Principio Fundamental Del Conteo

INSTITUCION EDUCATIVA ANTONIA SANTOS ESTADISTICA 9º Docente: Rosa Rosiris Daza Quiroz

Principio fundamental del conteo

El principio básico o fundamental de conteo se puede utilizar para determinar los posibles resultados cuando hay dos o más características que pueden variar.

Contar objetos, contar palabras, contar grupos, … Contar a veces es muy fácil, como cuando contamos huevos mientras los acomodamos en cartones de a 30. No es tan fácil cuando queremos contar en un teatro con 2.000 personas, las manos levantadas que aprueban cierta propuesta y es todavía más confuso cuando queremos contar todas las posibles formas de extraer 3 nombres de una urna con 25 nombres o contar los números de 3 cifras que se pueden formar tomando los dígitos del conjunto {1,2,3,4,5} sin repetir ningún dígito.

Piensa en el siguiente caso como ejemplo: Te compras un pantalón azul, otro gris y otro negro, y cuatro camisetas: una verde, una azul, una negra y una roja.¿De cuántas maneras diferentes te puedes vestir con los pantalones y las camisetas que compraste?Es fácil ver que con cada uno de los pantalones puedes usar 4 camisetas y como son tres pantalones, el total es 3·4 = 12 pintas diferentes.

Estos casos de conteo y otros similares pueden representarse mediante un gráfico llamado Diagrama de árbol, como aparece enseguida. También se puede hacer directamente la lista de combinados de la derecha cuidando el orden para que no se quede ninguno sin incluir.


El llamado Principio Fundamental del Conteo, dice que: “siempre que un evento A se puede hacer de n maneras diferentes y otro evento B de m formas diferentes, entonces el número de formas diferentes de realizar los dos eventos es igual al producto n·m”

En nuestro ejemplo anterior, el evento A es “elegir el pantalón”, y hay 3 formas de hacerlo; el evento B es “elegir la camiseta” y para este hay 4 formas de hacerlo. De modo que el número de formas diferentes de elegir el pantalón y la camiseta es 3·.4, que corresponde con nuestro resultado.

2. Si en el ejemplo anterior agregas los zapatos para distinguir la pinta que elegirás y tienes dos pares unos negros y otros cafés. ¿Cuántos combinados diferentes te resultarán ahora?

3. Ejemplo: El helado puede venir en un cono o una tasa y los sabores son chocolate, fresa y vainilla.

/ tasa de chocolate / chocolate < / \ cono de chocolate / / / tasa de fresa<-- fresa < \ \ cono de fresa \ \ / tasa de vainilla \ vainilla < \ cono de vainilla

El diagrama anterior se llama diagrama de árbol y muestra todas las posibilidades. El diagrama de árbol también se puede ordenar de otra forma. Ambos diagramas tienen un total de 6 resultados.

/ tasa de chocolate / / tasa <-- tasa de fresa / \ / \ tasa de vainilla / < \ \ / cono de chocolate \ / \ cono <-- cono de fresa \ \ cono de vainilla

Para determinar la cantidad total de resultados, multiplica la cantidad de posibilidades de la primera característica por la cantidad de posibilidades de la segunda característica. En el ejemplo anterior, multiplica 3 por 2 para obtener 6 posibles resultados.


Si hay más de dos resultados, continúa multiplicando las posibilidades para determinar el total de resultados.

Aplica el principio del conteo para resolver los problemas siguientes:

4. Para ir de Bogotá a Cali por tierra se puede elegir entre 5 rutas distintas. Para ir de Cali a Buenaventura se puede elegir entre 3 rutas diferentes. ¿Cuántas rutas diferentes se pueden tomar para ir desde Bogotá hasta Buenaventura por carretera?Una compañía de aviación ofrece vuelos entre 16 ciudades extranjeras y Bogotá y entre Bogotá y 9 ciudades colombianas. ¿Cuántos planes de vuelo entre una ciudad extranjera y una ciudad colombiana diferente de Bogotá, que incluyan parada en Bogotá, puede ofrecer esa compañía?5. Para preparar un aderezo para ensalada un chef de cocina debe elegir un condimento en polvo, un tipo de aceite y un tipo de vinagre. Si tiene 4 condimentos en polvo, 3 tipos de aceite y 5 tipos de vinagre, ¿Cuántos derezos diferentes puede preparar?6. Un contador tiene dos sacos negro y beige y 4 camisas: celeste, café, blanca y azul de cuantas maneras puede combinarse y representar con un diagrama de árbol.7. Tengo en la cafetería están regalando tres tipos de sandwichs, de jamón, de salami y de tuna; además están obsequiando dos tipos de postre, de bizcocho y de helado. Cuantas combinaciones distintas pueden surgir de los tres tipos de sandwichs y de los 2 postres que están regalando.8. Hay tres letras en cada tablilla y se usan 26 letras del alfabeto para formarlas. Cuantas tablillas diferentes saldrán si cada una tiene 3 letras y esas 3 letras van seguidas de 3 dígitos y los dígitos pueden ser desde el 0 hasta el 9. 9. De Estados Unidos a España hay 12 aerolíneas diferentes; ¿de cuántas maneras se puede viajar de Estados Unidos a España y regresar en una aerolínea diferente?

Recordar que con frecuencia existen varias vías para resolver un problema dado.Tener en cuenta también que resulta muy útil hacer esquemas o dibujos para visualizar mejor los problemas.


Reglas de la suma y el producto

1. ¿Cuántas palabras de tres letras se pueden formar con cinco consonantes y tres vocales de modo que cada palabra comience y termine en consonante?

C V C --- --- --- 5.3.4 = 60 (regla del producto)5 3 4

2. Determine el número de enteros de seis dígitos (que no comiencen con cero) en los que

a. ningún dígito se pueda repetir.

9 8 7 6 5

9.9.8.7.6.5 = 136.080 (regla del producto)

b. se pueden repetir los dígitos.

9.10.10.10.10.10 900.000 (regla del producto)

3. Ana y María vieron a dos hombres alejarse en automóvil frente a una joyería, justo antes de que sonara una alarma contra robos. Cuando fueron interrogadas por la policía, las dos jóvenes dieron la siguiente información acerca de la placa (que constaba de dos letras seguidas de cuatro dígitos). María estaba segura de que la segunda letra de la placa era una O o una Q, y que el último dígito era un 3 o un 8. Ana dijo que la primera letra de la placa era una C o una G y que el primer dígito era definitivamente un 7. ¿Cuántas placas diferentes tendrá que verificar la policía?

C/G Q/O 7 0 a 9 0 a 9 8 ó 3

----- ----- ----- ------ ------- -------

| | | | | |

2 x 2 x 1 x 10 x 10 x 2 = 800 (regla del producto)

4. Tres pueblos, designados como A, B y C, están intercomunicados por un sistema de carreteras de doble sentido.

a. ¿De cuántas formas puede Juan ir del pueblo A al pueblo C?

2 + 4.3 = 14 (reglas de la suma y del producto)


b. ¿Cuántos trayectos puede hacer Juan del pueblo A al pueblo C y de regreso al pueblo A?

14.14 = 196 (regla del producto)

c. ¿Cuántos de los trayectos completos de la parte (b) son tales que el viaje de regreso (del pueblo C al pueblo A) es diferente, al menos parcialmente, de la ruta que toma Juan del pueblo A al pueblo C? (Por ejemplo, si Juan viaja de A a C por las rutas R1 y R6 podría regresar por las rutas R6 y R2, pero no por R1 y R6).

14.13 = 182 (regla del producto)

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO PROBLEMAS

1.- La prefecta de una secundaria debe realizar su rutina diaria que consta de checar a los profesores cada hora, si imparten sus clases en el horario asignado. Los alumnos tienen al día 6 clases corridas, todos los días desde lunes hasta viernes, y ella puede pasar a checar ya sea entre clase, a la llegada del profesor. Dibuja un diagrama de árbol que muestre las formas en que puede ocurrir la inspección de la prefecta hacia los profesores.

Prefecta

60 maneras diferentes en las que pueda pasar.

2.- Un doctor tiene 3 pacientes de VIH que están muy graves, los cuales debe estar checando 2 veces por día toda la semana, una en la mañana y otra en la tarde, en cada visita debe de realizarse una inspección de: la presión, temperatura, y medicamento suministrado. Dibuja un diagrama de árbol que muestre las formas en que puede ocurrir la inspección del doctor a sus pacientes.

Doctor

30 maneras diferentes que puede realizar la inspección.

3.- Un estudiante puede elegir llevar uniforme escolar, o uniforme deportivo, todos los días de la semana, con el uniforme escolar puede llevar suéter o saco, y con el uniforme deportivo puede llevar short o pants. ¿De cuantas maneras puede vestirse?

2 . 5 . 2 = 20 MANERAS DIFERENTES

4.- Un ganadero va comprar nuevos animales pero no sabe cual, si caballos, vacas, ovejas. Si compra 100 caballos le regalan una vaca o una oveja. Si compra 100 vacas le regalan una vaca de más o 3 ovejas y si mas le compra 100 ovejas le regala 2 de más o 1 chivo. ¿De cuantas maneras puede comprar sus animales?

3 . 2 = 6 MANERAS DIFERENTES


5.-- Si un alumno debe tomar 6 materias para su horario, si puede escoger su horario entre la mañana, corrido o tarde, y en cada materia tiene 3 maestros diferentes y tiene que escoger uno. ¿De cuantas maneras puede comprar sus animales?


6.- Si una ama de casa debe de realizar los alimentos del desayuno, comida y cena, y por cada una tiene que escoger entre 3 platillos, y cada platillo tiene 3 diferentes bebidas a escoger, ella solo debe seleccionar una para cada comida, además que tiene que seleccionar un postre o una fruta por cada comida, para acompañar bien los alimentos. . ¿De cuantas maneras puede darle de comer a su familia esta ama de casa?

3 . 3 . 3 . 3 = 81 MANERAS DIFERENTES

7.- Si una rocola toca 3 canciones por 5 pesos, y sola acepta monedas de 1,2,5 pesos. ¿De cuantas maneras puedes echarle dinero si quieres 15 canciones?


8.- En una guardería todos los papas de los niños deben poner su huella diariamente al salir y entrar. Si se les llega a olvidar tienen que dar una cooperación para los festivales de los niños, de 20 pesos diariamente y solo pueden pagar, con monedas de 1, 2, 5, 10 ,20. ¿De cuantas maneras pueden pagar? , y si toda la semana no puso su huella ¿Cuántas formas tiene de pagar?

5 . 5 = 25 MANERAS DIFERENTES DE PAGAR CON LAS ANTERIORES OPCIONES5 MANERAS DIFERENTES DE COMO PAGAR

9.- Si una abogado de cierto prestigio puede elegir sus clientes de entre 4 asociaciones, y escoger 2 casos por asociación, y solo sacar libre a 1 por cada una, y llevarlos ante 3 jurados diferentes hasta apelar su libertad ¿De cuantas maneras diferentes puede llevar los casos este abogado?4 . 2 . 1 . 3 = 24 MANERAS DIFERENTES

10.- Si un ingeniero tiene 3 trabajos y por cada trabajo tiene 5 labores que realizar diariamente, y solo tiene 3 horarios para realizarlos y por cada labor gana una comisión ya sea de 10,15,20 % dependiendo de la calidad de su trabajo . ¿De cuantas maneras diferentes puede trabajar el ingeniero?, ¿Y de cuántas maneras serán sus recompensas?



11.- En una pensión se clasifica a sus clientes si es soltero o casado, si tiene hijos o no tiene hijos, si tiene mascota o no tiene, si desea pagar mucho o poco o más o menos, y si desea tener compañeros o estar solo. ¿De cuantas maneras diferentes puede ser seleccionado los clientes de esta pensión?


2 . 2 . 2 . 3 2 = 48 MANERAS DIFERENTES

12.- En una aerolínea clasifican a sus usuarios dependiendo lo que deseen, si desean clase alta, media, baja, o si quieren 1 ,2 o más asientos, o si desean ir junto a la ventanilla o al pasillo, ¿De cuantas maneras diferentes pueden clasificar a sus usuarios?


13.- Una maquina puede tener 2 motores, cada motor funciona con 3 mecanismos eléctrico, vapor, y energía hidrostática. ¿De Cuantas maneras los mecanismos pueden funcionar a esta máquina?

2. 3 = 6 MANERAS DIFERENTES

14.- Una computadora puede tener 4 sistemas, hay 30 software que se aplican para un sistema ¿De cuantas maneras se pueden aplicar el software de los sistemas de la computadora?30 . 30 . 30 . 30 = 810,000 MANERAS DIFERENTES

15.- Una computadora consta de 5 cosas para construirla, una pantalla, un CPU, unas bocinas, un ratón, y un teclado, en la pantalla hay dos tipos, plana, o con cola, en el CPU hay dependiendo de su capacidad, o marca, En el ratón hay con cable o inalámbrico, y en el teclado hay por su tamaño o por su calidad. ¿De cuantas maneras puede escoger una forma de armado de la computadora?


16.- Una casa se construye en tres pasos. En el primero hay 3 tipos(zapatas, cimientos y columnas), en el segundo(paredes, techado, y el revoco), en el tercero(pintada, fachada, ventanas) ¿De cuantas maneras puede realizarse la casa?


17.- De las letras a, e, i, o, u, l. cuantas claves se pueden formar si solo debe de ser menor que 8 cada una

* Sin importar que se repitan 6 . 6 . 6 . 6 . 6 . 6 . 6 . 6 = 1679616 MANERAS DIFERENTES * No se puede repetir ninguna letra 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720 MANERAS DIFERENTES 18.- De las silabas la, le, li, lo, lu, cuantas palabras se pueden formar si solo pueden ser 2 silabas.


19.- La curp de las personas consta de su apellido paterno, apellido materno, nombre, fecha de nacimiento (año, mes, día) y seguido de unas letras y 2 números en total son 18 dígitos abreviados que nos identifican, supongamos que mi nombre ROCIO HERNANDEZ GUTIERREZ


nacida el 24 de mayo de 1993, como saber que dígitos continúan o que las letras Y los números. ¿Cuántas maneras pueden haber?

* Primeros dígitos HEGR930524 aquí tenemos 10 dígitos y nos faltan 8. Ósea 6 letras y dos números

* Nota alfabeto consta de 26 letras

26 . 25 . 24 . 23 . 22 . 21 = 165, 765,600 MANERAS DIFERENTES DE LETRAS

*números 10 . 10 = 100 MANERAS DIFERENTES DE NUMEROS.

20.- Nuestro RFC son las primeras letras de nuestra curp y mi nombre ROCIO HERNANDEZ GUTIERREZ nacida el 24 de mayo de 1993, y son 10 dígitos lo que debe tener. ¿Cómo saber de cuantas maneras pueden colocar las letras de nuestro nombre y apellidos?

* nota las primeros 4 dígitos son letras de tu nombre y los 6 son la fecha de tu nacimiento (93/05/24/).

* Nota alfabeto consta de 26 letras pero tu primer apellido solo tiene 9 letras en total (Hernández) 9 . 8. 7 . 6 = 3024 MANERAS DIFERENTES DE LETRAS

* Nota alfabeto consta de 26 letras pero tu segundo apellido solo tiene 9 letras en total (Gutiérrez) 9 . 8. 7 . 6 = 3024 MANERAS DIFERENTES DE LETRAS

* Nota alfabeto consta de 26 letras pero tu nombre solo tiene 5 letras en total (Roció) 5 .4. 3.2 = 120 MANERAS DIFERENTES DE LETRAS

21.- Hallar el número de claves de 5 letras que se puedan formar con las palabras, caballo negro.

12 . 11 . 10 . 9 . 8 = 95,040 MANERAS DIFERENTES

* Cuantas son constantes

7 . 5 . 4 . 3 . 2 = 840 MANERAS DIFERENTES

* Cuantas empiezan por vocal 5 . 11 . 10. 9. 8 = 39,600 MANERAS DIFERENTES DE LETRAS

22.- De la palabra Hola hallar el número de claves de 5 letras.

4 . 3 . 2 . 1 = 24 MANERAS DIFERENTES DE LETRAS

*cuantas son constantes

2 . 1 = 2 MANERAS DIFERENTES DE LETRAS

* Cuantas empiezan por vocal

2 . 4. 3 . 2 . 1 = 48 MANERAS DIFERENTES DE LETRAS

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