Primera Unidad. - Geometria Euclidiana - EVA - VHVV

Víctor H. Vásconez V [GEOMETRIA PLANA]

OBJETIVOS DE LA UNIDAD.

• Familiarizarse con el empleo de los elementos simples de la Geometría Plana

• Iniciar en el estudiante el conocimiento basico de la Geometria Plana

CONTENIDO

• GENERALIDADES

• TERMINOS INDEFINIDOS

• SEGMENTOS

• APLICACIONES

Geometría Euclidiana

PRIMERA UNIDAD

…….. Primeramente como profesor, despuescomo compañero, yo le respetaba y admiraba,él sabia mucho, pero un dia se llevo todo…..;dejemos algo que pueda servir a otros

Homonimo


RESEÑA HISTÓRICA

Es importante, antes de emprender un estudio de la geometría Euclidiana, revisar algunosantecedentes históricos que nos permita tener una visión general de su desarrollo. TantoProclos, como Herodoto, consignan en sus escritos que la geometría tuvo sus orígenes enEgipto con la medición de áreas, ya que el río Nilo, al desbordarse, borraba las señales quelimitaban los terrenos de los agricultores. Precisamente, la palabra Geometría significa«medición de tierra». Hay evidencias históricas, también, de aplicaciones, geométricas,algunos miles de años antes de nuestra era en regiones tales como Mesopotamia,(comprendida entre los ríos Tigris y Eufrates) y algunas regiones del centro, sur y este de Asia,en las cuales se desarrollaron grandes obras de ingeniería en la construcción de edificios ysistemas de canalización y drenaje. Los babilonios (Mesopotamia), habían desarrollado laaritmética a muy buen nivel, permitiéndoles hacer cálculos astronómicos y mercantiles.

La geometría babilónica y egipcia, como podemos apreciar era eminentemente práctica. Se leutilizaba para resolver una serie de problemas de la vida cotidiana y no como una disciplinaespecial, metódica.

La geometría demostrativa se inicia en 600 a. c. con Tales de Mileto, comerciante originario deMileto, en la costa de Asia Menor. Conocido como uno de los «siete hombres sabios» de laantigüedad, también se dedico a la filosofía, matemática, astronomía y política, frecuentementese le llama «el padre de la geometría demostrativa», pues aplicó a sus trabajos losprocedimientos del razonamiento deductivo. A Tales se le acreditan los siguientes resultados,geométricos:

• Un diámetro biseca un círculo.• Los ángulos a la base de un triángulo isósceles son iguales.• Los ángulos opuestos formados por dos rectas que se intersecan son iguales.• Dos triángulos son congruentes si tienen un lado y dos ángulos iguales.• El ángulo inscrito en un semicírculo es ángulo recto

El siguiente matemático griego famoso es Pitágoras, nacido aproximadamente en el año 572 a.c. en la isla de Samos, isla del mar Egeo, cercano a la ciudad de Mileto. Pitágoras, 50 añosmás joven que Tales, razón por la cual se cree que fue discípulo de éste, es famoso no solopor el teorema que lleva su nombre, sino por sus estudios de música y sobre todo por haberfundado en el puerto de Crotona, al sur de Italia, la famosa escuela Pitagórica para el estudiode la filosofía,

Platón (427-347 a. c.), filósofo, fue otro de los personajes que influyeron en el desarrollo de lamatemática en Grecia, no por sus descubrimientos matemáticos, sino porque en su escuela erade primordial importancia que sus alumnos estudiaran geometría, ya que estaba convencidoque la geometría era un campo de entrenamiento muy importante para la mente, pura actitudmental que crea su estudio. A la entrada de la academia colocó un letrero que decía: «Quenadie entre si no sabe geometría».. El matemático más notable en esa universidad fueEuclides, quién fundó precisamente la escuela de matemáticas de Alejandría. No se sabe cuales su fecha de nacimiento y se cree que se educó en la Escuela Pitagórica de Atenas. Euclidesescribió sobre astronomía, música, óptica y otras materias, sin embargo, la obra que le diofama universal fueron "Los Elementos", trabajo cuya mayor parte es una colección de lostrabajos de sus predecesores, resumido en 13 libros o capítulos que incluyen 465proposiciones, muchas de las cuales no son de geometría sino de teoría de números y deálgebra, escrita como una sola cadena deductiva y que por cientos de generaciones se haconservado como un ejemplo de lógica.

Uno de sus máximos méritos es la selección y disposición sistemática de los teoremas en unorden meticulosamente lógico, procediendo paso a paso, teorema por teorema, desde lasproposiciones más simples, hasta las más complejas, estableciéndose como un modelo derazonamiento, llamado razonamiento deductivo.


Después de Euclides, el matemático de más renombre fue Arquímedes de Siracusa (287 - 212a. c.). Después de estudiar en Alejandría, regresó a Sicilia lugar donde escribió tres obrassobre geometría plana: «Medidas de una circunferencia», «Cuadratura de la parábola» y«Sobre espirales», que son ejemplos de rigor en las demostraciones. También dejó escritossobre la esfera, el cilindro, conos, así como estudios sobre mecánica y aritmética. El tercermatemático de la antigüedad fue Apolonio, quién nació en el año 262 a. c., en Perga, al sur deAsia Menor; 25 más joven que Arquímedes, estudió en Alejandría, donde murió alrededor delaño 200a.c.

Apolonio adquirió reputación entre sus contemporáneos como «el más grande geómetra»debido a su magnífica obra «Secciones cónicas», el último de los trabajos de la matemáticagriega considerada como una obra maestra. Escrita en ocho libros, contiene el estudio másacabado sobre el tema. La época de oro de la matemática griega llega a su fin con la muertede Apolonio. Pocas contribuciones geométricas se hicieron después de estos grandesmatemáticos. Herán (125 d. c.) calculó el área del triángulo en función de sus lados.

En 1572, se tradujo Los elementos de Euclides del griego, que sirvió como base para muchasotras traducciones siguientes. Después del período del renacimiento, inició el período quecorre hasta nuestros días y que se conoce con el nombre, de era moderna. Durante estaépoca y debido a efervescencia que causaron tantas obras de los grandes geómetras griegos,los matemáticos de la era moderna descubrieron una gran cantidad de proposiciones, a partirde las señaladas en Los elementos, dando lugar este cúmulo de conocimientos a lo que hoy seconoce como Geometría Moderna.

GEOMETRÍA.La geometría es la parte de las matemáticas que estudia las propiedades y las medidas de lasfiguras en el plano o en el espacio.

En el ámbito de las matemáticas, se distinguen varias clases de geometría:

GEOMETRÍA EUCLIDIANA.

GEOMETRÍA PLANA O PLANIMETRÍA.-Estudia las figuras planas, esto es aquellas figuras que se hallan en un mismo plano, en lasque para ubicar un punto, se requiere de dos coordenadas.

GEOMETRÍA DEL ESPACIO O ESTEREOMETRÍA.-Es la parte de la geometría que considera las figuras que no están en un mismo plano, Loscuerpos geométricos o sólidos son esquemas ideales de determinados cuerpos físicosconsiderando únicamente su forma y su tamaño, y que para su ubicación necesita trescoordenadas.

GEOMETRÍA ANALÍTICA O ALGORITMICA -Rama de la geometría en la que las líneas rectas, las curvas y las figuras geométricas serepresentan mediante expresiones algebraicas y numéricas usando un conjunto de ejes ycoordenadas. Cualquier punto del plano se puede localizar con respecto a un par de ejesperpendiculares dando las distancias del punto a cada uno de los ejes. Es decir establece unaconexión entre la geometría Euclidiana y el Álgebra.

Ejemplo;

Circulo; x² + y² = r² Recta Ax + By + C = 0 Elipse; 1by

ax

2

2

2

2=+

o,o

r

o,o o,oF F `

P


GEOMETRÍA DESCRIPTIVAParte de las matemáticas que tiene por objeto resolver los problemas de la geometría delespacio por medio de operaciones efectuadas en un plano y representar en él las figuras de lossólidos.

GEOMETRÍA PROYECTIVA:Rama de la geometría que trata de las proyecciones de las figuras sobre un plano

GEOMETRÍA NO EUCLIDIANAGeometría no euclidea, rama de la geometría basada en axiomas diferentes de los utilizadospor Euclides en sus Elementos de geometría.

FIGURAS GEOMÉTRICASEs un conjunto de puntos, tales como la recta, el plano y los sólidos. El punto representa alconjunto unitario (.)

FIGURAS DE ACUERDO A SU FORMA Y TAMAÑO.-

IGUALES.-Son figuras que tienen igual forma e igual tamaño.

DIFERENTES.-Son figuras que son diferentes en forma y en tamaño.

EQUIVALENTES.-Cuando tienen diferente forma pero igual área.

SEMEJANTES.-Cuando tienen diferente área e igual forma.

1.2 TÉRMINOS GEOMÉTRICOS NO DEFINIDOS

En la Geometría sintética actual (Axiomática), los conceptos fundamentales o primitivos no sedefinen, son llamados también términos indefinidos en razón de que no se pueden definirexactamente es decir se los enuncia estableciendo únicamente su existencia.

● Punto

● Línea

Términos Geométricos ● Superficie

No Definidos ● Cuerpo

● Medida

EL PUNTO.-Es una señal casi imperceptible, que es natural o artificial que se hace en una superficie, y secaracteriza por tener solo POSICIÓN y que no tiene LONGITUD, ESPESOR, NI ANCHURA.

Es lo que no tiene partes. No tiene dimensión, podemos considerarlo, como una posición delespacio. Se representa con los símbolos +, x ó o, que hacen referencia a la intersección de dosrectas y al centro de una circunferencia, respectivamente. Se identifican con letras mayúsculaso números. Existe una serie de puntos que cumplen una función u ocupan una posición que losdiferencia de los demás puntos. Los vértices, centros, puntos medios etc., son ejemplos deestos puntos que se conocen como puntos notables


PUNTOS COLINEALESSon los que pertenecen a una misma recta

PUNTOS CONSECUTIVOSSon los puntos que se marcan en el orden en que se mencionan. Ej. A, B, C, D, …..

LÍNEA.-Extensión considerada en una sola dimensión, que tiene POSICIÓN, LONGITUD pero no tieneESPESOR Y ANCHURA.

TIPOS DE LÍNEAS:

LÍNEA RECTA.-Es una línea engendrada por el movimiento de un punto en una misma dirección, Cuando elconjunto de puntos de una línea se encuentran estrictamente ordenados, se lo considera comouna recta.

SEMI RECTA.-Geométricamente es la parte de una recta que carece de punto de origen, una semirrecta esilimitada en un solo sentido, lo cual se indica con la punta de flecha.

RAYOParte de una recta que tiene punto de origen

En el lenguaje geométrico se considera a la semirrecta como un rayo

SEGMENTO DE RECTA.-Se llama segmento de recta a la porción de recta comprendida entre dos de sus puntos.

Diremos que dos segmentos son adyacentes, cuando tienen un extremo común

LÍNEA CURVA.-Es la que va cambiando constantemente de posición o dirección o la que no tiene ningunaporción recta.

LÍNEA QUEBRADA O POLIGONAL.-Es aquella que se compone de varias rectas, y tienen un punto en común.

A

BA

RAYO RAYO

SEMI-RECTA SEMI-RECTA

OO


LÍNEA POLIGONAL CONVEXA.-Es aquella que al prolongar en ambos sentidos uno cualquiera de sus lados toda la líneaquebrada poligonal queda situada en el mismo semiplano.

LÍNEA POLIGONAL CÓNCAVA.-Es cuando al prolongar en ambos sentidos alguno de sus lados, parte de la línea quebradapoligonal queda en un semiplano y parte de ella queda en el otro semiplano.

LÍNEA INCLINADA.-Es la oblicua (Plano o recta que se forma con otro u otra, un ángulo no recto) con relación alhorizonte.

LÍNEA MIXTA.-Es aquella que se encuentra conformada por porciones rectilíneas y curvilíneas.

LÍNEA ESPIRAL.-Curva engendrada por un punto que gira alrededor de otro mientras se acerca o se aleja de élen una dirección determinada.

SUPERFICIE O PLANO.-Extensión en que solo se considera dos dimensiones que son LONGITUD y ANCHURA. Eltipo de superficie dependerá del tipo de línea que la genere. Se puede concebir al plano comouna superficie llana, perfectamente lisa e ilimitada en todo sentido.

SEMI-PLANO.-Se llama a cada una de las dos partes en que una recta del plano lo divide.

SUPERFICIE CURVA.-Es la que en toda su extensión no presenta parte alguna plana.

SUPERFICIE QUEBRADA O POLIÉDRICA.-Es la superficie formada por distintos polígonos planos de dos en dos consecutivos y nocoplanarios.

HORIZONTE

C

B

A


A

SUPERFICIE MIXTA.-Es la que se compone de una o varias partes planas y de una o de varias partes curvas.

UN PLANO PUEDE ESTAR DETERMINADO POR:• Por tres puntos no colineales, ni coincidentes.• Una recta y un punto externo a ella.• Dos rectas que se cortan.• Dos rectas paralelas.

REPRESENTACIÓN DE UN PLANO.-• Un plano puede representarse a través de un triángulo.

Designación: Plano ABC

• Mediante una figura geométrica irregular en el interior del cual va una letra mayúscula. Ouna letra del alfabeto griego θ, Ø etc.

Θ Designación; Plano A , Plano θ

• Mediante un cuadrilátero, para su designación se considera los literales correspondientes alos vértices opuestos de la figura

Designación; * Plano AC* Plano DB

CUERPO GEOMETRICO.-Es una figura geométrica que se puede interpretar como parte del espacio limitada por carasplanas ó curvas y que se caracterizan por tener POSICIÓN, LONGITUD, ANCHURA yESPESOR.

Cuando en un sólido hacemos abstracción (prescindimos) de sus propiedades materiales(peso, color, sustancia, dureza, etc.), y consideramos únicamente su forma y su tamaño,obtenemos la idea abstracta de cuerpo geométrico.

MEDIDA.-Es el resultado de medir es decir de comparar la cantidad de magnitud que queremos medircon la unidad de esa magnitud. Este resultado se expresara mediante un número seguido de launidad que hemos utilizado

• La medida de una línea limitada (segmento rectilíneo o curvilíneo), es un numero positivoúnico, llamada longitud.(son unidades de longitud: m, cm,….etc.)

A

B

C

D

B

C

A


• La medida de un ángulo geométrico es un número positivo que representa la abertura, elargumento, su magnitud. (Las unidades de un ángulo estarán dadas en el sistemasexagesimal, centesimal o radial )

• El área, es un número positivo único que indica la medida de una superficie. (son unidadesde área: m2 , cm2,…….etc.),

• La medida del espacio que encierra un sólido (cuerpo), se determina por un numerollamado volumen. (Las unidades de volumen son: m3, cm3, ….etc.)

LUGAR GEOMÉTRICOEl lugar geométrico esta constituido por el conjunto de puntos que gozan de determinadapropiedad común, Así, por ejemplo, el lugar geométrico de los puntos que equidistan de unpunto dado, es una superficie esférica

1.3 GENERACIÓN DE FIGURAS.-• Un punto al desplazarse en una misma dirección genera una línea.• Una línea al desplazarse en el espacio y no sobre si misma genera un plano o una

superficie• Una superficie al desplazarse en el espacio y no sobre si misma engendra un sólido, (un

sólido puede considerarse como formado por un conjunto infinito de superficies o planos).

1. ¿Cómo se crea en nuestra mente la idea de forma geométrica?

2. ¿Qué diferencias hay entre cuerpo material y un cuerpo geométrico?

3. ¿Qué entiende por superficie de un cuerpo geométrico?

4. ¿Cómo puede interpretarse la línea partiendo de dos superficies?

5. ¿Cómo puede interpretarse el punto geométrico partiendo de dos líneas?

6. ¿Cómo se engendra una línea a partir de un punto?

7. ¿Cómo se engendra una superficie a partir de una línea?

8. ¿Cómo se engendra un cuerpo a partir de una superficie?

9. ¿Exponga una definición que sea válida para todas las figuras geométricas, es decir, para

los puntos, líneas, superficies y sólidos?

10. ¿Cuándo se dice que dos figuras geométricas son iguales?

11. En un cuerpo geométrico se tiene en cuenta:

• El peso

• El tamaño y la forma

• El color

12. La superficie de un cuerpo está formada:

• Por la parte interior del cuerpo

• Por la parte exterior del cuerpo

• Por los puntos que no pertenecen al cuerpo

Preguntas de Autoevaluación

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