Probab Il i Dade Condicion Al

7/23/2019 Probab Il i Dade Condicion Al

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Clculo de Probabilidade I

Probabilidade Condicional

Karina Y. Yaginuma

Departamento de Estatstica - ICE

Universidade Federal de Juiz de Fora

29 de outubro de 2015

Karina Y. Yaginuma Clculo de Probabilidade I Probabilidade Condicional
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Probabilidade condicional

Definio

Seja(,A, P)um espao de probabilidade. SeB AeP(B)> 0, a

probabilidade condicionaldeA AdadoB definida por

P(A|B) = P(A B)P(B)

.

Observao:

SeP(B) = 0,P(A|B)pode ser arbitrariamente defnida. Em

geral define-seP(A|B) = 0, mas conveniente, por

independncia, definirP(A|B) =P(A), como veremos adiante.

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P

i=1

Ai|B

=

P((

i=1Ai) B)

P(B) =

P(

i=1(Ai B))

P(B)

= (pelo axioma 3) =

i=1 P(Ai B)

P(B)

=

i=1

P(Ai B)

P(B) =

i=1

P(Ai|B).

Consequntemente as propriedades de probabilidade somantidas. Por exemplo,

P(Ac|B) = 1 P(A|B).

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Exemplo:

Suponhamos que uma fbrica possui 310 mquinas de soldar.

Algumas destas mquinas so eltricas (E), enquanto outras

so manuais (M). Por outro lado, temos tambm que algumas

so novas (N) e outras so usadas (U). A tabela abaixo informa

o nmero de mquinas de cada categoria.

Eltrica Manuais Totais

Novas 10 60 70Usadas 200 40 240

Totais 210 100 310

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Exemplo - Continuao

Sabendo que uma determinada pea foi soldada usando uma

mquina nova, qual a probabilidade de ter sido soldada por

uma mquina eltrica?

Soluo:

Note queP(N) = 70310 eP(E N) = 10310 . Portanto,

P(E|N) =P(E N)

P(N)

=10/310

70/310

= 1/7 = 0, 1428571.

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Exemplo - Continuao

Sabendo que uma determinada pea foi soldada usando uma

mquina eltrica, qual a probabilidade de ter sido soldada por

uma mquina nova?

Soluo:

Note queP(E) = 210310 eP(N E) = 10310 . Portanto,

P(E|N) =P(E N)

P(N)

= 10/310

210/310

= 1/21 = 0, 04761905.

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Probabilidade Condicional

Exemplo: Se dois dados (um vermelho e o outro verde) so

lanados, qual a probabilidade da soma das faces superiores ser8 dado que o dado verde saiu 3? O espao amostral do

experimento

={(i, j) :i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6},

ondei representa o resultado do dado verde ej o do dado

vermelho.

Defina

G= {(3, j) :j = 1, . . . , 6}eS={(i, j) :i +j = 8, i , j = 1, . . . , 6}.

Ento

P(S|G) =P(S G)

P(G) =

1/36

6/36=

1

6.

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Decorre da definio de probabilidae condicional que

P(A B) =P(B)P(A|B).

Podemos generalizar essa igualdade: se A, B,C A, ento

P(A B C) = P((A B) C)

= P(A B)P(C|A B)

= P(A)P(B|A)P(C|A B).

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Teorema da Multiplicao

Por induo, temos o seguinte:

Teorema (Teorema da Multiplicao)

Seja(,A, P)um espao de probabilidade. Ento

1 P(A B) =P(A)P(B|A) =P(B)P(A|B)para todoA, B A,

2 P(A1 A2 An) =

P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 A2) . . . P (An|A1 An1)para

todoA1, . . . , An Ae para todon = 2, 3, . . . .

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Teorema da Multiplicao

Exemplo: Selecionar trs cartas de um baralho, ao acaso e sem

reposio. Qual a probabilidade de tirar 3 reis?

Seja

Ai = tirar rei na i-sima extrao, parai = 1, 2, 3.

Ento o evento tirar 3 reis em termos dos Ais dado por

A1 A2 A3.

Logo,

P(A1 A2 A3) =P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 A2) = 4

52.3

51.2

50.

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Teorema da Probabilidade Total

Definio

Uma sequnciaA1, A2, . . . finita ou enumervel de conjuntos uma

partiode um conjuntoA quando

for uma sequncia de conjuntos disjuntos e

iAi =A.

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Definio

Uma sequnciaA1, A2, . . . finita ou enumervel de conjuntos uma

partiode um conjuntoA quando

for uma sequncia de conjuntos disjuntos e

iAi =A.

Teorema (Teorema da Probabilidade Total)

Se a sequncia (finita ou enumervel) de eventos aleatrios

A1, A2, . . . forma uma partio de, ento

P(B) =i

P(Ai)P(B|Ai),B A.

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Prova:

Note que

B =i (B Ai)e que os(B Ai)s so disjuntos. Ento, pelo Axioma 3,

P(B) =i

P(B Ai)

=iP(Ai)P(B|Ai)

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Exemplo: Uma empresa produz circuitos em trs fbricas, denotadas

por I, II e III. A fbrica I produz 40% dos circuitos, enquanto a II e III

produzem30% cada uma. As probabilidades de que um circuito

produzido por essas fbricas no funcione so0.01, 0.04e 0.03,

respectivamente. Escolhido ao acaso um circuito da produo

conjunta das trs fbricas, qual a probabilidade do circuito no

funcionar?

Soluo: Considere os eventos

A1 =o circuito foi produzido pela fbrica I

A2 =o circuito foi produzido pela fbrica II

A3 =o circuito foi produzido pela fbrica III

B=o circuito defeituoso


E l C i
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Exemplo - Continuao

Note que os eventosA1, A2, A3 formam uma partio do espao

amostral.

Sabemos queP(B|A1) = 0.01,P(B|A2) = 0.04e

P(B|A3) = 0.03.Assim aplicando o Teorema da Probabilidade Total, temos que

P(B) = P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B|A3)

= 0.4 0.01 + 0.3 0.04 + 0.3 0.03

= 0.025.


T d B
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Teorema de Bayes

Teorema

Seja(,A, P)um espao de probabilidade. Se a sequncia (finita ouenumervel) A1, A2, Aforma uma partio de, ento

P(Ai|B) = P(Ai)P(B|Ai)

j P(Aj)P(B|Aj),

para todoi = 1, 2, . . . .

Prova:

P(Ai|B) = P(Ai B)P(B) = P(Ai)P(B|Ai)P(B)

= (pelo Teorema da Prob. Total) = P(Ai)P(B|Ai)j

P(Aj)P(B|Aj)


T d B
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Teorema de Bayes

Exemplo: Um teste de laboratrio tem5% de falso negativoe1% de

falso positivoem detectar diabetes. Se a prevalncia de diabetes

em uma certa populao de0.5%, qual a probabilidade de uma

pessoa ter a doena quando o teste deu positivo?

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