PRIMERA SESIÓN DE CLASE DE MATEMÁTICA PARA INGENIEROSECUACIONES DIFERENCIALESUna ecuación diferencial es aquella que relaciona una función (o variable dependiente), su variable o variables (variables independientes), y sus derivadas. Si la ecuación contiene solo derivadas respecto a una sola variable independiente, entonces, ésta se llama Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO); y si contiene derivadas parciales respecto a dos o más variables independientes, entonces, ésta se llama Ecuación Diferencial en derivadas parciales (EDP)Ejemplos:1.

dydx

−4 y=2

2. ( x+2 y )dx−3 ydy=0

3. d2 yd x2

−4( dydx )3

+3 y=0

4. x∂u∂ x

+ y ∂u∂ y

=u

5. ∂3u∂ x3

=∂2u∂ t 2

−4 ∂u∂t

ORDEN DE UNA EDO.- Está dado por el orden de la derivada más alta que aparece en la EDO.

GRADO DE UNA EDO.- Está dado por el exponente de la derivada de mayor ordenEjemplo1:

dydx

−4 y=2

Primer orden y primer gradoEjemplo 2:

d2 yd x2

−4( dydx )3

+3 y=0

Segundo orden y primer grado

Ejemplo 3:d3 y

d x3= 5√1+ d2 yd x2⇔( d

3 y

d x3 )5

=1+ d2 y

d x2

Tercer orden y quinto gradoEjemplo 4:

d2 y

d x2= 5√1+ d4 yd x4

⇔( d2 y

d x2 )5

=1+ d4 y

d x4

Cuarto orden y primer grado

ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA DE ORDEN nUna EDO de orden n, implícitamente está dado por:

F (x , y , y ' , y' ' ,…, y(n))=0(1)

Donde F :Ω⊂Rn+2→R con Ω un subconjunto (generalmente abierto) de Rn+2

Si en (1) es posible despejar y(n ), entonces, la EDO en forma explícita está dado por:

y(n )=f (x , y , y ' , y ' ' ,…, y(n−1))

EDO LINEALES DE PRIMER ORDENSon ED de la forma:

F (x , y , y ' )=0 (1)Si en (1) se puede despejar y ' entonces:

y '=f (x , y )⇔ dydx

=f ( x , y ) (2)Si (2) se puede expresar en la forma:

M (x )dx+N ( y )dy=0 (3)Entonces, a (3) se le llama EDO de variable separable y su solución se llama por integración directa.Ejemplo 1. Resolver:

dydx

+ ysenx=0

Ejemplo 2. Integrar:dydx

+( x+1 ) yx2−3 x+2

=0

ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A VARIABLE SEPARABLE

Las EDO de la forma:dydx

=f (ax+by+c )

se pueden transformar en ED de variable separable, haciendo:

z=ax+by+c

Ejemplo 3. Integrar:

dydx

=sen (x+ y )

Ejemplo 4. Resolver:y '−e xe y=−1

ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEASSon EDO de la forma: M (x , y )dx+N ( x , y )dy=0 donde M ,N son funciones homogéneas del mismo grado en x é y.Se resuelven haciendo el cambio siguiente:

y=μx (ó x=μy)

Nota: Una definición equivalente es: M (x , y )dx+N ( x , y )dy=0 es homogénea si se puede expresar en la forma:

dydx

=f ( yx) (ó dx

dy=f ( x

y) )

Ejemplo: x y2 y '=x3+ y3 ⇔ y '= x3

x y2+ y3

x y2=( xy)2

+ xy=f ( x

y)

RESOLVER LAS EDO QUE SE PLANTEAN:1. (6 x2−7 y2 )dx−14 xydy=0

2. dydx=yx+√( y

x)2

−1

3. (x3+ y2√x2+ y2 )dx−xy √ x2+ y2dy=0ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A

HOMOGÉNEASLas EDO no homogéneas de la forma:

dydx

=f (a1 x+b1 y+c1a2 x+b2 y+c2

)

Se pueden transformar en homogéneas mediante el cambio:

{ x=h+zy=k+w donde {L1:a1 x+b1 y+c1=0L2:a2 x+b2 y+c2=0 y (h , k )=L1∩L2.

RESOLVER LAS EDO QUE SE PLANTEAN:

1. dydx=x+ y−1x− y+1

2. (2 x−3 y+4 )dx+3 ( x−1 )dy=0 , y (3 )=2

3. (2 y2−3 x )dx+2xydy=0

4. dydx=√x+ y+√ x− y√x+ y−√x− y