Principio de los Trabajos Virtuales.Aplicación del PTV al análisis estructural

Simplificaciones habituales1. Material homogéneo e isótropo:

◦ mismas propiedades en todos sus puntos independientemente de la dirección.

2. Comportamiento elástico-lineal del material:

◦ cumplimiento de la ley de Hooke. Tensiones proporcionales a deformaciones.

3. Elementos tipo barra: ◦ la dimensión longitudinal predomina.

4. Hipótesis de Bernouilli: ◦ las secciones transversales planas permanecen

planas después de la deformación. No se alabean.

5. Pequeños desplazamientos y deformaciones:

◦ se puede aplicar teoría de primer orden.

6. Principio de superposición: ◦ el efecto de la suma de dos sistemas de cargas es

igual a la suma de los efectos de los mismos◦ se cumple al cumplirse las simplificaciones 2 y 5.

P1 P2A

A’

Planteamiento del problema elástico Equilibrio:

◦ las fuerzas externas y las fuerzas internas (tensiones o esfuerzos) están en equilibrio. Compatibilidad:

◦ los movimientos de la estructura son compatibles con las deformaciones de elementos y condiciones de apoyo

Comportamiento: ◦ se cumple la ley de Hooke: deformaciones proporcionales a las tensiones.

Ecuaciones de equilibrio y compatibilidad Equilibrio interno

◦ Entre tensiones y fuerzas de volumen X, Y, Z

Equilibrio externo◦ Entre fuerzas superficiales y

tensiones

Compatibilidad◦ Se relacionan desplazamientos

u, v, w y deformaciones.

◦ Deben cumplirse condiciones de integrablidad.

Ecuaciones de comportamiento La Ley de Hooke generalizada también puede escribirse como las

ecuaciones de Lamé. Dependen de:

◦ módulo elástico del material E (Módulo de Young) ◦ coeficiente de Poisson ◦ El módulo de elasticidad transversal G puede obtenerse de E y .

Dificultad del problema elástico: uso del PTVEn muy pocos casos simples es posible plantearlo

◦ En muchos de estos no es posible la resolución del sistema de ecuaciones diferenciales

Uso de métodos energéticos: el PTV◦ Un estado real: que queremos analizar. ◦ Un estado virtual: inventado a nuestra conveniencia

para obtener unos determinados resultados.◦ Ambos pueden tener:

Cargas y reacciones externas Tensiones o esfuerzos internos Deformaciones Desplazamientos

Real Virtual

PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES El trabajo virtual externo y el

trabajo virtual interno son iguales. Te=Ti

◦ Te= realizado por fuerzas o momentos externos sobre desplazamientos o giros.

◦ Ti= realizado por esfuerzos internos o tensiones sobre deformaciones.

2 Opciones (PDV y PFV)◦ Cargas y tensiones reales sobre

desplazamientos y deformaciones virtuales: PRINCIPIO DE DESPLAZAMIENTOS

VIRTUALES

◦ Cargas y tensiones virtuales sobre desplazamientos y deformaciones reales: PRINCIPIO DE FUERZAS VIRTUALES

∑Te= ∑ Ti

Variantes del PTV: PDV y PFVPrincipio de los Desplazamientos Virtuales (PDV):

◦ Se usan desplazamientos y deformaciones virtuales para obtener cargas (normalmente reacciones), tensiones o esfuerzos.

Principio de las Fuerzas Virtuales (PFV):◦ Se usan fuerzas, esfuerzos y tensiones virtuales para

obtener desplazamientos y deformaciones reales.

Trabajo virtual en barras: trabajo virtual externo Es el producto de fuerzas (F, R, etc.)por desplazamientos (, , etc.) o

momentos (M)por giros () El trabajo es positivo si la fuerza y el desplazamiento tienen el

mismo sentido. En un sólido elástico la fuerza que es necesario aplicar para

deformarlo aumenta al aumentar el desplazamiento, sin embargo cuando hablamos de trabajos virtuales al aplicar el PTV lo que se hace es multiplicar directamente carga por desplazamiento.

Trabajo virtual en barras: trabajo virtual interno Integral de los esfuerzos (N, V, M, Mt) por los diferenciales de

desplazamientos o giros internos. Es positivo si el esfuerzo y el desplazamiento tienen igual sentido. El axil realiza trabajo sobre el desplazamiento longitudinal. El cortante realiza trabajo sobre el desplazamiento transversal. Los momentos realizan trabajo sobre los giros (por flexión o por torsión).

E=módulo elásticoA=áreaG=módulo elasticidad transversalA=área de cortanteI=momento de inerciaKt=momento de inercia polar (cilindros)

Rigideces

PDV: Esfuerzos reales sobre desplazamientos virtuales

PFV: Esfuerzos virtuales sobre desplazamientos reales

Aplicación del PTV al análisis estructural

Tipo de P.T.V. Estructuras Método Se obtienen

P.F.V. (Fuerzas Virtuales)

Isostáticas De la carga unitaria Desplazamientos

Hiperestáticas De las Fuerzas Ecs. de compatibilidad

P.D.V. (Despl. Virtuales)

Isostáticas De despl. virtuales Esfuerzos y reacciones

Hiperestáticas De los Ángulos de Giro

Ecs. de equilibrio

Si se aplica como Principio de las Fuerzas Virtuales: Sistema virtual de fuerzas y esfuerzos Equivale a Ecuación de Compatibilidad para el sistema real

de desplazamientos y deformaciones.

Si se aplica como Principio de los Desplazamientos Virtuales: Sistema virtual de desplazamientos y deformaciones Equivale a Ecuación de Equilibrio para el sistema real de

fuerzas externas e internas.

Método de la carga unitaria: sistema virtual Usa un sistema virtual inventado que cumpla las siguientes

condiciones:◦ Encontrarse en equilibrio.◦ Las fuerzas virtuales se aplicarán en una estructura formada por

una parte o toda la estructura inicial. Estable Que contenga los puntos en los que se quiere calcular el despl. o giro Se aplicará una fuerza unitaria, con la localización, dirección y

naturaleza acorde con el desplazamiento buscado.

◦ El PFV dará lugar a una ecuación, en la que el desplazamiento buscado será la única incógnita.

SISTEMA REAL SISTEMA VIRTUAL

Método de la carga unitaria: trabajos virtuales

Trabajo externo =carga virtual (1)x desplazamiento real (B)

Trabajo interno=L momento virtual·d+ L cortante virtual·dλ

SISTEMA REAL SISTEMA VIRTUAL

P

B

L

B

B

PL

(+) P P

A

A

A ¿B?

M

V

Método de la carga unitaria: PTV

1x B= L momento virtual·d+ L cortante virtual·dλ

Recordemos: Como las deformaciones por cortante suelen ser despreciables

respecto a las debidas a momento flector:

∑Te= ∑ Ti

3 3

1. 3 3B

B

L L

e iT TPL PL PL

M VM dx V dx EI GA EIEI GA

Este término puede considerarse 0 (como si GA=)

¿Cómo se calculan fácilmente las integrales de los productos de diagramas?Tablas de integrales de Mohr

*B=1/EI·

*

Cálculo de reacciones y esfuerzos con PDV Sistema virtual con un desplazamiento (o giro) inventado

que:◦ Si se permitiese el despl. libremente sería un mecanismo◦ Debe ser compatible con las condiciones de contorno◦ Debe corresponderse con la fuerza, esfuerzo o momento buscado.

Los giros se corresponden con momentos (flectores o de empotramiento) Los desplazamientos con fuerzas o esfuerzos de tracción o cortantes.

◦ Ojo: si ese “desplazamiento” virtual es un giro (que utilizamos para obtener algún momento) eso implica introducir una rótula.

SISTEMA REAL SISTEMA VIRTUAL

¿RA

?

Cálculo de reacciones con PDV: PTV

Trabajo externo =Reacción (RA) x despl. virtual ()+Carga (P) x despl. virtual (/2)

Trabajo interno=0◦ No incluimos ningún esfuerzo interno en el sistema real.

∑Te= ∑ Ti

A A A

e i

e

i

T T

PT R P R P 0 R

2 2 2T 0

Se obtiene por geometría (semejanza de triángulos) en el sistema virtual de desplazamientos /2

Cálculo de esfuerzos con PDV

Trabajo externo = Carga (P) x despl. virtual () Trabajo interno= Momento flector (MC) x giro virtual ()

SISTEMA REAL SISTEMA VIRTUAL

BA

P

L/2 L/2

C

El desplazamiento virtual en el centro de la viga se obtiene partiendo de la suposición, válida en el caso de ángulos pequeños, de que el valor

de un ángulo en radianes es igual a su seno y a su tangente