Principio de d'Alembert

Retrato de Jean d'Alembert.

El principio de d'Alembert, enunciado por Jeand'Alembert en su obra maestra Tratado de la dinmicade 1743, establece que la suma de las fuerzas externasque actan sobre un cuerpo y las denominadas fuerzas deinercia forman un sistema de fuerzas en equilibrio. A esteequilibrio se le denomina equilibrio dinmico.

1 Enunciado e HistoriaEl principio de d'Alembert establece que para todas lasfuerzas externas a un sistema:P

i( _pi Fi) ri = 0

Donde la suma se extiende sobre todas las partculas delsistema, siendo:

pi , cantidad de movimiento de la partcula i-sima.Fi , fuerza externa sobre la partcula i-sima.ri cualquier campo vectorial de desplaza-mientos virtuales sobre el conjunto de partcu-las que sea compatible con los enlaces y res-tricciones de movimiento existentes.

El principio de d'Alembert es realmente una generaliza-cin de la segunda ley de Newton en una forma aplica-ble a sistemas con ligaduras, ya que incorpora el hechode que las fuerzas de ligadura no realizan trabajo en unmovimiento compatible. Por otra parte el principio equi-vale a las ecuaciones de Euler-Lagrange. Lagrange useste principio bajo el nombre de principio de velocidadesgeneralizadas, para encontrar sus ecuaciones, en la me-moria sobre las libraciones de la Luna de 1764, abando-nando desde entonces el principio de accin y basandotodo su trabajo en el principio de D'Alembert durante elresto de su vida y de manera especial en su McaniqueAnalytique. Tal cambio de actitud pudo estar inuido pordos razones:[1]

En primer lugar, el principio de accin estaciona-ria est ligado a la existencia de una funcin poten-cial, cuya existencia no requiere en el principio ded'Alembert.

En segundo lugar, el principio de accin se presta ainterpretaciones loscas y teleolgicas que no legustaban a Lagrange.

Finalmente debe sealarse que el principio de d'Alembertes peculiarmente til en la mecnica de slidos dondepuede usarse para plantear las ecuaciones de movimien-to y clculo de reacciones usando un campo de despla-zamientos virtuales que sea diferenciable. En ese caso elclculo mediante el principio de D'Alembert, que tam-bin se llama en ese contexto principio de los trabajosvirtuales es ventajoso sobre el enfoque ms simple de lamecnica newtoniana.

2 DerivacinEl principio de D'Alembert formalmente puede derivarsede las leyes de Newton cuando las fuerzas que intervie-nen no dependen de la velocidad. La derivacin resultade hecho trivial si se considera un sistema de partculastal que sobre la partcula i-sima acta una fuerza exter-na Fi ms una fuerza de ligadura Ri entonces la mecnicanewtoniana asegura que la variacin de momentum vienedada por:

_pi = d(mvi)dt = mdvidt = Fi + Ri

Si el sistema est formado por N partculas se tendrn Necuaciones vectoriales de la forma _piFi=Ri si se multi-plica cada una de estas ecuaciones por un desplazamiento

1

2 4 CONSECUENCIAS

arbitrario compatible con las restricciones de movimien-to existentes:

( _pi Fi) ri = Ri ri = 0

Donde el segundo trmino se anula, precisamente por es-cogerse el sistema de desplazamientos arbitrario de modocompatible, donde matemticamente compatible implicaque el segundo trmino es un producto escalar nulo. Fi-nalmente sumando las N ecuaciones anteriores se sigueexactamente el principio de D'Alembert.

3 Ejemplos de uso

Viga simplemente apoyada con voladizo adicional.

Campo virtual de velocidades sobre la viga anterior, para elclculo de reacciones.

Considrese una viga simplemente apoyada con un tramoen voladizo y otro tramo simplemente apoyado. Si se co-noce explcitamente la fuerza en el voladizo, el principiode los trabajos virtuales permite determinar fcilmente elvalor de las reacciones mecnicas. Para ello, basta consi-derar un movimiento virtual consistente en imaginar ungiro alrededor de la rtula B, para ese movimiento virtualel campo de velocidades sera:

v(x) = !(x L1)^j

Mientras que la suma de potencias virtuales, sera:

(*) RA vA + RB vB + F vC = 0

Donde:

vA = v(0) = +!L1j^vB = v(L1) = 0vC = v(L1 + L2) = !L2j^substituyendo estos valores en la expresin (*) se obtieneque:

jRAj!L1 + 0 + jFj!L2 =0; jRAj = jFjL2L1

4 Consecuencias

4.1 Ecuaciones de Euler-Lagrange

El principio de d'Alembert, en el caso de existir ligadurasno triviales, lleva a las ecuaciones de Euler-Lagrange sise usa conjunto de coordenadas generalizadas indepen-dientes, que implcitamente incorporen dichas ligaduras.Consideremos un sistema de N partculas en el que exis-tan m ligaduras:

Gk(r1; ; rN ) = 0

Por el teorema de la Funcin Implcita existirn n = 3N-mcoordenadas generalizadas yN funciones vectoriales talesque:

ri = hi(q1; :::; qn)

El principio de d'Alembert en las nuevas coordenadas seexpresar simplemente como:

(4)PNi=1(Fi _pi) ri = Pnj=1(Qj Wj)qj ) (Qj Wj) = 0

La ltima implicacin se sigue de que ahora todas las qjson independientes. Adems la fuerza generalizada Qj yel trminoWj vienen dados por:

Qj =Xi

Fi@ri@qj

; Wj =Xi

_pi@ri@qj

=Xi

_pi@ _ri@ _qj

=

"Xi

d

dt

pi@ _ri@ _qj

Xi

pid

dt

@ri@qj

#

Expresando Wj en trminos de la energa cintica T te-nemos:

Wj =P

iddt

@T@ _ri

@ _ri@ _qj

Pi @T@ _ri @ _ri@qj =

ddt

@T@ _qj

@T@qj

Y por tanto nalmente usando (4) llegamos a las ecuacio-nes de Euler-Lagrange:

(5) ddt@T@ _qj

@T@qj = Qj

Si las fuerzas son adems conservativas entonces pode-mos decir que existe una funcin potencial U(Wj) y po-demos denir el lagrangiano L = T U , simplicandoan ms la expresin anterior.

34.2 Sistemas en movimiento aceleradoOtra consecuencia del principio de D'Alembert es que co-nocidas las aceleraciones de un cuerpo rgido las fuerzasque actan sobre el mismo se pueden obtener mediantelas ecuaciones de la esttica. Dicho de otra manera, si seconocen todas las aceleraciones un problema dinmicopuede reducirse a un problema esttico de determinacinde fuerzas. Para ver esto necesitamos denir las fuerzasde inercia dadas por:

Fin = mrc; Min = ddt (Ic!c)

Donde:

rc(t) es la aceleracin conocida por un puntodel slido.!(t) es la velocidad angular conocida del sli-do.m; Ic(t) son respectivamente la masa y elmomento de inercia del slido con respecto aun sistema de ejes que pase por el punto c.

En estas condiciones las ecuaciones del movimiento pue-den escribirse como un problema de esttica donde existeuna fuerza adicional Fin y un momento adicional Min :

Fin +Pf

i=1 Fi = 0; Min +Pmj=1Mi = 0

5 Referencias[1] Fernndez Raada, 2005, p. 133.

5.1 Bibliografa L. Meirovichm: Methods of analytical dynamics,

McGraw-Hill, New York, 1970. H. Goldstein:Mecnica clsica, 2 edicin, Revert,

Barcelona, 1987. Ferndez Raada, Antonio (2005). 4. En Fondo

de Cultura Econmica. Dinmica Clsica (1 edi-cin). Mxico DF. pp. 131133. ISBN 84-206-8133-4.

6 Vase tambin Dinmica Principio de los trabajos virtuales Desplazamiento virtual

4 7 TEXT AND IMAGE SOURCES, CONTRIBUTORS, AND LICENSES

7 Text and image sources, contributors, and licenses7.1 Text

Principio de d'Alembert Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Principio%20de%20d'Alembert?oldid=76524181 Colaboradores:Tano4595, Schummy, Guanxito, Yrbot, Fmercury1980, Davius, Fsd141, Botones, JAnDbot, TXiKiBoT, Humberto, Alesico, VolkovBot,AlleborgoBot, Muro Bot, SieBot, PaintBot, Loveless, Alejandro linconao, Bigsus-bot, BOTarate, DorganBot, PixelBot, Alecs.bot, Agualin,Aaqs1, Luckas-bot, FariBOT, Archaeodontosaurus, EmausBot, Sk8hack, EdoBot, KLBot2, Edson Luque, BendelacBOT, Carlosmtron,Joarojasbe, Cristoredentor33 y Annimos: 13

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Enunciado e Historia Derivacin Ejemplos de uso Consecuencias Ecuaciones de Euler-Lagrange Sistemas en movimiento acelerado

Referencias Bibliografa

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