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Geometría – Manual Teórico y Práctico Unidad 10: Geometría de Coordenadas

UNIDAD 10: GEOMETRÍA DE COORDENADAS............................................................... 3 Unidad 10 Auto Evaluación de Vocabulario .............................................................................. 3

LECCIÓN 10.1 – DISTANCIA Y PUNTO MEDIO .............................................................. 5 Objetivos de Aprendizaje ............................................................................................................ 5 Medición de Distancias ............................................................................................................... 5

Ejemplo 1 .............................................................................................................................................. 6 Reglas .......................................................................................................................................... 7

Ejemplo 2 .............................................................................................................................................. 7 Distancias en una Caudricula ...................................................................................................... 8

Ejemplo 3 .............................................................................................................................................. 8 Ejemplo 4 .............................................................................................................................................. 9

La Fórmula de Distancia ........................................................................................................... 10 Puntos Medios de un Segmento ................................................................................................ 11

Postulado del Punto Medio de un Segmento ...................................................................................... 11 Ejemplo 5 ............................................................................................................................................ 12

La Fórmula de Punto Medio ..................................................................................................... 12

LECCIÓN 10.2 – PARALELA Y PERPENDICULAR .........................................................14 Objetivos de Aprendizaje .......................................................................................................... 14 Pendiente en el Plano de Coordenadas ..................................................................................... 14

Ejemplo 1 ............................................................................................................................................ 15 Ejemplo 2 ............................................................................................................................................ 16 Ejemplo 3 ............................................................................................................................................ 17 Ejemplo 4 ............................................................................................................................................ 18

Pendientes de Líneas Paralelas ................................................................................................. 20 Ejemplo 5 ............................................................................................................................................ 20

Pendientes de Líneas Perpendiculares ...................................................................................... 21 Ejemplo 6 ............................................................................................................................................ 22

Ecuaciones Pendiente-Intersección ........................................................................................... 23 Ejemplo 7 ............................................................................................................................................ 24

Ecuaciones de Líneas Paralelas ................................................................................................ 25 Ejemplo 8 ............................................................................................................................................ 26

Ecuaciones de Líneas Perpendiculares ..................................................................................... 27 Ejemplo 9 ............................................................................................................................................ 27

LECCIÓN 10.3 – ECUACIÓN DE UN CÍRCULO ..............................................................29 Objetivos de Aprendizaje .......................................................................................................... 29 Ecuaciones y Gráficos de Círculos ........................................................................................... 29

Ejemplo 1 ............................................................................................................................................ 30 Ejemplo 2 ............................................................................................................................................ 30 Ejemplo 3 ............................................................................................................................................ 32 Ejemplo 4 ............................................................................................................................................ 32 Ejemplo 5 ............................................................................................................................................ 33

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LECCIÓN 10.4 – TRASLACIÓN Y REFLEXIÓN ..............................................................35 Objetivos de Aprendizaje .......................................................................................................... 35 Traslaciones .............................................................................................................................. 35

Ejemplo 1 ............................................................................................................................................ 36 La Traslación es una Isometría ................................................................................................. 36

Teorema de Isometría de Traslación .................................................................................................. 36 Reflexión en una Línea ............................................................................................................. 37 Reflexión de un Punto en una Línea ......................................................................................... 37

Ejemplo 2 ............................................................................................................................................ 39 Ejemplo 3 ............................................................................................................................................ 39

Las Reflexiones son Isometrías ................................................................................................ 40

LECCIÓN 10.5 – ROTACIÓN .......................................................................................42 Objetivos de Aprendizaje .......................................................................................................... 42 Ejemplo de Rotaciones ............................................................................................................. 42 Rotación de 180° ....................................................................................................................... 43 Rotación de 90° ......................................................................................................................... 45

Ejemplo 1 ............................................................................................................................................ 47

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Unidad 10: Geometría de Coordenadas

Unidad 10 Auto Evaluación de Vocabulario

Guía de Evaluación: DK: Estoy seguro que no lo sé K: Estoy seguro que lo sé ?: No estoy seguro

Palabra Antes de la Lección /Unidad Después de la Lección/Unidad

Distancia

Sobrebarra

Estimación

Cálculo

Regla

Valor Absoluto

Plano de Coordenadas X-U

Coordenada X

Coordenada Y

Triángulo Rectángulo

Teorema de Pitágoras

Fórmula de Distancia

Punto Medio

Equidistante

Pendiente

Indefinida

Paralela

Perpendicular

Fórmula Pendiente-Intersección

Intersección con el Eje Y

Círculo

Centro

Radio

Cateto

Hipotenusa

Concéntrico

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Guía de Evaluación: DK: Estoy seguro que no lo sé K: Estoy seguro que lo sé ?: No estoy seguro

Palabra Antes de la Lección /Unidad Después de la Lección/Unidad

Traslación

Primo

Pre imagen

Imagen

Isometría

Reflexión

Bisectriz Perpendicular

Rotación

Ángulo de Rotación

Arco

Ángulo Central

Diámetro

Agudo

Complementario

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Lección 10.1 – Distancia y Punto Medio Objetivos de Aprendizaje

• Obtener la Fórmula de Distancia usando el Teorema de Pitágoras. • Usar la Fórmula de Distancia para hallar la longitud de un segmento con extremos

desconocidos. • Usar la Fórmula de Punto Medio para calcular las coordenadas del punto medio de un

segmento, dados ambos puntos extremos, o para determinar las coordenadas de un punto extremo dado el punto medio y el otro extremo.

Medición de Distancias Hay muchas maneras diferentes para identificar medidas. Esta lección presentará algunas que pueden resultarte familiares, y probablemente unas pocas que son nuevas para ti. Antes de comenzar a examinar distancias, es importante identificar el significado de distancia en el contexto de geometría. La distancia entre dos puntos está definida por la longitud del segmento que los conecta.

• La distancia entre dos puntos es la _________________________ del segmento que los conecta.

La forma más común para medir una distancia es con una regla. También, una distancia se puede estimar usando la escala en un mapa. Anotaciones: Cuando nombramos un segmento utilizamos los puntos extremos y una sobrebarra (una barra o línea arriba de las letras) sin flechas. Por ejemplo, "segmento AB" se escribe 𝐴𝐴𝐴𝐴����. La longitud de un segmento se nombra dando los puntos extremos sin usar una sobrebarra. Por ejemplo, la longitud de 𝐴𝐴𝐴𝐴���� se escribe AB. En algunos libros también puedes ver 𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴����, o medida de 𝐴𝐴𝐴𝐴����, lo cual significa lo mismo que AB, esto es, la longitud del segmentos con puntos extremos A y B.

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Ejemplo 1 Usa la escala para estimar la distancia entre las casas de Aaron y de Bijal. Asume que el primer tercio de la escala en negro representa una pulgada.

Necesitas hallar la distancia entre dos casas en el mapa. La escala expone una distancia de muestra. Usa la escala para estimar la distancia. Encontrarás que aproximadamente 3 segmentos de la longitud de la escala encajan entre dos puntos. ¡Ten cuidado — 3 no es la respuesta de este problema! Como la escala muestra que 1 pulgada es igual a 2 millas, debes multiplicar 3 unidades por 2 millas:

3 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 ∙ 2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝

1 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = 6 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝

La distancia entre las casas es aproximadamente seis millas. También puedes usar una estimación para identificar medidas en otras figuras geométricas. Recuerda incluir palabras como aproximadamente, alrededor, o estimación siempre que estés hallando una respuesta estimada.

La palabra “estimación” significa usar una suposición no exacta sobre qué número es.

Otra palabra similar es “aproximación.”

Ambas palabras son sustantivos. Los verbos son: “estimar” o “aproximar.”

Usamos estas palabras cuando no estamos seguros de la medida exacta de una distancia,

longitud, u otro número, pero podemos hacer una suposición fundamentada. .

• Estimar (o _________________________________) un número significa dar una

suposición no exacta pero fundamentada de lo que es.

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Reglas Probablemente has estado usando reglas para medir distancias durante mucho tiempo y sabes que una regla es una herramienta con marcas de medición.

• Una regla es una herramienta con marcas de __________________________________. Usando una regla: Si usas una regla para hallar la distancia entre dos puntos, la distancia será el valor absoluto de la diferencia entre los números mostrados en la regla. Esto significa que no necesitas comenzar a medir en la marca con el cero, siempre que utilices la resta para hallar la distancia. Nota: Decimos valor absoluto dado que las distancias en geometría siempre deben ser positivas, y la resta puede dar un resultado negativo.

• No necesitas medir desde el cero con una regla; ¡sólo ______________________ el número de inicio del número final para hallar la distancia!

• La distancia en una regla es el valor ___________________________ de la diferencia entre los números.

• Un valor absoluto es siempre un número ____________________________.

Ejemplo 2 ¿Qué distancia está marcada en la regla del diagrama de abajo? Asume que la escala está marcada en centímetros.

La forma para usar la regla es encontrar el valor absoluto de la diferencia entre los números mostrados. Esto significa que restes los números y luego asegúrate que tu respuesta sea positiva. El segmento se extiende de 3 cm a 8 cm:

|3 − 8| = |−5| = 5 El valor absoluto de la diferencia entre los dos números mostrados en la regla de arriba es 5 cm. Por lo tanto el segmento tiene 5 cm de largo. Recuerda, usamos barras verticales alrededor de una expresión para mostrar un valor absoluto: |𝑥𝑥|

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Distancias en una Cuadrícula En álgebra es muy probable que hayas trabajado con líneas gráficas en el plano de coordenadas x-y. A veces puedes encontrar la distancia entre puntos en un plano de coordenadas usando los valores de las coordenadas:

• Si los dos puntos se alinean en forma horizontal, mira en el cambio de valor en las coordenadas x.

• Si los dos puntos se alinean en forma vertical, mira en el cambio de valor en las coordenadas y.

El cambio en el valor mostrará la distancia entre los puntos. Recuerda usar valor absoluto, como hiciste con la regla. Más adelante aprenderás cómo calcular una distancia entre puntos que no se alinean en forma horizontal ni vertical.

• Cuando los puntos se alinean en forma horizontal, tienen la misma coordenada _______. Esto significa que sus coordenadas _______son diferentes por lo que tomamos su diferencia para hallar la distancia entre los puntos.

• Cuando los puntos se alinean en forma vertical, tienen la misma coordenada_______. Esto significa que sus coordenadas _______son diferentes por lo que tomamos su diferencia para hallar la distancia entre los puntos.

Ejemplo 3 ¿Cuál es la distancia entre los dos puntos que se muestran abajo?

Los dos puntos que se muestran en la cuadrícula están en (2, 9) y (2, 3). Estos puntos se alinean en forma vertical (significa que tienen la misma coordenada x 2), por lo que podemos revisar la diferencia en sus coordenadas y:

|9 − 3| = |6| = 6 Por lo tanto, la distancia entre los dos puntos es de 6 unidades.

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Ejemplo 4 ¿Cuál es la distancia entre los dos puntos que se muestran abajo?

Los dos puntos que se muestran en la cuadrícula están en (–4, 4) y (3, 4). Estos puntos se alinean en forma horizontal (significa que tienen la misma coordenada y 4), por lo que podemos revisar la diferencia en sus coordenadas x. Recuerda tomar el valor absoluto de la diferencia entre los valores para hallar la distancia:

|−4 − 3| = |−7| = 7 La distancia entre los dos puntos es 7 unidades. Verificación de Lectura: 1. ¿Qué significa valor absoluto? Explícalo con tus propias palabras. 2. ¿Cuándo 2 puntos se alinean en forma vertical, ¿Qué valor tienen en común? 3. ¿Cuando 2 puntos se alinean en forma horizontal, ¿Qué valor tienen en común?

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La Fórmula de Distancia Hemos aprendido que un triángulo rectángulo con la longitud de los catetos a y b y la longitud de la hipotenusa c tiene una relación especial llamada Teorema de Pitágoras. La suma de los cuadrados de a y b es igual al cuadrado de c. Escribiendo ésto en forma de ecuación tenemos:

𝑝𝑝2 + 𝑏𝑏2 = 𝑐𝑐2

Si ubicamos este triángulo en un plano de coordenadas, de manera que A tenga las coordenadas de (x1 , y1) y B tenga coordenadas de (x2 , y2), podemos hallar la longitud del cateto del triángulo usando lo que acabamos de aprender sobre puntos que se alinean en forma horizontal o vertical:

La longitud de AC es |𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1| y la longitud de BC es |𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1|

Estamos buscando la longitud, lo cual significa que queremos un valor positivo; las barras de valor absoluto garantizan que nuestra respuesta siempre sea positiva. Pero en la ecuación final,

𝑐𝑐2 = |𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1|2 + |𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1|2 Las barras de valor absoluto no son necesarias ya que hemos elevado al cuadrado los tres términos, y los números al cuadrado siempre son positivos.

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Al obtener la raíz cuadrada de ambos lados tenemos,

𝑐𝑐 = �(𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1)2 + (𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1)2 Decimos que c es la distancia entre los puntos A y B, y llamamos a la fórmula anterior Fórmula de Distancia. Verificación de Lectura: 1. ¿Sobre qué famoso teorema se basa la Fórmula de Distancia? 2. ¿Cómo puedes encontrar la distancia de uno de los catetos de un triángulo rectángulo como el del diagrama de la página anterior? Toma un cateto y explícalo con tus propias palabras. Puntos Medios de un Segmento Ahora que entiendes sobre los segmentos congruentes, existe un número de nuevos términos y tipos de figuras que puedes explorar. El punto medio de un segmento es un punto sobre un segmento que divide al segmento en dos segmentos congruentes. Por lo tanto, cada segmento entre el punto medio y un punto extremo tendrán la misma longitud.

• Un punto medio divide a un segmento en dos partes ___________________________. En el diagrama de abajo, el punto B es el punto medio de 𝐴𝐴𝐴𝐴���� ya que 𝐴𝐴𝐴𝐴���� es congruente a 𝐴𝐴𝐴𝐴����:

Incluso hay un postulado especial sobre los puntos medios: Postulado del Punto Medio de un Segmento Cualquier segmento tendrá exactamente un punto medio—ni más, ni menos.

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Ejemplo 5 Nandi y Arshad miden y encuentran que sus casas están a 10 millas de distancia. Si acuerdan encontrarse en el punto medio entre sus casas, ¿Qué tan lejos viajará cada uno?

La forma más fácil para encontrar la distancia al punto medio del segmento imaginario que conecta sus casas es dividir la longitud (la cual es 10 millas) por 2:

10 ÷ 2 = 5 Cada persona viajará cinco millas para encontrarse en el punto medio entre sus casas. La Fórmula de Punto Medio El punto medio es el punto del centro de un segmento. Es equidistante (igual distancia) de ambos puntos extremos. La fórmula para determinar el punto medio de un segmento en un plano de coordenadas es el promedio de las coordenadas x y las coordenadas y. Recuerda, para obtener el promedio de 2 números, debes tomar la suma de los números y luego dividirla por 2. Si un segmento tiene puntos extremos (x1 , y1) y (x2 , y2):

• el promedio de las coordenadas x es: 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2

2

• y el promedio de las coordenadas y es:

𝑦𝑦1 + 𝑦𝑦22

Por lo tanto, el punto medio está en:

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Verificación de Lectura: 1. ¿Qué es un promedio? Explícalo con tus propias palabras. 2. ¿Dónde está ubicado el punto medio sobre un segmento? Descríbelo. 3. ¿Qué significa la palabra equidistante? 4. ¿Cuántos puntos medios puede tener un segmento? 5. En el siguiente espacio, dibuja un segmento. Luego dibuja y designa su punto medio.

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Lección 10.2 – Paralela y Perpendicular Objetivos de Aprendizaje

• Identificar y calcular una pendiente en el plano de coordenadas. • Usar la relación entre pendientes de líneas paralelas. • Usar la relación entre pendientes de líneas perpendiculares. • Identificar ecuaciones de líneas paralelas. • Identificar ecuaciones de líneas perpendiculares.

Pendiente en el Plano de Coordenadas Si miras el gráfico de una línea, puedes pensar a la pendiente como el desnivel de la línea.

• La pendiente es la medida del ______________________________ de una línea. Matemáticamente, puedes calcular la pendiente usando dos puntos diferentes en una línea. Dados dos puntos (x1 , y1) y (x2 , y2) la pendiente es:

𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑚𝑚𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = 𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1

𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1

También puedes haber aprendido que la pendiente es igual a la “elevación sobre el recorrido.” Esto significa que:

• El numerador (parte superior) de la fracción es la “elevación,” o cuantas unidades la pendiente sube (positivo) o baja (negativo).

Arriba o abajo es cuanto se mueve la pendiente a lo largo del eje y. • El denominador (parte inferior) de la fracción es el “recorrido” o cuantas unidades la

pendiente se mueve a la derecha (positivo) o izquierda (negativo). Derecha o izquierda es cuanto se mueve la pendiente a lo largo del eje x.

Puedes recordar “elevación” como arriba o abajo porque un elevador asciende o desciende.

“Elevación” (arriba/abajo) es en la dirección y.

Puedes recordar “recorrido” como movimiento derecho o izquierdo porque una persona “recorre” con su pie derecho e izquierdo. “Recorrido” (derecha/izquierda) es en la dirección x.

• El numerador de la pendiente representa el cambio en la dirección de la _________.

• El _______________________ de la pendiente representa el cambio en la dirección de x.

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En otras palabras, primero calcula la distancia que viaja la línea hacia arriba (o abajo), y luego divide ese valor por la distancia que viaja la línea de izquierda a derecha. Una línea que se eleva de izquierda a derecha tiene pendiente positiva, y una línea que desciende de izquierda a derecha tiene pendiente negativa:

imágenes de http://www.tutorvista.com/math/positive-and-negative-slope

• Una línea que se eleva de izquierda a derecha tiene una pendiente

____________________.

• Una línea que desciende de izquierda a derecha tiene una pendiente ________________________.

Ejemplo 1 ¿Cuál es la pendiente de una línea que pasa a través de los puntos (2, 2) y (4, 6)? Puedes usar la fórmula de pendiente de la página anterior para hallar la pendiente de esta línea. Al sustituir valores, (x1 , y1) es (2, 2) y (x2 , y2) es (4, 6):

x1 = ________ , y1 = ________ , y x2 = ________ , y2 = ________

𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑚𝑚𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = 𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1

𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1

𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑚𝑚𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = 6 − 24 − 2

= 42

= 2 La pendiente de esta línea es 2. ¿Qué significa esto gráficamente?

Mira el gráfico de la siguiente página para ver a qué se parece la línea. Nota: Si la pendiente es positiva, la línea debería elevarse de izquierda a derecha. ¿Lo hace?

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Puedes ver que la línea se “eleva” 4 unidades mientras que “recorre” 2 unidades a la derecha. Entonces, la “elevación” (numerador) es 4 unidades y el “recorrido” (denominador) es 2 unidades. Dado que 4 ÷ 2 = 2, la pendiente de esta línea es 2. Como leíste en la página anterior, la pendiente de esta línea es 2, un número positivo.

• Cualquier línea con una pendiente positiva ____________________ de izquierda a derecha.

• Cualquier línea con una pendiente negativa ____________________ de izquierda a

derecha. Ejemplo 2 ¿Cuál es la pendiente de la línea que pasa a través de los puntos (1, 9) y (3, 3)? Otra vez, usa la fórmula para hallar la pendiente de esta línea:

x1 = ________ , y1 = ________ , y x2 = ________ , y2 = ________

𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑚𝑚𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = 𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1

𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1

𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑚𝑚𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = 3 − 93 − 1

= −62

= −3 La pendiente de esta línea es –3.

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Debido a que la pendiente de la línea en el ejemplo 2 es negativa, descenderá hacia la derecha. A continuación se muestran los puntos y la línea que las conecta:

Algunos tipos de líneas tienen pendientes especiales. Verifica los siguientes ejemplos para ver qué sucede con la línea horizontal y vertical. Ejemplo 3 ¿Cuál es la pendiente de una línea que pasa por los puntos (4, 4) y (8, 4)? Usa la fórmula para hallar la pendiente de esta línea:

x1 = ________ , y1 = ________ , y x2 = ________ , y2 = ________

𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑚𝑚𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = 𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1

𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1

𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑚𝑚𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = 4 − 48 − 4

= 08

= 0 La pendiente de esta línea es 0. Toda línea con una pendiente 0 es horizontal.

• Una línea ____________________________________ tiene una pendiente igual a cero.

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Ejemplo 4 ¿Cuál es la pendiente de una línea que pasa por los puntos (3, 2) y (3, 6)? Usa la fórmula para hallar la pendiente de esta línea:

x1 = ________ , y1 = ________ , y x2 = ________ , y2 = ________

𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑚𝑚𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = 𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1

𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1

𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑚𝑚𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = 6 − 23 − 3

= 40

¡El cero no puede estar en el denominador de una fracción! Por lo tanto, la pendiente de esta línea es indefinida. Toda línea con una pendiente indefinida es vertical.

• Todas las líneas verticales tienen pendientes que son _________________________________.

La línea en el ejemplo 4 es vertical y su pendiente es indefinida:

Repaso, si miras el gráfico de una línea de izquierda a derecha, entonces:

• Las líneas con pendientes positivas apuntan hacia arriba a la derecha. • Las líneas con pendientes negativas apuntan hacia abajo a la derecha. • Las líneas horizontales tienen una pendiente de cero. • Las líneas verticales tienen pendiente indefinida.

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Verificación de Lectura: 1. En el siguiente plano de coordenadas, dibuja una línea con una pendiente positiva. 2. En el siguiente plano de coordenadas, dibuja una línea con una pendiente negativa. 3. En el siguiente plano de coordenadas, dibuja una línea con una pendiente cero. 4. En el siguiente plano de coordenadas, dibuja una línea con una pendiente indefinida.

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Pendientes de Líneas Paralelas Ahora que sabes cómo hallar la pendiente de líneas usando las coordenadas x e y, puedes pensar sobre como las líneas se relacionan con sus pendientes. Si dos líneas en el plano de coordenadas son paralelas, entonces dichas líneas tienen la misma pendiente. A la inversa, si dos líneas en el plano de coordenadas tienen la misma pendiente, entonces esas líneas son paralelas.

• Las líneas paralelas tienen la _____________________________ pendiente. Ejemplo 5 ¿Cuál de las siguientes respuestas podría representar la pendiente de una línea paralela a la línea que se muestra en el gráfico?

A. – 4 B. – 1 C. 1

4

D. 1 Dado que estás buscando la pendiente de una línea paralela, ella tendrá la misma pendiente que la línea del gráfico. Primero encuentra la pendiente de la línea dada, y luego elije la respuesta con esa misma pendiente. Para hacer esto, toma dos puntos de la línea y usa la fórmula de pendiente.

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Por ejemplo, para los puntos (–1, 5) y (3, 1):

x1 = ________ , y1 = ________ , y x2 = ________ , y2 = ________

𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑚𝑚𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = 𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1

𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1

𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑚𝑚𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = 1 − 5

3 − (−1) =

−43 + 1

= −44

= −1

La pendiente de la línea del gráfico es –1. La respuesta es la B. Pendientes de Líneas Perpendiculares Las líneas paralelas tienen la misma pendiente. También existe una relación matemática para las pendientes de líneas perpendiculares. Las pendientes de las líneas perpendiculares serán el recíproco opuesto de cada una.

Opuesto aquí significa el signo opuesto.

Si una pendiente es positiva, entonces su opuesto es negativa. Si una pendiente es negativa, entonces su opuesto es positiva.

Un recíproco es una fracción con su numerador y denominador dados vuelta.

El recíproco de 23 es 3

2 . El recíproco de 1

2 es 2. El recíproco de 4 es 1

4 .

• El opuesto de 5 es _______________.

• El recíproco de 5 es _______________. El recíproco opuesto se puede hallar en dos pasos:

1. Primero, encuentra el recíproco de la pendiente dada. Si la pendiente es una fracción, puedes simplemente cambiar los números en el numerador y el denominador para hallar el recíproco. Si la pendiente no es una fracción, puedes convertirla en una fracción poniendo un 1 en el denominador. Luego encuentra el recíproco dando vuelta el numerador y denominador.

2. El segundo paso es hallar el opuesto del número dado. Si el valor es positivo, hazlo negativo. Si el valor es negativo, hazlo positivo.

El recíproco opuesto de 5

4 es − 4

5 y el recíproco opuesto de − 3 es 1

3 .

• El recíproco opuesto de 5 es _______________.

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Otra forma de verificar si las líneas son perpendiculares es multiplicar sus pendientes: si las pendientes de dos líneas se multiplican para ser –1, entonces las dos líneas son perpendiculares.

• Las pendientes de líneas ____________________________ se multiplican para ser –1. Ejemplo 6 ¿Cuál de los siguientes números podría representar la pendiente de una línea perpendicular a la línea mostrada abajo?

A. − 75

B. 75

C. − 57

D. 57

Dado que estás buscando la pendiente de una línea perpendicular, la misma será el recíproco opuesto de la pendiente de la línea del gráfico. Primero encuentra la pendiente de la línea dada, luego encuentra su recíproco opuesto. Puedes usar la fórmula de pendiente para hallar la pendiente de la línea original. Elije dos puntos de la línea. Por ejemplo, para los puntos (–3, –2) y (4, 3):

x1 = ________ , y1 = ________ , y x2 = ________ , y2 = ________

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𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑚𝑚𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = 𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1

𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1

𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑚𝑚𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = 3 − (−2)4 − (−3)

= 3 + 24 + 3

= 57

La pendiente de la línea del gráfico es 5

7 . Ahora encuentra el recíproco opuesto de ese valor.

Primero cambia el numerador y denominador en la fracción, luego encuentra el signo opuesto. El recíproco opuesto de 5

7 es − 7

5 . La respuesta es A.

Ecuaciones Pendiente-Intersección El tipo más común de ecuación lineal para estudiar se llama pendiente-intersección, el cual usa tanto la pendiente de la línea y su intersección con el eje y. Una intersección con el eje y es el punto donde la línea cruza el eje y vertical. Este es el valor de y cuando x es igual a 0.

• El tipo pendiente-intersección es una ecuación que usa la _________________________ y la ______________________________ de una línea.

• La intersección con el eje y es el punto donde la línea se cruza con ___________________.

• En la intersección con el eje y, x es igual a ______________.

La fórmula para una ecuación de tipo pendiente-intersección es:

𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 En esta ecuación, , y e x permanecen como variables, m es la pendiente de la línea, y b es la intersección con el eje y de la línea. Por ejemplo, si sabes que una línea tiene una pendiente de 4 y cruza al eje y en (0, 8), entonces su ecuación de tipo pendiente-intersección es: 𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥 + 8.

• En el tipo pendiente-intersección, m representa la ________________________.

• En el tipo pendiente-intersección, b representa la ____________________________. Esta forma es especialmente útil para encontrar la ecuación de una línea dado su gráfico. Tú ya sabes cómo calcular la pendiente hallando dos puntos y usando la fórmula de pendiente. Puedes encontrar la intersección con el eje y mirando donde cruza la línea el eje y en el gráfico. El valor de b es la coordenada y de ese punto.

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Ejemplo 7 Escribe una ecuación de tipo pendiente-intersección que represente la siguiente línea:

Primero encuentra la pendiente de la línea. Tú ya sabes cómo hacer esto usando la fórmula de pendiente. No hay puntos dados en la línea, por lo que tienes que tomar tus propios puntos. Mira en el gráfico donde la línea pasa justo a través de una intersección (punto de esquina). Puedes usar los dos puntos (0, 3) y (2, 2):

x1 = ________ , y1 = ________ , y x2 = ________ , y2 = ________

𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑚𝑚𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = 𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1

𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1

𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑚𝑚𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = 2 − 32 − 0

= − 1

2 = −

12

La pendiente de la línea es − 1

2 . Esto reemplazará a m en la ecuación pendiente-intersección.

Ahora necesitas encontrar la intersección con el eje y. En el gráfico, encuentra donde la línea se cruza con el eje y. Cruza al eje y en (0, 3) por lo que la intersección con el eje y es 3. Esto reemplazará a b en la ecuación pendiente-intersección, por lo que ahora tienes toda la información que necesitas. La ecuación para la línea que se muestra en el gráfico es: 𝑦𝑦 = − 1

2𝑥𝑥 + 3.

• En la ecuación pendiente-intersección, la pendiente está representada por la letra

_________.

• En la ecuación pendiente-intersección, la intersección con el eje y es la letra _________.

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Ecuaciones de Líneas Paralelas Estudiaste líneas paralelas y sus relaciones gráficas, por lo que ahora aprenderás cómo identificar fácilmente ecuaciones de líneas paralelas. Cuando buscas líneas paralelas, buscas ecuaciones que tengan la misma pendiente.

Siempre que las intersecciones con el eje y no sean las mismas y las pendientes sean iguales, las líneas son paralelas. Si la intersección con el eje y y la pendiente son ambas las mismas, entonces las dos ecuaciones son para la misma línea, y una línea no puede ser paralela a sí misma.

• Las líneas paralelas tienen la _______________________ pendiente. Verificación de Lectura: 1. Verdadero o Falso:

El recíproco de una fracción es cuando das vuelta el numerador y el denominador. 2. Construye un ejemplo que respalde la afirmación del punto 1. 3. ¿Cuál es la ecuación de tipo pendiente-intersección? 4. ¿Qué representan las letras m y b en la ecuación pendiente-intersección? m : b : 5. ¿Cómo son relacionadas las pendientes de líneas paralelas?

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Ejemplo 8 Juan dibujó la línea de abajo:

¿Cuál de las siguientes ecuaciones podría representar una línea paralela a la que dibujó Juan?

A. 𝑦𝑦 = − 12𝑥𝑥 − 6

B. 𝑦𝑦 = 12𝑥𝑥 + 9

C. 𝑦𝑦 = −2𝑥𝑥 − 18 D. 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 + 1

Si encuentras la pendiente de la línea en el gráfico de Juan, puedes encontrar la pendiente de una línea paralela porque será la misma. Toma dos puntos en el gráfico y encuentra la pendiente usando la fórmula de pendiente. Usa los puntos (0, 5) y (1, 3):

x1 = ________ , y1 = ________ , y x2 = ________ , y2 = ________

𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑚𝑚𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = 𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1

𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1

𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑚𝑚𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = 3 − 51 − 0

= − 2

1 = − 2

La pendiente de la línea de Juan es –2. Mira tus cuatro opciones de respuesta: ¿Cuál de las ecuaciones tiene una pendiente de –2? Las otras partes de la ecuación no interesan. La única ecuación que tiene una pendiente de –2 es la opción C, por lo que esa es la respuesta correcta.

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Ecuaciones de Líneas Perpendiculares También estudiaste líneas perpendiculares y sus relaciones gráficas: recuerda que las pendientes de líneas perpendiculares son recíprocos opuestos. Para identificar fácilmente ecuaciones de líneas perpendiculares, busca ecuaciones que tengan pendientes que sean recíprocos opuestos una de otra.

Aquí, no importa cuál es la intersección con el eje y; mientras que las pendientes sean recíprocos opuestos, las líneas son perpendiculares.

Ejemplo 9 Kara dibujó la línea en este gráfico:

¿Cuál de las siguientes ecuaciones podría representar una línea perpendicular a la que Kara dibujó arriba?

A. 𝑦𝑦 = 32𝑥𝑥 + 10

B. 𝑦𝑦 = − 32𝑥𝑥 + 6

C. 𝑦𝑦 = 23𝑥𝑥 − 4

D. 𝑦𝑦 = − 23𝑥𝑥 − 1

Primero encuentra la pendiente de la línea en el gráfico de Kara. Luego encuentra el recíproco opuesto de esta pendiente. Para empezar, toma dos puntos en el gráfico y calcula la pendiente usando la fórmula de pendiente. Usa los puntos (0, 2) y (3, 4):

x1 = ________ , y1 = ________ , y x2 = ________ , y2 = ________

𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑚𝑚𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = 𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1

𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1

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𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑚𝑚𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = 4 − 23 − 0

= 23

La pendiente de la línea de Kara en el gráfico es 2

3 .

Encuentra el recíproco opuesto: el recíproco de 23 es 3

2 , y el opuesto de 3

2 es − 3

2 .

Por lo tanto, − 32 es el recíproco opuesto de (o pendiente perpendicular a) 2

3 .

Ahora mira en tus opciones de respuesta para la ecuación que tiene una pendiente de − 32 .

La única ecuación que tiene una pendiente de − 32 es la opción B, por lo que ésa es la respuesta

correcta. Verificación de Lectura: 1. ¿Cómo son las pendientes de líneas perpendiculares relacionadas entre sí? 2. En el contexto de valores de pendientes de perpendiculares, ¿Qué significa opuesto? 3. Verdadero o Falso: En un gráfico, las líneas perpendiculares se cruzan en un ángulo de 45°. 4. Corrige la afirmación en el punto 3 para hacerla verdadera.

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Lección 10.3 – Ecuación de un Círculo Objetivos de Aprendizaje

• Escribir la ecuación de un círculo. Ecuaciones y Gráficos de Círculos Un círculo se define como el conjunto de todos los puntos que están a la misma distancia de un punto llamado centro. Esta definición se puede usar para hallar la ecuación de un círculo en el plano de coordenadas.

• Un círculo es el conjunto de todos los puntos equidistantes desde el ________________________.

Mira el círculo que se muestra abajo. Como puedes ver, este círculo tiene su centro en el punto (2, 2) y tiene un radio de 3.

Todos los puntos (x, y) en el círculo tienen una distancia de 3 unidades desde el centro del círculo. Podemos expresar esta información como una ecuación con la ayuda del Teorema de Pitágoras. El triángulo rectángulo que se muestra arriba tiene catetos cuya longitud es (x – 2) e (y – 2), e hipotenusa de longitud 3. Podemos escribir:

(𝑥𝑥 − 2)2 + (𝑦𝑦 − 2)2 = 32 O (𝑥𝑥 − 2)2 + (𝑦𝑦 − 2)2 = 9

Podemos generalizar esta ecuación para un círculo con centro en el punto (x0 , y0) y radio r:

(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)2 + (𝑦𝑦 − 𝑦𝑦0)2 = 𝑟𝑟2

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Ejemplo 1 Encuentra el centro y radio de los siguientes círculos:

A. (𝑥𝑥 − 4)2 + (𝑦𝑦 − 1)2 = 25 B. (𝑥𝑥 + 1)2 + (𝑦𝑦 − 2)2 = 4

A. Escribimos la ecuación como: (𝑥𝑥 − 4)2 + (𝑦𝑦 − 1)2 = 52. Compárala con la ecuación común. El centro del círculo está en el punto (4, 1) y el radio es 5. B. Escribimos la ecuación como: (𝑥𝑥 − (−1))2 + (𝑦𝑦 − 2)2 = 22. El centro del círculo es el punto (–1, 2) y el radio es 2. Ejemplo 2 Grafica los siguientes círculos:

A. 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 9 B. (𝑥𝑥 + 2)2 + 𝑦𝑦2 = 1

Para graficar un círculo, primero graficamos el punto del centro y luego dibujamos los puntos que son las longitudes del radio que se alejan desde el centro en las direcciones arriba, abajo, derecha e izquierda. ¡Luego conectamos los puntos exteriores en un círculo! A. Escribimos la ecuación como: (𝑥𝑥 − 0)2 + (𝑦𝑦 − 0)2 = 32. El centro del círculo está en el punto (0, 0) y el radio es 3.

Traza el punto del centro y un punto 3 unidades arriba en (0, 3), 3 unidades abajo en (0, –3), 3 unidades a la derecha en (3, 0) y 3 unidades a la izquierda en (–3, 0):

B. Volvemos a escribir la ecuación como: (𝑥𝑥 − (−2))2 + (𝑦𝑦 − 0)2 = 12. El centro del círculo está en el punto (–2, 0) y el radio es 1.

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Trazamos el punto del centro y un punto 1 unidad arriba en (–2, 1), 1 unidad abajo en (–2, –1), 1 unidad a la derecha en (–1, 0) y 1 unidad a la izquierda en (–3, 0):

Verificación de Lectura: 1. Con tus propias palabras, describe el radio de un círculo. 2. En la ecuación general de un círculo(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)2 + (𝑦𝑦 − 𝑦𝑦0)2 = 𝑟𝑟2 , las variables x0 e y0 representan un punto especial. ¿De qué punto se trata? 3. ¿Cómo puedes encontrar el radio de un círculo desde su ecuación? ¿Qué necesitas hacer en la parte derecha de la ecuación?

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Ejemplo 3 Escribe la ecuación del círculo en el siguiente gráfico:

Del gráfico, podemos ver que el centro del círculo está en el punto (–2, 2) y el radio es 3 unidades de largo, por lo que podemos usar estos números en la ecuación normal de círculo:

(𝑥𝑥 + 2)2 + (𝑦𝑦 − 2)2 = 32 (𝑥𝑥 + 2)2 + (𝑦𝑦 − 2)2 = 9

Ejemplo 4 Determina si el punto (1, 3) está en el círculo dado por la ecuación:

(𝑥𝑥 − 1)2 + (𝑦𝑦 + 1)2 = 16 Para hallar la respuesta, simplemente trazamos el punto (1, 3) en la ecuación del círculo dado. Sustituye el número _________ por x y el número _________ por y:

(1 − 1)2 + (3 + 1)2 = 16 (0)2 + (4)2 = 16 16 = 16

Dado que terminamos con una afirmación verdadera, el punto (1, 3) satisface la ecuación. Por lo tanto, el punto está en el círculo.

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Círculos Concéntricos Los círculos concéntricos son círculos de diferentes radios que comparten el mismo centro.

• Los círculos con el mismo ___________________ pero diferentes _________________ se llaman círculos concéntricos.

Ejemplo 5 Escribe las ecuaciones de los círculos concéntricos que se muestran en el gráfico:

Los 4 círculos tienen el mismo punto de centro en (3, 2) por lo que sabemos que todas las ecuaciones serán:

(𝑥𝑥 − 3)2 + (𝑦𝑦 − 2)2 Dado que los círculos tienen diferentes longitudes de radio, la parte derecha de las ecuaciones serán números diferentes. El círculo más pequeño tiene un radio de 2: (𝑥𝑥 − 3)2 + (𝑦𝑦 − 2)2 = 22 o

(𝑥𝑥 − 3)2 + (𝑦𝑦 − 2)2 = 4 El siguiente círculo más grande tiene un radio de 3: (𝑥𝑥 − 3)2 + (𝑦𝑦 − 2)2 = 9 El siguiente círculo más grande tiene un radio de 4: (𝑥𝑥 − 3)2 + (𝑦𝑦 − 2)2 = 16 El círculo más grande tiene un radio de 5: (𝑥𝑥 − 3)2 + (𝑦𝑦 − 2)2 = 25

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Mira la palabra concéntrico:

En español, la palabra “con” significa “con.”

La segunda parte de la palabra, “-céntrico” luce muy parecido a la palabra “centro.”

Cuando ponemos estas dos partes juntas, “concéntrico” significa “con” el mismo “centro.”

Verificación de Lectura: 1. Si te dan un punto y una ecuación de un círculo, ¿Cómo puedes decir si el punto dado está en el círculo? Describe lo que harías. 2. ¿Qué son círculos concéntricos? 3. Si te dan dos ecuaciones de dos círculos diferentes, ¿Cómo puedes decir si los círculos son concéntricos? Describe qué tendrían que tener en común las dos ecuaciones.

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Lección 10.4 – Traslación y Reflexión Objetivos de Aprendizaje

• Graficar una traslación en un plano de coordenadas. • Reconocer que una traslación es una isometría. • Hallar la reflexión de un punto en una línea en un plano de coordenadas. • Verificar que una reflexión es una isometría.

Traslaciones Una traslación mueve cada punto una distancia horizontal dada y/o una distancia vertical dada.

• Cuando un punto se mueve una cierta distancia en forma horizontal y/o vertical, el movimiento se llama ______________________________.

Por ejemplo, si una traslación mueve un punto A (3, 7) 2 unidades a la derecha y 4 unidades arriba a A' (5, 11), entonces esta traslación mueve cada punto en una figura más grande de la misma forma.

El símbolo junto a la letra A' se llama símbolo primo.

El símbolo primo luce como una apóstrofe como la que usas para mostrar el posesivo en inglés, como, “that is my brother’s book.”

(El apóstrofe está antes de la s)

En matemáticas, usamos el símbolo primo para mostrar dos cosas relacionadas.

En la traslación de arriba, el punto original está relacionado con el punto trasladado, por lo que en vez de renombrar al punto trasladado, usamos el símbolo primo para mostrar esto. El punto original (o figura) se llama pre imagen y el punto trasladado (o figura) se llama imagen. En el ejemplo dado arriba, la pre imagen es el punto A (3, 7) y la imagen es el punto A' (5, 11). La imagen es nombrada (o exhibida) con el símbolo primo.

• Otro nombre para el punto original es __________________________.

• Otro nombre para el punto trasladado es __________________________.

• El punto trasladado usa el símbolo _______________ junto a la letra que lo nombra.

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Ejemplo 1 El punto A (3, 7) en una traslación se convierte en el punto A' (2, 4). ¿Cuál es la imagen de B (–6, 1) en la misma traslación? El punto A se movió 1 unidad a la izquierda y 3 unidades abajo para llegar a A'. El punto B también se moverá 1 unidad para la izquierda y 3 unidades abajo. Sustraemos 1 de la coordenada x y 3 de la coordenada y del punto B:

B' = ( –6 – 1, 1 – 3) = (–7, –2) B' (–7, –2) es la imagen de B (–6, 1). Usando la Fórmula de Distancia, puedes ver lo siguiente: 𝐴𝐴𝐴𝐴 = �(−6 − 3)2 + (1 − 7)2 = �(−9)2 + (−6)2 = √117 𝐴𝐴′𝐴𝐴′ = �(−7− 2)2 + (−2− 4)2 = �(−9)2 + (−6)2 = √117 Dado que los puntos extremos de 𝐴𝐴𝐴𝐴���� y 𝐴𝐴′𝐴𝐴′������ se movieron la misma distancia en forma horizontal y vertical, ambos segmentos tienen la misma longitud. La Traslación es una Isometría Una isometría es una transformación en la cual la distancia se “conserva.” Esto significa que la distancia entre dos puntosen la pre imagen (antes de la traslación) es la misma que la distancia entre los puntos en la imagen (después de la traslación).

• Una isometría es cuando la______________________________ se conserva desde la pre imagen a la imagen.

Como viste en el Ejemplo 1 de arriba:

La pre imagen AB = la imagen A'B' (ya que ambas son iguales a √117 ) ¿Podríamos obtener el mismo resultado para cualquier otro punto en esta traslación? La respuesta es sí. Es claro que para cualquier punto X, la distancia de X a X' será √117. Cada punto se mueve √117 unidades hasta su imagen. Esto es verdad en general: Teorema de Isometría de Traslación Toda traslación en el plano de coordenadas es una isometría.

• Toda traslación en un plano de coordenadas x-y es una ________________________.

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Reflexión en una Línea Una reflexión en una línea es como si la línea fuera un espejo:

• Cuando un objeto se refleja en una línea, la línea es como una

______________________. Un objeto se refleja en el espejo, y vemos la imagen del objeto.

• La imagen está a la misma distancia detrás de la línea de espejo mientras que el objeto está al frente de la línea del espejo.

• La “línea de visión” desde el objeto hasta el espejo es perpendicular a la línea del espejo en sí.

• La “línea de visión” desde la imagen hasta el espejo es además perpendicular a la línea del espejo.

Reflexión de un Punto en una Línea El punto P' es la reflexión del punto P en la línea k si y sólo si la línea k es la bisectriz perpendicular de 𝑃𝑃𝑃𝑃′�����.

• La línea del espejo es una ____________________________ perpendicular de la línea que conecta el objeto a su imagen reflejada.

Reflexiones en Líneas Especiales En un plano de coordenadas hay algunas líneas “especiales” para las cuales es relativamente fácil crear reflexiones:

• El eje x • El eje y • La línea y = x (esta línea forma un ángulo de 45° entre el eje x y el eje y)

• El eje _________, el eje _________, y la línea _________ = _________ son líneas

“especiales” para usar como espejos cuando se hallan reflexiones de figuras. Podemos desarrollar fórmulas simples para reflexiones en estas líneas.

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Sea P (x, y) un punto en el plano de coordenadas:

Ahora tenemos las siguientes reflexiones de P (x, y):

• La reflexión de P en el eje x es Q (x, –y) [ la coordenada x permanece igual, y la coordenada y es el opuesto ]

• La reflexión de P en el eje y es R (–x, y) [ la coordenada x es el opuesto, y la coordenada y permanece igual ]

• La reflexión de P en la línea y = x es S (y, x) [ cambian la coordenada x y la coordenada y ]

Mira el gráfico de arriba y te convencerás de las primeras dos reflexiones en los ejes. Probaremos la tercer reflexión en la línea y = x en la siguiente página.

• Las reflexiones en el eje x tienen la misma coordenada ________, pero la coordenada y tiene el valor _________________________.

• Las reflexiones en el eje y tienen una coordenada x ___________________________, y

la coordenada y permanece ____________________.

• Para reflexiones en la línea y = x, __________________ las coordenadas x e y.

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Ejemplo 2 Prueba que la reflexión del punto P (h, k) en la línea y = x es el punto S (k, h). Aquí hay un “resumen” de la prueba:

Primero, sabemos que la pendiente de la línea y = x es 1 porque y = 1x + 0.

Luego, investigaremos la pendiente de la línea que conecta nuestros dos puntos, 𝑃𝑃𝑃𝑃����. Usa la fórmula de pendiente y los valores de las coordenadas de los puntos dados arriba:

Pendiente de 𝑃𝑃𝑃𝑃���� es 𝑘𝑘 − ℎℎ − 𝑘𝑘

= −1 (ℎ − 𝑘𝑘)ℎ − 𝑘𝑘

= −1

Por lo tanto, hemos mostrado que 𝑃𝑃𝑃𝑃���� y y = x son perpendiculares porque el producto de sus pendientes es –1.

Finalmente, podemos mostrar que y = x es la bisectriz perpendicular de 𝑃𝑃𝑃𝑃���� hallando el punto medio de 𝑃𝑃𝑃𝑃���� :

Punto medio de 𝑃𝑃𝑃𝑃���� es � ℎ + 𝑘𝑘2

, ℎ + 𝑘𝑘2

�

Sabemos que el punto medio de 𝑃𝑃𝑃𝑃���� está en la línea y = x porque la coordenada x y la coordenada y del punto medio son las mismas.

Por lo tanto, la línea y = x es la bisectriz perpendicular de 𝑃𝑃𝑃𝑃����.

Conclusión: Los puntos P y S son reflexiones en la línea y = x.

Ejemplo 3 El punto P (5, 2) se reflexiona en la línea y = x. La imagen es P'. P' se reflexiona entonces en el eje y. La imagen es P''. ¿Cuáles son las coordenadas de P''? Hallamos una reflexión a la vez:

• La reflexión P en la línea y = x para hallar P' : Para reflexiones en la línea y = x ___________________ coordenadas.

Por lo tanto, P' es (2, 5).

• La reflexión P' en el eje y: Para reflexiones en el eje y, la coordenada x es el _____________________ y la coordenada y permanece _______________________.

Por lo tanto, P'' es (–2, 5).

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Las Reflexiones son Isometrías Como una traslación, una reflexión en una línea es también una isometría. La distancia entre puntos se “conserva” (permanece igual).

• Una reflexión en una línea es una __________________________, lo cual significa que la distancia se conserva.

Verificaremos la isometría para una reflexión en el eje x. La prueba es muy similar para una reflexión en el eje y. El siguiente diagrama muestra a 𝑃𝑃𝑃𝑃���� y su reflexión en el eje x, 𝑃𝑃′𝑃𝑃′������:

Usa la Fórmula de Distancia: 𝑃𝑃𝑃𝑃 = �(𝑚𝑚− ℎ)2 + (𝑝𝑝 − 𝑘𝑘)2 𝑃𝑃′𝑃𝑃′ = �(𝑚𝑚 − ℎ)2 + (−𝑝𝑝 − (−𝑘𝑘))2 = �(𝑚𝑚− ℎ)2 + (𝑘𝑘 − 𝑝𝑝)2 = �(𝑚𝑚− ℎ)2 + (𝑝𝑝 − 𝑘𝑘)2 Por .lo tanto PQ = P'Q' Conclusión: Cuando un segmento se reflexiona en el eje x, el segmento imagen tiene la misma longitud que el segmento pre imagen original. Este es el significado de isometría. Puedes ver que un argumento similar se podría aplicar para una reflexión en cualquier línea.

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Verificación de Lectura: 1. Verdadero o Falso: Tanto las traslaciones como las reflexiones son isometrías. 2. ¿Cuál es el significado de la afirmación anterior en el número 1? 3. Si una regla de traslación es (x + 3, y – 1), ¿en qué direcciones se mueve un punto? 4. Cuando un punto o figura se reflexiona en una línea, esa línea actúa como un espejo.

a. ¿Cómo cambia el eje x un punto que se reflexiona? ¿Qué le haces a las coordenadas del punto en este tipo de reflexión?

b. ¿Cómo cambia el eje y un punto que se reflexiona? ¿Qué le haces a las coordenadas del punto en este tipo de reflexión?

c. ¿Cómo cambia la línea y = x un punto que se reflexiona? ¿Qué le haces a las coordenadas del punto en este tipo de reflexión?

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Lección 10.5 – Rotación Objetivos de Aprendizaje

• Hallar la imagen de un punto en una rotación en un plano de coordenadas. • Reconocer que una rotación es una isometría.

Ejemplo de Rotaciones En esta lección estudiaremos las rotaciones centradas en el origen de un plano de coordenadas. Comencemos con algunos ejemplos específicos de rotaciones. Más adelante veremos cómo estas rotaciones encajan en una fórmula general. Definimos una rotación de la siguiente manera: En una rotación centrada en el origen con un ángulo de rotación de n°, un punto se mueve en sentido contrario al reloj a lo largo del arco de un círculo. El ángulo central del círculo mide n°. El punto de pre imagen original es un punto extremo del arco, y la imagen del punto original es el otro punto extremo del arco:

• Las rotaciones centradas en el origen mueven los puntos _____________________________ a lo largo del arco de un círculo.

• Para una rotación de n°, el ángulo central del círculo mide ____________.

• El punto de pre imagen es un punto extremo del _________________ y la imagen es el

otro punto extremo.

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Rotación de 180° Nuestro primer ejemplo es una rotación a través de un ángulo de 180°:

En una rotación de 180°, la imagen de P (h, k) es el punto P' (–h, –k). Nota:

• P y P' son los puntos extremos del diámetro de un círculo.

Esto significa que la distancia desde el punto P al origen (o la distancia desde el punto P' al origen) es un radio del círculo.

La distancia desde P al origen es igual a la distancia desde ________ al origen.

• La rotación es igual que una “reflexión en el origen.”

Esto significa que si usamos el origen como un espejo, el punto P está directamente frente al punto P'.

Una _____________________________ de 180° es también una reflexión en el origen.

En una rotación de 180°, la coordenada x y la coordenada y del __________________ se convierten en las versiones negativas de los valores en la imagen.

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Una rotación de 180° es una isometría. La imagen de un segmento es un segmento congruente:

Usa la Fórmula de Distancia: 𝑃𝑃𝑃𝑃 = �(𝑘𝑘 − 𝑝𝑝)2 + (ℎ − 𝑟𝑟)2 𝑃𝑃′𝑃𝑃′ = �(−𝑘𝑘 − (−𝑝𝑝))2 + (−ℎ − (−𝑟𝑟))2 = �(−𝑘𝑘 + 𝑝𝑝)2 + (−ℎ + 𝑟𝑟)2 = �(𝑝𝑝 − 𝑘𝑘)2 + (𝑟𝑟 − ℎ)2 = �(𝑘𝑘 − 𝑝𝑝)2 + (ℎ − 𝑟𝑟)2 Por lo tanto PQ = P'Q'

• Una rotación de 180° es una ___________________________, por lo que la distancia se conserva.

• Cuando un segmento rota 180° (o se refleja en el origen), su imagen es un segmento

_________________________________.

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Rotación de 90° El siguiente ejemplo es una rotación a través de un ángulo de 90°. La rotación es en dirección contraria al sentido del reloj:

En una rotación de 90°, la imagen de P (h, k) es el punto P' (–k, h). Nota:

• 𝑃𝑃𝑃𝑃���� y 𝑃𝑃′𝑃𝑃����� son radios del mismo círculo, por lo que PO = P'O.

Si PO y P'O son radios, entonces tienen la misma ______________________.

• ∠𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃′ es un ángulo recto.

• El ángulo agudo formado por 𝑃𝑃𝑃𝑃���� y el eje x y el ángulo agudo formado por 𝑃𝑃′𝑃𝑃����� y el eje x son ángulos complementarios. Recuerda, los ángulos complementarios suman ________________°.

Puedes ver por las coordenadas de los puntos de pre imagen e imagen, en una rotación de 90°:

• la coordenada x y la coordenada y están cambiadas Y • la coordenada x es negativa.

En una rotación de 90°, cambian las coordenadas _________e _________ y la nueva coordenada x se hace _________________________.

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Una rotación de 90° es una isometría. La imagen de un segmento es un segmento congruente.

Usa la Fórmula de Distancia: 𝑃𝑃𝑃𝑃 = �(𝑘𝑘 − 𝑝𝑝)2 + (ℎ − 𝑟𝑟)2 𝑃𝑃′𝑃𝑃′ = �(ℎ − 𝑟𝑟)2 + (−𝑘𝑘 − (−𝑝𝑝))2 = �(ℎ − 𝑟𝑟)2 + (𝑝𝑝 − 𝑘𝑘)2 = �(𝑘𝑘 − 𝑝𝑝)2 + (ℎ − 𝑟𝑟)2 Por lo que PQ = P'Q' Verificación de Lectura: ¿Cuáles de las siguientes son isometrías? Marca con un círculo todas las opciones que correspondan: Rotación de 30° Rotación de 45° Rotación de 60° Rotación de 90° Rotación de 150° Rotación de 180° Reflexión Traslación Bisección

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Ejemplo 1 ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices del ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 en una rotación de 90°?

El punto A es (4, 6), B es (–4, 2), y C es (6, –2). En una rotación de 90°, la coordenada x y la coordenada y se cambian Y la nueva coordenada x se hace negativa:

• A se convierte en A' : cambia x e y a (6, 4) y x se hace negativa (–6, 4) • B se convierte en B' : cambia x e y a (2, –4) y x se hace negativa (–2, –4) • C se convierte en C' : cambia x e y a (–2, 6) y x se hace negativa (– (–2), 6) = (2, 6)

Entonces los vértices del ∆𝐴𝐴′𝐴𝐴′𝐴𝐴′ son (–6, 4), (–2, –4), y (2, 6). Traza cada uno de estos puntos en el plano de coordenadas y haz el dibujo en cada lado del nuevo triángulo rotado. ¿Puedes ver cómo el triángulo ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 rota 90° hasta ∆𝐴𝐴′𝐴𝐴′𝐴𝐴′ ?

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Verificación de Lectura: 1. Verdadero o Falso: Una rotación siempre es en dirección contraria al sentido del reloj. 2. En el siguiente plano de coordenadas, crea un punto en cualquier lugar que desees, y desígnalo P.

Luego dibuja un segundo punto W que sea la imagen del punto P rotado 180°.

3. En el plano de coordenadas anterior, dibuja un tercer punto R que sea la imagen de tu punto original P rotado 90°. 4. ¿Una rotación de 90° es una isometría? Explícalo. 5. ¿Una rotación de 180° es una isometría? Explícalo. 6. ¿Qué tipo de rotación es lo mismo que una reflexión en el origen?