227

ANEXO 1

GUÍA DE EXÁMENES Y PRÁCTICAS

PRIMER EXAMEN PARCIAL TIPO RESUELTO

1.- Resolver │x + 2│ + │x - 2│ 12

│x + 2│ 12 - │x - 2│

- 12 + │x - 2│ x + 2 12 - │x - 2│

│x - 2│ x + 14 x - 10 - │x - 2│

- x - 14 x - 2 x + 14 - x + 10 │x - 2│

x + 10 x - 2 x - 10

- 12 2x x x + 16 12 2x x x - 8

x - 6 x ε R x 6 x ε R

La intersección de soluciones en ambos casos nos da:

x - 6 x 6

Solución final, intersección de soluciones

- 6 x 6

En la recta real

-8 -7 -6 0 6 7 8

2.- Hallar el siguiente límite 100

501

2 1lim

2 1x

x x

x x

100

501

1 2 2lim

1 2 2x

x x

x x

=

99 98

49 481

( 1) .... 1 2( 1)lim

( 1) .... 1 2( 1)x

x x x x

x x x x

99 98 99 98

49 48 49 481 1

( 1) .... 1 2 .... 1 2lim lim

( 1) .... 1 2 .... 1 2x x

x x x x x

x x x x x

228

100 2 98 49

50 2 48 24

3.- Encontrar

202

102 3

2lim

12 16x

x x

x x

Respuesta

20 20 20

10 20 102 22

( 2)( 1) ( 2) ( 1)lim lim

( 2) ( 4)( 2) ( 4)x x

x x x x

x xx x

1020 20 10 10

10 10 10 102

( 1) 3 3 3 3lim

2( 4) 6 2 3x

x

x

4.- Hallar asíntotas, determinar simetría y graficar

2 2

( 2)

xy

x x

Respuesta

x = 0 ; x = 2 Son asíntotas verticales

2lim 0

( 2)x

x

x x

y = 0 es asíntota horizontal

No existe asíntota oblicua

2 2

( )( 2)

xy

x x

Es simétrica respecto al eje x

229

2 2

( 2)

xy

x x

No es simétrica respecto al eje y

2 2

( )( 2)

xy

x x

No es simétrica al origen

x y

3 ±1.29

-1 ±0.57

5.- Derivar tan 10

2 4sin 3

3 2

xx

yx

2 4sin 3

ln (tan 10)ln3 2

xy x

x

230

2 42

2 4

14 4 3 2 4 2

1 sin 3 1sec ln (tan 10)

3 2 sin 3

3 2

12sin3 cos3 12 3 2 sin 3 3 2 3

23 2

dy xx x

y dx x x

x

x x x x x x

x

2 42

2 4

2 4 tan 103 4 4 2 4

32

sin 3 1sec ln (tan 10)

3 2 sin 3

3 2

3sin 3

24 sin3 cos3 sin 32

3 2 3 2(3 2)

x

dy xx x

dx x x

x

xx x x x

x xx

PRIMER PARCIAL COMÚN (Semestre I/2005)

1.- Resolver a) 0152 345 xxx

0)3)(5(

0)152(

3

23

xxx

xxx

Solución (-∞, -3) U (0, 5)

b) 0152 345 xxx

) ) (

0 5 -3

V V F

231

0)3)(5(

0)152(

3

23

xxx

xxx

Solución (-3, 0) U (5, ∞)

2.- Determinar el dominio Df de la función a)

x

xxy

1

2arccos1

Como x1 es siempre positiva, la parte x1 siempre existe.

Para el arccos debe cumplirse que: 11

21

x

x

Para la desigualdad de la derecha

01

10

1

1201

1

2

x

x

x

xx

x

x

1101

101

x

xx

xx

1101

101

x

xx

xx

La unión de estas soluciones será:

A) (-∞, -1) U (1, ∞)

Para la desigualdad de la izquierda

01

130

1

121

1

20

x

x

x

xx

x

x

101

3

1013

xx

xx

) ( (

0 5 -3

F V V

[ [

1 -1

] ]

1 -1

[ ]

1 -1

[ ]

-1 -1

3

232

3

11

101

3

1013

x

xx

xx

La unión de estas soluciones será:

B) (-1, -1/3)

La solución final es A) ∩ B)

b)

x

xxy

1

2arccos16 2

4416016 22 xxx

C)

La solución final será la B) ∩ C)

3.- Hallar a)0

0

2

sin1lim

2

x

x

x

Sea

02

22

uxsi

uxxu

] [

-1

3 -1

] [

-1

3 -1

] [

4 -4

] [

-1

3 -1

] [

-1

3 -1

233

0cos1

limsin)0(cos)1(1

lim

sin2

coscos2

sin1

lim2

sin1

lim

00

00

u

u

u

uu

u

uu

u

u

uu

uu

b) 0

0

5cos1

3cos1lim

0

x

x

x

25

9

2

2

1

1

25

9

3cos1

5cos1

5

5sin

3

3sin

25

9lim

3cos1

5cos1

5sin

3sinlim

3cos1

5cos1

5cos1

3cos1lim

5cos1

5cos1

3cos1

3cos1

5cos1

3cos1lim

2

2

2

2

02

2

0

2

2

00

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xx

xx

4.- Hallar

x

xxx

x

csc1cot1lim

31

0

x

xx

x

x

xx

cotcsclim

11lim

0

3

0

xx

x

xxxx

xx

x

x

xx sin

cos

sin

1lim

111

11111

lim0

31

32

31

32

3

0

xx

x

xxx

x

xx sin

cos1lim

111

11lim

03

13

20

xx

x

xxxx sin

1cos1lim

111

1lim

03

13

20

3

1

0

10

111

1lim

0x

234

5.- a) Determinar asíntotas y graficar: 65

12

xx

y

Asíntotas Verticales 1;60)1)(6( xxxx

Asíntota Horizontal 0065

1lim

2

y

xxx

x y

0 -1/6

2 1/8

-7 1/8

b) Determinar asíntotas y graficar: 54

12

xx

y

Asíntotas Verticales 1;50)1)(5( xxxx

Asíntota Horizontal 0054

1lim

2

y

xxx

235

x y

0 -1/5

2 1/7

-6 1/7

PRIMER EXAMEN PARCIAL TIPO PROPUESTO

1.- Resolver │2x² - 3│ 4x + 3

2.- Hallar 3 33 3lim 1

xx x x

3.- Demostrar el siguiente límite

0

sec2 tan 2lim 2x

x x

x

4.- Determinar simetrías, asíntotas y graficar

2

5

8 15y

x x

5.- Derivar 4cos

4 2

3

4 3

cot

x

x xy

x

236

SEGUNDO EXAMEN PARCIAL TIPO. RESUELTO

1.- En un montón de forma cónica se deja caer arena a razón de 10

m3/min. Si la altura del montón es dos veces el radio de la base, ¿a qué

rapidez aumenta la altura, cuando el montón tiene 8 m de alto?

El volumen del cono viene dado por: 2

2

3

1 1

3 2 3 2

1

12

h hV r h pero r V h

V h

2 2

2

43 1

12 4

dV

dV dh dh dh dth hdt dt dt dt h

Si h=8

2 2

410(4) 5

8 min(8)

dV

dh mdt

dt h

2.- Hallar máximos, mínimos, puntos de inflexión y graficar

4 32y x x

3 2 24 6 2 (2 3) 0dy

x x x xdx

Valores críticos 3

0 ;2

x x

dV/dt=10m3/

min

r

h

237

2''( ) 12 12

''(0) 0

3 9 3'' 12 12 9 0

2 4 2

f x x x

f

f

Existe un mínimo para x = 3/2 ; y = -1.69

Para hallar los puntos de inflexión igualamos la segunda derivada a cero 212 12 0 ( 1) 0

0 ; 1

x x x x

x x

Los puntos de inflexión serán:

0 0

1 1

x y

x y

Con lo cual obtenemos la siguiente gráfica:

3.- Encontrar

2 2

1

( 1)dx

x

Sea 2tan secx dx d

α

1

x

238

22

2 2 2 2 4

2

2

1 1 secsec

( 1) (tan 1) sec

1 1 cos2 1 cos2cos

2 2 2sec

dx d dx

d d d d dx

sin 2

2 4C

2 2

arctan sin 2 2sin cos

1sin cos :

1 1

como x y

xtenemos

x x

arctan 2sin cos arctan 1sin cos

2 4 2 2

x xC C

2 2

2

arctan 1 1

2 2 1 1

1arctan

2 1

x xC

x x

xx C

x

4.- Hallar 2

4 2

2 7

2 1

x xdx

x x

2

2 2 2 2 2

2 7

( 1)( 1) ( 1) ( 1)

x x Ax B Cx Ddx dx dx

x x x x

2

2 2 2 2 2

2 2

2 7

( 1) ( 1) ( 1)

2 7 ( )( 1) ( )

x x Ax B Cx D

x x x

x x Ax B x Cx D

2 3 2

2 3 2

2 7

2 7 ( )

x x Ax Ax Bx B Cx D

x x Ax Bx A C x B D

Igualando coeficientes se tiene:

239

0 1

2 2

7 7 1 6

A B

A C C

B D D

2 2 2

2 2 2 2 2

1 2 6

( 1) ( 1)

1 2 16

( 1) ( 1) ( 1)

xdx dx

x x

xdx dx dx

x x x

La primera y segunda integral se resuelven mediante las fórmulas 15 y 1

respectivamente, observe que la última integral, es la misma que la de la

pregunta 3, por tanto:

2 2

2 2

1 1arctan 6 arctan

21 1

1arctan 3 arctan

1 1

xx x C

x x

xx x C

x x

5.- Encontrar

2sin cos

3 3

x xdx

Sabemos que:

sin cos sin( ) sin( )

Por tanto:

2 1 2 2sin cos sin sin

3 3 2 3 3 3 3

1 1sin sin cos 3cos

2 3 2 3

x x x x x xdx dx

x xx dx x C

240

SEGUNDO EXAMEN PARCIAL TIPO. PROPUESTO

1.- Hallar máximos, mínimos, puntos de inflexión y graficar

4 22 4y x x

2.- Hallar las dimensiones del mayor rectángulo que puede inscribirse en

la elipse(1)

2 2

2 21 . 2, 2

x ySol a b

a b

3.- Integrar

3

5x dx

4.-Encontrar

2

1

2 12 4dx

x x

5.- Hallar

3

1

11

dx

xx

Sugerencia: Cambio de variable

EXAMEN FINAL TIPO. RESUELTO

1.- Resolver 2

2

2

2 2

4 7 30

( 3)( 4 8)

4 7 30

3( 3)( 4 8) 4 8

x xdx

x x x

x x A Bx C

xx x x x x

1 GRANVILLE-SMITH-LONGLEY,Cálculo diferencial e integral, 1977, Ed. UTEHA Pag. 76

241

2 2

2 2

4 7 30 ( 4 8) ( )( 3)

( 3)( 4 8) ( 3)( 4 8)

x x A x x Bx C x

x x x x x x

2 2 2

2 2

4 7 8 4 8 3 3

4 7 8 ( ) (4 3 ) (8 3 )

x x Ax Ax A Bx Bx Cx C

x x A B x A B C x A C

3

36 21 30 (9 12 8)

45 (5) 9

Si x

A

A A

4 5

7 4 3

30 8 3 (30 72) / 3

14

A B B

A B C

A C C

C

2

2

9 5 14

3 4 8

282 4 4

5 59ln 32 4 8

xdx dx

x x x

xx dx

x x

2 2 2 2

85 2 4 5 59ln 32 24 8 4 2 2

xx dx

x x x x

2

2 2

59ln 3 ln 4 8 4

2 ( 2) 2

dxx x x

x

25 29ln 3 ln 4 8 2arctan

2 2

xx x x C

2.- Hallar el área encerrada por la curva 31 ( 3)y x , el eje x y

las rectas x =1 ; x = 4

Graficando se tiene:

242

El gráfico muestra la necesidad de evaluar dos integrales

2 22 2

1

1 1

(1 ( 3) ) ( 6 8)A x dx x x dx

23 2

1

1

6 8 18 3 8

3 2 3 12 16 3

x xA x

1

8 1 7 44 5 1

3 3 3 3A

Donde el signo negativo indica que el área se encuentra debajo del

eje x 4 4

2 22

2 2

(1 ( 3) ) ( 6 8)A x dx x x dx

43 2 3

22

2

6 4 88 3 4 32 12 16

3 2 3 3

x xA x

2

64 8 56 60 416 4

3 3 3 3 3A

El área total es la suma del área 1 mas el área 2

1 2

4 4 8

3 3 3A A A

3.- Encontrar la siguiente integral

A1

A2

243

7 41x x dx

4 4 31x x x dx

4 31 4Sea u x du x dx

3 12 2

1( 1)

4 4

duu u u u du

5 32 2

1 2 2

4 5 3u u C

5 3

4 42 21 1

10 6

x xC

4.- Evalúe la siguiente integral impropia 8

30

1dx

x

8 8 81 1

3 33 0

0 0

1lim

uu

A dx x dx x dxx

82 2 2

3 3 3

0 0

3 3lim lim 8

2 2u uu

A x u

23

34 0 6

2A

5.- Hallar 3 4sin 2 cos 3x x dx

3 4 1sin 2 cos 3 (2sin 2 cos3 )(2sin 2 cos3 ) sin 2

4x x dx x x x x x dx

Como 1 1

sin cos sin( ) sin( )2 2

2sin 2 cos3 sin(2 3 ) sin(2 3 )

2sin 2 cos3 sin5 sin( ) sin5 sin

x x x x x x

x x x x x x

Entonces

244

23 4 1

sin 2 cos 3 sin5 sin sin 24

x x dx x x x dx

1(sin5 sin5 2sin5 sin sin sin )sin 2

4x x x x x x x dx

Como 1 1

sin sin cos( ) cos( )2 2

Entonces

1 1sin5 sin5 cos10

2 2

1 1sin sin cos2

2 2

1 1sin5 sin cos4 cos6

2 2

x x x

x x x

x x x x

1 1 1 1 1cos10 cos4 cos6 cos2 sin 2

4 2 2 2 2x x x x x dx

2 2 2sin 2 sin 2 cos10 sin 2 cos4 sin 2 cos6

1 4 2 2

24sin 2 cos2

4

x x x x x x x

dx

x x

Como 1 1

sin cos sin( ) sin( )2 2

Entonces

2sin 2 cos10 sin12 sin8

2sin 2 cos4 sin6 sin 2

2sin 2 cos6 sin8 sin 4

2sin 2 cos2 sin 4

x x x x

x x x x

x x x x

x x x

245

1 1

sin 2 sin12 sin8 (sin 6 sin 2 )1 4 2

1 14(sin8 sin 4 ) sin 4

2 4

x x x x x

dx

x x x

1 2 1 1 sin12 1 cos6sin 2 sin 2

4 2 2 16 12 8 6

1 1 2 1 2 1sin8 sin8 sin 4 sin 4

4 4 4 4 4 4

x xx x dx

x x dx x x dx

1 3 sin12 cos6 3 3

sin 2 sin8 sin 44 2 192 48 16 16

x xx dx x dx x dx

3 cos2 sin12 cos6 3 cos8 3 cos4

8 2 192 48 16 8 16 4

x x x x xC

3 sin12 cos6 3 3cos2 cos8 cos4

16 192 48 128 64

x xx x x C

246

EXAMEN FINAL TIPO. PROPUESTO

1.- Resolver 2

3

2 3 8

4

x xdx

x x

2.- Hallar el área comprendida entre

; 1 2 ;y x y y el eje y

3.- Hallar la siguiente integral

4 2

1dx

x x

4.- Resuelva la siguiente integral impropia 3

2

0

1

( 2)dx

x

5.- Hallar

sin sin sin2 3

x xx dx

247

PRÁCTICAS

PRÁCTICA # 1

Resolver las siguientes inecuaciones:

1.- Solución x < -3 ∨ x > 2

2.-

3.- Solución -5 < x < 0 ∨ x > 1

4.-

5.-

Solución 0 < x < 8

6.- | |

7.- | | Solución x ≤ 19/5 ∨ x ≥ 5

8.-

| |

9.- | | | | Solucion

10.-

|

|

Determinar simetría, intersecciones con los ejes y graficar las siguientes

ecuaciones

11.- 12.-

13.- 14.-

15.- 16.-

Graficar las siguientes ecuaciones en un solo gráfico

248

PRÁCTICA # 2

Resolver los siguientes límites

√

√ √

√

√

(√ )

11.- Para cualquier ε > 0, hallar un δ > 0 tal que;

│f(x) - L│ < ε siempre que 0 <│x - c│< δ

si 453lim3

xx

12.- Si 852lim2

xx

y ε= 0,002 Hallar δ

Determinar asíntotas simetría y graficar

√

√

20.- 22 xexy

Encontrar, si existen, los siguientes límites:

249

(

)

Usar la ley del emparedado para demostrar los siguientes límites

| |

PRÁCTICA # 3

Derivar las siguientes funciones;

√ √ √

√

√

√

√

√

√ √

√

250

√

√

√

√

(

)

Hallar dy/dx y dx/dy si:

√ √

√

Hallar la primera derivada de las siguientes funciones

(

√ )

( √

√ )

251

(

)

(

√ )

PRÁCTICA # 4

En los ejercicios del 1 al 7, determinar los extremos relativos, puntos de

inflexión y graficar. 2

1.- f(x) = x3 – 2x

2 - 9 Resp. Max.Rel. (0, -9); Min.Rel.(4/3, -10.185)

Inflexión (2/3, -9.59)

2.- f(x) = x1/3

- 9

3.- f(x) = (x2 – 2x + 1) / (x + 3) Resp.(-7, -32/3) Máximo Relativo

(1, 0) Mínimo Relativo

4.- Hallar a, b ,c y d tales que la función f(x)=ax3 + bx

2 + cx +d tenga un

mínimo relativo en (0,0) y un máximo relativo en (2,2).

Resp. a = -1/2 ; b =3/2 ; c = d = 0.

5.-

6.-

7.-

Resp. (0, 0) Punto de Inflexión

8.- Un fabricante ha calculado que el costo total c de la explotación de una

cierta instalación esta dado por c = x2 + 15x + 3000, donde x es el número

de unidades producidas. ¿A qué nivel de producción será mínimo el costo

medio por unidad? (El costo medio por unidad viene dado por c/x)

En los ejercicios 9 al 14 determine los extremos absolutos de la función en

el intervalo indicado.

2 Larson Hostetler, Cálculo y Geometría Analítica 1987 Pags. 178, 185

252

9.- f(x) = x2 (x

2 – 2) + 1 en [-3, 1]

10.- 2

( )2 2

xf x

x x

en [-3, 0]

Resp. Máximo (0, 0). Mínimo (-√2, -(√2+1)/2)

11.- f(x) = 2ln (1 + x2) + 2 en [0, 2]

12.- f(x) = arctan (1 + x2 ) en [0, 1]

13.- f(x) = -ln (1 + x2 ) en [-2, 3]

14.- Hallar los extremos, puntos de inflexión y graficar 2

3

)1(

x

xy

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

15.- Una huerta rectangular ha de proyectarse al lado del solar de un

vecino y ha de tener un área de 10800 m2. Si el vecino paga la mitad de la

cerca medianera. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la huerta para que el

costo de cercarla sea para el dueño de la huerta mínimo? 3

Resp. 90 x 120 m.

16.- Hallar el área del mayor rectángulo, con lados paralelos a los ejes

coordenados, que puede inscribirse en la figura limitada por las dos

parábolas 3 y = 12 – x2 ; 6 y = x

2 – 12 Resp. 16

17.- Un muro de tres metros de altura, está cuatro metros delante de un alto

edificio. ¿Cuál es la longitud de la escalera más corta que pasa sobre el

muro y se apoy a en el edificio? Escoja como variable independiente el

ángulo que forma la escalera con el suelo.

18.- Tres lados de un jardín rectangular de 75 m2 necesitan ser cercados

por una pared de ladrillo que cuesta 100 Bs. por metro lineal. El lado

restante debe tener una cerca de madera que cuesta 50 Bs por metro lineal.

Hallar las dimensiones del jardín tal que el costo de los materiales sea

mínimo.4

3 GRANVILLE, SMITH, LONGLEY, Cálculo diferencial e integral, Ed.UTEHA México 1963 Pag.74 4 PINO, PHILLIPS, DIAZ, Calculus Amabilis, Universidad Católica 2002 Pag. 199

253

19.- De una hoja de cartón cuadrada que mide cuatro metros de lado se van

a recortar pequeños cuadrados de las esquinas para, después de doblar las

partes salientes de la figura en forma de cruz y hacer una caja. Encuentre la

longitud de los lados de los cuadrados por recortar para que la caja

resultante tenga la mayor área lateral posible.

20.- Determinar el área máxima de un rectángulo inscrito en la parábola 29 xy que tiene como base al eje x

21.- Hallar los puntos de la gráfica y = 4 – x2 que quedan más próximos al

punto (0,3)

22.- La fórmula para la potencia P de una batería está dada por

P = VI – RI2, donde V es el voltaje, R la resistencia e I la intensidad. Hallar

la intensidad (medida en amperios A) que corresponde a un máximo de P

en una batería en que V = 12 Voltios y R = 0,5 ohms.

23.- Se disponen de 20 metros de alambre para formar un círculo y un

triángulo equilátero, cuanto alambre debe utilizarse para el construir el

círculo y el cuadrado si se desea que el área total de las dos figuras sea: a)

un máximo b) un mínimo. Resp. b) 20 metros para el círculo

24.- El costo de construcción de un edificio destinado a oficinas es de

50000.- $us para el primer piso, 52500.- $us para el segundo, 55000.-$us

para el tercero y así sucesivamente. Otros gastos; terreno, planos,

cimentación, etc. Son de 350000.- $us. La renta anual neta es de 5000.- $us

por cada piso. ¿Cuántos pisos darán el más alto tipo de interés para la

inversión? Resp. 17 pisos 5

PRACTICA # 5

VARIABLES RELACIONADAS

1.- Una piedra que se deja caer en un estanque, en el momento t = 0,

ocasiona una onda circular que se aleja del punto del impacto a 2 m/seg. ¿A

qué razón aumenta el área interior del círculo cuando t = 8 seg

2.- Un automóvil viaja a 100 km/hora cuando de improviso el conductor

aplica los frenos (s = 0, t = 0). La función de posición del automóvil al

5 GRANVILLE, SMITH, LONGLEY. Calculo diferencial e integral, Edit. UTEHA 1963 Pag. 88

254

patinar es de s = 100 t – 5t2

¿Cuánto tiempo y a que distancia patina el

automóvil antes de que acabe de detenerse

3 En 2012, cierta ciudad tenía una población en miles dada por la fórmula

P = 100(1+0,04 t + 0,003 t2 ), con t en años y t = 0 correspondiente a 2010.

a) ¿Cuál es la razón de cambio de P en 2017? b) Cuál es la razón de cambio

promedio entre de P entre 2015 y 2021?

4.- Un triángulo rectángulo, isósceles tiene la hipotenusa de 5 cm y su

cateto está aumentando a razón de 2 cm/min. Calcule la rapidez a la que

está aumentando el área del triángulo cuando el cateto mide 10 cm.

5.- La arista de un cubo se expande a razón de 2 cm/seg ¿A qué velocidad

cambia el volumen cuando la arista tiene? a) 5 cm b) 10 cm

6.- Un avión vuela a 31680 pies de altura, pasando la trayectoria de vuelo

exactamente sobre una antena de radar. El radar detecta el avión y calcula

que la distancia s al avión cambia a razón de 4 millas/min. Cuando tal

distancia es de 10 millas. Calcular la velocidad del avión en millas por

hora.

Mediante iteraciones de Newton hallar una raíz real de las siguientes

ecuaciones

√

Respuesta x =0,892414

x

s

255

13) La siguiente ecuación tiene una raíz comprendida entre 3 y 4,

encontrar la misma

⁄ Respuesta x = 3,413009825

Mediante la regla de L’Hopital hallar los siguientes límites

⁄

⁄

PRÁCTICA # 6 Resolver las siguientes integrales

dxx 4)7(8)1 dxxx 9)1(9)2

dxxx 71)3 3 2

dxxx )4()1()4 52

dxxx 32 )311(9)5 2 3 1/36) 4 (3 6)x x dx

dxx

x 228

7)7

2 4

98)

(1 )

xdx

x

256

∫

( ) ∫

∫ √ (

⁄ ) ∫

√ ( √ )

∫(

)

∫

Graficar las funciones en el intervalo dado y demostrar las siguientes

integrales definidas:

∫

∫ (

)

17)

1

018

1

3dx

xx 18)

2

0

3 2 619,3)4( dxxx

∫

√

√ √

Graficar y determinar el área de la región cuyos contornos se indican

20) y = 3 x2 + 1 ; x = 1 ; x = 3 ; y = 0

21) y = x3 +x ; x = 3 ; y = 0

22) y = -x2 + 2x + 3 ; y = 0 Resp. 32/3

23) y = 16 – x4 ; y = 0 Resp. 51,2

24) y = 1/x2 ; x = 1/2 ; x = 2 ; y = 0

Haga un gráfico para los siguientes problemas y encuentre el área

comprendida entre:

257

25) 2 2( ) 4 3 ( ) 4f x x x y g x x x

26) f(x) = x3 ; g(x) = x

2 Resp. 1/12

27) f(x) = 3( x3 – x ) ; g(x) = 0 Resp. 3/2

28) f(x) = 4/x2 ; g(x) = x

2 – 6x + 9 Resp. 0,818

29) f(x) = ( 3x )1/2

+ 1 ; g(x) = x + 1 Resp. 3/2

30) f(y) = y2 ; g(y) = y + 2 Resp. 9/2

31) f(y) = y2 +1 ; g(y) = 0 ; y = -1 ; y = 2 Resp. 6

PRÁCTICA # 6

Mediante las fórmulas básicas de integración resuelva:

∫

∫

(

)

∫

√ √ √

11) .52ln2

1arctan

2

7

52

92 2

2Cxx

xSolucióndx

xx

x

12)

dx

x

x

xx

x2

3

2 sin

cos

1193

4

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

Mediante el método de Completar el Cuadrado, resolver las siguientes

integrales:6

13)

dxxx2

1 Resp. arcsen (2x - 1) + C

6 LARSON HOSTETLER, Cálculo y Geometría Analítica Mc Graw Hill 1987 Pag. 439

258

14)

dxxx 2

1

2 Resp. Cxxx 12ln 2

15) dx

xx

x

22

224

Resp. arctan ( x2 +1 ) +C

∫

√ √

17)

dxxxx 184)1(

1

2

Aplicando el método de las Fracciones simples resolver:7

18)

dx

xx

x

7

122

19)

dx

xxx

xx23

2 54

20) Cx

xxspdx

xxx

xx

1013

54

23

2

)12(

)2(ln.Re

232

23

21)

C

x

x

xspdx

xx

x 1ln2

1

3.Re

)1(

22

22)

3

2 2( 4)

xdx

x

23) 2

2

4 1

(2 )( 2 1)

xdx

x x x

7 HAASER, LASALLE, SULLIVAN. Análisis Matemático, Editorial Trillas México 1978 Pags. 738-

739

259

Aplique integración por partes para resolver las siguientes integrales8

24) dxxxxe x )97( 234

25) dxx )32ln( Resp. Cxxx 32ln)2

3(

26) dtansec

27) dxxsenhx )()25( 2 Resp. (5x – 2) cosh x – 5 senh x + C

28) senxdxxx )1( 2 Resp. (2x + 1)sen x – (x

2 +x – 1) cos x + C

29)2

2 2

arcsin 1 1 1 1. arcsin ln

2 1 1

x xdx Sol x C

xx x

8 PITA RUIZ CLAUDIO, Cálculo de una variable, Editorial Prentice Hall. 1998 Pag. 756

260

PRÁCTICA # 7

Resolver las siguientes integrales trigonométricas

1) xdxx 53 sincos

2)

2

2

2 )1(sin

dxx

3) dtt

t

sin1

cos2/

0

Resp. ln 2

4) 2

0

sin2sin

d Resp.10

23

5)..5

2 4

3

cossec tan

sin

xx x dx

x

Aplicando Sustituciones Trigonométricas resuelva

6)

23

02

32

2

1dt

t

t Resp.

33

7)

dxx

x4

21 Resp.

3

2 2

3

1

3

xC

x

8) 2 2

1

25dx

x x

261

9)

dxxx

x2

2

2

10) dxee xx 221 Resp. Ceee xxx )2 arcsin(12

1

Mediante cambios de Variable resolver

11)

4

2 1

1dx

xx Resp. /6

12) dxxx

234 Resp. C

x

x

x

4

4

4 1ln

1

14

13)

25

13

2

)32(dx

x

x Resp. 9/4

14)

dxx 11

1 Resp. Cxx )11ln(12

15) dxxx

x

tancos

sin2

2

16)

3

2

sin coscos

1 cos

x xdx Sugerencia v x

x

Hallar las siguientes Integrales Impropias

17)

0

1

1dx

x Resp. Diverge

18)

8

0

3 8

1dx

x Resp. 6

262

19) 2

0

tan

xdx Resp. Diverge

20)

3

41

1

2dx

x

21)

0

5225

dxx

x

263

BIBLIOGRAFÍA

1.- ABURTO BARRAGÁN ANTONIO. Cálculo Diferencial e

Integral. Editorial Limusa. Edición 1998

2.- DEMIDOVICH B. P. 5000 Problemas de Análisis Matemático.

Editorial Paraninfo Madrid Edición 1976

3.- GRANVILLE-SMITH-LONGLEY, Cálculo diferencial e

integral. Editorial UTEHA, 1977

4.- HAASER, LASALLE, SULLIVAN, Análisis Matemático,

Editorial Trillas, México Edición 1978

5.- LARSON HOSTETLER, Cálculo y Geometría Analítica.

Editorial Mc. Graw Hill Edición 1986

6.- LEYTHOLD LOUIS, El Cálculo. Editorial Mac Graw Hill

Edición 1988

7.- PENEYS Y EDWARDS. Cálculo y Geometría Analítica.

Editorial Prentice Hall Edición 1987 (segunda edición)

8.- PINO-PHILLIPS-DIAZ, Calculus Amabilis, Serrano Editores,

Edición 2002

9.- PITA RUIZ CLAUDIO, Cálculo de una Variable. Editorial

Prentice Hall. Edición 1998

10.- TORRICO SEVILLA RAÚL, Solucionario Integrales 5000

Problemas de Análisis Matemático. Editorial Educación y Cultura,

1994

264

FÓRMULAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN

Sean u, v funciones de x ; c una constante

0)( cdx

d 'cucu

dx

d

xx eedx

d

x xde e

dx

'1

ln uu

udx

d

au

uu

dx

da

ln

'log

'')( vuvudx

d '' uvvuuv

dx

d

dx

du

du

dyy

dx

d

dx

du

u

uu

dx

d '1unuu

dx

d nn 2

''

v

uvvu

v

u

dx

d

'cossin uuudx

d 'sincos uuu

dx

d

'sectan 2 uuudx

d 'tansecsec uuuu

dx

d

'cotcsccsc uuuudx

d 'csccot 2 uuu

dx

d

'coshsinh uuudx

d 'sinhcosh uuu

dx

d

'sectanh 2 uuhudx

d 'csccoth 2 uuhu

dx

d

'tanhsecsec uuuhuhdx

d 'cothcsccsc uuuhuh

dx

d

21

1arcsin

xx

dx

d

1

1arcsin

2

xxh

dx

d

21

1arccos

xx

dx

d

1

1arccos

2

xxh

dx

d

21

1arctan

xx

dx

d

21

1arctan

xxh

dx

d

21

1cot

xxarc

dx

d

21

1coth

xxarc

dx

d

265

FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN

1;1

')11

nCn

udxuu

nn

Cedxue uu ')2

Cudxu

uln

')3 Cudxuu cos')(sin)4

Cudxuu sin')(cos)5 Cudxuu tan')(sec)6 2

Cudxuu cot')(csc)7 2 Cudxuuu sec')tan.(sec)8

Cudxuuu csc')cot.(csc)9 Cudxuu cosln')(tan)10

Cuuu sinln')(cot)11

Cuudxuu tansecln')(sec)12

Cuudxuu cotcscln')(csc)13

Ca

udx

ua

uarcsin

')14

22

Ca

u

adx

ua

uarctan

1')15

22

Cauudxau

u 22

22ln

')16

Cau

au

adx

au

u

ln2

1')17

22

Ca

uarc

aauu

dxusec

1')18

22

Cu

uaa

auau

dxu

22

22ln

1')19

266

Esta edición de prueba se terminó

de imprimir en Agosto de 2008

en el Departamento de

Matemáticas de la Facultad

Nacional de Ingeniería