12/07/2013

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Objetivos:

• Conocer el concepto de sistema de numeración.

• Identificar los tipos de sistemas de numeración.

• Realizar conversiones entre las bases de numeración más comunes.

Universidad Católica de El Salvador

Facultad de Ingeniería y Arquitectura

Programación I, Sección A

Docente: Ma. Ing. Giovanni Acosta

NÚMERO VS. NUMERAL

Un número es una entidad abstracta que representa una magnitud.

El símbolo de un número recibe el nombre de numeral.

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¿QUÉ ES UN SISTEMA DE NUMERACIÓN?

Un sistema de numeración es la combinación de un

conjunto de símbolos y reglas para representar, o

nombrar, números o cantidades.

CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Sistemas de numeración

Posicionales: el valor de un dígito depende

tanto del símbolo utilizado, como de la

posición que ése símbolo ocupa en el

número.

Ejemplo:

97510

No-posicionales: los dígitos tienen el valor del símbolo utilizado, que no depende de la posición que ocupan en

el número.

Ejemplo:

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¿QUÉ NÚMERO O CANTIDAD REPRESENTA?

Sistemas de numeración no posicionales

¿QUÉ NÚMEROS QUEREMOS REPRESENTAR?

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¿QUÉ NÚMERO QUEREMOS REPRESENTAR CON LA SIGUIENTE TIRA DE SÍMBOLOS?

¿Será correcto lo anterior?

CLARO EL NÚMERO REPRESENTA…

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CLARO EL NÚMERO REPRESENTA…

La interpretación depende del valor de cada símbolo, y de la posición que ocupa.

SISTEMA NUMÉRICO DECIMAL

En el sistema decimal, la posición de cada símbolo lo relaciona con una

potencia de 10.

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TEOREMA FUNDAMENTAL DE LOS NÚMEROS

Se trata de un teorema que relaciona una cantidad expresada en

cualquier sistema de numeración posicional con la misma cantidad expresada

en el sistema decimal.

N es el valor de la cantidad que queremos expresar en el sistema de numeración decimal,

k es el número de dígitos de la parte entera del número.

j es el número de dígitos de la parte fraccionaria del número.

B es la base del sistema de numeración en que está expresado el número.

SISTEMAS NUMÉRICOS

Un sistema numérico consiste de un conjunto ordenado de símbolos, llamados

dígitos, con relaciones definidas entre ellos:

Suma (+)

Resta (-)

División (/)

Multiplicación (*)

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DEFINICIÓN

La base r en un sistema numérico, define el número de dígitos del sistema

numérico.

Ejemplos:

Base r Número de dígitos Dígitos

10 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

8 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

2 2 0, 1

NOTACIÓN YUXTAPOSICIONAL

En general un número N, en base r, se puede representar en notaciónyuxtaposicional (posicional) de la siguiente manera:

Una yuxtaposición consiste en poner un símbolo al lado de otro, y al finalponer un subíndice de la base: 1068

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NOTACIÓN POLINOMIAL

Un número N escrito en representación yuxtaposicional, puede ser escrito enforma polinomial, de la siguiente manera:

Se representa la cantidad usando un polinomio. Se puede omitir los ceros. Larepresentación polinomial de 410710 es:

4 x 103 + 1 x 102 + 0 x 101 + 7 x 100 = 410710

SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Sistemas de uso común en el diseño de

sistemas digitales

• Decimal

• Binario

• Octal

• Hexadecimal

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SISTEMA DECIMAL

Sistema de numeración que se compone

de diez símbolos o dígitos (0, 1, 2, 3, 4,

5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valor

dependiendo de la posición que ocupen

en la cifra: unidades, decenas, centenas,

millares, etc. Donde la Base a que usa es

la 10.

Por ejemplo el número 52810 significa:

5 centenas + 2 decenas + 8 unidades

500 + 20 + 8, en notación polinomial: 5 x 102 + 2 x 101 + 8 x 100 = 52810

SISTEMA BINARIO

Sistema de numeración que utiliza sólo dos dígitos, el

cero (0) y el uno (1), donde estos tienen distinto valor

dependiendo de la posición que ocupen. Usando la

potencia de base 2.

Por ejemplo el número 1012

en notación polinomial: 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 = 1012

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CONVERSIÓN DE DECIMAL A BINARIO

Para convertir un número decimal al sistema binario, se puede realizar el

siguiente procedimiento:

Realizar divisiones sucesivas entre 2 y colocar los restos obtenidos, en

cada una de ellas.

Para formar el número binario se toman los restos en orden inverso al que

han sido obtenidos (de mayor a menor peso).

CONVERSIÓN DECIMAL A BINARIO

249 2

124

62

31

15

7

3

1

0

1

0

0

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

a0

a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

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PENSANDO EN BINARIO

EJERCICIOS

Convertir las siguientes cantidades de decimal a binario:

1. 57

2. 89

3. 135

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SISTEMA OCTAL

En el sistema octal, los números se representan mediante ocho dígitos

diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. El valor de cada una de las posiciones viene

determinado por las potencias de base 8.

La conversión de un número decimal a octal, se realiza de la misma manera

que la conversión a binario, la diferencia es que se emplea como base el

número 8 en lugar del 2, colocando los restos obtenidos en orden inverso

(de mayor a menor peso).

CONVERSIÓN DECIMAL A OCTAL

249 8

31

3

0

1

7

3

8

8a0

a1

a2

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EJERCICIOS

Convertir las siguientes cantidades de decimal a octal:

1. 79

2. 134

3. 456

SISTEMA HEXADECIMAL

En este sistema, los números se representan con dieciséis símbolos: 0, 1, 2, 3,

4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F

representando las cantidades decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15

respectivamente, porque no hay dígitos mayores que 9 en el sistema decimal.

El valor de cada uno de estos símbolos depende, como es lógico, de su

posición, que se calcula mediante potencias de base 16.

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SISTEMA HEXADECIMAL

CONVERSIÓN DECIMAL A HEXADECIMAL

876 16

54

3

0

C

6

3

16

16a0

a1

a2

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EJERCICIOS

Convertir las siguientes cantidades de decimal a

hexadecimal:

1. 1345

2. 874

3. 911

INVESTIGAR

¿Cómo convertir de binario a decimal, octal a decimal y hexadecimal a

decimal?

¿Cómo convertir de binario a hexadecimal?

¿Cómo convertir entre cualquier base de numeración?