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Funciones elpticas de JacobiEn esta pgina se estudia las oscilaciones de una partcula bajo la accin de dos muelles elsticos, como aplicacin de lasfunciones elpticas de Jacobi sn u, cn u, dn u que se definen del siguiente modo:

u =

0

d1 k2sin2

0 2

snu = sincnu = cos

dnu = 1 k2sin2Representamos la funcin elptica de Jacobi sn(x) para dos valores de k2: 0.1 y 0.9

x=linspace(0,10,200);[sn,cn,dn]=ellipj(x,0.1);hold onplot(x,sn,'b')[sn,cn,dn]=ellipj(x,0.9);plot(x,sn,'r')hold offylim([-1.05,1.05])xlabel('x')ylabel('sn(x)')legend ('0.1','0.9')title('Funciones elpticas de Jacobi')grid on

El pndulo

El principio de conservacin de la energa establece que la suma de la energa cintica de rotacin del pndulo ms lapotencial es constante. La energa potencial del centro de masa del slido rgido vale

mgh=mgb(1-cos ).

b es la distancia entre el centro de masa (c.m.) y el eje de rotacin O del slido rgido

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E =12I02 + mgb(1 cos)

Cuando el pndulo alcanza la mxima desviacin =0, y E=mgb(1-cos0)

mgb(1 cos0) =12I0

ddt 2 + mgb(1 cos)

ddt 2 =4mgbI0 sin2

2 sin2

02

Despejando el tiempo dt en la ecuacin diferencial

dt =mgb

I0

d2

sin202 sin2

2

Sustituyendo

sin =sin

2

sin02 k = sin

02

2 = arcsin(k sin)

d2 =

kcos d1k2sin 2

resulta

dt =mgb

I0

d1 k2sin2

Integramos

t =mgb

I0

0

d1 k2sin2

Despejamos la posicin angular en funcin del tiempo t del siguiente modo

2tP0 = u

snu = sin

snu =sin

2

sin02 =

sin2

k

= 2asin ksn 2tP0 , k

Representamos en color azul la posicin angular en funcin del tiempo t/P0 y la comparamos con la aproximacin delas oscilaciones de pequea amplitud =0sin(2t/P0) en color rojo. La amplitud es 0=/6 (30).

ang=pi/6; %30k=sin(ang/2);t=0:0.01:3; x=2*asin(k*ellipj(2*pi*t,k));xx=ang*sin(2*pi*t);plot(t,x,'b',t,xx,'r');xlabel('t/P_0')ylabel('\theta')title('Posicin angular en funcin del tiempo')grid on

( )( ) ( )

( ( ))


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Oscilador

Sea un bloque de masa m unido a dos muelles elsticosiguales de constante k. La longitud de los muelles si deformares l0, cuando el sistema est en la posicin de equilibrioestable x=0.

Cuando se separa el bloque una distancia x de la posicin deequilibrio y se suelta, empieza a oscilar con un periodo P.

Ecuacin del movimiento

La fuerza F que ejerce cada uno de los muelles sobre el bloque es

F = k x2 + l20 l0

La resultante es

R = 2Fcos = 2F

xx2 + l20

= 2k 1

l0x2 + l20

x

La ecuacin del movimiento es

( )

( )



md2xdt2 = 2k 1

l0x2 + l20

x

Esta ecuacin, se resuelve aplicando procedimientos numricos con las condiciones iniciales siguientes: en el instanteinicial t=0, x=A, y v=dx/dt=0, siendo A la amplitud de la oscilacin.

Solucin analtica

La ecuacin del movimiento se escribe

d2xdt2 +

2km x 1 1 +

xl0 2

1/2

Cuando x

t =1A

2ml20k

z

0

dz1 z22 z2

Al0kmt =

z

0

dz

1 z2 1 12z2

Se hace el cambio de variable z=sin

Al0kmt =

0

d1

12sin2

Al0kmt = u

snu = sin = z

Las funciones sn y cn estn relacionadas

sn2 u+cn2 u=1

Deshacemos el cambio de variable de z a x.

x = A1 z2 = A1 sn2u = Acnu

x = AcnAl0

kmt

Tomando l0=1, k/m=60, representamos el desplazamiento x del oscilador en funcin del tiempo t, para dos valores de laamplitud A=0.15 y A=0.3

k_m=sqrt(60);A=0.15;t=0:0.2:25;[sn,cn,dn]=ellipj(A*k_m*t,1/2);hold onplot(t,cn*A,'b')A=0.3;[sn,cn,dn]=ellipj(A*k_m*t, 1/2);plot(t,cn*A,'r')hold offxlabel('t')ylabel('x')legend ('0.15','0.3')title('Desplazamiento en funcin del tiempo')grid on

( )



Periodo del movimiento

El tiempo que tarda en describir un cuarto de periodo P es

P4 =

2ml20k

0

A

dxA4 x4

Haciendo el cambio de variable x=Acos

P4 =

l0A

mk

/2

0

d1

12sin2

El ltimo trmino es la integral elptica completa de primera especie. Su valor aproximado es 1.8541. Vase tabla deintegrales elpticas de primera especie (Puig Adam P., Clculo Integral. Editorial Biblioteca Matemtica 1972, pg. 72)

>> k2=1/2;>> ellipke(k2)ans = 1.8541

P 7.4164l0A

mk

En la figura, se muestra cmo el periodo P depende de la amplitud A

La curva en color rojo, la amplitud es A=0.3, el periodo es P=3.19 s

La curva en color azul, la amplitud es A=0.15, el periodo es P=6.38 s

Referencias

Mohazzabi P. Theory and examples of intrinsically nonlinear oscillators. Am. J. Phys. 72 (4) April 2004, pp. 492-498

Detcheva V., Spassov V., A simple nonlinear oscillator: analytical amd numerical solution. Phys. Educ. 28 (1993)pp. 39-42

Puig Adam P., Curso terico prctico de Clculo Integral aplicado a la Fsica y Tcnica. Editorial BibliotecaMatemtica 1972, pgs. 71-76

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