UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

TRABAJO DE MATEMATICAS

TEMA: Principio de Inducción

NOMBRE: Miguel Rivera

PARALELO: Séptimo

FECHA: 13/09/2012

1.- Utilice el principio de inducción para demostrar que l siguientes relaciones se satisfacen para todo entero positivo n.

a¿12+22+…n2=n(n+1)(2n+1)

6

n=1

1=1(1+1)(2+1)

6

1=1

n=k

12+22+…k2=k (k+1)(2k+1)

6

n=k+1

12+22+…(k+1)2=(k+1)(k+2)(2k+3)

6

12+22+…k2+(k+1 )2= k (k+1 ) (2k+1 )6

+(k+1)2

12+22+…k2+(k+1 )2= k(k+1 ) (2k+1 )+6(k+1)2

6

12+22+…k2+(k+1 )2= ( k+1 )[k (2k+1 )+6 (k+1 )]6

12+22+…k2+(k+1 )2=( k+1 )[2k2+k+6k+6]

6

12+22+…k2+(k+1 )2=( k+1 )[2k2+7k+6]

6

12+22+…k2+(k+1 )2=( k+1 )(k+2)(2k+3)

6

b¿1+3+5+…+(2n−1)=n2

n=1

1=12

1=1

n=k

1+3+5+…+(2k−1)=k2

n=k+1

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1)2

1+3+5+…+(2k−1 )+(2k+1)=(k+1)2

1+3+5+…+(2k−1 )+(2k+1 )=k2+2k+1

1+3+5+…+(2k−1 )+(2k+1 )=(k+1 )2

c ¿13+23+…n3=n2 (n+1 )2

4

n=1

1=12 (2 )2

4

1=1

n=k

13+23+…k3=k2 ( k+1 )2

4

n=k+1

13+23+…(k+1)3=(k+1)2 (k+2 )2

4

13+23+…k3+( k+1 )3= k2 (k+1 )2

4+ (k+1 )3

13+23+…k3+( k+1 )3= k2 (k+1 )2+4 (k+1 )3

4

13+23+…k3+( k+1 )3= (k+1 )2[k2+4k+4]4

13+23+…(k+1)3=(k+1)2 (k+2 )2

4

d ¿13+23+…+(n−1 )3≤ n4

4si n≥2

n=2

2≤4

n=k

13+23+…+( k−1 )3≤ k4

4

n=k+1

13+23+…+( k )3≤ ¿¿

13+23+…+( k−1 )3+(k )3≤ k4

4+k3

13+23+…+( k−1 )3+(k )3< k4

4+k3+ 6

4k2+k+ 1

4=¿¿

13+23+…+( k )3≤ ¿¿

2.- Use el símbolo Σ para expresar los miembros de la izquierda de las relaciones b), c) y d) del ejercicio 1

b¿∑k=1

n

(2k−1)

c ¿∑k=1

n

k3

d ¿∑k=2

n

(k−1 )3

3.- Exprese las siguientes sumas usando el símbolo Σ

a¿1+ 12!

+ 13 !

+…+ 1k !

∑k=1

n1k !

b¿2+4+6+8+10+12.

∑k=1

6

2k

c)2+5+10+17.

∑k=1

6

(k+1 )2

d ¿31+32+33+…+3n .

∑k=1

n

3k

4.- Demuestre que para todo n≥1.

∑k=0

n

ark=a (r n+1−1 )r−1

Si r≠1

a+ar+ar2+…+arn=a (r n+1−1 )r−1

n=0

a=a

n=k

a+ar+ar2+…+ark=a ( rk+1−1 )r−1

n=k+1

a+ar+ar2+…+ark +1=a (rk+2−1 )r−1

a+ar+ar2+…+ark+ar k+1=a (r k+1−1 )r−1

+ar k+1

a+ar+ar2+…+ark+ar k+1=ark +1+a+ar k+2−ark+1

r−1

a+ar+ar2+…+ark +1=a (rk+2−1 )r−1

5.- Demuestre que

a¿n4+2n3+n2 es divisible por 4 si n≥1

n=1

4 si es divisible para 4

n=k

k 4+2k3+k2 es divisible por 4

n=k+1

¿

b¿ 4n−1es divisible por 3 si n≥1

n=1

3 es divisible para 3

n=k

4k−1es divisible por 3

n=k+1

4k +1−1esdivisible por 3

4k +1−1=44k−1

4k−1es divisible por 3=¿ 4k−1=3∗p , p∈Z≥1

4k=3 p+1

4k +1−1=12 p+3

4k +1−1=4 (3 p+1 ) => 4k +1−1esdivisible para 4

c ¿n (n+1 ) (n+2 ) esdivisible por 3 sin≥0

n=1

1 (1+1 ) (1+2 )

6 es divisible para 3

n (n+1 ) (n+2 )es divisible por 3

n3+3n2+2nes divisible por 3

n=k

k (k+1 ) ( k+2 ) esdivisible por 3 si n≥0

k 3+3 k2+2k esdivisible por 3

n=k+1

(k+1) (k+2 ) (k+3 )es divisible por 3 si n≥0

(k+1 ) (k+2 ) ( k+3 )=[k¿¿2+3k+2] (k+3 )¿

(k+1 ) (k+2 ) ( k+3 )=k3+3k2+2k+3k2+9k+6

k 3+3 k2+2k esdivisible por 3=¿k3+3k2+2k=3 p , p∈Z ≥0

(k+1 ) (k+2 ) ( k+3 )=3 p+3k 2+3k 2+9k+6

(k+1 ) (k+2 ) ( k+3 )=3 [ p+k2+k2+3k+2 ]

¿> (k+1 ) (k+2 ) (k+3 ) es divisible para3

6.- Note

910

=1− 110

910

+ 9100

=1− 1100

910

+ 9100

+ 91000

=1− 11000

∑n=1

k910n

=10n−110n

910

+ 9100

+ 91000

+…+ 910n

=10n−110n

n=1

910

= 910

n=k

910

+ 9100

+ 91000

+…+ 910k

=10k−110k

n=k+1

910

+ 9100

+ 91000

+…+ 910k +1

=10k+1−110k +1

910

+ 9100

+ 91000

+…+ 910k

+ 910k+1

=10k−110k

+ 910k+1

910

+ 9100

+ 91000

+…+ 910k

+ 910k+1

=10(10¿¿k−1)+9

10k+1¿

910

+ 9100

+ 91000

+…+ 910k +1

=10k+1−110k +1

7.- (Algoritmo de división). Sea m un entero positivo, demuestre que para todo n≥1 existe enteros no negativos q y r tales que

n = qm + r, 0≤r<m

q se denomina cociente y r el residuo de la división de n por m respectivamente.

Caso base (podemos dividir n = 0 entre m):Es muy fácil dividir 0 entre m: simplemente tomas q = 0 y r = 0. Este resultado es correcto por que0 = 0 b + 0

Caso inductivo (si podemos dividir n entre m entonces podemos dividir n + 1 entre m):supongamos que n dividiendo para m da como resultado el cociente q y el residuo rn = qm + r con 0 ≤ r < m

Queremos calcular q' y r' tales que (n + 1) = q'm + r' con 0 ≤ r' < m. Si queremos obtener la expresión para n + 1 solo basta con sumar 1 de ambos lados, y entonces tienes(n + 1) = b q + (r + 1)

Dado que r < m, hay dos casos:

Si r + 1 < m entonces q' = q y r' = r + 1 satisfacen el teorema.Si r + 1 = m entonces (n + 1) = qm + m = (m + 1) q + 0, por lo tanto q' = q + 1 y r' = 0.

8.- (Binomio de Newton). Sean a y b numero reales, demuestre por inducción que

(a+b )n=∑k=0

n

(nk)akbn−k

9.- Use el ejercicio 8 para demostrar que

2n=∑k=0

n

(nk)n=1

2=2

n=p

2p=∑k=0

p

( pk )n=p+1

2p+1=∑k=0

p+1

( p+1k )2p2=2∑

k=0

p

(pk )2p+1=∑

k=0

p+1

( p+1k )

Propiedades

1.- (ab )n=anbn

n=1

ab=ab

n=k

(ab )k=ak bk

n=k+1

(ab )k+1=ak +1bk+1

(ab )k+1= (ab )k (ab)

(ab )k+1=ak bk ab

(ab )k+1=ak +1bk+1

2.−aman=am+n

m=1 n=1

a^2=a^2

m=k y n=p

ak ap=ak+p

m=k+1 y n=p+1

ak+1ap+1=ak+p+2

ak+1ap+1=aka apa

ak+1ap+1=ak+paa

ak+1ap+1=ak+p+1a

ak+1ap+1=ak+p+2

3.−(an )m=anm

n=1 y m=1

a=a

n=k y m=p

(ak )p=akp

n=k+1 y m=p+1

(ak+1 )p+1=akp+ k+p+1

(ak a )p+1=akp+ k+ p+ 1

(ak a )p+1=akp+ k+p+1

(ak a )p(ak a)=akp+ k+p+1

akpap(ak a)=akp+ k+ p+1

akp+ k+p+1=akp+ k+p+1

4.−( ab )n

=an

bn

n=1

a/b = a/b

n=k

( ab )k

=ak

bk

n=k+1

( ab )k+1

=ak+1

bk+1

( ab )k

( ab )=ak+1

bk+1

ak

bk ( ab )=ak+1

bk+1

ak +1

bk +1=a

k+1

bk+1

5.− an

am=an−m

n=1 y m=1

1=1

n=k y m=p

ak

ap=ak−p

n=k+1 y m=p+1

ak+1

ap+1=ak−p

ak aapa

=ak−p

ak

apaa=ak−p

ak−p=ak−p