Principio de Arquimedes, lujo de fluidos, ecuación de Bernoulli

8/7/2019 Principio de Arquimedes, lujo de fluidos, ecuación de Bernoulli

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Universidad Nacional Autónoma de MéxicoColegio de Ciencias y Humanidades

Plantel Vallejo

Lucero Huerta Macías



Dedicatoria

Este trabajo se lo he dedicado a mi familia,pues ellos me apoyaron en todo lo quenecesite al realizarlo, a mi maestro, ya que

me impulso a realizarlo, y a mis amigos, pues

me animaron para continuarlo y finalizarlo.



ÍndicePortada…………………………………………………………………….….. 1

Dedicatoria……………………………………………………………….... 2

Índice………………………………………………………………………..... 3

Principio de Arquímedes………………………………………….... 4

Flujo de Fluidos……………………………………………………….... 20Presión y Velocidad…………………………………………………... 37

La Ecuación de Bernoulli………………………………………..…. 51

Aplicación de la Ecuación de Bernoulli…………………….. 70



Principio de Arquímedes

Los objetos parecen perder peso cuando sesumergen en agua.

El objeto puede incluso flotar en la superficie

debido a la presión hacia arriba ejercida por elagua.



Arquímedes (287-212 a.C.), fue el primero queestudió el empuje vertical hacia arriba ejercidopor los fluidos. El principio de Arquímedes se

enuncia en la siguiente forma:

Un objeto que se encuentra parcial ototalmente sumergido en un fluido

experimenta una fuerza ascendente(empuje) igual al peso de fluido desalojado.



Se puede demostrar estudiando las fuerzas queejerce el fluido sobre un cuerpo que se

encuentra suspendido en él.

Considere un disco de área A y de altura H queestá totalmente sumergido en un fluido, como

se muestra en la siguiente figura.



El empuje que se ejerce sobre el disco es igual al peso del fluido que sedesaloja.



Recuerda que la presión a cualquierprofundidad h en el fluido está dada por:

P = pgh

donde p es la densidad de masa del fluido y g es la aceleración de la gravedad.



Si deseamos representar la presión absolutadentro del fluido, tenemos que sumar tambiénla presión externa ejercida por la atmósfera.



La presión total hacia abajo P1 ejercida sobre laparte superior del disco, según la figura

anterior, es por lo tanto:

P1 = Pa + pgh1 (hacia abajo)

donde Pa es la presión atmosférica y h1 es laprofundidad en la parte superior del disco.



En forma similar, la presión hacia arriba P2en la

parte inferior del disco es

P2 = Pa + pgh2 (hacia arriba)

donde h2 es la profundidad medida en la parteinferior del disco.



Puesto que h2 es mayor que h1, la presión

registrada en la parte inferior del disco esmayor que la presión en su parte superior, locual da por resultado una fuerza neta hacia

arriba.



Si representamos la fuerza hacia abajo como F 1

y la fuerza hacia arriba como F 2, podemosescribir:

F 1 = P1 A F 2 = P2 A



La fuerza neta hacia arriba ejercida por el fluidosobre el disco se llama empuje y está dada

por:

F B = F 2 – F 1 = A(P2 – P1 )

= A (Pa + pgh2 – Pa – pgh1 )

= Apg(h2 – h1 ) = ApgH

donde H = h2 – h1 es la altura del disco.



Finalmente, si recordamos que el volumen deldisco es V = AH, obtenemos este importante

resultado:

F B = Vpg = mg

empuje = peso del fluido desalojado

que es el principio de Arquímedes.



Debemos recordar que la ecuación (F B = Vpg =

mg) nos permite calcular únicamente el

empuje ocasionado por la diferencia depresiones. No representa en realidad la

fuerza resultante. Un cuerpo se sumergirá siel peso del fluido que desaloja (el empuje) es

menor que el peso de dicho cuerpo.



Si el peso del fluido desalojado es exactamenteigual al peso del cuerpo sumergido, éste ni se

hunde ni se va hasta arriba. En este caso, elcuerpo estará en equilibrio. Si el peso delfluido desalojado excede al peso del cuerpo

sumergido, el cuerpo se elevará hasta la

superficie y flotará. Cuando el cuerpo flota yalcanza el equilibrio en la superficie,desplazará su propio peso de líquido.



La siguiente figura demuestra esto mediante eluso de un recipiente cilindro con vertedero yun vaso para recibir el fluido desalojado por

un bloque de madera.



Un cuerpo que flota desaloja su propio peso de fluido.



Flujo de Fluidos

El estudio de fluidos en condiciones de reposo,es considerablemente más sencillo que el

estudio de fluidos en movimiento.



Ante todo, consideraremos que todos los fluidosen movimiento muestran una corriente

laminar o flujo aerodinámico.

El flujo aerodinámico es el movimiento deun fluido en el cual cada partícula en el

fluido sigue la misma trayectoria (pasa por un punto particular) que siguió la partícula anterior.



En la siguiente figura muestra las líneas decorriente de flujo de aire que pasan por dosobstáculos estacionarios.



Flujos laminar y turbulento en la trayectoria de un fluido.



Se puede observar que las líneas de corrientese rompen cuando el aire pasa sobre elsegundo obstáculo, generando corriente

turbulenta y remolinos.



Estos pequeños remolinos representan el flujoturbulento y absorben gran parte de laenergía del fluido, incrementando el arrastre

por fricción a través del fluido.



Vamos a considerar, además, que los fluidosson incompresibles y que no presentan unafricción interna apreciable.



En estas condiciones, se pueden hacer algunaspredicciones acerca de la velocidad de flujode fluido a lo largo de una tubería o de otro

recipiente.

El gasto se define como el volumen de

fluido que pasa a través de ciertasección transversal en la unidad detiempo.



Para expresar esta relación en formacuantitativa, consideraremos el caso de unlíquido que fluye a lo largo de una tubería

como se ilustra en la siguiente figura.



Cálculo de la velocidad de un fluido que circula por un tubo.



El líquido fluye a lo largo de la tubería con unavelocidad media v . En un intervalo de tiempot , cada partícula en la corriente se mueve através de una distancia vt . El volumen V que

fluye a través de la sección transversal A estádado por:

V = Avt



Por lo tanto, el gasto (volumen por unidad detiempo) se puede calcular partiendo de:

Gasto = velocidad × sección transversal

vAt

Avt R ==



Las unidades de R expresan la relación de unaunidad de volumen entre una unidad de

tiempo.

Ejemplos:

Pies cúbicos por segundo

Metros cúbicos por segundoLitros por segundo

Galones por minuto



Si el fluido es incompresible y no tomamos encuenta los efectos de la fricción interna, elgasto R permanecerá constante.



Esto significa que una variación en la seccióntransversal en la tubería, como se muestra enla siguiente figura, da por resultado un cambioen la velocidad del líquido, de tal modo que el

producto vA permanece constante.Simbólicamente escribimos:

R = v1 A1 = v 2 A2



En el flujo laminar, el producto de la velocidad del fluido por el área dela sección transversal del tubo es constante en cualquier punto.



Un líquido fluye con más rapidez a través deuna sección estrecha de tubería y máslentamente a través de secciones más

amplias. Este principio es la causa de que elagua fluya más rápido cuando las orillas de unarroyo en algunas partes están más cercanas

entre sí.



Presión y Velocidad

La velocidad de un fluido aumenta cuando fluyea través de un angostamiento. Un incrementoen la velocidad únicamente se puede deber a

la presencia de una fuerza de aceleración.



Para acelerar un líquido que entra a laconstricción, la fuerza del empuje proveniente

de la sección transversal amplia debe sermayor que la fuerza de resistencia de la

constricción.

La presión en los puntos A y C, de la siguiente

figura, debe ser mayor que la presión en B.



El incremento de la velocidad de un fluido que se desplaza a través deuna sección más estrecha de un tubo provoca una caída en la presión.



Los tubos insertados en la tubería sobre dichospuntos indican claramente la diferencia de

presión. El nivel del fluido en el tubo situadosobre la parte angosta es más bajo que elnivel en las áreas adyacentes. Si h es la

diferencia de altura, la diferencia de presión

está dada por:

P A– PB= pgh



Esto es cierto si se supone que la tubería estáen posición horizontal y que no se producen

cambios de presión debido al cambio deenergía potencial.

Como se muestra en la figura anterior, muestrael principio del medidor venturi.



Partiendo de la determinación de la diferencia

de la presión, este dispositivo hace posible elcálculo de la velocidad del agua en una

tubería horizontal.



El efecto venturi tiene muchas otras

aplicaciones tanto para líquidos como paragases. El carburador de un automóvil utiliza el

principio venturi para mezclar vapor degasolina y aire.



El aire que pasa a través de una constricción ensu camino hacia los cilindros, origina un área

de baja presión a medida que aumenta suvelocidad. La disminución en la presión se usapara enviar combustible a la columna de aire,

donde se vaporiza rápidamente.



En la siguiente figura se muestran dos métodosque se pueden usar para demostrar la

disminución de la presión debida al aumentode velocidad. Un ejemplo más sencilloconsiste en soplar aire por encima de lasuperficie de una hoja de papel, como se

puede ver también en la siguiente figura (a).



Demostraciones de la disminución de presión que resulta de unincremento en las velocidades del aire.



La presión en la corriente de aire por encima

del papel se reducirá. Esto permite que elexceso de presión en la parte inferior empujeal papel hacia arriba.



Una segunda demostración requiere de uncarrete, un disco de cartulina y un alfiler,

anterior figura (b). El alfiler se clava a travésdel disco de cartulina y se coloca en uno delos extremos del carrete, como lo muestra la

figura.



Si se sopla a través del extremo abierto,

descubrirá que el disco se adhiere más al otroextremo. Uno esperaría que el disco decartulina se despegara de inmediato.



La explicación es que el aire que fue soplado enel carrete debe escapar a través del estrecho

espacio entre el disco y el extremo delcarrete. Esta acción crea un área de baja

presión, lo que permite que la presiónatmosférica externa empuje al disco contra el

carrete.



La Ecuación de Bernoulli

En el estudio sobre fluidos, hemos destacadocuatro parámetros: la presión P, la densidad r ,la velocidad v y la altura h sobre algún nivel

de referencia.



El primero en establecer la relación entre estas

cantidades y su capacidad para describirfluidos en movimiento fue el matemático suizo

Daniel Bernoulli (1700 - 1782).



Los pasos que condujeron al desarrollo de estarelación fundamental se pueden comprender

considerando la siguiente figura.



Deducción de la ecuación de Bernoulli.



Puesto que un fluido tiene masa, debeobedecer las mismas leyes de la conservaciónestablecidas para los sólidos.



En consecuencia, el trabajo necesario paramover cierto volumen de fluido a lo largo de la

tubería debe ser igual al cambio total enenergía potencial y cinética. Consideremos el

trabajo requerido para mover el fluido delpunto a al punto b en la figura anterior.



El trabajo neto debe ser la suma del trabajorealizado por la fuerza de entrada F 1 y el trabajo

negativo efectuado por la fuerza de resistencia F 2.

Trabajo neto = F 1 s1 - F 2 s2

Pero F 1 = P1 A1 y F 2 = P2 A2, de modo que

Trabajo neto = P1 A1s1 - P2 A2s2



El producto del área y la distancia representa elvolumen V del fluido que se mueve a través

de la tubería.



Puesto que este volumen es el mismo en laparte inferior que en la parte superior de la

tubería, podemos sustituir

V = A1s1 = A2s2

y obtener

Trabajo neto = P1V 1 – P2V 2 = (P1 – P2 )V



La energía cinética Ek de un fluido se define

como½ mv 2, donde m es la masa del fluido y v es su

velocidad. Puesto que la masa permanececonstante, únicamente hay un cambio en la

energía cinética ∆Ek debido a la diferencia develocidad de fluido.



En nuestro ejemplo, el cambio de energía

cinética es:

∆Ek = ½mv 22 – ½mv 1

2



La energía potencial de un fluido a una altura h

sobre algún punto de referencia se definecomo mgh, donde mg representa el peso del

fluido. El volumen del fluido que se mueve a lolargo de la tubería es constante.



Por consiguiente, el cambio en la energíapotencial ∆E p es el resultado del incremento

de altura del fluido de h1 a h2:

∆E p = mgh2 – mgh1



Ahora estamos preparados para aplicar el

principio de la conservación de la energía.El trabajo neto realizado sobre el sistema debeser igual a la suma de los incrementos en

energía cinética y energía potencial.



Por lo tanto,

Trabajo neto = ∆Ek + ∆E p

(P1 – P2 )V = (½mv 22 – ½mv 1

2 ) + (mgh2 – mgh1 )



Si la densidad del fluido es ρ, podemos sustituirV = m/ ρ, lo que nos da:

)()2

1

2

1()( 12

2

1

2

221 mghmghmvmvm

P P −+−=−

ρ



Si se multiplica por ρ/m y se reordenan lostérminos se obtiene la ecuación de Bernoulli:

2

222

2

1112

1

2

1v gh P v gh P ρ ρ ρ ρ ++=++



En vista de que los subíndices 1 y 2 se refierena dos puntos cualesquiera, la ecuación deBernoulli se puede enunciar en una forma

más simple como

constante2

1 2=++ v gh P ρ ρ



La ecuación de Bernoulli encuentra aplicaciónen casi todos los aspectos del flujo de fluidos.

La presión P debe reconocerse como lapresión absoluta y no la presión manométrica.

Recuerda que ρ es la densidad y no el pesoespecífico del fluido. Las unidades de cada

término de la ecuación de Bernoulli sonunidades de presión.



Aplicaciones de la

Ecuación de Bernoulli

En gran número de situaciones físicas, lavelocidad, la altura o la presión de un fluido

son constantes. En tales casos, la ecuación deBernoulli adquiere una forma simple.



Por ejemplo, cuando un líquido es estacionario,tanto v 1 como v 2 valen cero. La ecuación deBernoulli nos mostrará que la diferencia de

presiones es:

P2 – P1 = ρg(h1 – h2 )

Esta ecuación es idéntica a la relaciónestudiada para fluidos en reposo.



Otro resultado importante se presenta cuandono hay cambio en la presión (P1 = P2 ). En la

siguiente figura un líquido sale de un orificiosituado cerca del fondo de un tanque abierto.



Teorema de Torricelli.



Su velocidad cuando sale del orificio puededeterminarse a partir de la ecuación de

Bernoulli. Debemos suponer que el nivel dellíquido en el tanque desciende lentamente encomparación con la velocidad de salida, de tal

modo que la velocidad media en la parte

superior puede considerarse cero.



Además, debe tomarse en cuenta que lapresión del líquido tanto en la parte superior

puede considerarse cero. Además debetomarse en cuenta que la presión del líquidotanto en la parte superior como en el orificio

es igual a la presión atmosférica.



Entonces, P1 = P2 y v 2 = 0, lo que reduce laecuación de Bernoulli a:

O bien:

221

21 ghv gh ρ ρ ρ =+

ghhh g v 2)(2 12

2

1 =−=



Esta relación se conoce como teorema deTorricelli:

ghv 2=



Note que la velocidad de salida de un líquido ala profundidad h es la misma que la de unobjeto que se dejara caer del reposo desde

una altura h.



La velocidad a la cual un líquido fluye desde unorificio está dada por vA según la ecuación:

F B = Vρg = mg

empuje = peso del fluido desalojado



La relación de Torricelli nos permite expresar elgasto en términos de la altura del líquido

sobre el orificio.

O sea,

gh AvA R 2==

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