Mecanica de materiales

MECNICA DE MATERIALES

LA RESISTENCIA DE MATERIALES CLSICA ES UNA DISCIPLINA DE LA INGENIERA MECNICA Y LA INGENIERA ESTRUCTURAL

QUE ESTUDIA LOS SLIDOS DEFORMABLES MEDIANTE MODELOS SIMPLIFICADOS.

LA RESISTENCIA DE UN ELEMENTO SE

DEFINE COMO SU CAPACIDAD PARA RESISTIR ESFUERZOS Y FUERZAS APLICADAS SIN ROMPERSE, ADQUIRIR DEFORMACIONES

PERMANENTES O DETERIORARSE DE ALGN MODO.

UN MODELO DE RESISTENCIA DE MATERIALES ESTABLECE UNA RELACIN ENTRE LAS FUERZAS APLICADAS, TAMBIN LLAMADAS CARGAS O ACCIONES, Y LOS ESFUERZOS Y DESPLAZAMIENTOS INDUCIDOS POR ELLAS

LA TEORA DE SLIDOS DEFORMABLES REQUIERE GENERALMENTE TRABAJAR CON ESFUERZOS Y DEFORMACIONES.

ESTAS

MAGNITUDES VIENEN DADAS POR CAMPOS TENSORIALES DEFINIDOS SOBRE DOMINIOS TRIDIMENSIONALES QUE SATISFACEN

COMPLICADAS ECUACIONES DIFERENCIALES.

SIN EMBARGO, PARA CIERTAS GEOMETRAS APROXIMADAMENTE

UNIDIMENSIONALES

(VIGAS, PILARES, CELOSAS O ARMADURAS, ARCOS, ETC.)

O

BIDIMENSIONALES

(PLACAS Y LMINAS, MEMBRANAS, ETC.)

TODO EL ESTUDIO PUEDE REDUCIRSE AL ESTUDIO DE

MAGNITUDES ALTERNATIVAS A DEFORMACIONES Y ESFUERZOS

La finalidad de la Resistencia de Materiales (RDM) es: DISEAR o VERIFICAR los elementos estructurales de manera que cumplan los requisitos de:

RESISTENCIA

Los elementos debern soportar cargas de diseo sin romper.

RIGIDEZ

Los componentes debern deformarse dentro de limitaciones

prestablecidas.

ESTABILIDAD

Los elementos debern encontrarse en equilibrio estable.

POR TANTO LOS PROBLEMAS A RESOLVER HACIENDO USO DE ESTA CIENCIA SON DE DOS TIPOS:

1- DIMENSIONAMIENTO

2- VERIFICACIN

EN EL PRIMER CASO SE TRATA DE ENCONTRAR EL MATERIAL, LAS FORMAS Y DIMENSIONES MAS ADECUADAS DE UNA PIEZA, DE MANERA TAL QUE STA PUEDA CUMPLIR SU COMETIDO: TRABAJAR CON SEGURIDAD, EN PERFECTO ESTADO Y CON GASTOS ADECUADOS.

EL SEGUNDO CASO SE PRESENTA CUANDO LAS DIMENSIONES YA HAN SIDO PREFIJADAS Y ES NECESARIO CONOCER SI SON LAS ADECUADAS PARA RESISTIR EL ESTADO DE SOLICITACIONES ACTUANTES.

PARA EL ANLISIS DEBEMOS TOMAR EN CUENTA HIPTESIS FUNDAMENTALES .

El comportamiento real de los cuerpos es muy complicado y sobre todo muy difcil de representar. En consecuencia se han elaborado hiptesis simplificativas que tratan de aproximarse lo mejor posible al

comportamiento de los mismos dentro de ciertos lmites que veremos ms adelante. Esas hiptesis son las siguientes:

Hiptesis de homogeneidad de los cuerpos

Esta hiptesis supone que las propiedades de los cuerpos son las mismas en todas las direcciones. En realidad todos sabemos que esto no se cumple estrictamente. Habr materiales que se ajustarn ms y otros menos a esta hiptesis.

Hiptesis de elasticidad de los materiales.

Esto significa que si un material se ha deformado bajo una causa externa al retirar esa causa vuelve a su posicin primitiva. Esta hiptesis tambin no se cumple estrictamente y vara de material a material y adems como veremos depende de la magnitud de la causa externa. La deformacin que al

retirar la causa se recupera totalmente se denomina deformacin elstica, mientras la que no se recupera se la define como deformacin plstica.

Hiptesis de Navier

Esta hiptesis la veremos con ms detalles al estudiar FLEXIN. Aqu nos limitaremos a enunciarla y dice una superficie plana correspondiente a una seccin cualquiera de un cuerpo permanece plana despus de la deformacin del mismo-.

Hiptesis o principio de superposicin de los efectos

En realidad esta hiptesis principio se puede deducir como consecuencia de las anteriores pero aqu la trataremos como una hiptesis ms y consiste en lo siguiente. Si sobre un cuerpo acta primeramente una causa Cl que produce un efecto el que desaparece al retirar la causa y luego acta una segunda causa C2 que produce un efecto e2(el y e2 deben ser efectos del mismo tipo y en el mismo lugar) que tambin desaparece al retirar la causa C2, posteriormente al hacer actuar en conjunto las causas Cl y C2 el efecto que se produce ser la suma algebraica de el y e2.

LAS FUERZAS INTERIORES, ORIGINALES, QUE PRECEDEN A LAS CARGAS, SON NULAS. LAS FUERZAS INTERIORES ENTRE LAS PARTCULAS DEL MATERIAL, CUYAS DISTANCIAS VARAN, SE OPONEN AL CAMBIO DE LA FORMA Y DIMENSIONES DEL CUERPO SOMETIDO A CARGAS.

UNIDAD 1ESFUERZO Y DEFORMACION AXIAL Y DE CORTE PURO

1.1 ESFUERZO NORMAL Y DEFORMACION AXIAL

ESFUERZO NORMAL

ES EL ESFUERZO INTERNO RESULTANTE DE LAS FUERZAS PERPENDICULARES APLICADAS A LA SECCIN TRANSVERSAL DE UN PRISMA MECNICO

ESFUERZO AXIAL

ES EL ESFUERZO INTERNO RESULTANTE DE LAS FUERZAS QUE ACTAN A LO LARGO DEL EJE DEL PRISMA MECNICO

Los Esfuerzos Normales Axiales por lo general ocurren en elementos como cables, barras o columnas sometidos a fuerzas axiales (que actan a lo largo de su propio eje), las cuales pueden ser de tensin o de compresin. En el caso de fuerzas axiales (de tensin o compresin), se producirn en el PRISMA alargamientos o acortamientos, respectivamente, como se muestra en la figura:

DEFORMACIN AXIAL

LA DEFORMACIN ES EL CAMBIO EN EL TAMAO O FORMA DE UN CUERPO DEBIDO A ESFUERZOS INTERNOS PRODUCIDOS POR UNA O MS FUERZAS APLICADAS SOBRE EL MISMO O LA OCURRENCIA DE DILATACIN TRMICA.

SE DEFINE COMO EL CAMBIO DE LONGITUD POR UNIDAD DE LONGITUD

Una forma de comparar la deformacin entre dos elementos, es expresarla como una deformacin porcentual, o en otras palabras, calcular la deformacin que sufrir una longitud unitaria del material, la cual se denomina deformacin unitaria. La deformacin unitaria se calcular como :

CARACTERSTICAS MECNICAS DE LOS MATERIALES

RESISTENCIA CAPACIDAD DE OPONERSE A LA

ROTURA

RIGIDEZ CAPACIDAD DE OPONERSE A LAS DEFORMACIONES

DUCTILIDAD CAPACIDAD DE DEFORMARSE

ANTES DE ROMPERSE

ESTAS CARACTERSTICAS POR LO GENERAL SE OBTIENEN MEDIANTE ENSAYOS EN LABORATORIO (RESISTENCIA DE MATERIALES EXPERIMENTAL), SOMETIENDO A PRUEBAS DETERMINADAS PORCIONES DEL MATERIAL (PROBETAS NORMALIZADAS)

EJEMPLO 1

Por lo tanto el material de la barra 1 es diez veces ms resistente que el material de la barra 2

EJEMPLO 2

Un pequeo poste construido con un tubo circular hueco de aluminio, soporta una carga de compresin de 26 kips. Los dimetros internos y externos del tubo son d1 = 4.0 pulg y d2 = 4.5 pulg respectivamente y su longitud es de 16 pulg. Se mide el acortamiento del poste debido a la carga y

resulta ser de 0.012 pulg.

Determinar el esfuerzo y la deformacin unitaria de compresin en el poste (no tenga en cuenta el peso

del poste miso y suponga que el poste no se pandea bajo la carga).

DATOS:

P = 26 Klb. = 26,000 lb

L = 16 pulg.

d1 = 4.0 pulg

d2 = 4.5 pulg

= 0.012 pulg

FORMULAS:

A= (/4)(d2^2-d1^2)

= P/A

= /L

GRAFICO

Solucin:

Esfuerzo de Compresin

Suponiendo que la carga de compresin acta en el centro del tubo hueco, se puede usar la ecuacin = P/A, para calcular el esfuerzo normal. El rea la calculamos con la formula:

Ejemplo 3:

Un tuba de Aluminio esta rigidamente sujeto a una barra de bronce y una de acero, segun como se muestra en la figura. Las cargas axiales se aplican en las posiciones indicadas. Determine el esfuerzo en cada material.

1.2 DIAGRAMAS ESFUERZO - DEFORMACIN

CUANDO SE ELIGE UN MATERIAL PARA UN EDIFICO O UNA MAQUINA, SE DEBEN CONOCER SUS PROPIEDADES, AS COMO SU CAPACIDAD PARA SOPORTAR ESFUERZOS. LAS DIVERSAS PROPIEDADES MECNICAS DE UN MATERIAL SE DETERMINAN MEDIANTE UNA SERIE DE PRUEBAS DE LABORATORIO

LOS DIAGRAMAS ESFUERZO-DEFORMACIN UNITARIA OBTENIDOS A PARTIR DE ENSAYOS A TENSIN, EXPLICAN ALGUNAS DEFINICIONES IMPORTANTES Y ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS MATERIALES QUE SON TILES EN EL DESARROLLO DE LA MATERIA

1.3 LEY DE HOOKE. Mdulo de Elasticidad. Mdulo de Young.

La mayor parte de las estructuras de ngenieria se disean para sufrir deformaciones relativamente pequeas, que involucran slo la parte recta del diagrama esfuerzo deformacin correspondiente. Para esta porcin inicial del diagrama el s es directamente proporcional a la v

Deformacin de un elemento sometido a una carga axial

c

c

c

Barra de acero

Barra de aluminio

0.50 m

0.75 m

P=175 kN

Pac

Pal

1.4ESFUERZO CORTANTE Y DEFORMACIN ANGULAR

Esfuerzo Cortante; Esfuerzo de Corte; Esfuerzo de Cizallamiento

La fuerza de cortante o esfuerzo cortante es el esfuerzo interno o resultante de las tensiones paralelas a la seccin transversal de un prisma mecnico como por ejemplo una viga o un pilar.

Con esta ecuacin se puede deducir que un esfuerzo cortante se encuentra distribuido de manera uniforme sobre toda el rea, lo cual no es del todo cierto ya que la distribucin verdadera de un esfuerzo cortante no es uniforme, pero en la prctica se toma como tal ya que los valores limites para el esfuerzo cortante estn basados en el valor promedio.

La magnitud de un esfuerzo cortante es igual a la fuerza aplicada sobre el tamao del rea en la cual acta. Se expresa:

Deformacin angular

Las fuerzas cortantes producen una deformacin angular o distorsin, de la misma manera que las fuerzas axiales originan deformaciones longitudinales, pero con una diferencia fundamental. Un elemento sometido a tensin experimenta un alargamiento, mientras que un elemento sometido a una fuerza cortante no vara la longitud de sus lados, manifestndose por el contrario un cambio de forma, de rectngulo a paralelogramo como se observa en la figura.

Ejemplo 6:

En la figura se ve un punzn para perforar placas de acero. Supongamos que para generar un agujero en una placa de 8 mm se usa un punzn cuyo dimetro es de d= 20 mm. Si se requiere una fuerza P=110 kN para realizar el agujero cul es el esfuerzo cortante promedio en la placa y el esfuerzo de compresin promedio en el punzn?

Datos

t= 8 mm

d= 20 mm

P= 110 kN

b) el esfuerzo promedio de compresin en el punzn es:

Un tornapunta de acero (S) sirve como puntal en un montacargas para botes; transmite una fuerza de compresin P= 12 klb a la cubierta de un muelle. El puntal tiene una seccin transversal cuadrada hueca con espesor de pared t = 0.375 pulg, y el ngulo entre el poste y la horizontal es 40. Un pasador atraviesa el poste transmite la fuerza de compresin del poste a dos soportes G, soldados a la placa de base B. La placa de base esta sujeta a la cubierta con cuatro anclas.

El dimetro del pasador es dpas = 0.75 pulg, el espesor de las cartelas es tG = 0.625 pulg, el espesor de la placa de la base es tB = 0.375 pulg y el dimetro de las anclas es de dancla = 0.50 pulg.

Datos:

dpas = 0.75 pulg

tG = 0.625 pulg

tB = 0.375 pulg

dancla = 0.50 pulg

P = 12 klb

tpared = 0.375 pulg

= 40

Ejemplo 8:

Un bloque rectangular de material con un mdulo de rigidez G=90 ksi se une a dos placas rgidas horizontales. La placa inferior est fija, mientras que la placa superior se somete a un esfuerzo horizontal P. Sabiendo que la placa superior se mueve 0.04 in. Bajo la accin de la fuerza, halle:

a.-)La deformacin unitaria promedio a corte del material;

b.-)La fuerza P ejercida sobre la placa superior.

1.5 ESFUERZOS DE CONTACTO O DE APLASTAMIENTO

Este esfuerzo, a diferencia del esfuerzo de compresin que existe en el interior de los cuerpos bajo la accin de cargas exteriores, es el que se produce en la superficie de contacto de dos cuerpos. Ejemplo del esfuerzo de compresin tales como la presin sobre el terreno bajo una columna, o la presin en las placas de apoyo. Por otro lado ocurre el esfuerzo de contacto entre un eje y su cojinete, o entre un remache o un perno y las paredes del orificio de las placas que sujeta.

Ejemplo 9:

La carga P= 8000 Lb; El poste de madera tiene 4*4 plg, y la zapata de concreto es un cuadrado de 2 ft de lado.

Determinar:

El esfuerzo de aplastamiento entre el poste y la zapata

El esfuerzo de aplastamiento entre la zapata y el terreno

8000

----------- = 500 lb/plg^2

(4) (4)

a) Esfuerzo de aplastamiento entre el poste y la zapata es de:

b) Esfuerzo de aplastamiento entre la zapata y el terreno es de:

8000

----------- = 2000 lb/ft^2

(2) (2)

1.6 Esfuerzos admisibles

(permisibles)

y

Cargas admisibles (permisibles)

Determinacin de la resistencia ltima del material

Un elemento importante que debe considerar un diseador es cmo se comportar el material que ha seleccionado cuando est sometido a una carga.

La mxima carga que puede soportar a un elemento estructural o un componente de maquinaria en condiciones normales de uso es considerablemente ms pequea que la carga ltima. Esta carga ms pequea se conoce como:

Carga Admisible (Permisible)

Carga de Trabajo o

Carga de Diseo

As, slo una fraccin de la capacidad ltima de carga del elemento se utiliza cuando se aplica la carga permisible. El remanente de la capacidad portadora de carga del elemento se mantiene en reserva para asegurar su desempeo seguro.

La razn de la carga ltima a la carga permisible se emplea para definir:

Una definicin alterna del factor de seguridad se basa en el uso de esfuerzos:

Las dos expresiones dadas son identicas cuando existe una relacin lineal entre la carga y el esfuerzo. Sin embargo, en la mayora de las aplicaciones de ingeniera esta relacin deja de ser lineal al acercarse la carga a su valor ltimo, y el factor de seguridad obtenido de esta ecuacin no suministra una evaluacion vlida de la seguridad de un diseo dado. Sin embargo, el mtodo de diseo por esfuerzo permisible, basado en esta ecuacin se utiliza ampliamente.

Ejemplo 10:

Se aplican dos fuerzas a la mnsula BCD como se muestra en la figura.

Sabiendo que la varilla de control AB ser de acero con un esfuerzo normal ltimo de 600 MPa, determine el dimetro de la varilla utilizando un factor de seguridad de 3.3.

El perno en C ser de un acero con un esfuerzo ltimo al corte de 350 MPa. Encuentre el dimetro del perno C tomando en cuenta que el factor de seguridad con respecto al corte tambin ser de 3.3.

Halle el espesor requerido de los soportes de la mnsula en C sabiendo que el esfuerzo permisible de apoyo del acero utilizado es de 300 MPa.

A)Varilla de control AB. Como el factor de seguridad debe ser

3.3 el esfuerzo permisible ser:

Para P = 40 kN el rea requerida por la seccin transversal es:

B)Corte en el perno C.

Para un factor de seguridad de

3.3 se tiene que:

Como el perno se encuentra en cortante doble

C)Cojinete en C. Utilizando d = 22 mm, el rea nominal de

apoyo para cada mnsula es de 22t . Ya que la fuerza que

soporta cada mnsula es de C /2 y el esfuerzo permisible de

apoyo es de 300 Mpa, se escribe:

Ejemplo

Una barra de acero sirve de soporte colgante para maquinaria pesada en una fbrica y se fija en un soporte mediante la conexin atornillada que se muestra en la figura. La parte principal del colgante tiene una seccin transversal rectangular b1 =1.5 pulg de ancho y t = 0.5 pulg de espesor. En la conexin aumenta el soporte colgante hasta alcanzar un ancho b2 = 3.0 pulg. El tornillo que transfiere la carga del colgador a las dos cartelas, tiene un dimetro d =1.0 pulg. Determinar el valor admisible de la carga de tensin P en el colgante con base en las cuatro consideraciones siguiente:

Solucin:

la carga admisible P segn el esfuerzo en la parte

principal del soporte colgante, es igual al esfuerzo

admisible en tensin por el rea transversal del colgador:

b) El rea transversal del soporte colgante que atraviesa su

orificio de tornillo, se debe de hacer un calculo

parecido, pero con un esfuerzo admisible distinto y un

rea distinta. El rea transversal neta, es decir, el rea

que queda despus de haber perforado el orificio en la

barra, es igual al ancho neto por el espesor.

c)La carga admisible respecto al apoyo entre el soporte

colgante y el tornillo es igual al esfuerzo admisible de apoyo

por el rea de apoyo. El rea portante es la proyeccin del

rea real de contacto que a su vez es igual al dimetro de

tornillo por el espesor del soporte colgante.

d) la carga admisible por corte en el tornillo es igual al

esfuerzo cortante admisible multiplicado por

el rea de corte. Esta rea de corte es el doble del rea

transversal del tornillo (ya que el tornillo esta

a doble corte).

Al comparar los resultados anteriores se ve que el valor mnimo de la carga es:

Padm = 10,200 lb.

Elementos Estticamente Indeterminados

(o Hiperestticos)

Con frecuencia aparecen conjuntos de elementos cargados axialmente en los que las ecuaciones de equilibrio esttico o diagramas de cuerpo libre no son suficientes para determinar las fuerzas que, en cada seccin soportan. Estas condiciones se dan en estructuras en las que las reacciones o las fuerzas resistivas internas exceden en nmero al de ecuaciones independientes de equilibrio que pueden establecerse. Tales casos se llaman estticamente indeterminados y requieren ecuaciones adicionales que relacionen las deformaciones elsticas en los distintos elementos. La variedad de casos es tan grande que es preferible describirlos mediante ejemplos que muestren cmo se aplican los principios generales siguientes:

1.-En el diagrama de cuerpo libre de la estructura o de parte de ella, aplicar

las ecuaciones del equilibrio esttico.

2.-Si hay ms incgnitas que ecuaciones independientes de equilibrio,

obtener nuevas ecuaciones mediante relaciones geomtricas entre las

deformaciones elsticas producidas por las cargas y por las fuerzas

desconocidas. Para ver claridad estas relaciones, dibujar un esquema,

exagerando las deformaciones elsticas.

a.-)

La fuerza aplicada y las fuerzas resistivas en cualquier seccin m-n forman un sistema de fuerzas coaxiales. La nica ecuacin de equilibrio esttico es:

En donde simplificando y sustituyendo los valores dados de los mdulos elsticos se deduce la relacin entre los esfuerzos:

=100 kN

m

n

Sustituyendo ec (2) en (3)

b.-)

La sustitucin de los esfuerzos admisibles en la ecuacin de equilibrio esttico sera errneo, pues entonces no se tendra en cuenta que las deformaciones en ambos materiales tienen que ser forzosamente iguales. En la ecuacin (2) del inciso anterior veamos que para iguales deformaciones se ha de cumplir la relacin entre los esfuerzos dada por:

Una varilla de cobre se introduce en un cilindro hueco de aluminio. La varilla sobresale 0.130 mm, como indica la figura. Determinar la carga mxima P que se puede aplicar al conjunto por intermedio de la placa de apoyo con los datos que se especifican seguidamente:

DATOSCOBRE(Cu)ALUMINIO(Al)12001800E (GPa)12070Esfuerzo Admisible (MPa)14070

Independientemente de la ecuacin de equilibrio esttico, hay que hallar una relacin entre los esfuerzos a travs de una ecuacin entre deformaciones. Para ello, consideremos la figura en la que se representa muy exageradas, estas deformaciones, se tiene:

De donde:

La carga total es:

El diagrama de cuerpo libre, muestra que el sistema es estticamente indeterminado con un grado de indeterminacin es decir, existe una incgnita ms de las que pueden determinarse mediante las ecuaciones del equilibrio esttico. Tomando momentos con respecto a A se obtiene una relacin entre las fuerzas en las varillas,

Para determinar otra relacin entre estas fuerzas se ha de acudir a una relacin entre las deformaciones elsticas de las varillas. Puesto que la barra se supone rgida, de la semejanza de tringulos en la figura se obtiene:

Para calcular los esfuerzos se tiene

Como ambos esfuerzos son inferiores a los lmites de proporcionalidad respectivos, las soluciones son aceptables. Si, por ejemplo, el esfuerzo en el acero hubiera sobrepasado su lmite de proporcionalidad, la solucin no sera vlida y se tendran que modificar las dimensiones de las distintas partes del sistema. Quiz lo ms simple sera aumentar la longitud de la varilla de acero para hacerla menos rgida. Se puede observar en este problema l que suele ocurrir en las estructuras estticamente indeterminadas, que los elementos de mayor rigidez soportan la mayor parte de las cargas. Este es un principio fundamental en la teora de las estructuras hiperestticas, que se conoce con el nombre de principio de las rigideces.

W=Mg

Cobre 70Acero140

126

77.77

La figura representa a un tornillo de acero que sujeta mediante unas arandelas y tuercas, un tubo o manguito de bronce. El paso del tornillo es de 0.80 mm, la seccin transversal del tubo de bronce es de 900 ^ y la del tornillo de acero de 450 ^, se aprieta la tuerca hasta conseguir en el manguito de bronce un esfuerzo de compresin inicial de 30 MPa. Los mdulos de elasticidad son y .

Determinar el esfuerzo, si a continuacin se le da a la tuerca una vuelta mas. Cuntas vueltas habr que dar ahora en sentido contrario para reducir tal esfuerzo a CERO?

Sust. ec (1) en ec (2)

Esfuerzos iniciales

Esfuerzos finales

La barra representada en la figura est firmemente empotrada en sus extremos. Determinar los esfuerzos en cada material cuando se aplica la fuerza axial P=200kN.

Aluminio

acero

Sust. ec (2) en ec (1)

El conjunto de la figura consiste de una barra rgida AB, de masa despreciable, articulada en O mediante un perno y fija a las varillas de aluminio y de acero. En la configuracin mostrada, la barra AB est en posicin horizontal y hay un claro = 4 mm entre la punta inferior de la varilla de aluminio y su articulacin en D. Calcule el esfuerzo de la varilla de acero cuando la punta inferior de la varilla de aluminio se articula en el apoyo D.

O

0.6

0.6

Por relacin y proporcin:

Sust. ec(2) en ec(1)

Los extremos inferiores de las barras de la figura estn en el mismo nivel antes de colgar de ellas un bloque rgido de masa 18 Mg. Las barras de acero tienen una seccin de 600 y E= 200 . La barra de bronce tiene una seccin de 900 y E= 83 . Determinar el esfuerzo en las tres barras.

Efectos trmicos

Los cambios de temperatura producen dilatacin o contraccin de los materiales estructurales, lo que resulta en deformaciones trmicas y esfuerzos trmicos. Un ejemplo simple de dilatacin trmica, es el bloque que se muestra en la figura donde el bloque de material no esta restringido y, por tanto, tiene libertad para expandirse. Cuando se calienta el bloque, cada elemento del material experimenta deformaciones trmicas en todas las direcciones y, en consecuencia, las dimensiones del bloque aumentan. Si tomamos la esquina A como un punto fijo de referencia y dejamos que el lado AB mantenga su alineacin original, el bloque adoptara la forma que se muestra con las lneas discontinuas.

Para la mayor parte de los materiales estructurales, la deformacin unitaria

trmica es proporcional al cambio de temperatura T; es decir,

en donde a es una propiedad del material llamada coeficiente de dilatacin trmica. Como la deformacin unitaria es una cantidad adimensional, el coeficiente de dilatacin trmica tiene unidades iguales al reciproco del cambio de temperatura. En unidades SI las dimensiones de a se pueden expresar ya sea como 1/K (el reciproco de kelvins) o bien como 1/C (el reciproco de grados Celsius).

Para demostrar la importancia relativa de las deformaciones unitarias trmicas, las compararemos con las deformaciones unitarias inducidas por cargas de la manera siguiente. Suponga que tenemos una barra AB de longitud L (A), enseguida se aplica una carga axial unitaria y por lo tanto se presentan deformaciones unitarias longitudinales (B) dadas por la ecuacin

Donde s es el esfuerzo y E es el modulo de elasticidad

Entonces si igualamos las dos deformaciones se tiene la ecuacin:

luego se quita la carga axial (C) y se somete a un cambio de temperatura T presentando en la barra deformaciones unitarias trmicas (D)

L

A

B

P

(A)

(B)

(C)

(D)

A partir de esta ecuacin podemos calcular el esfuerzo axial s que produce

la misma deformacin unitaria que el cambio de temperatura T.

Ahora considerando al bloque de material que se muestra en la figura anterior como homogneo e isotrpico y que el incremento de temperatura T es uniforme en todo el bloque. Podemos calcular el aumento de cualquier dimensin del bloque multiplicando la dimensin original por la deformacin unitaria trmica. Por ejemplo, si una de las dimensiones es L, entonces esa dimensin aumentara en la cantidad:

En las descripciones anteriores de deformaciones unitarias trmicas, supusimos que la estructura no tenia restricciones y que era capaz de dilatarse o contraerse libremente. Estas condiciones existen cuando un objeto reposa sobre una superficie sin friccin o cuelga en espacio abierto. En esos casos no se producen esfuerzos por un cambio uniforme de temperatura en todo el objeto, aunque cambios no uniformes de temperatura pueden producir esfuerzos internos. Sin embargo, muchas estructuras tienen soportes que evitan la dilatacin y contraccin libre, caso en el cual se desarrollaran esfuerzos trmicos aun cuando el cambio de temperatura sea uniforme en toda la estructura.

Una varilla de acero de 2.50 m de longitud est firmemente sujeta entre dos muros. Si el esfuerzo en la varilla es nulo a , determinar el esfuerzo que aparecer al descender la temperatura hasta . la seccin es de , , y . Resolver el problema en los dos casos siguientes:

(a) Muros completamente rgidos e indeformables, y

(b) muros que ceden ligeramente, acortndose su distancia en 0.5 mm al

descender la temperatura de la barra.

(a) Imaginemos que se suelta la varilla del muro derecho. En estas condiciones puede producirse libremente la deformacin trmica. El descenso de temperatura origina una contraccin, representada por en la figura. Para volver a unir la varilla al muro, se necesitar aplicar a la varilla una fuerza de tensin P que produzca una deformacin por carga . Del esquema de deformaciones se deduce en este caso que , o bien,

P

Obsrvese que la longitud L no interviene en la ecuacin. Quiere esto decir que el esfuerzo es independiente de la longitud y slo depende de las caractersticas fsicas de la barra y de la variacin de la temperatura, y no de sus caractersticas geomtricas.

(b) Si el muro cede acercndose al otro, en la figura se observa que la contraccin trmica es igual a la suma de la deformacin debida a la carga y del acercamiento de los muros, es decir,

P

Acercamiento

Obsrvese que en este caso, al ceder ligeramente los muros en una cantidad fija, el esfuerzo se reduce considerablemente y la longitud de la barra ya no desaparece de la ecuacin, como ocurra en el caso (a).

Un bloque rgido que tiene una masa de 5 Mg pende de tres varillas simtricamente colocadas, como se indica en la figura. Antes de colgar el bloque, los extremos inferiores de las varillas estaban al mismo nivel. Determinar la tensin en cada varilla despus de suspender el bloque y de una elevacin de temperatura de . Emplear los datos de la tabla siguiente:

Acero (a)

L=0.5 m

Acero (a)

L=0.5 m

Bronce (br)

L=1 m

La figura muestra el nivel inicial de las varillas antes de suspender el bloque.

Con las varillas completamente libres, una elevacin de temperatura dara lugar a las deformaciones trmicas en el acero y en el bronce, respectivamente. Finalmente, cuando las varillas estn unidas al bloque, despus de la elevacin de temperatura, se llega a la posicin final indicada en la figura. Pero para poder unir las varillas al bloque, habr sido preciso estirarlas para alcanzar y se crean las deformaciones .

Nivel inicial

Nivel Final

Sust. Ec (1) en (2)

El signo negativo de indica que esta fuerza acta en sentido contrario al supuesto, es decir, que la varilla de bronce est comprimida y , por tanto, se debe prevenir su posible pandeo o flexin lateral.

Los esfuerzos son:

Torsin

En la planta hidroelctrica mostrada en la fotografa, las turbinas ejercen momentos sobre los ejes verticales que hacen girar los rotores de los generadores elctricos.

Los elementos sometidos a torsin se encuentran en muchas situaciones de ingeniera. La aplicacin ms comn la representan los ejes de transmisin que se emplean para transmitir potencia de un punto a otro. Por ejemplo el eje mostrado en la figura se utiliza para transmitir potencia del motor a las ruedas traseras de un automvil. Estos ejes pueden ser slidos o huecos.

El sistema que se presenta en la figura a) consiste en una turbina de vapor A y un generador B conectados por un eje de transmisin AB. Separando el sistema en sus tres partes componentes figura b), puede verse que la turbina ejerce un par de torsin o momento torsor T sobre el eje y que el eje ejerce un par igual sobre el generador. El generador reacciona ejerciendo un par de torsin igual y opuesto T sobre el eje, y el eje la torsin T sobre la turbina.

Los esfuerzos y deformaciones que surgen en elementos de seccin transversal circular son producidos por pares de torsin, o momentos torsores. Estos pares tienen una magnitud igual a T y sentidos opuestos. Son cantidades vectoriales que pueden representarse mediante flechas curvas, o por vectores de par.

Considerando un eje AB sometido en A y en B a pares de torsin T y T iguales y opuestos, se efecta un corte perpendicular al eje de la flecha en algn punto arbitrario C. El diagrama de cuerpo libre de la porcin BC del eje debe incluir las fuerzas cortantes elementales dF, perpendiculares al radio del eje, que la porcin AC ejerce sobre BC al torcerse el eje (a). Pero las condiciones de equilibrio para BC requieren que el sistema de estas fuerzas elementales sea equivalente a un par de torsin interno T, igual y opuesto a T (b). Denotando con r la distancia perpendicular desde la fuerza dF al eje de la flecha, y expresando que la suma de momentos de las fuerzas cortantes dF alrededor del eje es igual en magnitud al par T, se escribe

Considerando un eje elaborado de duelas separadas sujetas con pasadores en ambos extremos a discos, como se muestra en la figura. Si se pintan marcas en dos duelas adyacentes, se observa que las duelas se deslizan una con respecto a la otra cuando se aplican pares iguales y opuestos a los extremos del eje. Aunque no ocurrir deslizamiento en un eje de un material homogneo y cohesivo, la tendencia al deslizamiento existir, lo cual muestra que ocurren esfuerzos en planos longitudinales as como en los planos perpendiculares, al eje de la flecha.

Considere un eje circular unido a un soporte fijo en uno de sus extremos. Si se aplica un par de torsin T al otro extremo, el eje se torcera al girar su extremo libre a travs de un ngulo f llamado ngulo de giro. Esto significa que, dentro de un cierto rango de valores de T, el ngulo de giro f es proporcional a T. Tambin muestra que f proporcional a la longitud del eje. En otras palabras, el ngulo de giro para un eje del mismo material y con la misma seccin transversal, pero el doble de longitud, se duplicar bajo el mismo par de torsin T.

Debe sealarse una propiedad importante de los ejes circulares: Cuando un eje circular se somete a torsin, todas sus secciones transversales permanecen planas y sin distorsin. Dicho de otra manera, aunque las distintas secciones transversales a lo largo del eje giran diferentes cantidades, cada seccin transversal gira como una placa slida rgida. Como se muestra en la figura, que muestra las deformaciones en un modelo de caucho sometido a torsin. La propiedad que se analiza en este momento es caracteristica de ejes circulares, slidos o huecos. Y no la comparen los elementos con seccin transversal no circular. Por ejemplo, cuando una barra con seccin transversal cuadrada se sujeta a torsin, sus distintas secciones transversales se tuercen y no permanecen planas.

Las secciones transversales de un eje circular permanecen planas y sin distorsin debido a que un eje circular es axisimtrico, es decir, su apariencia es la misma cuando se ve desde una posicin fija y se gira alrededor de su eje por un ngulo arbitrario.

Considere los puntos C y D localizados en la circunferencia de una seccin transversal del eje, y sean C y D las posiciones que ocupan despus de que el eje ha sido torcido.

La simetra axial del eje y de la carga requiere que la rotacin que hubiera causado que D llegara a C ahora debe llevar a que D llegue a C. Por lo tanto C y D deben estar en la circunferencia de un crculo, y el arco CD debe ser igual al arco CD.

Ahora se examinar si el crculo donde se encuentra C y D es diferente del crculo original. Suponga que C y D s estan en un crculo diferente y que el crculo nuevo est a la izquierda del crculo original. La misma situacin prevalecer para cualquier otra seccin transversal, ya que todas las secciones transversales del eje estn sometidas al mismo par de torsin interno T; de esta manera un observador que vea al eje desde su extremo A concluir que la carga que la carga provoca que cualquier crculo dado dibujado sobre el eje se aleje. Por el contrario, para un observador localizado en B, para quien la carga dada se ve igual (un par igual en sentido horario en primer plano y un par en sentido antihorario al fondo) llegara a la conclusin opuesta, es decir, que el crculo se mueve hacia l. Esta contradiccion prueba que la superposicin era equivocada y que C y D se encuentran en el mismo crculo que C y que D. Por lo tanto, al ser torcido el eje, el crculo original slo gira sobre su propio plano. Ya que el mismo razonamiento puede aplicarse a cualquier crculo concntrico ms pequeo localizado en la seccin transversal bajo consideracin, se concluye que toda la seccin transversal permanece plana.

El anterior argumento no excluye la posibilidad de que los distintos crculos concntricos de la figura giren en cantidades diferentes cuando se tuerce el eje. Pero si ese fuera el caso, un dimetro dado de la seccin transversal sera distorsionado en una curva que se vera como se muestra en la figura. Un observador que viera esta curva desde A concluira que las capas externas del eje se tuercen ms que las internas, mientras que un observador colocado en B concluira lo contrario. Esta inconsistencia permite concluir que cualquier dimetro de una seccin transversal dada permanece recto y, por lo tanto, que cualquier seccin transversal dada de un eje circular permanece plana y sin distorsin.

Este anlisis hasta ahora ha ignorado el modo de aplicacin de los pares torsores T y T. Si todas las secciones del eje, desde un extremo hasta el otro, deben permanecer planas y sin distorsin, es necesario asegurarse de que los pares se aplican de tal manera que los extremos mismos del eje permanezcan planos y sin distorsin. Esto puede lograrse aplicando los pares T y T a placas rgidas, que se encuentren slidamente unidas a los extremos del eje (a). Slo as puede estarse seguro de que todas las secciones permanecern planas y sin distorsin cuando la carga se aplique, y que las deformaciones resultantes ocurrirn de manera uniforme a lo largo de todo el eje. Todos los crculos igualmente espaciados, que se muestran en la figura (a), girarn en la misma cantidad en relacin con sus vecinos, y cada una de las lneas rectas se convertir en una curva (hlice) que intersecta los distintos crculos con el mismo ngulo(b). Las condiciones de carga encontradas en la prctica pueden diferir de manera considerable de las correspondientes a este modelo. El mrito principal de este modelo es que ayuda a definir un problema de torsin para el que puede obtenerse una solucin exacta.

Ahora se determinar la distribucin de las deformaciones a cortante en un eje circular de longitud L y radio c que ha sido girado en un ngulo f (a). Desprendiendo del eje un cilindro de radio r, considere el pequeo cuadrado formado por dos crculos adyacentes y dos lneas rectas adyacentes trazadas en la superficie del cilindro antes de que se aplique carga alguna (b). Al someterse el eje a una carga de torsin, el elemento se deforma para convertirse en un rombo (c). Ahora, recuerde que la deformacin unitaria cortante g en un elemento dado se mide por el cambio en los ngulos formados por los lados de dicho elemento. Ya que los crculos que definen dos de los lados del elemento considerado aqu permanecen sin cambio, la deformacin en corte g debe ser igual al ngulo entre las lneas AB y A B. (Recuerde que debe expresarse en radianes.)

En la figura c) se observa que, para valores pequeos de g puede expresarse la longitud de arco AA como AA= Lg. Pero, por otra parte, se tiene que AA= rf. Se deduce que Lg=rf, o

Donde g y f estn, ambos, expresados en radianes. La ecuacin obtenida muestra, como podra haberse anticipado, que la deformacin a cortante g en un punto dado del eje en torsin es proporcional al ngulo de giro f. Tambin muestra que g es proporcional a la distancia r desde el eje de la flecha hasta el punto bajo consideracin. Por lo tanto, la deformacin unitaria a corte en una flecha circular vara linealmente con la distancia desde el eje de la flecha.

Ec 1

Se deduce de la Ec 1 que la deformacin a cortante es mxima en la superficie del eje, donde r=c. Se tiene

Ec 2

Igualando f de las Ec 1 y 2 , se puede expresarse la deformacin a cortante g a una distancia r del eje de la flecha como

Hasta el momento ninguna relacin esfuerzo-deformacin en particular se ha supuesto para el anlisis de ejes circulares en torsin. Considere ahora el caso en que el par de torsin T es tal que todos los esfuerzos cortantes en el eje se encuentran por debajo de la resistencia a la cedencia . Lo cual significa que los esfuerzos en el eje permanecern por debajo del lmite de elsticidad. Por lo tanto, se aplicar la ley de Hooke y no habr deformacin permanente.

Aplicando la ley de Hooke para el esfuerzo y la deformacin a cortante tenemos

Donde G es el mdulo de rigidez o mdulo de corte del material

Multiplicando ambos miembros de la ec por G, se escribe:

La ecuacin obtenida muestra que, mientras la resistencia a la cedencia (o el limite de proporcionalidad) no sea excedida en ninguna parte de una flecha circular, el esfuerzo cortante en la flecha vara linealmente con la distancia r desde el eje de la flecha. La figura (a) muestra la distribucin de esfuerzos en un eje crcular de radio c, y la figura (b) la muestra en un eje circular hueco de radio interior y radio exterior .

Recordemos que la suma de los momentos de las fuerzas elementales ejercidas sobre cualquier seccin transversal del eje debe ser igual a la magnitud T del par ejercido sobre el eje:

Sustituyendo en la ecuacin anterior, se escribe

La integral en el ltimo miembro representa el momento polar de inercia J de la seccin transversal con respecto a su centro O. Se tiene entonces que

despejando para

Sustituyendo de la ec anterior en la ecuacin se expresa el momento cortante a cualquier distancia

r del eje de la flecha como

Para un eje circular slido de radio c el momento polar de inercia es:

En el caso de un eje circular hueco de radio interior c1 y radio exterior c2, el momento polar de inercia es:

Un eje cilndrico hueco de acero mide 1.5 m de longitud y tiene dimetros interior y exterior iguales a 40 y 60 mm, respectivamente.

A)Cul es el mximo par de torsin que puede aplicarse al eje si el esfuerzo

cortante no debe exceder 120 Mpa?

B)Cul es el valor mnimo correspondiente del esfuerzo cortante en el eje?

A)Mximo par de torsin permisible. El mximo par permisible T que puede aplicarse al eje es el par para el que . Como este valor es menor que la resistencia de cedencia del acero, se puede usar la ecuacin

Calculando el Momento de Inercia para ejes huecos tenemos:

Sustituyendo en la ecuacin y haciendo

B)Esfuerzo mnimo de corte. El valor mnimo del esfuerzo cortante ocurre en la superficie interior del eje.

El eje BC es hueco y tiene dimetros interior y exterior de 90 mm y 120 mm, respectivamente. Los ejes AB y CD son slidos y de dimetro d. Para la carga mostrada en la figura, determine:

a)Los esfuerzos cortantes mximo y mnimo en el eje BC,

b)El dimetro d requerido en los ejes AB y CD si los esfuerzos

cortantes permisibles en estos ejes son de 65 MPa.

Ecuaciones de esttica. Denotando con TAB el par de torsin en el eje AB, se hace un corte en el eje AB y, para el cuerpo libre mostrado, se escribe:

a)Eje BC. Para este eje hueco se tiene

Esfuerzo cortante mximo. En la superficie externa, se tiene

Esfuerzo cortante mnimo. Se sabe que los esfuerzos son proporcionales a la distancia del eje de la flecha.

B)Ejes AB y CD. La magnitud del par torsor es TAB =TCD = 6 kNm y

. Denotando c el radio de los ejes, se escribe

El diseo preliminar de un eje grande que conecta a un motor con un generador requiere el uso de un eje hueco con dimetros interior y exterior de 4 in. Y 6 in., respectivamente. Sabiendo que el esfuerzo cortante permisible es de 12 ksi, determine el mximo par que puede ser transmitido:

a)Por el eje como fue deseado,

b)Por un eje slido del mismo peso,

c)Por un eje hueco del mismo peso y de 8 in. de dimetro exterior.

a)El eje hueco como fue diseado. Para el eje hueco se tiene que

Haciendo

b)Eje solido de igual peso. Para que el eje como se diseo y este eje slido

tengan el mismo peso y longitud, las reas de sus secciones transversales

deben ser iguales.

c)Eje hueco con 8 in. de dimetro. Para un peso igual, nuevamente deben

ser iguales las reas de las secciones transversales. Se determina el

dimetro interior del eje a partir de

Para

Haciendo

En la figura mostrada se supone que la totalidad del eje permanece elstico y por tanto se observa que dentro del limite elstico del eje, el ngulo a cortante g puede expresarse la longitud de arco AA como AA= Lg. Pero, por otra parte, se tiene que AA= rf. Se deduce que Lg=rf, o

Donde g y f estn, ambos, expresados en radianes. La ecuacin obtenida muestra, como podra haberse anticipado, que la deformacin a cortante g en un punto dado del eje en torsin es proporcional al ngulo de giro f. Tambin muestra que g es proporcional a la distancia r desde el eje de la flecha hasta el punto bajo consideracin. Pero, en el rango elstico, el esfuerzo de cedencia no se excede en ninguna parte del eje, se aplica la ley de Hooke y se tiene que y despejando g tenemos

ngulo de giro (de torsin) en el rango elstico

Ec I

Donde y sust. tenemos Ec II

Igualando Ec I y II tenemos

Y despejando f

Un eje cilndrico hueco de acero mide 1.5 m de longitud y tiene dimetros interior y exterior iguales a 40 y 60 mm, respectivamente. Tiene un mdulo de rigidez de .

A)Qu par de torsin deber aplicarse al extremo del eje para producir un

giro de 2?

B)Qu ngulo de giro crear un esfuerzo cortante de 70 Mpa en la

superficie interior del eje?

A)Qu par de torsin deber aplicarse al extremo del eje para producir un

giro de 2?

Tenemos que

Y despejamos

Tenemos

B)Qu ngulo de giro crear un esfuerzo cortante de 70 Mpa en la

superficie interior del eje?

aplicando la ley de Hooke se tiene que

Y despejamos

De Ecuacin donde

Tenemos que

Despejamos f

Para obtener el ngulo de giro en grados, se escribe

Un eje circular AB consiste en un cilindro de acero de 10 in. de largo y 7/8 in. de dimetro , en el que se ha perforado una cavidad de 5 in. De largo y 5/8 in. de dimetro desde el extremo B. El eje est unido a soportes fijos en ambos extremos, y un par de 90 Lbft se aplica a la mitad. Determine el par ejercido sobre el eje por cada uno de los soportes.

Dibujando el diagrama de cuerpo libre del eje y denotando con TA y TB los pares ejercidos por los soportes (figura a), se obtiene la ecuacin de equilibrio

Como esta ecuacin no es suficiente para determinar los dos pares desconocidos TA y TB, el eje es estticamente indeterminado. Sin embargo, TA y TB pueden determinarse si se observa que el ngulo total de giro del eje AB debe ser cero, ya que ambos extremos se encuentran empotrados. Denotando con f1 y f2, respectivamente, los ngulos de giro de las porciones AC y CB, se escribe

Del diagrama de cuerpo libre de una pequea porcin del eje que incluya al extremo A (figura b), se advierte que el par interno T1 en AC es igual a TA, y del diagrama de cuerpo libre de una pequea porcin del eje que incluye al extremo B (figura c) puede notarse que el par interno T2 en CB es igual a TB. Aplicando la ecuacin y observando que las porciones AC y CB del eje estn torcidas en sentidos opuestos, se escribe

Despejando TB se tiene que

Sustituyendo datos numricos

Se obtiene

Sustituyendo esta expresin en la ecuacin de equilibrio original, se tiene que

El eje horizontal AD est sujeto a una base fija en D y se le aplican los pares mostrados. Un agujero de 44 mm de dimetro se ha perforado en la porcin CD del eje. Sabiendo que el eje es de un acero para el que G=77 Gpa, determine el ngulo de giro en el extremo A.

Debido a que el eje consta de tres porciones AB, BC y CD, cada una con seccin transversal uniforme y con un par interno constante, puede utilizarse la ecuacin

Efectuando un corte en el eje entre A y B y utilizando el cuerpo libre mostrado en la figura, se encuentra

Haciendo un corte entre B y C , se tiene

Como ningn par se aplica en C .

Momentos Polares de Inercia

ngulo de giro. Usando la ecuacin

Y recordando que para todo el eje, se tiene que

Transmisin de Potencia

En muchas aplicaciones practicas las barras circulares tanto solidas como huecas son utilizadas para transmitir potencia. As que las especificaciones principales que deben cumplirse en el diseo de un eje de transmisin son la potencia que debe transmitirse y la velocidad de rotacin del eje. Las funciones del diseador es seleccionar el material y las dimensiones de la seccin transversal del eje, para que el esfuerzo cortante mximo permisible del material no sea excedido cuando el eje transmite la potencia requerida a la velocidad especificada.

Para determinar el par de torsin ejercido sobre el eje, recordemos, de la dinmica elemental, que la potencia P asociada con la rotacin de un cuerpo rgido sujeto a un par T es

Donde w es la velocidad angular del cuerpo expresada en rad/s. Pero w=2pf , donde f es la frecuencia de rotacin, es decir, el nmero de revoluciones por segundo. La unidad de frecuencia es, entonces 1 y se llama hertz (Hz). Sustiyendo en la ecuacin anterior se obtiene que

Si se emplean unidades SI se verifica que, si la frecuencia se expresa en Hz y T en Nm, la potencia se expresar en Nm/s, esto es, en watts (W). Despejando T de la anterior ecuacin, se obtiene el par ejercido sobre un eje que transmite una potencia P a una frecuencia de rotacin f.

Cuando se emplean las unidades inglesas usualmente en Estados Unidos, la frecuencia, por lo general, se expresa en rpm y la potencia en caballos de potencia (hp). Es entonces necesario, antes de aplicar la frmula anterior, convertir la frecuencia a revoluciones por segundo (es decir, hertz) y la potencia a ftlb/s o inlb/s mediante el uso de las siguientes relaciones:

Qu dimetro de eje debe usarse para el rotor de un motor de 5 hp que opera a 3 600 rpm si el esfuerzo cortante no debe exceder 8 500 psi en el eje?

Primero se expresa la potencia del motor en inlb/s y su frecuencia en ciclos por segundo (o hertz).

El par ejercido sobre el eje es:

Por tanto debe usarse un eje de 3/8 in

De la ecuacin del esfuerzo cortante mximo podemos calcular el radio del eje

Un eje que consta de un tubo de acero de 50 mm de dimetro exterior debe transmitir 100 kW de potencia mientras gira a una frecuencia de 20 Hz. Determine el espesor del tuba que deber utilizarse si el esfuerzo cortante no debe exceder 60 Mpa.

El par ejercido sobre el eje es:

Calculando el Momento de Inercia para ejes huecos tenemos:

Debe utilizarse un tuba de espesor de 5 mm

El espesor del tubo es:

Torsin en barras no circulares

Una barra cuadrada, retiene la misma apariencia slo si se gira 90 y 180.En la figura siguiente se puede mostrar que las diagonales de la seccin transversal cuadrada de la barra y las lneas que unen los puntos medios de los lados de dicha seccin permanecen rectas. Sin embargo, debido a la falta de simetra axial axial de la barra, cualquier otra lnea dibujada en su seccin transversal msma se torcer fuera de su plano original.

Considere un pequeo elemento cbico ubicado en una esquina de la seccin transversal de una barra cuadrada en torsin y seleccione los ejes coordenados paralelos a los bordes del elemento. Como la cara del elemento perpendicular al eje y es parte de la superficie libre de la barra, todos los esfuerzos en esta cara deben ser cero.

Por lo tanto, las componentes del esfuerzo cortante en la cara del elemento perpendicular al eje de la barra son cero. Se concluye que no hay esfuerzo cortante en las esquinas de la seccin transversal de la barra.

152

Torciendo un modelo de caucho de una barra cuadrada, se verifica fcilmente que no ocurren deformaciones, y por lo tanto, tampoco esfuerzos a lo largo de los bordes de la barra, mientras que las deformaciones mximas y, por lo tanto, los esfuezos mximos ocurren a lo largo de la lnea central de cada una de las caras de la barra.

La determinacin de los esfuerzos en elementos no circulares sujetos a carga torsional es muy profundo, no obstante, los resultados obtenidos de la teora matemtica de la elasticidad para barras rectas con seccin transversal rectangular uniforme nos arroja las siguientes ecuaciones.

Denotando con L la longitud de la barra, con , respectivamente el lado ms ancho y el ms angosto de su seccin transversal y con T la magnitud de los pares de torsin aplicados a la barra.

Se encuentra que el mximo esfuerzo cortante ocurre a lo largo de la lnea central de la cara ms ancha de la barra y es igual a

El ngulo de giro, por otro lado, puede expresarse por

Los coeficientes dependen slo de la razn y se dan en la siguiente tabla para una cantidad de valor de dicha razn. Las ecuaciones anteriores son vlidas slo dentro del rango elstico.

Coeficientes para barras rectangulares en torsin

La distribucin de esfuerzos cortantes en un elemento no circular puede visualizarse con mayor facilidad utilizando la analoga de la membrana. Una membrana elstica homognea unida a un marco fijo y sometida a una presin uniforme en uno de sus lados constituye un anlogo de una barra en torsin, esto es, la determinacin de la deformacin de la membrana depende de la solucin de la misma ecuacin diferencial parcial que la determinacin de los esfuerzos cortantes en la barra. Mas especificamente, si Q es un punto de la seccin transversal de la barra y Q el punto correspondiente de la membrana.

El esfuerzo cortante en Q tendr la misma direccin que la tangente horizontal a la membrana en Q y su magnitud ser proporcional al mximo de pendiente de membrana Q. Adems, el par de torsin aplicado ser proporcional al volumen entre la membrana y el plano del marco fijo. En el caso de la membrana de la figura, que est unida a un marco rectangular, la pendiente ms pronunciada ocurre en el punto medio N del lado mayor del marco. Por lo tanto, se verifica que el mximo esfuerzo cortante en una barra de seccin transversal rectangular ocurrir en el punto medio N del lado mayor de la seccin.

La analoga de la membrana tambin puede usarse con eficacia para visualizar los esfuerzos cortantes en cualquier barra de seccin transversal uniforme no circular. En particular, considere varios elementos de pared delgada con las secciones transversales que se muestran en la figura, que estn sujetos al mismo par de torsin. Utilizando la analoga de la membrana como ayuda para visualizar los esfuerzos cortantes, se advierte que, ya que el mismo par se aplica a cada elemento, el mismo volumen estar localizado bajo cada membrana, y la mxima pendiente ser casi la misma en cada caso. As, para un elemento de pared delgada de espesor uniforme y forma arbitraria, el mximo esfuerzo cortante es el mismo que para una barra rectangular con un valor muy grande .

En el caso de ejes huecos no circulares de pared delgada, se puede obtener una buena aproximacion de la distribucin de esfuerzos en el eje por medio de un clculo sencillo.

Considere un elemento cilndrico hueco con seccin no circular sujeto a una carga torsional. A pesar de que el espesor t de la pared puede variar dentro de una seccin transversal, se supondr que permanece pequeo en comparacin con las dems dimensiones del elemento. Ahora se desprende del elemento la porsin coloreada de pared AB limitada por los dos planos a una distancia mutua x, y por dos planos longitudinales perpendiculares a la pared. Como la porcin AB est en equilibrio, la suma de las fuerzas ejercidas sobre ella en la direccin longitudinal x debe ser cero. Pero las nicas fuerzas involucradas son las fuerzas cortantes ejercidas sobre los extremos de la porcin AB. Se tiene por lo tanto

Ahora se expresa como el producto de esfuerzo cortante longitudinal sobre la carga pequea en A del rea de dicha cara:

Note que, a pesar de que el esfuerzo cortante es independiente de la coordenada x del punto considerado, puede variar a travs de la pared; por lo tanto, representa el valor promedio del esfuerzo calculado a travs de la pared. Expresando de manera similar y sutituyendo tenemos

Ya que A y B se escogieron de forma arbitraria, la ecuacin expresa que el producto del esfuerzo cortante longitudinal y del espesor de la pared es una constante a traves del elemento. Denotando este producto con q, se tiene

Ahora se desprende un pequeo elemento de la porcin AB de la pared. Como las caras superior e inferior de este elemento son parte de la superficie libre del miembro hueco, los esfuerzos en estas caras son iguales a cero. Tambin se sabe que las componentes de esfuerzo indicadas en las otras caras por flechas punteadas son tambin cero, en tanto que las representadas por flechas slidas son iguales. As, el esfuerzo cortante en cualquier punto de un corte transversal del miembro hueco es paralelo a la superficie de la pared.

En este punto se puede advertirse una analoga entre la distribucin de los esfuerzos cortantes en el corte transversal de un eje hueco de pared delgada y la distribucin de las velocidades en agua que fluye en un canal cerrado de profundidad unitaria y de ancho variable. A pesar de que la velocidad del agua vara de un punto a otro dependiendo de la variacin de ancho t del canal, la tasa de flujo, , permanece constante en el canal, del mismo modo que en la distribucion de esfuerzos cortantes en el corte transversal de un eje hueco de pared delgada. Debido a esta analoga se conoce como flujo de corte en la pared del eje hueco.

Ahora se deducir una relacin entre el par de torsin T aplicado a un miembro hueco y el flujo de corte q en su pared. Considere un pequeo elemento de la seccin de la pared, de longitud ds. El rea del elemento es dA = t ds, y la magnitud de la fuerza cortante dF ejercida sobre el elemento es

160

El momento de esta fuerza alrededor de un punto arbitrario O dentro de la cavidad del miembro puede obtenerse al multiplicar dF por la distancia perpendicular p desde O hasta la lnea de accin de dF . Se tiene

Pero el producto p ds es igual al doble del rea del tringulo sombreado de la figura. Se obtiene, pues, que:

Como la integral alrededor de la seccin de la pared del miembro izquierdo de la ecuacin representa la suma de los momentos de todas las fuerzas cortantes elementales ejercidas sobre la seccin de pared, y ya que esta suma es igual al par T aplicado al miembro hueco, se tiene que

Puesto que el flujo de corte q es una constante, se escribe

Donde es el rea bordeada por la lnea central de la seccin transversal de la pared

El esfuerzo cortante en cualquier punto dado de la pared puede expresarse en trminos del par T si se sustituye q en la ecuacin anterior y se despeja de la ecuacin obtenida. Se tiene

Donde t es el espesor de la pared

en el punto considerado y es el

rea bordeada por la lnea central. Recordemos que representa el valor promedio del esfuerzo cortante a trves de la pared. Sin embargo, para deformaciones elsticas la distribucin de esfuerzos a trves de la pared puede considerarse uniforme y la ecuacin dara el valor real del esfuerzo cortante en un punto dado de la pared.

El ngulo de giro de un eje hueco de pared delgada puede obtenerse utilizando el mtodo de energa. Suponiendo una deformacin elstica. Puede mostrarse que el ngulo de giro de un eje de pared delgada de longitud L y modlo de rigidez G es

162

Se fabric por extrusin un tubo cuadrado de aluminio estructural con una seccin transversal de 2.5 x 4 in . Determine el esfuerzo cortante en cada una de las cuatro paredes de una porcin de dicho tubo cuando se somete a un par de torsin de 24 kipin., suponiendo:

A)Un espesor uniforme de la pared de

0.160 in. (figura a)

B)Que, como resultado de una fabricacin

defectuosa, las paredes AB y CD son de

0.200 in. de espesor.(figura b)

A)Tubo de espesor uniforme de pared. El rea bordeada por la lnea

central es:

Ya que el espesor de cada una de las cuatro paredes es , podemos calcular el esfuerzo cortante en cada pared de la forma siguiente

B) Tubo con espesor variable de pared. Observando que el rea a bordeada por la lnea central es la misma que en el inciso anterior, y sustituyendo sucesivamente En la ecuacin tenemos

3.84 in

2.34 in

Se advierte que el esfuerzo en una pared dada depende slo de su espesor

Utilizando , determine el par mximo de torsin que puede aplicarse a cada una de las barras de latn y al tubo de latn que se muestra en la figura. Note que las dos barras slidas tienen la misma rea de seccin transversal, y que la barra cuadrada y el tubo cuadrado tienen las mismas dimensiones externas.

1. Barra con seccin transversal cuadrada. Para una barra slida de seccin transversal rectangular el mximo esfuerzo cortante est dado por la ecuacin:

a

b

Para , se tiene

Donde el coeficiente se obtiene de la tabla de Coeficientes para barras rectangulares en torsin

2.-Barra con seccin transversal rectangular. Ahora se tiene

Donde el coeficiente se obtiene interpolando en la tabla de Coeficientes para barras rectangulares en torsin

Para , se tiene

a

b

3.Tubo cuadrado. Para un tubo de espesor t, el esfuerzo cortante est

dado por:

Donde es el rea bordeada por la lnea central de la seccin transversal. Se tiene

Se sustituye y se despeja el parde torsin permisible: