACIN DE LOS CUADRILTEROS CONVEXOS

De acuerdo al paralelismo de sus lados los cuadrilteros se dividen en:Trapezoide, Trapecio y Paralelogramo.

A. Trapezoides.- Son aquellos cuadrilteros que no tienen ladosopuestos, ningn lado paralelo al otro paralelo.

a. Simtrico.- Es aquel en el que una de sus diagonales es mediatrizde la otra.


Geometra 5

A

B

D

C

Lnea de Simetra

m m

L

L : mediatrizde BD

Propiedades:

==

====

CDBBDACBDDBA

CDAD;BCAB

b. Asimtrico: Es aquel que no tiene ninguna simetra. Tambinllamado trapezoide irregular.

a

b

c

d

B. Trapecios.- Es el cuadriltero que solo tiene dos lados paralelosdenominados bases.

A

B C

D

M N

H

l m

ml

BASES: BC ; AD AD//MN//BC


Geometra 6

B

b BA

D C

MN : Mediana del trapecio. Es el segmento que une los puntos mediosde los lados no paralelos. Se le conoce tambin como basemedia.

CH : Altura del trapecio. Es la distancia entre sus dos bases.

CLASIFICACIN DE LOS TRAPECIOS

a. Escaleno.- Es aquel que tiene sus lados no paralelos desiguales.

a b

//

b. Issceles.- Es aquel que tiene sus lados no paralelo iguales.

Se cumple

ACBDDC;BA

BCAD

=

==

=

Las diagonales

- Los ngulos opuestos son suplementarios + = 180

c. Rectngulo.- Es aquel trapecio donde uno sus lados no paralelos esperpendicular a sus bases.

B

A

D

C

a b

+ = 180


Geometra 7

PROPIEDADES DEL TRAPECIO

b

a

m

b

a

n

C. PARALELOGRAMOS.- Son aquellos cuadrilteros que tienen suslados opuestos paralelos y congruentes. Se cumple que los ngulosopuestos son de igual medida y dos ngulos consecutivos siempresuplementarios. Adems sus diagonales se bisecan mutuamente.

0

A

B C

D H

m

n m

n

Se cumple: BC//ADyDC//AB CDAB;BCAD == ODBOyOCAO == :CH altura

2ab

m+

=

2ab

n

=


Geometra 8

- Los ngulos opuestos son iguales y los ngulos adyacentes a unmismo lado son suplementarios.

CA;DB ==

180DC180BA

=+

=+

a. Romboide.- Es el paralelogramo propiamente dicho.

A

B C

DH

a

b

a

b

F

( BF;BH : Alturas)b. Rectngulo.- Es el paralelogramo que tiene sus cuatro ngulos

iguales y rectos (equingulo) y sus lados opuestos iguales dos ados. Llamado tambin, cuadrilongo.

A B

C D

Se cumple:CDAB;BDAC90DCBA

==

====


Geometra 9

a a

a a

C

A

BD

CBCDABAD ===

BA

DC

= 45CADCBDAB ===

- Las diagonales son iguales:

BCAD =

c. Rombo.- Es un paralelogramo que tiene sus cuatro lados igualesy sus ngulos opuestos dos a dos. Es un paralelogramoequiltero.

- Las diagonales son perpendiculares entre si y bisectriz de sus ngulos.

d. Cuadrado.- Es un paralelogramo que tiene sus cuatro ladosiguales y sus cuatro ngulos iguales y rectos (es unparalelogramo equingulo y equiltero)

- Sus diagonales son iguales. BCAD =


Geometra 10

PROPIEDADES GENERALES

1. ngulo formado por 2 bisectrices.

xA

B

C

D

2. ngulo formado por dos bisectrices interiores no consecutivos.

A

B

C

D

x

3. cuadriltero cncavo.

x

A C

B

D

2x

+=

2x

=

++=x


Geometra 11

4.

abx

5.

b

a

yx

2ba

x+

=

2ab

x

= 2aby +=


Geometra 12

PROBLEMAS PARA LA CLASE

01) Del grfico. Calcular x segncorresponda.

x

2x

Rpta.:

02) Hallar la base menor de untrapecio, sabiendo la diferenciade la mediana y el segmento queune los puntos medios de susdiagonales es 40.

Rpta.:

03) ABCD: Es un paralelogramo yDM es bisectriz del ngulo D.Si AB = 12. Hallar MC.

M

A

B C

D

Rpta.:04) En un trapecio ABCD (BC

= base menor) la medida delngulo A = 80, la medida delngulo D = 20. Si BC = 4 y CD= 6, calcular la mediana deltrapecio.

Rpta.:

05) Del grfico: BC // AD; BC = CE;ED = DF. Calcular x.

A

B C

D

E

F

x

Rpta.:

06) En la figura: BC // AD, BC = 4,AD = 10. Calcular PQ.

A D

Q

BC

P

Rpta.:07) ABCD: Cuadrilongo, calcular x.

A

B C

D

x

70

Rpta.:


Geometra 13

08) ABCD: es un cuadrado APD yCQD son tringulo equilteros.Calcular x.

A

B C

D

xP

Q

Rpta.:

09) Calcular EF, si ED = 4, CD = 7 yAD = 17 (CF = FB).

C

DA

BF

E

45

Rpta.:10) Hallar la base menor de un

trapecio si la diferencia en lamediana y el segmento que unelos puntos medios de lasdiagonales es igual a 10.

Rpta.:

11) Calcular la relacin entre lasmedidas de las bases de untrapecio en la cual se cumpleque las diagonales trisecan a lamediana.

Rpta.:

12) En un trapecio, la mediana mide15 y el segmento que une lospuntos medios de las diagonalesmide 7. Calcular la medida de labase mayor.

Rpta.:

13) Las bases de un trapecioissceles son proporcionales alos nmeros 5 y 7. Si la suma delos lados no paralelos es 14 y supermetro es 38. Calcular lalongitud de la mediana.

Rpta.:

14) Si AD = 7 y CE = 5. Calcular NK,sabiendo adems que BN esmediana y BN = MN.

N

A

D

C

BE

M

K

Rpta.:

15) En un trapecio ABCD( BC : base menor) la medidadel ngulo A = 60 y la medidadel ngulo D = 20. Si BC = 4 yCD = 6. Calcular la mediana deltrapecio.

Rpta.:


Geometra 14

16) Si AD = 38 y 3AB = ,calcular BC.

B

A D

C

150

60 30

Rpta.:

17) Si AN = 4 y BN = 5, calcular BCsabiendo que ABCD es unROMBOIDE.

MA D

B C

N

Rpta.:

18) Si G es baricentro del tringuloABC. Hallar GH, si AE = 5 yCF = 4.

E B F

C

A

H

G

Rpta.:

19) Calcular EF si EB = 4, BC = 7 yAB = 17

F

B

A D

CE

45

Rpta.:

20) En el grfico, calcular :

2

Rpta.:


Geometra 15

PROBLEMAS PARA LA CASA

01) Las bases y la mediana de untrapecio suman 66. Hallar lamediana.

a) 11 b) 22c) 33 d) 44e) 45

02) En un cuadriltero ABCD loslados AB , BC y CD tienenigual medida. Si la medida delngulo = 70B y la medidadel ngulo = 60C . Calcularla medida del ngulo A .

a) 60 b) 75c) 85 d) 80e) 100

03) En un trapecio issceles ABCD( BC // AD ) la medida delngulo A = la medida delngulo D = 60. Calcular lamedida del segmento que unelos puntos medios de lasdiagonales AC y BD , siAB = 6.

a) 3 b) 4c) 5 d) 5e) 7

04) En la figura: Calcular x siABCD: cuadrado y CDE:tringulo equiltero.

A

B C

D

xF

a) 90 b) 100c) 110 d) 120e) 150

05) Del grfico BC = y CD = 12,calcular MN.

M N

CB

A D

120C

a) 1 b) 3c) 5 d) 7e) 9


Geometra 16

06) La mediana del trapeciomostrado mide 10. CalcularAB.B C

A D

45

a) 10 b) 20c) 30 d) 40e) 50

07) Si ABCD es un cuadrado BPCy CQD son tringulosequilteros, calcular x.

A

B C

D

P

Qx

a) 60 b) 65c) 70 d) 75e) 80

08) En la figura calcular la medidadel ngulo x si ABCD es uncuadrado y CDE es untringulo equiltero.

A

B C

D

x

E

a) 75 b) 65c) 35 d) 15e) 45

09) En la figura ABCD es unrectngulo: calcular la medidadel ngulo ABH, si la medidadel ngulo BOC = 130.

A

B C

DH

O

a) 20 b) 25c) 30 d) 35e) 40

10) Las diagonales de un rombomiden 24 y 10 calcular supermetro.

a) 50 b) 51


Geometra 17

c) 52 d) 53e) 54

11) En la figura ABCD es uncuadrado de lado 24 . Hallarel permetro del rombo AMCN.Si BM = 1.

A

B C

D

M

N

a) 10 b) 16c) 18 d) 20e) 22

12) En un rectngulo ABCD por unpunto P de la diagonal BD seprolonga CP hasta un puntomedio M de modo que

PCPM = y adems BD = 20 yBP = 6. Hallar AM.

a) 4 b) 6c) 8 d) 10e) 12

13) En un paralelogramo ABCD setrazan las bisectrices de losngulos A y B que se cortan enel punto E al punto medio de

CD . Si al permetro delparalelogramo es 28 y AB = 6.

a) 4 b) 5c) 6 d) 7e) 8

14) En un trapecio ABCDBC // AD , la medida delngulo BAD = 82, la medidadel ngulo ADC = 16. Calcularla longitud de la mediana siBC = 6 y CD = 10.

a) 5 b) 8c) 9 d) 10e) 11

15) En un trapezoide ABCD ladiagonal BD es perpendicularal lado AB y AB = BC = BD.Calcular la medida del nguloACD.

a) 30 b) 35c) 40 d) 45e) 50


Geometra 18

r

t

r

A

t B

P: punto de tangencia

r : radio

T: recta tangente

rP

t

A

B

r

r0AP = BP

P

TEMA: LA CIRCUNFERENCIA PROPIEDADES

Concepto: Es el lugar geomtricode todos los puntos en un planoque equidistan de un punto fijollamado: centro, la distancia delcentro cualquier punto de lacircunferencia se llama radio.

Lneas notables en la circunferencia:

* Radio : r

* AB : CUERDA.-Es un segmento que une dospuntos de la circunferencia.Cuando pasa por el centro sellama dimetro (cuerdamxima),

* : RECTA TANGENTE.-Es la recta que toca en un slopunto a la circunferencia.

Teoremas Fundamentales

TEOREMA I

TEOREMA DEL RADIO Y LATANGENTE

Todo radio que llega al puntode tangencia es perpendicular a larecta tangente.

TEOREMA II

TEOREMA DE LAS DOSTANGENTES.

Si desde un punto exterior setrazan dos tangentes a una mismacircunferencia, los segmentoscomprendidos entre los puntos detangencia y el punto exterior soncongruentes.


Geometra 19

r

A

C

b a

c B

a + b = c + 2r

a + c = b + d

a - c = b - d

A

C

D

b

a c

B

A

Bb

aC

D

RS

c

d

QP

TEOREMA IIITEOREMA DE LA BISECTRIZDEL NGULO FORMADO POR 2TANGENTES.

El segmento que une el vrticedel ngulo formado por dostangentes con el centro de lacircunferencia, es bisectriz delngulo.

TEOREMA IV

TEORENA DE PONCELET

En todo tringulo rectngulo: lasuma de catetos es igual a lahipotenusa ms el doble delradio de la circunferenciainscrita.

TEOREMA V

TEOREMA DE PITOT

En todo cuadriltero circunscritoa una circunferencia se cumpleque 2 lados opuestos sumanigual que los otros 2

TEOREMA VI

TEOREMA DE STEINER


Geometra 20


01) Calcular R, si BC = 3, CD = 8(T punto de tangencia)

DB

T

R

O

C

Rpta.:

02) Calcular x si R2PB = .

R

xA

B

P

Rpta.:

03) En la figura, calcular (x) . (y). SiAB = 13, BC = 15 y AC = 14, AQ= x y QC = y.

A

D

BC

Rpta.:

04) Si AB = 2CD y BC = 8, AD= 16. Calcular CD.

A

B

D

C

Rpta.:

05) Del grfico R = 3 y r = 1. CalcularBE

R

r

A

B C

D

E

Rpta.:

06) Si las bases de un trapecioissceles miden 16 y 36.Calcular la longitud del radio dela circunferencia inscrita.Rpta.:

07) El permetro de un tringulorectngulo es 60 y el radio de lacircunferencia inscrita mide 4.Calcular la longitud de lahipotenusa.Rpta.:

08) En la figura AB = 8 y AD= BC + CD. Calcular r1 +r2.


Geometra 21

B

A

C D

r1

r2

Rpta.:

09) Si M, N y P. Son puntos detangencia y AB = 7, BC = 8, AC= 9. Calcular BP.

B

N

M

CA

P

Rpta.:

10) Si AB = 12. Calcular r.

r

A

B C

D

2 3

Rpta.:

11) Un rectngulo con lados de 36y48 se divide por la diagonal endos tringulos. En cada uno deellos esta inscrita unacircunferencia. La distancia entresus centros es:

Rpta.:

12) En la figura; AB + DC = 24 y BC+ AD = 40. Hallar MN.

M N

A

B

D

C

Rpta.:

13) Calcular el permetro del trapecioissceles ABCD. Si la medidadel ngulo A = 30, r = 1.

A

B

D

C

30

r

Rpta.:

14) En la figura calcular el permetrodel tringulo ABC. Si O escentro.

B

CA

1

xD

F

E

5-aQ

Rpta.:


Geometra 22

15) Calcular la longitud de lahipotenusa de un tringulo depermetro 30, si el radio de lacircunferencia inscrita a dichotringulo mide 2.

Rpta.:

16) Si AB = 12, calcular r.

CA

B

O

74

r

Rpta.:

17) Hallar x, si AB = 24 y r = 13.

rO

x

A

B

Rpta.:

18) Si PQ = 3R, hallar x.

R

xR

P

Q

Rpta.:

19) Calcular el permetro deltrapecio mostrado.

2

8

Rpta.:

20) Calcula: m + 2m

m

m

3

4

Rpta.:


Geometra 23


01) Del grfico. Hallar PQ y PC.Si: R = 2 y r = 1

B

CA Q

P

R r

a) 4 y 2 b) 6 y 4 c) 3 y 5d) 6 y 10 e) 11 y 22

02) Del siguiente grfico. Calcularr, si AB = 7, BC = 4, CE = 3 yAD = 8

A

B

D

C

rE

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

03) En el grfico. Calcular r1 + r2. SiAB = 9 y AD = BC + CD

B

A

C D

r1

r2

a) 2 b) 3 c) 4.5d) 6 e) 7

04) Hallar x, si AB = 8, R = 5

A

B

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

05) Calcular x, si PA = 7, R = 3

R

x

P

AQ

O

a) 45 b) 37 c) 60d) 72 e) 30

06) Hallar r, AB = 3, AC = 4

A C

B

r


Geometra 24

a) 1 b) 2c) 3 d) 4e) 5

07) En la figura calcular x si O, escentro y AB = 1, BC = 8

CB

RO

A

a) 4 b) 5c) 2 d) 3e) 6

08) Calcular el rea del crculoinscrito en un tringulorectngulo cuya hipotenusa mide20 cm y la diferencia de lasmedidas de los catetos es 4 cm.

a) 4picm2 b) 6picm2c) 8picm2 d) 16picm2e) 32picm2

09) En la figura AC AB = 6m.Calcular PQ

A

B

C

QP

a) 6m b) 3mc) 12m d) 18me) 9m

10) En la figura M, N y P. Son puntosde tangencia. Si AM = 12. Hallarel permetro del tringulo ABC.

A P

M

N

B

C

a) 12 b) 24c) 26 d) 18e) 30

11) En la figura: P, Q, R y S, sonpuntos de tangencia. Si AB= 12, BC = 15 y CD = 5. HallarAD.

Q

PA

RC

BD

S

a) 7 b) 6c) 8 d) 10e) 9

12) Hallar AB. Si BC = 4, CD = 10,AD = 15

A

B

D

C


Geometra 25

a) 1 b) 3c) 5 d) 7e) 9

13) Si AB = 8. Calcular r.

C

B

r

53A

a) 1 b) 2c) 3 d) 4e) 5

14) Calcular r, AB = 5, BC = 12

B

CA

r

a) 1 b) 2c) 3 d) 4e) 5

15) En la figura: AB + CD = 24 y BC+ AD = 40. Calcular PQ

Q

B

A

C

D

P

a) 16 b) 14c) 12 d) 10e) 8


Geometra 26

A B

C

360

r L = 2c r

A

radi

o

radio0

O

B

Om AOB=

cuerda

O

A

B

cuerda

P

Om APB= 2

rA B

AB : Dimetro

TEMA: CIRCUNFERENCIA - NGULOS

DEFINICIONES PREVIAS

1.- Arco de circunferencia. Sedenomina arco a una parte de lacircunferencia comprendida entredos puntos de ella. De la figura:

AB: Es el arco menorcorrespondiente a lacuerda AB .

ACB: Es el arco mayorcorrespondiente a lacuerda AB.

2.- Medida de una circunferencia.Una circunferencia se puede medirtanto en unidades angulares comoen unidades lineales.

En unidades angulares.- La medidade una circunferencia es 360, nointeresa cuanto mide el radio.

En Unidades Lineales.- Es igual a2 por el radio. A mayor radio,mayor longitud.

TEOREMAS SOBRE LOS NGULOSEN LA CIRCUNFERENCIA

1) ngulo Central

2) ngulo Inscrito

Corolario I: Todos los ngulosinscritos en un mismoarco tienen igualmedida.

Corolario II.- Todo ngulo inscrito enuna semicircunferencia es ngulorecto.


Geometra 27

O

cuerda

Tangente

Q

AP

Om APQ= 2

O

O

cuer

da

Secante

B P

COOm PBC= 2

O

0O

A

B

OOm AOB= 2

O

0O

AB

DC

OOm AOC= 2

ObO

b OO = 180O

O

O

3) ngulo Semi Inscrito

4) ngulo Ex-inscrito

5) ngulo Interior

6) ngulo Exterior

CASO PARTICULAR

TEOREMA DEL NGULOCIRCUNSCRITO

Consecuencia Son iguales


Geometra 28


01) En la siguiente figura calcular , sila medida del ngulo A, es igual a40 y la medida del arco BC = 100

CA B40

D

Rpta.:

02) Del grfico si: AM = MB; calcular x

100 B

A

M

CTx

Rpta.:

03) De la figura mostrada. Hallar x

CBA

x20

Rpta.:

04) Si AB = 110, O es el centro.Hallar x

x

O

D

A

B C

Rpta.:

05) En la figura AD = 170, BC = 2AB.Hallar x

D

A CO

B

x

Rpta.:

06) En la figura OD = BC; la medida delngulo BAD, es 20. Calcular x

C

A

B

D

x

O20

Rpta.:


Geometra 29

07) Si O es centro y T es punto detangencia.

xO

T

x

Rpta.:

08) Calcular x

A

B

x

2xE

M

Rpta.:

09) Calcular x

30

100

x

Rpta.:

10) T es punto de tangencia; AT = TCO, es centro x

xO

T

B CA

Rpta.:

11) Calcular . T es punto detangencia y O es centro.

O

T

B CA

32

D

Rpta.:

12) En el grfico: la medida del arcoAB = 100. Calcular +

C

A

B

D

E

Rpta.:

13) O es centro, calcular x

20

x

Rpta.:


Geometra 30

14) En la figura: Si + = 100.Calcular x

x

2

Rpta.:

15) En la figura hallar x, si AB = BC; lamedida del arco AC = 140

B

C

A

Dx

Rpta.:

16) Hallar x si la medida del arco BC = 28B

CA

x

22

Rpta.:

17) Si, AB = BD; la medida del arcoAE = 86. Hallar x

B

C

A

D

x

E

50

Rpta.:

18) La medida del arco AEB = 242 y lamedida del ngulo ABC = x

BC

A

E

X

Rpta.:

19) Hallar x

52

x

Rpta.:

20) BCyAB son dos cuerdascongruentes de una circunferencia.Calcular la medida del arco AB, si lamedida del ngulo ABC = 48.

Rpta.:


Geometra 31


01) Hallar x

x3660

a) 1 b) 100c) 132 d) 64e) 64

02) Hallar x

x6x 40

a) 16 b) 32c) 64 d) 128e) 526

03) Hallar x

x

40

a) 30 b) 60c) 40 d) 50e) 70

04) ABCD es un paralelogramo.Hallar x

x

53

E

D

C

A

B

75

a) 37 b) 53 c) 60d) 51 e) 52

05) Si O es centro AEyAT sontangentes.

x

40 E

A

O

T

a) 35 b) 45 c) 55d) 65 e) 75

06) La medida del arcoMNP = 210

x

NM

P


Geometra 32

a) 30 b) 60 c) 50d) 80 e) 90

07) La medida del arco TM = 100

xP N M

T

O

a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50

08) Hallar x

C

A

B

D

x 50 20 E

a) 50 b) 70 c) 30d) 60 e) 49

09) ABCD: trapecio, la medida delarco ABC = 160

x

C

D

B

A

O

a) 10 b) 20c) 80 d) 45e) 70

10) Si PA//L

; la medida de arcoAT = 75

x

A P

LT

a) 500 b) 400c) 218 d) 200e) 100

11) Hallar x

x

A

B

200

a) 10 b) 20c) 30 d) 40e) 50


Geometra 33

12) Hallar x

x

60

a) 80 b) 70c) 60 d) 40e) 30

13) Hallar x

xB CC

120

50

a) 25 b) 40c) 35 d) 30e) 45

14) Si O es centro: la medida delngulo AOB = 60, EF = OC.Calcular x.

xF

A

BC

E

O

a) 10 b) 15c) 20 d) 5e) 30

15) Hallar x

x

50

50

a) 80 b) 40c) 50 d) 20e) 70


Geometra 34

A E

B F

C G

D H

B

a m

E F

b n

A C

TEMA: SEMEJANZA Y PROPORCIONALIDAD

PROPORCIONALIDAD:

PRINCIPALES TEOREMAS:

1. TEOREMA DE LAS PARALELASEQUIDISTANTESTres o ms rectas paralelas yequidistantes determinan sobre cualquierrecta secante, segmentos congruentes .

Si L1 // L2 // L3 // L4

Entonces: GHFGEFCDBCAB

2. TEORIA DE THALES DE MILETO.-Si tres o ms rectas paralelasson cortadas por 2 rectas secantes,los segmentos determinados en laprimera secante secante sonproporcionales a los segmentosdeterminados en la segunda secante.

Si L1 // L2 // L3 // L4Entonces

GHCD

FGBC

EFAB

==

Tambin podra ser:

FHEF

BDAB

GHEG

CDAC

== ;

Casos ParticularesA) En el Tringulo (EF // AC )

CBAB

n

bm

a==

EAEB

FCFB

BAEB

BCFB

== ;


Geometra 35

m n AB F

C

a b

a = bm na = mb n

CI = a + bIF cI: Incentro del ABC

AB

C

a bI

Fc

A

B

C c

a

bm

n

a.b.c = m.n.

Prolongacin

a = bm n

a = mb n

AB

C

c

a b

mn

B) En el Trapecio

Si ADBCPQ ////Entonces

DCAB

n

ym

x==

3. TEOREMA DE LA BISECTRIZINTERIOREn todo tringulo, los lados lateralesa una bisectriz son proporcionales alos segmentos determinados por labisectriz del lado opuesto.

4. TEOREMA DE LA BISECTRIZEXTERIOREn todo tringulo una bisectrizexterior determina sobre laprolongacin del lado opuesto,segmentos proporcionales a los ladoslaterales a dicha bisectriz.

5. TEORA DEL INCENTROEn todo tringulo, el incentro divide acada bisectriz en 2 segmentos queson proporcionales a la suma de laslongitudes de los lados laterales y allado donde cae la bisectriz.

6. TEOREMA DE MENELAOEn todo tringulo al trazar una rectasecante a dos lados pero no paralela altercer lado, se forman seis segmentosconsecutivos. Empezando.


Geometra 36

A

B

Cc

a

bm

n

b

a.b.c = m.n.

B

C

c a

m nA

A

x

B

C

c

ab

mn

7. TEOREMA DE CEVAEn todo tringulo al trazar trescevianas concurrentes, empezandopor cualquier vrtice, se cumple que:El producto de las longitudes de tressegmentos no consecutivos es igualal producto de las longitudes de losotros tres.

8. TEOREMA PARA CALCULAR LALONGITUD DE UNA BISECTRIZINTERIOR.

9. TEOREMA PARA CALCULAR LALONGITUD DE UNA BISECTRIZEXTERIOR.


Geometra 37


01) Hallar x, si L1 // L2 // L3

L1

L2

L3

P

Q

R

8

4 6

x

A

B

C

Rpta.:

02) Hallar x, si L1 // L2 // L3, AC =10, AB = 4, DF = 5

L1

L2

L3

x

A

B

C

D

E

F

Rpta.:

03) En la figura adjunta, BCyABson proporcionales a FCyAF .Hallar FC AF.

10

B

A C

8

F9

Rpta.:

04) En la figura L1 // L2 // L3 // L4. HallarGH, si EH = 27

L4

L1

L2

L3

A

B

C

D

F

E

G

H

3

2

4

Rpta.:

05) En la figura mostrada L1 //L2 // L3, si: EF AB = 3, AC = 16 yDF = 24. Hallar EF

L1

L2

L3

A

B

C

D

E

F

Rpta.:


Geometra 38

06) Calcular x, si AE//BD

3x+2

5x

C

EA

B D

8

12

Rpta.:

07) Si L1 // L2 // L3, y AB = 6, BC =18, PQ = 4 y SQ = 2X + 3

L1

L2

L3

A

B

C

P

Q

S

Rpta.:

08) En la figura BCyAB sonproporcionales a DCyAD ,hallar AD

6

B

20A C

4

D

Rpta.:

09) En un tringulo ABC se traza a labisectriz exterior BE. Si AB = 16,AE = 32, CE = 8. Hallar x.

C EA

B

D

8

16

32

x

Rpta.:

10) En la figura DS//CR//BN//AM , si(BC)(CD) = 225 y (NR)(RS) = 256,calcular: MNAB

A

B

C

D

N

M

S

R

Rpta.:

11) En la figura, halar el lado delcuadrado EFMN, si AC = 12 y laaltura BH mide 8

B

CA E

F M

NH

Rpta.:


Geometra 39

12) En la figura mostrada. Si AB = 9,BC = 7, AC = 8 y AC//MN .Hallar MN

B

C

A

MN

Rpta.:

13) Los catetos de un tringulorectngulo miden 6 y 8. Calcular ladistancia del baricentro a lahipotenusa.

Rpta.:

14) En un trapecio issceles ABCD debases ADyBC se inscribe unacircunferencia tangente a los ladosAB y CD en M y Nrespectivamente. Calcular MN , siBC = 8 y AD = 12

Rpta.:

15) En la figura hallar CE si AB = 6,BC = 3 y AC = 4

B

A C E

Rpta.:

16) En la figura. Hallar FC, si AE = 6,EB = 4 y AF = 8, adems BM = MF

B

A C

E

F

M

Rpta.:

17) En la figura mostrada, hallar x

2b

x+22a

3a

b

x

Rpta.:


Geometra 40

18) En el tringulo escaleno PQR,PR = 4, MT = 3, PT = NP; RT = RSy QS = QN. Hallar MR

M P

S

R

N

Q

T

Rpta.:

19) Hallar x L1 // L2

A P

B

Q C

L1

L2

10x

8 4

Rpta.:

20) En la figura mostrada. Calcular x

b

b

x x-3

5a

2a

Rpta.:


Geometra 41


01) L1 // L2 // L3, son paralelas. Hallar x

L1

L2

L3

2x+2

156

x

a) 3 b) 4c) 5 d) 6e) 7

02) Si el tringulo ABC de la figuraAC//DE entonces el tringulo es:

B

CA

D E

x+3

x-1 1

5

6

a) Escalenob) Isscelesc) Equilterod) Rectnguloe) Obtusngulo

03) Si CF//BE//AD : AB = 36,BC = 6, DE = 4(x + 1) y EF = 10,hallar x

A

B

C

D

E

F

a) 14 b) 15c) 16 d) 17e) 18

04) En la figura L1 // L2 // L3 // L4. SiAB = 3, BC = 4, MN = 2x 2,NP = 2x + 2, PQ = 3x + 1, CD = y;hallar x + y

L4

L1

L2

L3

A

B

C

D

M

N

P

Q

a) 10 b) 15c) 12 d) 13e) 14

05) En la figura L1 // L2 // L3. BC = 2AB yDF = 12. Hallar DE


Geometra 42

L1

L2

L3

A

B

C

D

E

F

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

06) En la figura, calcular x L1 // L2 // L3.

L1

L2

L3

6

3x

a) 37 b) 53 c) 45d) 30 e) 60

07) En la figura, calcular x, siAC//MN

B

CA

7-a

6-a

a+1

a

7

NM

X

a) 30 b) 90c) 60 d) 45e) 37

08) En la figura, se muestran doscircunferencias. Calcular x

4

2,5

2

x

a) 37 b) 45 c) 53d) 30 e) 60

09) En la figura. Calcular x

B

A

C

D

x18

a) 3 b) 5 c) 6d) 8 e) 10

10) En la figura, hallar el valor de x

B

A C

F

6

18

x

12

a) 12 b) 14 c) 10d) 10 e) 18


Geometra 43

11) Del grfico adjunto, calcular x

A

x

B

CP 2p

3b

2bx+2

a) 3 b) 4c) 5 d) 6e) 7

12) Calcular x, si L1 // L2 // L3.

L1

L2

L3

12

7

x+4

x-4

a) 7 b) 12c) 8 d) 9e) 10

13) En la figura, calcular x

6

8x

A

C B

D

Px+1

a) 1 b) 2c) 3 d) 4e) 5

14) En la figura adjunta. Hallar PD, si:AM = 9, BM = 6 Y MP = 8(AN = ND) adems MN // BC

M

P

N C

B

DA

a) 9 b) 4c) 13 d) 16e) 23

15) Las bases de un trapecio miden 6 y12. si la altura mide 9. calcular ladistancia del punto de corte de lasdiagonales a la base mayor.

a) 3 b) 4c) 5 d) 6e) 8


Geometra 44

A C

ac

b

B

A C

c

b

B

q

nM Q

N

Si c = q b nABC MNQEntonces

y m A m M< <

A

B

C

c a

b

M

N

L

m

N

TEMA: SEMEJANZA DE TRINGULOS

Dos tringulos son semejantescuando tienen sus ngulosrespectivamente congruentes.

Si dos tringulos son semejantes, suslados homlogos son proporcionales.

Si ABC ~MNLkc

n

bm

a===

k: Razn de semejanza.

CASOS DE SEMEJANZA DETRINGULOS

1er Caso: (A.A)Dos ngulos congruentes

2do Caso: (L.A.L.)Un ngulo congruente y los ladosque lo forman son proporcionales.

3er Caso: (L.L.L.)Tres lados proporcionales.

M L

lNABC MNL

ABC MNLEntonces

A C

c a

b

B

lnM L

N

m

Si a=

b=

c m n l


Geometra 45



6

4

x

Rpta.:

02) Dos tringulos ABC y PQR sonsemejantes, la medida del ngulo

=A la medida del ngulo P y lamedida del ngulo B = la medidadel ngulo Q ; si AB = 4, PR = 5. Sila razn de semejanza es 2/3.Hallar AC y PQ.Rpta.:

03) AC//DE , hallar DEB

CA

D E

18

x5

10

Rpta.:

04) NL//AB , hallar AM

B

A 10

x

4N

M L

6

Rpta.:

05) Hallar BH

x

12

5

H CB

A

F

8

Rpta.:

06) EH//PQ , hallar EH

xHE

F

P Q

4

6

3

Rpta.:

07) AB//TQ , QC = 2BQ. Hallar TQ

6

B

Q

A CT

Rpta.:


Geometra 46

08) Hallar PH

xHA P6

10

F

T

6

Rpta.:

09) A ;E C H.Hallar FH y EH

10

8 6

ECA

4

H

FB

x

Rpta.:

10) A D, hallar EF

10

CA F

B

x

D

E

15

20

21

14

Rpta.:

11) PQR DEF, razn sesemejanza es 8/5, hallar DE, EF, DF

D

E

F

Q

P R

Rpta.:

12) N Q; L R. Hallar MN yNL

Q

P

15

L

N

M R18

12

30

Rpta.:

13) M S; hallar RT

F

20

M

H R T

15 21

x24

28

S

Rpta.:

14) ABC MNP, el permetro del MNP = 65. Hallar MN, NP y MP

M

N

P15

18

B

CA

6

Rpta.:


Geometra 47


x

6

8

2

Rpta.:

16) En la semicircunferencia mostrada,calcular R

20R

12

Rpta.:

17) En la figura, calcular AB, si BF = 2y FC = 7

A

F

B

C

Rpta.:

18) En la figura AB = 8, AI = 5 y AC = 10

CA

BE

I

Rpta.:

19) AB = 2, DC = 8 y BC = 10. Calcularel rea de la regin triangular BEC

EA

B C

D

Rpta.:

20) Segn el grfico, calcular BF siAB = 10, BE = 5 y ED = 3

CA

B

E FF

+D

Rpta.:


Geometra 48


01) Hallar x

x

35

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

02) Hallar x, si dos tringulo sonsemejantes.

x

8

32

4

4

a) 3 b) 6 c) 9d) 11 e) 13

03) Dos tringulos son semejantes; si larazn de semejanza es 2/3. Hallarx e y

x

4

15

a) 6 y 10 b) 4 y 8 c) 10 y 15d) 14 y 7 e) 8 y 9

04) En un tringulo ABC sobre BC setoma un punto Q tal que AB = 6 yBC = 9. Hallar BQ

CA

B

Q

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

05) Hallar PQ, si BP = 2, PA = 6, AC = 12B

CA

P Q

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

06) Calcular AC, si AD = 3 y BD = 5

A

B

CM

D


Geometra 49

a) 52 b) 54 c) 23d) 2 e) 53

07) Los lados de un tringulo miden 4;7; 10 y el permetro de otro tringulosemejante al primero es 147. hallarel lado menor del segundo tringulo.

a) 24 b) 25 c) 26d) 27 e) 28

08) Hallar AC, si AB = 10, AD = 4, DE =11

CA

BE

D

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

09) Encontrar DC, si AD = 5, FD = 4,BF = 6

B

CA

E

D

F

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

10) ABCD es un paralelogramoEF = 2, FG = 16. Hallar AE

DA

B C

E

F

G

a) 2 b) 4c) 6 d) 8e) 10

11) Si DB = 7, AD = x, EC = 3x.Hallar x

DE

CA

B

a) 1,2 b) 6,6c) 4,2 d) 3,2e) 1


Geometra 50

12) Calcular PQ, si AB = 6, BC = 8,AC = 10

A

B

CP

Q

a) 3,7 b) 4,2 c) 3d) 4 e) 5

13) Encontrar x

D C

B

A

x

3 1a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

14) Hallar x

3 2

5

x

a) 1 b) 2 c)3

10

d)41

e)25

15) Calcular AD, si AB = 3, BE = 5,CE = 15

C

B

A E D

a) 11 b) 12c) 13 d) 14e) 15


Geometra 51

a = m. c b = n . c2 2

TEMA: RELACIONES MTRICAS

A) RELACIONES MTRICAS ENEL TRINGULO RECTNGULO

Elementos de un tringulo Rectngulo.

a y b = Son las longitudes de loscatetos ACyBC .

c = Es la longitud de laHipotenusa AB

h = Es la altura relativa a laHipotenusa.

m = Es la longitud de laproyeccin del catetoBC sobre lahipotenusa.

n = Es la longitud de laproyeccin del catetoAC sobre lahipotenusa.

- Los siguientes teoremas nosdescriben las principalesrelaciones que hay entre laslongitudes de los lados, altura yproyecciones de un tringulorectngulo.

TEOREMA 1En todo tringulo rectngulo, elcuadrado de un cateto es igual alproducto de su proyeccin por lahipotenusa.

En la figura se cumple que:

TEOREMA 2 (Teorema de Pitgoras)En todo tringulo rectngulo, lasuma de los cuadrados de loscatetos es igual al cuadrado de lahipotenusa.



Geometra 52

h = m . n2 1 + 1 = 1 a b h2 2 2

TEOREMA 3En todo tringulo rectngulo, elcuadrado de la altura relativa a lahipotenusa es igual al producto delas proyecciones de los catetossobre la misma.


TEOREMA 4En todo tringulo rectngulo, elproducto de catetos es igual alproducto de la hipotenusa por sualtura relativa.


TEOREMA 5En todo tringulo rectngulo lasuma de las inversas de loscuadrados de los catetos es iguala la inversa del cuadrado de laaltura relativa a la hipotenusa.



Geometra 53


01) Hallar xB

x

412A C

Rpta.:

02) Hallar x

2

3 x13

Rpta.:

03) Hallar x

x

5

34

Rpta.:

04) Hallar x

x

1

4

4Rpta.:

05) Hallar x

x

3

4

2

Rpta.:

06) Hallar x

x

5

2

Rpta.:

07) Hallar x

5

10

x

Rpta.:


Geometra 54

08) Hallar xx

54

6

Rpta.:

09) Hallar x

15x

2x

Rpta.:

10) Si (AB)2 + (FG)2 = 8; calcular BF (lasdos figuras son cuadrados)

C

A

B

E

D

F

G

Rpta.:

11) Calcular R si AM = 3 y AB = 9

B

R

A

Rpta.:

12) En un tringulo rectngulo ABC,recto en B, se trazan la alturaBH y la bisectriz interior AQ , loscuales se cortan en P, calcular BP,si AP = 7 y PQ = 2

Rpta.:

13) Calcular MN ; si R = 3r; r = 1 yAB = 6

NM

A

B

Rpta.:


Geometra 55

14) En la figura, hallar DH , si AD = 3y el dimetro DC = 4

OA D C

B

H

Rpta.:

15) La figura muestra una ruedaapoyada en un ladrillo de altura 9,calcular el radio de le rueda.

15

Rpta.:

16) Si ABCD es un cuadrado BE = 1y FC = 9. calcular EF

B

A D

CE

Rpta.:

17) En la figura, se pide la proyeccinde AB sobre la recta L

10

18

17

B

A

L

Rpta.:

18) La hipotenusa de un tringulorectngulo excede en 1 cm al catetomayor; si el cateto menor mide9cm, hallar el rea de la reginlimitada por otro tringulorectngulo.

Rpta.:

19) Calcular AP, si AQ = 4

BA

P

Q

O

Rpta.:

20) En la figura BM = MC = 4 y BN esmediana, calcular AB.

A

B

C

M

N

Rpta.:


Geometra 56


01) Hallar x

x5 12

a) 1 b) 2 c)1013

d) 5 e)1360

02) Hallar x

3

6

5

x

a) 3 d) 6 c) 9d) 11 c) 13

03) Hallar x

x

12

20

a) 11 d) 12 c) 12,8d) 13 c) 14

04) Hallar x

x

x3

109

a) 5 b) 6 c) 7 d) 9 e) 11

05) Hallar x

x x + 7

x+6

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 9

06) Hallar x

x

3

6

a) 3 b) 32 c) 33d) 34 e) 35

07) Hallar xx11

x+5

a) 20 b) 21 c) 22d) 23 e) 25


Geometra 57

08) Hallar x

x

20x+8

a) 20 b) 21 c) 22d) 23 e) 24

09) Hallar x

x

20

7

x+9

a) 11 b) 12 c) 13d) 14 e) 15

10) Las diagonales de un rombo mide12cm y 16cm el lado del rombo mide:

a) 9 b) 10 c) 11d) 12 e) 13

11) Hallar H, si AP = 4, PC = 9B

A C

H

P

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

12) Calcular la altura BH del tringulorectngulo ABC. Si AB = 6 y BC = 8

B

A CH

a) 8,4 b) 4,8 c) 2,8d) 2,4 e) 4,7

13) Calcular la altura del trapecio ABCD(BC // AD) circunscrito a unacircunferencia de centro O. SiOC = 15 y OD = 20a) 22 b) 25 c) 23d) 26 e) 24

14) Si el lado de un cuadrado inscrito enuna circunferencia mide 10. Hallarel permetro del tringulo equilteroinscrito en la misma circunferencia.

a) 615 b) 612 c) 32d) 35 e) 36

15) En la figura, 13PR = y

6ABRC = . Calcular la medida del

permetro del cuadrado ABCD

P

C

A B

D

R

a) 12 b) 16 c) 18d) 24 e) 36


Geometra 58

< 90 c < a + bo 2 2 2

> 90 c > a + bo 2 2 2

B. RELACIONES MTRICAS EN EL TRINGULO OBLICUNGULO

1)TRINGULO OBLICUNGULOLos tringulos que no sonrectngulos, son oblicungulos,luego un tringulo oblicungulopuede ser acutngulo uobtusngulo.

2)COMO RECONOCER SI UNTRINGULO ES ACUTNGULOU OBTUSNGULO

Se aplican las siguientespropiedades:

- Es Acutngulo: Si el cuadradode un lado que se opone a unngulo agudo siempre esMENOR que la suma de loscuadrados de los otros dos.

NOTA: Todos los ngulos deltringulo son menores que 90.

- Es Obtusngulo: Si elcuadrado de un lado que seopone a un ngulo obtusosiempre es MAYOR que lasuma de los cuadrados de losotros dos.

NOTA: Un ngulo de los tresngulos del tringulo es mayorque 90.3)PROYECCIN DE UN LADO

SOBRE OTRO LADOEn el tringulo es importanteconocer la proyeccin de unlado sobre otro, para ellosiempre se traza una altura.

- En el tringulo acutngulo: Enel tringulo acutngulo, laproyeccin de un lado sobre otroesta contenido en este ltimo.


Geometra 59

- En el tringulo obtusngulo:En el tringulo obtusngulo,para encontrar la proyeccin deun lado sobre uno de los ladosadyacentes al ngulo obtuso, sedebe prolongar este ltimo.

4)TEOREMA DE EUCLIDES

TEOREMA 1En todo tringulo, el cuadradode un lado que se opone a unngulo Agudo es igual a la sumade los cuadrados de los otrosdos, menos el doble producto deuno de ellos por la proyeccindel otro sobre aquel.

Si: < 90


Geometra 60

AB

C

cM

mc

AB

C

cxP

a b

M

TEOREMA 2En todo tringulo, el cuadrado dellado que se opone a un nguloobtuso es igual a la suma de loscuadrados de los otros dos, ms eldoble producto de uno de ellos por laproyeccin del otro sobre aquel

Si > 90

5)TEOREMA DE LA MEDIANA

En todo tringulo la suma de loscuadrados de los lados laterales auna mediana es igual al doble delcuadrado de la mediana ms lamitad del cuadrado del lado dondecae la mediana.

As en la figura:

mC es la mediana relativa allado c.

Entonces:

22

2222 cmba C +=+

TEOREMA DE LA PROYECCINDE LA MEDIANA

En todo tringulo, se cumple losiguiente:

Si x es la proyeccin de lamediana CM , entonces:


Geometra 61


01) Hallar x

x

76

5

Rpta.:

02) Hallar x

x4

6

3

Rpta.:

03) Hallar x

5x

42

Rpta.:

04) Hallar x

6

x

12

10

Rpta.:

05) Hallar x

x

2

3

5

Rpta.:

06) Hallar x

x

6

6

10

Rpta.:


Geometra 62

07) Hallar x

x

10

7

5

Rpta.:

08) Hallar x

32x

23

Rpta.:

09) Hallar x

x

6

2 1

Rpta.:

10) Hallar x

10

x38

Rpta.:

11) Hallar x

X16

10332

Rpta.:

12) En la figura AT = PB = BC = 6.Calcular AC (P y T son puntos detangencia)

C

P

A

B

T

Rpta.:


Geometra 63

13) Segn el grfico AB = 13, BC = 15y AC = 14. Calcular MN (M, N, Lson puntos de tangencia)

A

B

CL

M

N

Rpta.:

14) Calcular MN. Si ABCD es untrapecio AB = 13, BC = 6, CD = 15,AD = 20, BM = MC; AN = ND.

M

N

B C

A D

Rpta.:

15) Calcular BD si, AB = 6, AC = 7,BC = 8; BD es bisectriz interior.

B

A CD

Rpta.:

16) Calcular BD, si AB = 6, AD =3, DC = 9, BC = 10

B

A CD

Rpta.:

17) Calcular la medida del lado de unrombo ABCD si AM = 9, MD =13, siendo M punto medio de BC.

Rpta.:

18) Los lados de un tringulo miden13, 14, 15 Cunto mide la alturarelativa al lado medio?

Rpta.:

19) En un tringulo ABC; AB = 3, BC =5, AC = 6. Calcular la longitud dela proyeccin de AB sobre ACRpta.:

20) En un tringulo ABC, AB = 7, BC =97 , C = 6. Se traza la mediana

BM . Calcular la longitud de laproyeccin de AM sobre BM .Rpta.:


Geometra 64


01) Hallar x

10

6

6

x

a) 61 b) 80 c)1130

d) 5 e)2

191

02) BM es mediana del tringuloABC, hallar x

B

A C

513

h Mx

a) 1,2 b) 3,2 c) 4,6d) 4,5 e) 4,8

03) Hallar x

1013

x x

a) 5 b) 21 c) 48c) 27 e) 23

04) Hallar x

x

11

12

16

a) 2 b) 4 c) 6d) 10 e) 8

05) Hallar x

x

13

7 8

a) 3,5 b) 2,5 c) 1,5d) 4,5 e) 6,5


Geometra 65

06) Hallar x

133

x

12

a)38 b)

54 c)

45 d)

23 e)

21

07) Hallar x

6

7x

4

a) 4 b) 6 c) 5 d) 7 e) 9

08) Los lados de un tringulooblicungulo miden 8; 9 y 5 metrosrespectivamente. Calcular lalongitud de la proyeccin del ladomedio sobre el lado menor.

a) 1m b) 0,8m c) 1,2md) 0,5m e) 2m

09) En un tringulo ACD, AC = 7; CD =3; AD = 5. Calcular la longitud de laproyeccin de ADa) 5,5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 6,5

10) Los lados de un tringulooblicungulo miden 7; 5 y 10respectivamente. Calcular la

longitud de la proyeccin del ladomedio sobre el lado mayor.

a) 3,8 b) 6,2 c) 4,5 d) 6 e) 5

11) En un tringulo ABC; AB = 7, BC = 5,AC = 3. Calcular la longitud de laproyeccin de BC . Sobre AC .a) 2,2 b) 3 c) 2 d) 1,5 e) 2,5

12) En un tringulo issceles ABC.AB = 3, AC = 6. Calcular la longitudde la proyeccin de AB sobre BC

a) 0,75 b) 0,6 c) 0,8 d) 1 e) 1,2

13) En un tringulo ABC, AB = 10, BC = 6,la proyeccin de AB sobre ACes el triple que la proyeccin deBC sobre AC , calcular la medidade AC

a) 26 b) 10 c) 12 d) 28 e) 29

14) Los lados de un tringulo miden 4, 5y 6. calcular la longitud de lamediana relativa al lado menor

a)2

53 b) 4 c) 5 d)2

57 e) 30

15) E n un tringulo PQR; PQ = 13,QR = 5, PR = 16. calcular lalongitud de la proyeccin de lamediana QM sobrePR

a) 4 b) 4,5 c) 5d) 6 e) 5,5


Geometra 66

Aa d

c b

BC

D

P

A

P

B ba

cdC D

TEMA: RELACIONES MTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA

1. TEOREMA DE LAS CUERDAS.En una misma circunferencia, si doscuerdas se cortan se cumple que: elproducto de las partes de la primeracuerda es igual al producto de laspartes de la segunda.

Si AB y CD se cortan en Pdeterminan los segmentos:

En AB : AP = a; PB = bEn CD : CP = c; PD = dLuego a.b = c.d .

2.TEOREMA DE LOS SECANTESSi desde un punto exterior setrazan dos secantes a una mismacircunferencia se cumple que: laprimera secante por su parteexterna es igual a la segunda,tambin por su parte externa.

En la figura se trazan:

Se han trazado desde P, lassecantes PA y PC

PA = a ; PB = b

PC = d ; PD = c.Luego a.b = c.d .

3.TEOREMA DE LA TANGENTE YLA SECANTESi desde un punto exterior setrazan una tangente y unasecante a una mismacircunferencia, se cumple que: latangente al cuadrado es igual a lasecante por su parte externa.

En la figura PA es la tangente yPC la secante

Si: PA = T; PC = a; PB = b

LuegoT2 = a.b .

A

Bb

aC

TP


Geometra 67


01) AP = 6, PB = 4, CD = 11, hallar CP

D

C

B

AP

Rpta.:

02) EF = 6, AB = 4, hallar AE

F

B

A

E

Rpta.:

03) Calcular ODsi (AD)(DB) = 200O es centro.

B

A

D

15

O

Rpta.:

04) La distancia mnima entre doscircunferencias exteriores es 8 y lamxima es 20. calcular la distanciaentre sus centros.

Rpta.:

05) AQ = 2; PQ = 4; calcular r

Rpta.:

06) Hallar x

x

M

N8

2

Rpta.:

07) Hallar x, AB = 2, BC = 8, DC = 16

C

A

B

D E

x

Rpta.:

BA

P

Qr


Geometra 68

08) Hallar x

x

5

4

Rpta.:

09) Hallar x

12

7

x

Rpta.:

10) En la figura, calcular CT, si AD =4; CB = 9, O es centro y T espunto de tangencia

B

TD

C

A O

Rpta.:

11) En la figura RS es una tangente,RU y RZ , son secantes, hallar RU

6S

R5

Z

U

Rpta.:

12) Del grfico AM = MC. CalcularBQ siendo AP = 4, PB = 5 y QC = 3

B

A C

PQ

M

Rpta.:

13) En la figura, hallar x

16

x6

85

Rpta.:

14) En la figura mostrada BC = 2,CD = 1, DE = 3. Hallar AB


Geometra 69

B CD

E

A

Rpta.:

15) Calcular AB si: BC = 5, CD = 15

DCBA

Rpta.:

16) En la figura mostrada, calcularEB, si AM = ME = ED = 3 y CM = 2

A B

C

D

M

E

Rpta.:

17) Si Q es punto de tangencia MN = 9,MH = 16, 5EP = PH , calcular PQ

M

EQ

P

NH

Rpta.:

18) Calcular r, si PQ = 1, QR = 4 yOR = 6

O

P Q R

r

Rpta.:

19) Calcular r

10

r

4

Rpta.:

20) Calcular AB, si BC = 3, CD = 5,DE = 4

CA B

D

E

Rpta.:


Geometra 70

PROBLEMA PARA LA CASA

01) Calcular AB, si AP = x,PB = x + 4, CP = x + 2,PD = x + 1

DA

BC

P

a) 2 b) 4c) 6 d) 8e) 10

02) En la figura mostrada hallar elradio r si: DC = 7, PC = 12,PA = 2

P

C

AB

D

O

r

a) 10 b) 11c) 12 d) 13e) 14

03) En la figura PB = 5,BC = 3 PB , hallar PA

AP

C

B

a) 2 b) 4c) 6 d) 8e) 10

04) Si P, Q, S; son puntos detangencia. Calcular PS

P

16

46

Q S

a) 10 b) 20c) 30 d) 40e) 50


Geometra 71

05) De la figura el radio R

3

6

a) 4,5 b) 6,5c) 5,5 d) 7,5e) 9,5

06) En la figura AB2PB = ; siBQ = 3, hallar BC

C

QA

P

B

a) 6 b) 5c) 4 d) 7e) 8

07) Una cuerda de 24 de longitudse encuentra a 5 del centro deuna circunferencia. Calcular eldimetro de dichacircunferencia.

a) 17 b) 40c) 32 d) 26e) 24

08) Calcular CD, si AD = 9,DB = 4

B

C

A DO

a) 4 b) 5c) 6 d) 7e) 8

09) Una cuerda mide 6 y su flechacorrespondiente mide 1.Cuntos mide el radio de lacircunferencia?

a) 4 b) 5c) 6 d) 7e) 8

10) En la figura PM = 12, PA = 8.Hallar AB

A

P

B

M

a) 14 b) 12c) 8 d) 9e) 10


Geometra 72

11) En la figura calcular PT, siBC = 2 y AB = 1

B

A

C

PT

a) 5 b) 2c) 4 d) 3e) 1

12) En la figura mostrada, hallarBC, si CE = 4, ED = 2, altringulo ACD es equiltero yA es punto de tangencia.

C

A D

E

B

a) 6 b) 9c) 8 d) 12e) 5

13) Si AT = 4 y BR = 2. calcularTB (T punto de tangencia)

T

B Q

P

A

R

a) 1 b) 2c) 3 d) 4e) 5

14) En una circunferencia decentro O y de radio 6. doscuerdas AB y CD se cortan enI, si AI = 5 y OI = 4. Hallar IB

a) 1 b) 2c) 3 d) 4e) 5

15) Se tiene una circunferencia decentro O cuyo radio mide 15.se traza la cuerda AB y sobreella se elige un punto M talque AM x MB = 200. CalcularOM

a) 1 b) 3c) 5 d) 7e) 10


Geometra 73

b

h

b b

S = L . 32

4

S = H . 32

3

a

b

S = 1 ab. Sen 2

TEMAS: REAS DE REGIONES PLANAS

a)REAS DE REGIONESTRIANGULARES

REGIN: Es aquella parte de unasuperficie plana por una lnea.

REA: Es el nmero que indicala medida de una regin, es decires igual al nmero de veces quese utiliza la regin unitaria.

1.FORMULA GENERAL.-El rea de un tringulo es igual alsemiproducto de su base y la alturacorrespondiente.

Donde: S = Superficie o rea delTringulo

h = alturab = base

2.hbS =

2. REA DE UN TRINGULOEQUILTERO

3.FRMULA TRIGONOMTRICAEl rea del tringulo es igual alsemiproducto de dos ladosmultiplicado por el seno del ngulocomprendido entre dichos lados.

4.REA DE UN TRINGULO ENFUNCIN DE SUS LADOS OFRMULA DE HERN

))()(( cPbPaPPS =donde: P = semipermetro

2cbaP ++=


Geometra 74

a

c

b

2XX

2cbaP ++=

a

c

b

r

RcbaS

4..

=

a c

b

R

A Cnm

B

5.RELACIN DE REASAl trazar medianas

6.REA DE UN TRINGULO ENFUNCIN DEL INRADIOEl rea de un tringulo es igual alsemiperimtro por el inradio.

S = P.r

Donde:

7.REA DE UN TRINGULO ENFUNCIN DE EL CIRCUNRADIO

8.SABC = m.n


Geometra 75


01) Calcule el rea de la regintriangular ABCD, sabiendo queAD mide el triple de DC yadems AC = 10

A

B

D

C

Rpta.:

02) Calcular el rea de la regin ABCD

A

B

D

C

10 cm

6015 cm

Rpta.:

03) El permetro de un tringuloequiltero es 30m. una de susalturas mide:

Rpta.:

04) Hallar el rea de la siguiente regintriangular sabiendo que lasmedidas de sus lados estn dadasen centmetros.

2x-5

x-3x+4

Rpta.:

05) Calcular el rea de la reginsombreada.

A

B

D

CE

32 6030

6

Rpta.:

06) En la figura, calcular el rea delcrculo.

r

60

61

Rpta.:


Geometra 76

07) en la figura calcular el rea delsemicrculo.

8

2

Rpta.:

08) Calcular el rea del crculo.

R

6

3

Rpta.:

09) Calcular el rea de un cuadradosabiendo que su diagonal mide8cm.

Rpta.:

10) Segn el grfico ABCD esencuadrado de 6cm de lado. Hallarel rea de la regin sombreada.

B C

DA

M N

4cm

2cm

Rpta.:

11) En la figura ABCD es un rectngulosi: AM = 10 cm., MN = 12 cm., CN= 2cm y ND = 8 cm. Hallar elrea de la regin sombreada.

A

B

D

C

M N

Rpta.:

12) La hipotenusa de un tringulorectngulo Issceles mide 80 cm.Calcular el rea del tringulo.

Rpta.:

13) Calcular el rea de un tringuloEquiltero que tiene 38 de altura.

Rpta.:

14) En un tringulo rectngulo cuyaHipotenusa mide 30m., un catetomide el triple del otro hallar el rea.

Rpta.:


Geometra 77

15) Hallar la regin sombreada.

6

3

2

4

Rpta.:

16) Un cuadrado de 144 m2 de reaest inscrito es un crculo cuyoradio mide:

R

Rpta.:

17) En la figura, calcular el rea delcrculo suscrito en el sector circularAOB

12

O

B

A

60

Rpta.:

18) El permetro de un tringuloEquiltero es de 36. el rea dedicho tringulo es:

Rpta.:

19) El permetro de un rectngulo es de84m. y su diagonal mide 30m. elrea del rectngulo es:

Rpta.:

20) La diferencia de las dimensionesde un rectngulo es 6m. y ladiferencia de sus cuadrados es252 m2 el permetro del rectnguloes:

Rpta.:


Geometra 78


01) La diagonal de un cuadrado mide22 . Calcular su rea.

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 1

02) El permetro de un rectngulo esigual a 60 el largo es el doble delancho. Calcular su rea.

a) 100 b) 200 c) 300 d) 400 e) 50

03) El rea de un cuadrado es 20.Calcular la longitud de su diagonal.

a) 10 b) 102 c) 103d) 52 e) 152

04) Calcular el rea de un cuadrado,inscrito en una circunferencia deradio igual a 5.

a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

05) Calcular el rea de una regintriangular ABC, Si: AB = BC = 17 yAC = 30

a) 40 b) 90 c) 120 d) 150 e) 125

06) Hallar el rea de un rombo ABCD,si AB = 17 y AC = 30.

a) 240 b) 120 c) 360 d) 280 e) 190

07) Calcular el rea del crculo inscritoen un tringulo Equiltero de lado 6.

a) pi b) 4pi c) 2pi

d) 3pi e)3

2pi

08) Si (AB) (AP) = 36, Calcular el reade la regin sombreada.

A

B

D

C

a) 36 b) 18 c) 9d) 12 e) 24

09) Calcular el rea de la reginsombreada, si: AB = 4 y AD = 5

A

B

D

C

M

a) 20 b) 10 c) 5d) 15 e) 25

10) Hallar el rea total si: x = 10

x

a) 60 b) 70c) 80 d) 90e) 120


Geometra 79

11) Si ABCD es un cuadrado. Hallar elrea en la regin sombreada si ellado es aB C

DA

O

a) a2/2 b) a2/4 c)3a3 2

d)5a3 2

e)7a5 2

12) El lado del cuadrado mide 4.Calcular el rea de la reginsombreada.

a) (6-pi) b) (8-pi)c) (4-pi) d) 5-pie) 7-pi

13) El lado del cuadrado es a. Hallarel rea de la regin sombreada.

a) a2/2 b) a2/4 c) a2/5d) a2/6 e) a2/8

14) Calcular el rea del trapecioABCD, Si: BC = 16 y CD = 24

B C

DA45

a) 27 b) 36 c) 64d) 85 e) 72

15) En la figura AOB es un sectorcircular cuyo radio mide 12. Calcularel rea de la regin sombreada.

B

A

60O

a) 6 pi b) 8pi c) 12pid) 16pi e) 10pi


Geometra 80

INDICE Cuadrilteros.. 03 Circunferencia - Propiedades . 18 Circunferencia - ngulos 26 Proporcionalidad 34 Semejanza de Tringulos 44 Relaciones Mtricas en:

- Tringulo Rectngulo 51- Tringulo Oblicungulo 58

Relaciones Mtricas Circunferencia. 66 reas de las Regiones Planas.. 73

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Ao

Geometra 81

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

Tercer Ao

INDICE Punto y Plano ... 83 Poliedros . 92 Prisma .. 104 Pirmide 111 Cono .. 118 Cilindro ....125 Esfera ..132 Miscelnea .137


Geometra 82

IMPRESIONES Y FOTOCOPIADO.

TELF.: 3312667 93283143

DPTO. DE PUBLICACIONES


Geometra 83

B.

C.A.

GEOMETRA DEL ESPACIO

TEMA: PUNTO Y PLANO

Geometra del Espacio.- tiene por objeto el estudio de las figuras slidas odel espacio, es decir, de las figuras cuyos puntos no pertenecen todas a unmismo plano sino al espacio tridimensional, como por ejemplo el ngulodiedro, el cubo, la pirmide, la esfera etc.

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

TEOREMA 1

Tres puntos cualesquiera, no colinealesdeterminan un plano. As, los puntosno colineales A,B,C, determinan elplano H.


Geometra 84

L

0C

P

TEOREMA 2

Una recta y un punto exterior aella, determinan un plano. As larecta AB y el punto P situadofuera de ella, determinan elplano H.

TEOREMA 3

Si una recta es perpendicular ados rectas del plano que pasanpor su pie, entonces esperpendicular al plano.

Si L 1L , L 2L

Entonces. L H

TEOREMA 4

Si desde el pie de una rectaperpendicular a un plano, se trazaotra perpendicular a una rectacualquiera dada en el plano, todarecta, que pasa por un puntocualquiera de la primera y el puntode de interseccin de las 2ltimas, es perpendicular a la rectadad en el plano.

P.

A. B.

L1

2L

L


Geometra 85


1) desde un punto exterior A,exterior a un plano Htrazamos la perpendicular AOy dos oblicuas MN yAN .Determine la distancia deMN al punto O, si AO = 4m,AM = AN = 5m y MN = 4m.

Rpta.-

2) En la figura AO esperpendicular al plano H, AO =4 , OB = 3 y AD = 29 Hallar el rea del ODB.

Rpta.-

3) En el plano H se tiene unacircunferencia de dimetroPQ , de longitud igual a

50 cm. Por el extremo P se

levanta la perpendicular PA aH; sobre la circunferencia setoma un punto R tal queAR = PQ. Halle AQ, si

14PR = cm.

Rpta.-

4) Sobre un plano se tiene untringulo ABC, por el vrtice A,se traza una perpendicular alplano del tringulo, y en dichaperpendicular se toma unpunto M, luego se trazanperpendiculares AFyAE a

los segmentos MCyMB ,hallar FC, si BM = 30m;EM = 6m, MC = 36m.

Rpta.-

5) La distancia de un punto a unplano es 5m, se toma unpunto P en el plano que dista13m del punto. Hallar ladistancia del punto P, hasta elpie de la proyeccin del primerpunto sobre el plano.

Rpta.-

6) Se tienen 2 rectasperpendiculares contenidas enun plano H, desde el punto deinterseccin de las dos rectas,se traza una tercera rectaperpendicular al plano, a 10mdel pie de sta tercera rectase trazan dos rectas oblicuasa cada una de las 2 rectas del


Geometra 86

plano, la medida de estas 2rectas es 26m y 20m, hallar elrea del tringulo que seforma al unir los puntos deinterseccin de stas tresrectas con el plano.

Rpta.-

7) La recta L1 intercepta al planoH, en el punto P, luego setoma un punto M en dicharecta, por dicho punto se trazauna recta perpendicular alplano que lo corta en el puntoN, si MN = 20cm ; hallar NP, sim NMP = 53

Rpta.-

8) En la figura, hallar el rea deltringulo .PQR si se sabe queAP = 10, AQ = 6 AR = 6 2

P Q

R

A

Rpta.-

9) Sean M y N dos planosparalelos que distan entre si40m. La proyeccin AB (ConA en M y B en N) sobre elplano N mide 30m. Hallar AB.

Rpta.-

10) Se tienen los rayos. BYyAX ,que se cruzan formando unngulo que mide 60 y cuyaperpendicular comn es AB .Sobre AX se ubica el puntoP y sobre BY el punto Qtal que AP = AB = BQ = 4mHallar PQ.

Rpta.-

11) En la figura que se muestrahallar PQ si NM = 4.

P

Q

53

60M

N

Rpta.-


Geometra 87

12) Desde un punto exterior a unplano se trazan 4 lneasoblicuas de 20u cada una, detal manera que sus pies sonlos vrtices de un cuadradocuyo permetro es 40 2 ,hallar la distancia del punto alplano.

Rpta.-

13) Desde un punto exterior a unplano se trazan 2 rectasoblicuas de 11m de longitudcada una de manera que ladistancia entre sus pies es de20m, si el rea de la figuraproyectada sobre el plano esde 40m2 hallar la distancia delpunto hacia el plano.

Rpta.-

14) Desde el punto P, situado a10m de un plano se trazantres lneas oblicuas de 20mcada una, de tal manera quelos pies de estas lneas sonlas vrtices de un tringuloequiltero, hallar el rea deste tringulo equiltero.

Rpta.-

15) Desde un punto exterior a unplano, se trazan dos lneasrectas cuyas longitudes son10m y 20m, sus pies son losextremos de uno de loscatetos de un tringulorectngulo, hallar la distanciaentre dichos pies.

Rpta.-

16) En la figura que se muestraMN = 10; PM = QN = 10,hallar el rea del PBQ, BN = 10.

P

Q

M

N

A

B

Rpta.-

17) Desde un punto Q exterior aun plano se trazan cuatrorectas de 12m cada una, detal manera que sus pies sonlos vrtices de un cuadradocuyas diagonales miden12 3 m. hallar la distancia delpunto hacia el plano:

Rpta.-


Geometra 88

18) Desde un punto exterior a unplano se trazan 2 rectas deigual longitud si la distanciaentre los pies de ambas rectases igual a la mitad de lalongitud de dichas rectas,hallar la distancia del punto alplano, si la proyeccin deestas dos rectas de untringulo equiltero cuya reaes 9 3 m.

Rpta.-

19) La distancia de un punto P alplano H es 20m, desde estepunto se traza una rectaoblicua de 40m, determinar laproyeccin de esta recta sobreel plano.

Rpta.-

20) La distancia de un punto Qhacia un plano U es 40, sidesde este punto se traza unalnea recta oblicua, cuyalongitud es 50m. hallar lamedida de la proyeccin dedicha recta de sobre el plano.

Rpta.-


Geometra 89


1) Por un punto que dista 10m deun plano se traza a l unsegmento OP de 15m.Calcular la longitud del lugargeomtrico de los puntos P.

a) m510 b) m512

c) 20m d) m218

e) m215

2) Un punto P se muevepermaneciendo a 7m de losextremos de AB cuya longitudes de 10m, calcular el rea de lafigura determinada por el lugargeomtrico de los puntos p.

a) 20pim2 b) 24pim2 c) 30pim2

d) 22pim2 e) 318 pim2

3) Se dan 3 planos paralelos P,Q y R, si la distancia entre losplanos P y Q es de 10m yentre Q y R es de 14m,calcular las longitudes enmetros de los segmentos quedeterminan sobre unasecante, tal que el segmentode ella comprendido entre P yR es de 60m.

a) 20 y40 b) 24 y36 c) 25 y35d) 28 y32 e) 30 y30

4) Desde un punto exterior a unplano se trazan 3 oblicuascongruentes de 14m delongitud, de tal manera quesus pies son los vrtices de untringulo equiltero de 27m depermetro, calcular la distanciadel punto al plano.

a) 15m b) 12m c) 11md) 10m e) 13m

5) En un plano H se tiene unacircunferencia de dimetroAB de longitud igual a 12m;por el extremo A se levantala perpendicular AP al planoH, sobre la circunferencia, seubica un punto C, tal quePC = AB. Si AC = 8m, hallarPB.

a) m1416 b) m1412

c) m1410 d) m144

e) m148


Geometra 90

6) La distancia del punto, P delespacio, a un plano H es 15my la proyeccin sobre H de ladistancia de P a la recta Lcontenida en H mide 8m. Ladistancia de P a L es:

a) 17m b) 15m c) 18md) m215 e) 20m

7) Se da un plano A y un puntoexterior M a l desde M setrazan las oblicuas MP = MR =8m y la perpendicular MS sim PMS = m RMS = 30 ym PSR = 36. Hallar PR.

a) 2m b) m)252(

c) m)25( d) m5

e) m)25( +

8) El segmento AB estcontenido en un plano y mide10 3 m. A qu distancia deste plano deber trazarse unplano paralelo por el punto Pde modo que m PAB = 60 ym PBA = 45?

a) m)13(15 b) m)31(15

c) m)13(5 d) m)31(5

e) 15 m3

9) Se tiene un segmento MRtal que MR = 4m, contenidoen un plano P1, S un punto enotro plano P2, . A quedistancia de P1, debe trazarseel plano paralelo P2, para quem SRM = 30 y m RMS =45?a) m)13(2 b) m32

c) m)13(2 + d) 2m

e) 15 m3

10) En 2 rectas que se cruzan, lamas corta distancia es 4m, setoma en un mismo sentido laslongitudes OA = AB = 5msobre la primera yOA = OB = 5m sobre lasegunda, Si AA = 5m CalcularBB.

a) 2m b) 13mc) m132 d) m)232(

e) m134

11) Si CDyAB son 2 rectas quese cruzan en el espacio, sobreAB se toman los puntos E, F yG y sobre CD se toman lospuntos P , I y H de tal maneraque EP es perpendicular aambas rectas e igual a 4m.


Geometra 91

EF = FG = PI = IH = 20m.Hallar GH sabiendo queFI = 5m.

a) m52 b) m132

c) m152 d) m172

e) m72

12) Sean 'C'AyAC dos rectasque se cruzan y son contadaspor 3 planos paralelos en lospuntos respectivos A, B y C yA, B y C, tales que AB=6m ,BC = 12m , BC = 20m yBB = 10M, si la distanciamnima es 'AA , Hallar estadistancia.

a) 8m b) m3 c) 6md) 10m e) 20m

13) El tringulo equiltero ABCesta en un planoperpendicular a un cuadradoABDE, siendo AB el ladocomn del tringulo y delcuadrado si M es punto mediode AC , N punto medio de BDy el rea del tringulo BMN es

2m3 , es el lado delcuadrado mide?

a) m22 b) m102 c) m10

d) m26 e) m24

14) En un plano H se encuentrauna circunferencia de 4,5m deradio, la distancia de P a lacircunferencia es 15m, hallarla menor distancia de P a lacircunferencia.

a) m103 b) m102

c) m10 d) m26

e) m24

15) Desde un punto P se trazaPA perpendicular al plano H,luego se hace pasar por A ,una circunferencia cuyo radiomide 5m, se une P con C, quees un punto de lacircunferencia. Si AB es undimetro, AC = 8m y m BPC es 30, hallar el rea deltringulo PBC.

a) 2m318 b) 2m312

c) 2m336 d) 2m218

e) 2m212


Geometra 92

TEMA: POLIEDROS

EL ESPACIO.- La idea de espacio es abstracta, la vamos a entender como laextensin de cada uno de los puntos inmaginables. Elconjunto de todos los puntos inmaginables, llena el espacioen su totalidad.

EL PLANO.- Nos da la idea de un plano, la superficie de una mesa, lasparedes de una aula, el piso, para determinar un plano slose necesitan tres puntos. Adems se representa mediante uncuadriltero.

B.

C.A.

Plano P

POSTULADOS

1) En todo plano hay infinitos puntos y rectas.


Geometra 93

2) Si dos puntos de una recta estn en un plano todos los puntos de dicharecta estarn tambin en el plano.

B

A

3) Si una recta interfecta a un plano que no la contiene, entonces lainterseccin es un solo punto.

4) Por una recta pasan infinitos planos.


Geometra 94

NGULO DIEDRO

Es la reunin de dos semiplanos no coplanares que tienen como origen unarecta comn, la recta comn se llama arista y los semiplanos, caras delngulo diedro. En la figura se tiene un ngulo diedro de arista AB y caras P yQ, a ste ngulo diedro lo denotaremos por: P AB Q

BQ

P

A

Aris

ta

POLIEDROS

POLIEDRO.-

Es la porcin del espacio limitado por 4 ms polgonos planos nocoplanares, llamados, caras, pueden ser convexos o no convexo.

Poliedro Convexo Poliedro no Convexo


Geometra 95

TEOREMA DE EULER

En todo poliedro se cumple que: El nmero de caras mas el nmero devrtices es igual al nmero de aristas mas dos.

Donde: C = Nmero de Caras

V = Nmero de Vrtices

A = Nmero de Aristas

Propiedad:

Si un poliedro est formado por polgonos de diferente nmero de lados, elnmero de aristas se calcula de la siguiente manera:

Donde:

n1 ,n2 , n3,.. es el nmero de lados de cada polgono

p1 ,p2 , p3,.. es el nmero de polgonos que nos dan.

POLIEDROS REGULARES

Un poliedro es regular, cuando sus caras son polgonos regulares, sloexisten 5 poliedros regulares que son:

C + V = A + 2

2................pnpnp.n

A 332211+++

=


Geometra 96

h a

a

a

a

a

a

a

a

aa

a

a

D

1) TETRAEDRO REGULAR: Es el poliedro que tiene 4 caras iguales, cadauna de las caras es un tringulo equiltero.

rea total. (AT)

3aA 2T =

Volumen. (V)

212a

V2

=

Altura (a)

63ah =

a : longitud de la arista.h: longitud de la altura.

2) HEXAEDRO REGULAR: Es el poliedro que tiene seis caras iguales,cada una de la caras es un cuadrado.

rea total. (AT)

2T a6A =

Volumen. (V)

3aV =

Diagonal (D)

3aD =

a : longitud de la arista.D: longitud de la diagonal.


Geometra 97

a a

a

a

a

aa

a a

D

3) OCTAEDRO REGULAR: Es el poliedro que tiene 8 caras iguales, ycada una de las caras es un tringulo equiltero.

rea total. (AT)

2T a32A =

Volumen. (V)

23

aV3

=

Diagonal (D)

2aD =

a : longitud de la arista.D: longitud de la diagonal.

4) DODECAEDRO REGULAR: Es el poliedro que tiene 12 caras iguales ycada una de estas caras es un pentgono regular.

rea total. (AT)

5525a15A 2T

+=

Volumen. (V)

1052147

2a5V

2 +=

a : longitud de la arista.


Geometra 98

5) ICOSAEDRO REGULAR: Es aquel poliedro que tiene 20 caras iguales, ycada una de las caras es un tringulo equiltero.

rea total. (AT)

3a5A 2T =

Volumen. (V)

2537

6a5V

2 +=

a : longitud de la arista.


Geometra 99


1) Un poliedro est formado por4 tringulos y 5 cuadrilteros,hallar el nmero de caras (C),vrtices (V) y aristas (A).

Rpta.-

2) Un poliedro esta formado por6 tringulos, 4 pentgonos y 7cuadrilteros convexos.Cuntos vrtices tienendicho poliedro?

Rpta.-

3) Un poliedro convexo, estaformado por 2 tringulos, 3cuadrilteros y x polgonosde 11 lados cada uno. Hallarel valor mnimo de x.

Rpta.-

4) Cuantas diagonales tiene undodecaedro regular.

Rpta.-

5) Hallar el rea total de unicosaedro regular, cuya aristamide cm324 .

Rpta.-

6) La diagonal de un cubo mide37 m, hallar el rea total.

Rpta.-

7) El volumen de un cubo es216m3, calcular la diagonal dedicho cubo.

Rpta.-

8) Calcular la altura de untetraedro regular de 12m dearista.

Rpta.-

9) El volumen de un exaedroregular es igual a su diagonalal cubo dividido entre:

Rpta.-

10) El volumen de un tetraedroregular de arista a es:

Rpta.-

11) Una de las caras de untetraedro regular tiene un reade 2m327 , calcular la alturadel tetraedro.

Rpta.-


Geometra 100

12) Un poliedro convexo estaformado por 4 tringulos y 5cuadrilteros. Hallar el nmerode diagonales de estepoliedro:

Rpta.-

13) Cuantas diagonales tiene unicosaedro regular:

Rpta.-

14) la arista de un cubo mide 3cmy la arista de otro cubo mide12 cm. Cul es la razn desus reas totales?

Rpta.-

15) Un poliedro posee 100tringulos, 24 pentgonos, 60hexgonos y 30 enegonos.Cuntos vrtices tiene elpoliedro?

Rpta.-

16) Si un slido de forma cbica deun metro de arista, se divide encubitos de un milmetro de arista,entonces que altura alcanzar unacolumna formada por todos loscubitos unos encima de otros.

Rpta.-

17) Todas las aristas de un cubosuman 48cm. Calcular ladiagonal de dicho cubo.

Rpta.-

18) Hallar el rea de la superficiede un tetraedro regular de 4cm. de arista.

Rpta.-

19) La altura de una de las carasde un tetraedro regular mide

32 encontrar el rea total.

Rpta.-

20) En un cubo de 6m de arista,encontrar la distancia de unode sus vrtices al centro deuna de sus caras opuestas.

Rpta.-


Geometra 101


1) Encontrar el nmero de aristasde un poliedro que estaformado por 8 tringulos, 5cuadrilteros y 6 pentgonos.

a) 17 b) 27c) 37 d) 47e) 57

2) Hallar el volumen de untetraedro regular, si su alturamide 62

a) 218 b) 212c) 29 d) 224e) 215

3) Encontrar el rea total de unoctaedro regular si la altura deuna de sus caras mide 4.

a)3

3100 b)3

3130

c)3

3120 d)3

3125

e)3

3128

4) Encontrar el rea total de uncubo si la diagonal de una de

sus caras mide 2

a) 5 b) 4c) 6 d) 8e) 12

5) Encontrar el nmero de aristasde un poliedro que se encuentralimitado por 5 tringulos, 6cuadrilteros y 7 pentgonos.

a) 41 b) 38c) 48 d) 37e) 35

6) En un cubo de 4cm de arista,encontrar el rea de la regintriangular que se forma al unirtres vrtices del cubo.

a) 2cm28 b) 2cm38

c) 2cm34 d) 2cm216

e) 2cm316


Geometra 102

7) Hallar el volumen de untetraedro regular si el rea dela regin de una de sus carases 34

a) 216 b)2

215

c)3

216 d) 35

16

e) 33

16

8) Cuando se unen los centros delas caras de un cubo, se forma:

a) Un tetraedro regularb) Un icosaedro regularc) Un octaedro regulard) Un dodecaedro regulare) Otro cubo

9) En un poliedro, la suma delnmero de caras vrtices yaristas es 32. Calcule el nmerode aristas de dicho poliedro.

a) 12 b) 13c) 14 d) 15e) 16

10) Hallar el rea de la reginpoligonal obtenida al unir lospuntos medios de las aristasdel cubo tal como se muestraen la figura, el volumen delcubo es 64m3

a) 2m36 b) 2m312

c) 2m324 d) 2m318

e) 2m12

11) Si la arista de un octaedro esel triple de la arista de unicosaedro, la relacin en quese encuentran sus reastotales es:

a) 18/5 b) 12/5c) 16/5 d) 13/5e) 9/5

12) El rea de un tetraedro es336 , hallar la altura de una

de sus caras.

a) 23 b) 33c) 3 d) 2e) 3

13) Hallar el rea total de untetraedro regular. Si la sumade las longitudes de susaristas es 36.


Geometra 103

a) 236 b) 336

c) 36 d) 318e) 18

14) Se tiene un icosaedro regularcuya arista es el doble de laarista de un tetraedro regular,hallar la relacin de las reasde dichos poliedros.

a) 10 b) 15c) 20 d) 30e) 1/10

15) Si la diagonal de un cubo esD , hallar su volumen.

a)9

3D2 b)9

3D3

c)27

3D3 d)12

3D3

e)6

3D3


Geometra 104

Base superior

altura

seccinrecta (SR)

Plano dela base

Base inferiorArista bsica

Arista lateral(a)Cara lateral

B

TEMA: PRISMA

Es el slido que se encuentra limitado por dos polgonos planos congruentesy paralelos entre s, llamados bases y por 3 o ms paralelogramos, llamados,caras laterales.

Clasificacin.

1) Prisma Oblicuo

Cuando las aristas laterales no son perpendiculares a las bases

Frmulas:

rea Lateral

a.PA SRL =

PSR: Permetro de la SR

rea Total (AT)

B2AA LT +=

Volumen (V)

a.AV SR=

TambinhxBV =


Geometra 105

2) Prisma Recto

Cuando las aristas laterales son perpendiculares al plano que contiene ala base, en este caso la arista lateral y la altura coinciden, se utilizan lasmismas formulas anteriores.

B

h


Geometra 106


1) la base de un prisma es untringulo rectngulo de catetos3 y 4 metros respectivamentela altura del prisma es de 10m.calcular el rea lateral.Rpta.-

2) La base de un prismacuadrangular de 52m depermetro es un rombo cuyadiagonal mide 10m, si la alturadel prisma es igual a ladiagonal mayor de la base,hallar el volumen del prisma.Rpta.-

3) Calcular el rea lateral de unprisma cuadrangular de 8m dealtura, sabiendo que la basees un trapecio issceles cuyasbases miden 6 y 14 metros ycuya altura mide 3m.Rpta.-

4) El volumen y el rea lateral deun prisma triangular son de50m3 y 200m2,respectivamente. Calcular elradio de la circunferenciainscrita en la base del prisma.Rpta.-

5) El largo de un paraleleppedorectangular es el triple de laaltura y el ancho es el doblede la altura, si la diagonal

mide m142 , el volumen delparaleleppedo es:

Rpta.-

6) Las dimensiones de una cajitade fsforos son a, b , y c. Si a+ b + c = 12 cm. y

2222 cm56cba =++ ,calcular el rea total de lacajita.

Rpta.-

7) Las aristas de la base de unparaleleppedo rectangularson 8 m y 6 m,respectivamente, la diagonaldel paraleleppedo forma unngulo de 37 con respecto alplano de la base. Calcular elrea de la superficie lateral delparaleleppedo.

Rpta.-


Geometra 107

8) La base de un prismatriangular es un tringuloequiltero de 2m de lado. laaltura del prisma es 10 m.calcular el volumen delprisma.Rpta.-

9) Calcular el volumen de unprisma hexagonal regular cuyabase tiene un permetro de 24m y su altura es 12 m.Rpta.-

10) La base de un prisma recto esun cuadrado de 4 cm. de lado,la altura mide 6 cm. el realateral del prisma es:Rpta.-

11) En un paraleleppedorectangular, la base es uncuadrado de 2 m de lado y laaltura mide 1m. Cunto midela diagonal?Rpta.-

12) Calcular el rea total de unprisma triangular de 2,5 m dealtura, si la base es untringulo cuyos catetos miden3 y 4m.Rpta.-

13) La arista bsica de un prismacuadrangular regular mide 12m y su altura mide igual alsemipermetro de la base.Calcular el rea lateral delprisma.Rpta.-

14) Calcular el volumen de unprisma recto de altura igual a12 m si su base es untringulo rectngulo cuyoscatetos miden 8 y 6 .Rpta.-

15) Calcular el rea total de unprisma cuadrangular regularde 30m de altura, si ladiagonal de la base mide

m210 .Rpta.-

16) El permetro y el rea de unade las caras de unparaleleppedo rectangularmiden respectivamente 34 m y60m2. Calcular el volumen delslido, si la suma de susdiagonales es 340m.Rpta.-


Geometra 108

17) Un lingote de oro que contiene0,45 m3 del precioso metal, selamina convirtindolo en unaplancha de 3 cm. de espesor y2,8 m de ancho Cul ser lalongitud de la plancharesultante?

Rpta.-

18) Calcular el volumen de unprisma oblicuo triangular cuyaseccin recta es un polgonocircunscrito a un crculo deradio 10 cm y el rea lateraldel prisma mide 22 cm2.

Rpta.-

19) La base de un tronco deprisma recto es un cuadradocuyo lado es 10 m y la otrabase es un paralelogramo.Cul es el volumen deltronco si sus aristas son 4 , 6y 10m ?

Rpta.-

20) La altura de un prisma rectomide 6m; su base es unrectngulo, en el que cadauno de sus lados es el dobledel contiguo, el rea total es144m2 Cual es la longitud deuna de las diagonales delprisma.

Rpta.-


Geometra 109


1) Encontrar el rea lateral de unprisma triangular regular, suarista lateral mide 4 y su aristabsica mide 2.

a) 12 b) 10 c) 18d) 24 e) 30

2) La base de paraleleppedorecto es un cuadrado de 2mde lado, su altura es igual alpermetro de la base. Hallar suvolumen.

a) 16cm3 b) 9cm3 c) 30cm3

d) 32cm3 e) 18cm3

3) Encontrar el volumen de unprisma hexagonal regular, sualtura es igual al radio R dela circunferencia circunscrita ala base.

a) 2R23 b) 3R

233

c) 3R3 d) 3R3

32

e) 3R3

34

4) El volumen de paraleleppedorectangular es 128, el mayorlado de la base es igual aldoble del otro lado, adems laaltura es igual al menor lado

de la base. Hallar el rea totaldel paraleleppedo.

a) 128 b) 180 c) 140d) 150 e) 160

5) El volumen de un prismatriangular regular es 390 , sualtura mide 10. Encontrar ellado de su base.

a) 4 b) 5 c) 6d) 8 e) 2

6) La altura de un prismatriangular regular mide 33 ,el desarrollo de su superficielateral es un rectngulo cuyadiagonal mide 6, hallar suvolumen.

a)281 b)

481 c)

381

d)581 e)

681

7) Encontrar el volumen de unparaleleppedo rectangular,las diagonales de sus carasmiden 74y58,34 .

a) 75 b) 85 c) 95d) 100 e)105


Geometra 110

8) El rea lateral de un prismahexagonal regular es 864, suscaras laterales son cuadrados.Hallar el volumen del prisma.

a) 2592 b) 2590c) 3024 d) 32592

e) 32488

9) Las aristas laterales de unprisma oblicuo miden 20 y conel plano de la base forman unngulo que mide 60, Cuantomide la altura del prisma.

a) 210 b) 310 c) 5d) 10 e)15

10) Las caras laterales de unprisma regular son cuadrados,si su rea lateral es 108.Encontrar el volumen delprisma.

a) 318 b) 332 c) 336

d) 354 e) 312

11) Una de las caras laterales deun prisma triangular tiene porrea igual a 24, la distancia deesta cara a la arista lateralopuesta es 6 hallar el volumendel prisma.

a) 60 b) 74 c) 72d) 64 e) 80

12) Los lados de la base de unparaleleppedo rectangularmiden 3 y 4, su diagonal mide13. Hallar el volumen delparaleleppedo.

a) 140 b) 124 c) 145d) 136 e) 144

13) Calcular el volumen de u

PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 3°

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