PRINCIPIO DE HUYGENS

En 1678, Christiaan Huygens propuso un principio que ayudaba a entender y predecir cómo se propagan las ondas: el principio consiste de las siguientes proposiciones:

• Cada punto en un frente de onda en propagación, sirve como fuente de trenes de ondas esféricas secundarias de tal modo que, al cabo de cierto tiempo, el nuevo frente de onda será la envolvente de estos trenes de ondas.

• Si la onda que se propaga es de una cierta frecuencia y se transmite por el medio a una velocidad “c”, entonces los trenes de ondas secundarios tendrán la misma frecuencia y velocidad.

Para entender mejor el principio supongamos un frente de onda para un tiempo “t”, y

obtendremos el nuevo frente de onda para “t+∆t”:

Casi dos siglos después, Augustin Fresnel y Gustav Kirchhoff mejoraron el principio de Huygens original, dándole un carácter cuantitativo, de modo de poder calcular el campo eléctrico si conocemos los caminos y obstáculos entre una fuente puntual y el observador. Kirchhoff estableció que los puntos del frente de onda no emiten trenes en forma isotrópica, sino que hay un factor de oblicuidad K(Θ)=[1+cos(Θ)]/2, el cual significa que para Θ=0° (perpendicularmente al frente de onda) se emite el doble de campo eléctrico que hacia la

dirección paralela al frente de onda (Θ=90°).

Trenes de

radio c ∆t

Frente de onda para tiempo t

Frente de onda

para tiempo t+∆t

LEY DE SNELL

Dados dos medios de propagación distintos: medio #1 y medio #2 y una onda que incide en forma oblicua con un ángulo α podemos preguntarnos, ¿con qué ángulo β sale la onda transmitida?

Las flechas indican la dirección de propagación. Los frentes de onda son perpendiculares a estas direcciones.

Observe que la onda reflejada posee el mismo ángulo que la onda incidente.

Para hallar la expresión de β se usa el principio de Huygens. Observemos el siguiente gráfico:

La onda incidente llega con un ángulo α, pero llega antes al punto A que al punto C. Al

punto A llega en t=0 y al punto C llega en t=∆t.

Onda Incidente

Onda Transmitida

Onda Reflejada α α

β

Onda Transmitida

β

A

B

C

α

Onda Incidente

D

α

β

Situémonos ahora en el momento t=∆t. El punto A ha estado emitiendo un tren de onda de

Huygens desde t=0, es decir ha estado emitiendo por un tiempo ∆t. El semicírculo del

gráfico es, por principio de Huygens, de un radio (c2 ∆t). Es decir, el segmento AD = c2 ∆t.

Por otro lado, el segmento BC = c1 ∆t.

Consideremos los triángulos ABC y ACD. Ambos tienen en común al lado AC. Puede decirse que:

�� = ������ = ������ ⟹ ��Δ����� = ��Δ����� ⟹ ���� = ��������

La cual se conoce como Ley de Snell.

REFLEXION TOTAL INTERNA

Supongamos que una onda incide oblicuamente sobre una interfaz que separa el medio #1 del medio #2. Vimos que por ley de Snell se cumple: ���� = �������� Si ahora c2>c1 entonces β será mayor que α. Entonces existirá un valor para el ángulo α, que

llamaremos “ángulo crítico” αC que hará que β sea 90°. Si incidimos con un ángulo mayor

que αC, no habrá transmisión alguna y solamente tendremos una onda reflejada.

DIFRACCION

El principio de Huygens recién enunciado parece casi intuitivo. Sin embargo, este principio predice que cuando una onda se encuentra con un obstáculo, la onda lo rodeará y “doblará” alrededor del obstáculo. Este obstáculo puede ser un cuerpo sólido, o puede ser la ausencia de él, es decir, una abertura rodeada por un cuerpo sólido.

Por ejemplo, supongamos una onda incidiendo sobre una abertura. Si no existiera difracción, la onda pasaría en forma absolutamente rectilínea por la abertura, y sobre la pantalla se formaría una imagen de exactamente el mismo tamaño que la abertura:

Pero esto no es lo que sucede. Al pasar por la abertura la onda dobla, y pueden verse franjas de ancho mucho mayor que las dimensiones de la abertura. Como se muestra en el siguiente gráfico:

∞

∞

∞

∞

ONDA INCID.

PANTALLA

a a

Puede verse que si la franja es mayor que la abertura, entonces la onda ha doblado por detrás de la abertura.

Si en lugar de una abertura hay un cuerpo sólido, esperaríamos ver una sombra justo detrás del mismo con exactamente la misma forma que él. Pero como existe difracción, la onda doblará hacia adentro de la sombra, y veremos iluminada parte de lo que se espera que sea la sombra.

∞

∞

∞

∞

ONDA INCID.

PANTALLA

a h>>a

LUZ CUERPO

PANTALLA

En el gráfico anterior, la parte iluminada de la pantalla se muestra con gris oscuro, y la parte blanca es la sombra. Vemos que la luz dobló hacia adentro de la sombra del objeto.

Ahora, ¿por qué no percibimos diariamente lo que estamos describiendo aquí? Porque nuestro sentido principal de percepción es la vista. La longitud de onda de la luz está entre 400nm y 700nm, mientras que las aberturas y los objetos con que convivimos son de tamaño mucho mayor. Veremos con más detalle por qué cuando λ es mucho menor que el tamaño de los objetos la difracción es prácticamente nula.

La difracción está presente para cualquier tipo de onda (cuerda no, porque no ocupa volumen, pero sonora sí).

Cuando se trata de aberturas, es mucho más sencillo calcular la difracción cuando el observador y la fuente de onda están lejanos con respecto a la abertura. Pero, ¿con qué criterio determinamos si el observador y la fuente son lejanos o no? Un criterio empírico posible es el siguiente: supongamos que “a” es la mayor dimensión de la abertura y que DF y DO son las distancias desde fuente a abertura y desde observador a abertura. Sea D la más pequeña entre DF y DO.

Entonces el criterio es: se trata de difracción lejana si:

� > ���

a

b

DF DO

FUENTE OBSERVADOR

DIFRACCION LEJANA DE RENDIJA

Cuando la abertura tiene forma de rendija, puede observarse en la pantalla un diagrama con forma de franjas. En el gráfico siguiente, cuanto más oscura se muestra la franja, más iluminada está la pantalla:

La altura de la rendija es a. Siempre que se trate de difracción lejana habrá un máximo en el centro. Hay también máximos y mínimos laterales. Las franjas laterales son de intensidad menor que la franja central.

Vamos a usar el principio de Huygens-Kirchhoff para demostrar la ecuación de intensidad para la difracción de rendija de altura a.

La difracción es debida a la interferencia entre las ondas que emiten distintos puntos de la misma rendija. Tomemos un diferencial de altura de rendija dy. Este diferencial producirá un diferencial de campo eléctrico. Supongamos que la rendija entera de altura a produce un

campo eléctrico E0 para ángulo Θ=0. Entonces, para un ángulo Θ cualquiera el dy producirá:

∞

∞

∞

∞

ONDA INCID.

PANTALLA LEJANA

Θ1°MIN MAX CENTRAL

1°°°° MIN LATERAL

1°°°° MAX LATERAL

a

��� = ��� ����� �!"#$%&'()*+,�-

Donde K(Θ) es el factor de oblicuidad de Huygens. Integramos para todo “y” entre 0 y a, y hallamos el campo eléctrico resultante. �� = ��� ��Θ��� !")*+,. �� $%&'(/

� �-

�� = ��� ��Θ��� !")*+, 0�� /%&'( − 1345���Θ

�� = ��� ��Θ��� !")*+,�� /%&'(/� 0�� /%&'(/� − �)� /%&'(/�345���Θ

�� = ��� ��Θ��� !")*+# /%&'(/�, 24��� 85����Θ2 945���Θ

�� = ��Θ�� ��� 85����Θ2 985����Θ2 9 ��� !")*+# /%&'(/�,

Observador lejano o pantalla lejana

eje y

y=0

y=a

y y+dy

Distancia r0

Distancia r0 + y sinΘ

Ren

dija

��� = ��Θ�� ��� 85����Θ2 985����Θ2 9 �:��5;� 1 <� = 5����Θ/2

Dado que la intensidad es proporcional al campo eléctrico al cuadrado, podemos decir:

>�Θ � ���Θ>�0°���� 85����Θ2 985����Θ2 9�

Donde I(0°) es la intensidad para Θ=0.

Graficamos la expresión anterior en función del seno de Θ:

¿Para qué valores del seno de Θ se producen los mínimos de difracción? Para aquellos que hacen que el numerador de la expresión anterior dé 0. Es decir:

5����Θ2 � �A

De donde surge:

���ΘBCD = � ��

Con n entero, salvo n=0.

CASOS EXTREMOS EN LA DIFRACCION

Los casos extremos se producen cuando la longitud de onda λ>>a, o bien cuando λ<<a.

Caso λ>>a:

Analicemos la ecuación:

���ΘBCD � � ��

Aún el valor más pequeño de n, n=1, hará que el sin(ΘMIN) dé mucho mayor que 1. Esto significa que el primer mínimo no existe (y menos aún los mínimos de mayor orden). El valor sin(Θ)=1 se produce mucho antes, y la intensidad es prácticamente la misma para todo

Θ (salvo por el factor de oblicuidad). La emisión es entonces, casi isotrópica.

Caso λ<<a:

En este caso todos los mínimos caen cerca de Θ=0. Dado que la intensidad es cada vez menor a medida que aumentamos el orden del máximo lateral considerado, los máximos que más importan son el central y los dos o tres primeros laterales. Así, toda la intensidad se

concentra cerca de Θ=0.

ONDA INCIDENTE

Frentes de onda

Frentes de onda.

Emisión casi isotrópica.

En este caso la onda “no dobla”, así como vemos no doblar a la luz cuando pasa a través de una ventana. No se produce difracción.

Lo que estamos viendo aquí es válido para cualquier tipo de onda. En ondas sonoras por ejemplo, los sonidos graves “doblan” al pasar por las puertas con más facilidad que los agudos. Es por esto que si escuchamos un reproductor de música que está en otra habitación, veremos que los agudos estarán disminuidos (salvo que nos paremos delante de la puerta).

ONDA INCIDENTE

Frentes de onda

Frentes de onda transmitidos

DIFRACCION LEJANA DE ABERTURA CIRCULAR

La abertura por la cual pasa la onda podría ser de forma circular. En este caso producirá en la pantalla lejana anillos circulares luminosos (al menos si la onda se trata de luz). En el gráfico siguiente, cuanto más oscuro se muestra el anillo, más iluminado está:

Siempre en difracción lejana en el centro hay una intensidad máxima. En el caso de la difracción de abertura circular, la intensidad del máximo central supera ampliamente a la intensidad de los máximos laterales. Es por esto que el ángulo que más interesa es el del primer mínimo. La demostración es larga y utiliza funciones matemáticas que no se ven en la carrera de ingeniería, pero es demostrable que, si a es el radio de la abertura:

sinΘ�°BCD = 1,22 ��

∞

∞

∞

∞ ONDA INCID.

PANTALLA LEJANA

MAX

MIN

MAX

MIN MAX

Θ1°MIN

RENDIJAS QUE DIFRACTAN Y QUE INTERFIEREN ENTRE SÍ

En la unidad 3 de la materia vimos que si tenemos N fuentes, equidistantes en una distancia

d, podemos expresar la intensidad que recibe un observador lejano en función del ángulo Θ:

> = >�IJKDLK�0°���� 8M5�2 ���Θ9���� 85�2 ���Θ9

Donde I1FUENTE(0°) es la intensidad que una sola fuente produce para ángulo de observación

de 0°. La representación gráfica de esta intensidad para un ejemplo de N=5 fuentes es:

Los máximos absolutos caen en múltiplos de λ/d, mientras que tenemos (N-2) máximos secundarios entre cada par de máximo absoluto.

Θ F1

F2

F3

FN-1

FN

OBS LEJANO

La amplitud de campo eléctrico es:

� = ��IJKDLK�0° ��� 8M5�2 ���Θ9��� 85�2 ���Θ9

Ahora, si cada fuente es una rendija de cierto ancho “a”, existirá difracción. La amplitud de

campo eléctrico E1FUENTE(0°) debe ser reemplazada por:

��Θ�� ��� 85����Θ2 985����Θ2 9

Que es la ecuación de la amplitud de campo eléctrico para una sola rendija que produce difracción (la vimos antes). La nueva amplitud de campo eléctrico será:

� = ��Θ�� ��� 85����Θ2 985����Θ2 9 ��� 8M5�2 ���Θ9

��� 85�2 ���Θ9

La intensidad de las N rendijas equidistantes que difractan será:

> = ���Θ>�NKDO�0° ���� 85����Θ2 985����Θ2 9� ���� 8M5�2 ���Θ9

���� 85�2 ���Θ9

> = M�>�NKDO�0° P���Θ���� 85����Θ2 985����Θ2 9� QR 1M� ���� 8M5�2 ���Θ9

���� 85�2 ���Θ9 S Donde “d” es la distancia entre centros de rendija.

Al primer corchete lo llamamos “factor de difracción”, y vale 1 para Θ=0.

TO =���Θ���� 85����Θ2 985����Θ2 9�

Al segundo corchete lo llamamos “factor de interferencia”, y oscila entre 0 y 1.

TC = 1M� ���� 8M5�2 ���Θ9���� 85�2 ���Θ9

¿Cómo graficamos la intensidad resultante en función de Θ? Para hacerlo, primero notemos que si “d” es la distancia entre centros de rendija y “a” es el ancho de cada rendija, entonces

d>a. A medida que aumenta Θ, las funciones trigonométricas del factor de difracción varían más lentamente que aquellas del factor de interferencia. Dado que este último oscila entre 0 y 1, podemos considerar que la función:

M�>�NKDO�0°P���Θ���� 85����Θ2 985����Θ2 9� Q

envuelve al factor de interferencia. La envolvente se muestra en el siguiente gráfico con líneas de puntos. Con línea llena se grafica la función completa.

En los puntos para los cuales FD=1, la curva llena toca a la envolvente.

Observe que si bien para sin(Θ)=2λ/d hay un máximo de interferencia, éste está eclipsado (en este ejemplo) por un mínimo de difracción, de modo que la intensidad allí vale 0. Para este ejemplo se eligió usar d=2a.