Primera Parte Ejercicios de Ex Menes Para DIPLOMA[1]

Ren A. Cantua Montenegro

Los ejercicios son tomados de las pruebas aplicadas en el programa del Diploma BI Pgina 1



COLECCIN DE PRUEBAS DE BACHILLERATO INTERNACIONAL

Cmo utilizar la coleccin de pruebas?

1. Esta coleccin est extrada de las diferentes pruebas del Bachillerato Internacional desde el ao 2000 hasta el presente 2011.

2. La coleccin de pruebas que se propone est dividida en: lgebra, trigonometra, estadstica y probabilidad y clculo diferencial e integral.

3. Cada ejercicio y/o problema tiene la nomenclatura P1 o P2 que quiere decir prueba 1 o prueba 2 respectivamente, adems se seala el ao en el que ha sido aplicado el ejercicio y/o problema en las evaluaciones. En algunas pruebas se especifica la zona en la que ha sido aplicada.

4. En los ejercicios y/o problemas P1 no se requiere el uso de calculadora y se recomienda se mantenga la naturaleza de dichos ejercicios y/o problemas.

5. Para los ejercicios y/o problemas en los que pida realizarlos en la misma hoja es necesario que el profesor estime sacar copias para no cambiar la escala en el caso de que la tenga o simplemente

para que las coordenadas no se alteren.



LGEBRA MATRICIAL

NOV 2001-P2

1. Sea una matriz X, que satisface la ecuacin matricial que se da a continuacin:

100T2 1 4 4

5 3 1 12X

a) Halle la inversa de la matriz 2 1

5 3

.

b) A partir de lo anterior, exprese X como el producto de dos matrices.

c) Halle la matriz X.

MAY 2003-P1

2. Las matrices A, B, X estn dadas por

3 1

5 6A

,

4 8

0 3B

,

baX

c d

, donde , , , a b c d Q .

Suponiendo que AX X B , halle los valores exactos de , , , a b c d .

MAY 2005-P1

3. Sean 2 4

1 7C

y 5 2

1 2D

.

La matriz de orden 2x2, Q es tal que 3 2Q C D .

a) Halle Q.

b) Halle CD.

c) Halle D-1.

NOV 2005-P2

4. Sean las matrices A, B, C estn definidas por

5 1

7 2A

, 2 4

3 15B

,

9 7

8 2C

.

Sea X una matriz de orden 2x2 que satisface la ecuacin AX B C .



Esta ecuacin puede ser resuelta de la forma 1X A D , donde D es una matriz de orden 2x2.

a) Escriba 1A .

b) Encuentre D.

c) Encuentre X.

MAY 2006-P1

5. Sea nS la suma de los primeros n trminos de la serie aritmtica 2 4 6 ...

a) Halle:

i. 4S .

ii. 100S .

Sea 1 2

0 1M

.

b)

i. Halle 2M .

ii. Compruebe que 3

1 0

0 1M

.

Se puede suponer ahora que 1 2

0 1

nn

M

, para 4n . La suma nT se define por

2 3 ... nnT M M M M

c)

i. Escriba 4M .

ii. Halle 4T .

d)

Utilizando los resultados obtenidos en la parte (a) (ii), halle 100T .



MAY2006-P2

6. Sea

x

X y

z

1 2 3

3 1 2

2 0 1

A

,

18

23

13

B

y

x

X y

z

.

a) Escriba la inversa de la matriz A.

b) Considere la ecuacin AX B .

i. Exprese X en trminos de 1A y de B.

ii. A partir de lo anterior halle X.

MAY2006-P1

7. Sea la expresin 3 9 5 4 8

7 8 2 7 15

b

a

.

a) i. Escriba el valor de a .

ii. Halle el valor de b .

b)

Sea la expresin 4 8 2 0 22 24

3 5 2 1 4 9 23q

.

i. Halle el valor de q .

MAY2006-P1

8. La matriz

1 2 0

3 1 1

2 2 1

A

tiene una matriz inversa 1

1 2 2

1 1 1

6

A

a b

.

a) Escriba el valor de

i. a .

ii. b

Considere las siguientes ecuaciones simultneas

2 7x y

3 10x y z

2 2 12x y z



b) Escriba estas ecuaciones como una ecuacin matricial. c) Resuelva la ecuacin matricial.

NOV2006-P1

9. Sea 3 2

4A

k

y 2 2

1 3B

. Halle en trminos de k.

a) 2A B

b) det 2A B

MAY2007-P1

10. Sea la matriz

1 3 0

2 0 1

4 1 3

A

.

a) Halle la inversa de la matriz A . b) A partir de lo anterior resuelva

3 1x y

2 2x z 4 3 1x y z

MAY2007-P1

11. Sea 1 1

3 1 4

xA

y

3

2

B x

.

a) Halle AB .

b) La matriz 20

28C

y 2AB C . Halle el valor de x.



MAY2007-P2

12. Sea 0 2

2 0A

.

a) Halle

i. 1A .

ii. 2A .

Sea 2

0

pB

q

b) Dado 2 6

24 3

A B

, encuentre el valor de p y q .

c) A partir de lo anterior encuentre 1A B .

d) Sea X una matriz de orden 2x2, dado AX B . Halle X.

MAY2008-P1

13. Sea 2 1

2 1M

.

a) Escriba el determinante de M.

b) Escriba 1M .

c) A partir de lo anterior, resuelva 4

8

xM

y

.

14. Sea 1 2

3 1A

y

3 0

2 1B

.

Halle:

i. A B .

ii. 3A .

iii. AB



MAY2008-P2

15. Sea

1 1 3

2 1 1

0 2 2

A

.

a) Escriba 1A .

La matriz B satisface la ecuacin

11

2I B A

, donde I es la matriz identidad de orden 3x3.

b)

i. Muestre que 12B A I . ii. Halle B.

iii. Escriba el det B .

iv. A partir de lo anterior, explique por qu 1B existe.

Sea BX C , donde

x

X y

z

y

2

1

1

C

.

c) i. Encuentre X.

ii. Escriba un sistema de ecuaciones tal que sus soluciones estn representadas por X.

NOV2008-P1

16. Sea 1 2

3 A

p

y 2 1

1 2

Bq

.

a) Encuentre AB en trminos de p y q .

b) La matriz B es la inversa de la matriz A . Encuentre el valor de p y q .



MAY2009-P1

17. Sea una matriz M y su inversa 1

5 0

1 2M

.

a) Encuentre M .

b) Resuelva la ecuacin matricial MX B , donde 1

7B

y x

Xy

.

MAY2009-P1

18. Sea 5 1

6 2A

y 2 1

6 5B

.

a)

i. Encuentre AB . ii. Escriba la matriz inversa de A .

Sea x

Xy

y 8

4C

.

b) Resuelva la ecuacin matricial AX C .

NOV2009-P2

19. Sea

3 0 1

2 3 0

4 2 1

A

.

a) Escriba 1A .

b) Sea B una matriz de orden 3x3. Dado

3 2 1 7 6 7

5 3 4 6 5 8

9 2 10 1 7 5

AB

. Encuentre B.



MAY2010-P1

20. Sean 1 2

3 4A

y 5

5B

.

a) Halle AB .

b) Resuelva 1A X B .

MAY2011-P1

21. Sea 3

2 3

xA

.

a) Halle el valor de x para el cual no existe 1A .

b) Sabiendo que 1A A , halle x.

MAY2011-P2

22. El siguiente sistema de ecuaciones lineales se puede escribir como una ecuacin matricial del tipo

MX N .

6 3 1x y z

4 2 4 12x y z

5 15x y z

a) Escriba las matrices M y N .

b) Resuelva la ecuacin matricial MX N .

c) A partir de lo anterior, escriba la solucin del sistema de ecuaciones lineales.



ALGEBRA DE FUNCIONES

MAY1999-P1

1.

a) Factorice .

b) Resuelva la ecuacin 2 3 10 0x x .

MAY1999-P1 2. El diagrama representa el grfico de la funcin

:f x x p x q

a) Escriba el valor de p y q .

b) La funcin tiene un valor mnimo en el punto C . Encuentre la coordenada x de C .

MAY1999-P1

3. Resuelva la ecuacin

2

1 193

x

x

.

MAY1999-P1

4. Encuentre el coeficiente de 5x en la potencia

83 2x .



MAY1999-P1

5. Las funciones f y g estn definidas como siguen

cos , 0 2f x x x

2 1, g x x x R

Resuelva la ecuacin 0g f x .

MAY2000-P1

6. Dos funciones f y g estn definidas como siguen

: 3 5

: 2 1

f x x

g x x

Encuentre:

i. 1 2f .

ii. 4g f

MAY2000-P1

7. Si log 2a x y log 5a y , encuentre en trminos de x y y , expresiones para

a) 2log 5

b) log 20a

MAY2000-P1

8. Encuentre el coeficiente de 5 7a b en la potencia

12a b .

MAY2000-P1

9. La ecuacin cuadrtica 24 4 9 0x kx , 0k tiene una solucin exacta para x. Encuentre el

valor de k.

MAY2000-P1



10. El diagrama muestra tres grficos.

Considere las condiciones dadas:

A representa el grfico de y x .

B representa el grfico de 2xy .

C es la reflexin del grfico B en el grfico A.

Escriba

a) La ecuacin de C en la forma y f x . b) Las coordenadas del punto donde C corta el eje x.

MAY2001-P1

11. El diagrama que se muestra es el grfico de la funcin 2y x px q . El grfico corta el eje x

en -2 y 3.

Encuentre el valor de

a) p

b) q



MAY2001-P1

12. Utilice el teorema del binomio para completar la potencia que sigue

4 4 33 2 81 216 ...x y x x y

MAY2001-P1

13. Los puntos P , Q tienen de coordenadas 4,0P y 5,7Q .

Encuentre la ecuacin de una recta perpendicular al segmento PQ y que pase por el punto P. D

su respuesta en la forma 0ax by c donde , , a b c son constantes.

MAY2001-P1

14. La funcin f est definida por

3: 3 2 ,

2f x x x

Evale 1 5f .

MAY2001-P1

15. El siguiente diagrama muestra el grfico de y f x . La funcin tiene un mnimo y un mximo

en 0,0 y 11, 2 respectivamente.



a) En el mismo diagrama, dibuje el grfico de 3

12

y f x .

b) Escriba las coordenadas del punto mnimo y mximo de 3

12

y f x ?

MAY2002-P1

16. Sea 2xf x y , 22

xg x x

x

.

Encuentre

a) 3g f .

b) 1 5g .

MAY2002-P1

17. Considere la potencia

9

2 13xx

.

a) Escriba el nmero de trminos que existe en la potencia. b) Encuentre el trmino constante en la potencia.

MAY2002-P1

18. Resuelva la ecuacin 27 27log 1 log 0.4x x .

MAY2002-P1

19. El diagrama muestra el grfico de 2

y a x h k . El grfico tiene vrtice en P y para por el

punto A que tiene de coordenadas 1,0 .



a) Escriba el valor de

i. h .

ii. k

b) Calcule el valor de a .

MAY2003-P1

20. Encuentre el trmino 10x en la potencia

725 2x .

MAY2003-P1

21. Dada la forma 5log x y , exprese en trminos de y

a) 2

5log x

b) 5

1log

x

c) 25log x

MAY2001-P1

22. Sea xf x e y , 11

xg x x

x

.

Encuentre:

a) 1f x

b) g f x



MAY2004-P1

23. Sea 2 1f x x .

a) En el plano cartesiano que se encuentra adjunto grafique f x para 0 2x .

b) Sea 3 2g x f x . En el mismo plano cartesiano grafique g x para 3 1x .

MAY2004-P1

24. Sea 10logp x , 10logq y y 10logr z .

Escriba la expresin 10 2logx

y z

en trminos de p , q y r .



MAY2004-P1

25. La ecuacin 2 2 1 0x kx , tiene dos races reales. Encuentre los posibles valores de k .

MAY2004-P1

26. Cuando la potencia 10

2 ax se desarrolla, el coeficiente del trmino que tiene 3x es 414720.

Encuentre el valor de a .

MAY2004-P1 (zona 2) 27.

a) Complete la fila del tringulo de Pascal cuando comienza 1, 6, 15, .........

b) Encuentre el coeficiente que tiene el trmino 8x en la potencia

621 x .

MAY2004-P1 (zona 2)

28.

a) El diagrama muestra el grfico de la funcin cuadrtica 2f x x bx c , sus intersecciones con el eje x son 2x y 3x .

b) El diagrama muestra el grfico de otra funcin cuadrtica g . Si puede dicha funcin

puede ser escrita de la forma 2

3g x a x h . El vrtice del grfico est en (2,3)

y su interseccin en el eje y est en 5.



i. Escriba el valor de h.

ii. Encuentre el valor de a .

MAY2004-P1 (zona 2)

29. Sea 8

f xx

y 2g x x .

a) Encuentre 1f x . b)

i. Escriba 1f g x . ii. Resuelva la ecuacin 1f g x x .

MAY2004-P1 (zona 2)

30. Escriba cada una de las expresiones en su forma ms simple

a) ln xe .

b) ln lnx y

e

.

c) 2

ln x ye .



MAY2005-P1

31. Considere la potencia 5

2 2x .

a) Escriba el nmero de trminos de la potencia. b) Los primeros cuatro trminos en orden descendente de x son

10 8 6 410 40 ...x x x Ax

Encuentre el valor de A.

MAY2005-P1

32. Encuentre la solucin exacta de la ecuacin 2 19 27x x .

MAY2005-P1

33.

a) Dado que 3 3 3log log 5 logx x A , exprese A en trminos de x.

b) A partir de lo anterior, resuelva la ecuacin 3 3log log 5 1x x .

MAY2005-P1

34. La funcin f est dada por 11 8xf x e .

a) Encuentre 1f x .

b) Escriba el dominio de 1f x .

MAY2005-P1

35. El grfico de y f x es el que se muestra en el diagrama.



a) En cada uno de los siguientes diagramas, dibuje el grfico que se pide.

i. 2y f x

ii. 3y f x

b) El punto 3, 1A est en el grfico de f . El punto 'A es el correspondiente punto en el

grfico 1y f x . Encuentre la coordenada de 'A .

MAY2006-P1

36. Resuelva las siguientes ecuaciones.

a) ln 2 3x .

b) 210 500x



MAY2006-P1 37.

a) Exprese 22 12 23y x x en la forma

22y x c d .

La grfica de 2y x se transforma en la grfica de 22 12 23y x x mediante las

transformaciones

Un estiramiento vertical de razn k seguido de

Una traslacin horizontal de p unidades seguida de

Una traslacin vertical de q unidades.

b) Escriba el valor de

i. k. ii. p.

iii. q.

MAY2006-P1 (zona 2)

38. El siguiente diagrama muestra el grfico de y f x .

Considere los cinco grficos A, B, C, D, E que se dan a continuacin.



a) Cul es el diagrama del grfico 2f x ?

b) Cul es el diagrama del grfico f x ?

c) Cul es el diagrama del grfico f x ?

MAY2006-P1 (zona 2)

39. Sea 2

4 8f x a x .

a) Escriba las coordenadas del vrtice de la curva de f .

b) Dado que 7 10f , encuentre el valor de a . c) A partir de lo anterior encuentre la intercepcin en el eje y de la curva.

MAY2006-P1 (zona 2)

40. Sea 3 4f x x y 2g x x .

a) Encuentre 2g f .

b) Encuentre 1f x .



MAY2006-P1

41.

a) Sea log 3c p y log 5c q . Encuentre una expresin en trminos de p y q para

i. log 15c .

ii. log 25c .

b) Encuentre el valor de d si 1

log 62

d .

MAY2007-P1

42. Uno de los trminos de la potencia 10

2x y . Halle el valor de a .

43. Sea 4, 4f x x x y 2 , g x x x R .

a) Halle 3g f .

b) Halle 1f x .

c) Escriba el dominio de 1f x .

MAY2007-P1

44. Considere dos funciones cuadrticas distintas, ambas de la forma 24 25f x x qx . El grfico de la funcin tiene su vrtice sobre el eje x.

a) Halle los valores de q posibles.

b) Para el mayor valor de q , resuelva la ecuacin 0f x . c) Halle las coordenadas del punto de interseccin de las grficas.

MAY2007-P1



45. El siguiente diagrama muestra la grfica de una funcin f . El punto 1, 1A pertenece a la grfica de la funcin. 1y es una asntota horizontal.

a) Sea 1 2g x f x . Dibuje aproximadamente la grfica de g en el diagrama anterior.

b) Escriba la ecuacin de la asntota horizontal de g .

c) Sea 'A el punto en la grfica de g que se corresponde con el punto A . Escriba las

coordenadas de 'A .

MAY2009-P1 (zona 2)

46. Sea 2f x x y 2 3g x x .

a) Encuentre 1g x .

b) Encuentre 4f g

MAY2009-P1 (zona 2)

47. El quinto trmino de la potencia n

a b est dado por 46

102

4p q

.

a) Escriba el valor de n .

b) Escriba a y b , en trminos de p y q .



c) Escriba una expresin para el sexto trmino de la potencia.

MAY2009-P1

48.

a) Encuentre 2log 32 .

b) Dado que 232

log8

x

y

puede ser escrita de la forma px qy . Encuentre el valor

de p y q .

MAY2009-P2 (zona 2)

49. Considere el grfico de f que se muestra a continuacin.

a) En el mismo dibujo, grafica y f x .

Los siguientes cuatro diagramas muestran las diferentes transformaciones de f .



b) Complete la siguiente tabla.

Descripcin de la Transformacin

Literal del diagrama

Estiramiento horizontal con un factor de escala

1.5

Traslacin de f a 1f x

c) D una descripcin geomtrica completa del diagrama A.



MAY2009-P2 (zona 2)

50. La ecuacin cuadrtica 2 3 1 0kx k x , tiene dos races reales iguales. a) Encontrar los valores posibles de k .

b) Escriba los valores de k para los cuales la ecuacin 2 3 0x k x k tenga dos races reales e iguales.

MAY2010-P1

51. Sea 28 2f x x x . El grfico de la funcin es el que se muestra a continuacin.

a) Encuentre las intercepciones del grfico en el eje x. b)

i. Escriba la ecuacin del eje de simetra. ii. Encuentre la coordenada y del vrtice.

MAY2010-P1

52.

a) Desarrolle la potencia 4

2 x y simplifique su resultado.

b) A partir de lo anterior, encuentre el trmino en 2x en la expresin

4

2

12 1x

x

.

MAY2010-P1

53. Sea 3log , 0f x x x .

a) Muestre que 1 23 xf x .

b) Escriba el rango o recorrido de 1f .



Sea 3log , 0g x x x

c) Encuentre el valor de 1 2f g , dar su respuesta como un nmero entero.

MAY2010-P1

54. Sea 3 21

33

f x x x x . El grfico de f se muestra a continuacin.

Hay un mximo en el punto A y un mnimo en el punto 3, 9B .

a) Encuentre las coordenadas de A .

b) Escriba las coordenadas de

i. La imagen de B despus de la reflejarse en el eje y.

ii. La imagen de B despus trasladarse por el vector 2

5

.

iii. La imagen de B despus de reflejarse en el eje x seguid por un estiramiento

horizontal con un factor de escala 1

2.

MAY2010-P1 (zona 2)

55. Sea f x p x q x r . El grfico de f es el que se muestra a continuacin.



El grfico pasa por los puntos 2,0 , 0, 4 y 4,0 . a) Escriba el valor de q y r .

b) Escriba la ecuacin del eje de simetra. c) Escriba el valor de p .

MAY2010-P1 (zona 2)

56. Resuelva la ecuacin 2 2log log 2 3, 2x x x

MAY2010-P2 (zona 2)

57. Encuentre el trmino que tenga 4x en la potencia

5

2 23xx

.

MAY2010-P2 (zona 2)

58. El nmero de bacterias, n, en una lavandera despus de t minutos est dado por 0.13800 tn e .

a) Encuentre el valor de n cuando 0t . b) Encuentre el incremento de n cuando 15t . c) Encuentre el tiempo en el que el nmero de bacterias es aproximadamente 10000.

MAY2011-P1

59. Sean 3lnf x x y 3ln5g x x .

a) Exprese g x de la forma lnf x a , donde a Z . b) La grfica de g es una transformacin de la grfica de f . D una descripcin

geomtrica completa de esta transformacin.



MAY2011-P2

60. Sean 3f x x , 2 5g x x y h x f g x .

a) Halle h x .

b) Halle 1h x

MAY2011-P2

61. Considere el desarrollo de la potencia 11

2x .

a) Escriba cuntos trminos contiene este desarrollo.

b) Halle el trmino en 2x .



ALGEBRA DE SUCESIONES

MAY2000-P1

1. En una progresin aritmtica, el primer trmino es 5 y el cuarto trmino es 40. Encuentre el segundo trmino.

MAY2000-P2

2. Encuentre la suma de la serie geomtrica infinita.

2 4 8 16...

3 9 27 81

MAY2002-P1 3. En una progresin aritmtica, el primer trmino es -2, el cuarto trmino es 16 y el n-simo trmino

es 11998.

a) Encuentre la diferencia comn d . b) Encuentre el valor de n .

MAY2003-P1

4. Sea la siguiente suma.

3 6 9 ... 3750 s

a) Calcule s .

MAY2004-P1

5. La siguiente tabla muestra cuatro series de nmeros. Una de esas series es geomtrica, una de ellas es aritmtica y las otras dos no son ni geomtricas ni aritmticas.

a) Complete la siguiente tabla de series escribiendo en el espacio correspondiente si es geomtrica, aritmtica o ninguna de ellas.



SERIES

Tipo de SERIES

i.

1 11 111 1111 11111 ...

ii. 3 9 27

1 ...4 16 64

iii.

0.9 0.875 0.85 0.825 0.8 ...

iv. 1 2 3 4 5

...2 3 4 5 6

b) La serie geomtrica puede ser una suma de infinito nmero de trminos. Encuentre dicha suma.

MAY2005-P1

6. Sea nS la suma de los primeros n trminos de una progresin aritmtica, cules son los tres

primeros trminos 1u , 2u y 3u , si se sabe que 1 7S y 2 18S .

a) Escriba 1u .

b) Calcule la diferencia comn de la secuencia.

c) Calcule 4u .

MAY2006-P1

7. Considere la serie geomtrica infinita 405 270 180 ...

a) Halle la razn comn para esta serie, dando su respuesta como una fraccin en su forma ms simple.

b) Halle el decimoquinto trmino de esta serie. c) Halle el valor exacto de la suma de la serie infinita.



MAY2006-P2 8.

a) Considere la progresin geomtrica 3, 6, 12, 24,...

i. Escriba la razn comn. ii. Encuentre el decimoquinto trmino.

Considere la progresin 3, 1, 2 8,...x x x

b) Cuando 5x , la progresin es geomtrica. i. Escriba los tres primeros trminos de la progresin.

ii. Encuentre la razn comn.

c) Encuentre el otro valor de x para el cual la progresin es geomtrica.

d) Para el valor de x del literal anterior, encuentre i. La razn comn.

ii. La suma de los infinitos trminos de la progresin.

MAY2007-P1

9. La poblacin de una ciudad a finales de 1972 era de 250000 habitantes. La poblacin aumenta en un 1,3% anual.

a) Escriba cuntos habitantes tendr a finales de 1973. b) Halle cuntos habitantes tendr a finales de 2002.

MAY2007-P1

10. Considere la progresin geomtrica infinita 25, 5, 1, 0.2,...

a) Encuentre la razn comn.

b) Encuentre i. El dcimo trmino.

ii. Una expresin para el n-simo trmino.

c) Encuentre la suma de los infinitos trminos de la progresin.



MAY2008-P1

11. Considere la progresin geomtrica infinita 2 3

3, 3 0.9 , 3 0.9 , 3 0.9 ,...

a) Escriba el dcimo trmino de la progresin. No simplifique su respuesta. b) Encuentre la suma de los infinitos trminos de la progresin.

MAY2010-P2

12. Considere la progresin aritmtica 3, 9, 15, ... , 1353 .

a) Escriba la diferencia comn. b) Encuentre el nmero de trminos en la secuencia. c) Encuentre la suma de la secuencia.

13. Una progresin aritmtica 1 2 3, , ,...u u u , tiene 11d y 27 263u .

a) Encuentre 1u .

b)

i. Dado que 516nu , encuentre el valor de n.

ii. Para este valor de n encuentre nS .

Primera Parte Ejercicios de Ex Menes Para DIPLOMA[1]

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