PROBABILIDAD
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AuladeMate.com PROBABILIDAD 1.- Experimentos aleatorios. Espacio muestral. Sucesos 2.- Frecuencia relativa y probabilidad 3.- Definición axiomática de probabilidad 4.- Probabilidad condicionada 5.- Probabilidad compuesta 6.- Probabilidad total 7.- Teorema de Bayes 1.- Experimentos aleatorios. Espacio muestral. Sucesos Experimentos aleatorios: son aquellos en los que no se puede predecir el resultado obtenido. Sucesos: • Suceso elemental: cada uno de los resultados posibles correspondientes a la realización de un experimento aleatorio. El espacio muestral, E, lo forman todos los sucesos elementales. • Suceso: subconjunto del espacio muestral. Puede ser elemental o compuesto (formado por más de un elemento del espacio muestral). • Suceso seguro E: es aquel que ocurre siempre. • Suceso imposible φ : es aquel que no ocurre. • Suceso complementario: dado un suceso A su complementario A es el que ocurre cuando no sucede A . Un suceso aleatorio A está incluido en otro suceso B si ocurre B siempre que ocurre A, es decir, si todos los elementos de A están en B. Esto se expresa de la forma A ⊂ B. También se dice que A implica B. Operaciones con dos sucesos: • Unión de sucesos B A ∪ : aquel que ocurre cuando sucede A o B . • Intersección de sucesos B A ∩ : aquel que ocurre cuando sucede A y B . • Diferencia de sucesos B A − : aquel que ocurre cuando sucede A y no B .
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probabilidad 2º bachiller
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PROBABILIDAD 1.- Experimentos aleatorios. Espacio muestral. Sucesos 2.- Frecuencia relativa y probabilidad 3.- Definición axiomática de probabilidad 4.- Probabilidad condicionada 5.- Probabilidad compuesta 6.- Probabilidad total 7.- Teorema de Bayes 1.- Experimentos aleatorios. Espacio muestral. Sucesos Experimentos aleatorios: son aquellos en los que no se puede predecir el resultado obtenido.
Sucesos:
• Suceso elemental: cada uno de los resultados posibles correspondientes a la realización de un experimento aleatorio. El espacio muestral, E, lo forman todos los sucesos elementales.
• Suceso: subconjunto del espacio muestral. Puede ser elemental o compuesto
(formado por más de un elemento del espacio muestral).
• Suceso seguro E: es aquel que ocurre siempre.
• Suceso imposible φ : es aquel que no ocurre.
• Suceso complementario: dado un suceso A su complementario A es el que ocurre cuando no sucede A .
Un suceso aleatorio A está incluido en otro suceso B si ocurre B siempre que ocurre A, es decir, si todos los elementos de A están en B. Esto se expresa de la forma A ⊂ B. También se dice que A implica B. Operaciones con dos sucesos:
• Unión de sucesos BA∪ : aquel que ocurre cuando sucede A o B . • Intersección de sucesos BA∩ : aquel que ocurre cuando sucede A y B .
• Diferencia de sucesos BA − : aquel que ocurre cuando sucede A y no B .
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Compatibilidad e incompatibilidad de sucesos: dos sucesos son compatibles cuando tienen algún suceso común ( φ≠∩ BA ), y son incompatibles cuando no lo tienen ( φ=∩ BA ). Propiedades de las operaciones con sucesos:
• Conmutativa: ABBAABBA ∩=∩∪=∪ ; • Asociativa: )()();()( CBACBACBACBA ∩∩=∩∩∪∪=∪∪
• Distributiva:
)()()();()()( CBCACBACBCACBA ∪∩∪=∪∩∩∪∩=∩∪
• Complementaria: φ=∩=∪ AAEAA ;
• Leyes de Morgan: BABABABA ∪=∩∩=∪ ; 2.- Frecuencia relativa y probabilidad Cuando repetimos un experimento aleatoria un número elevado de veces, la frecuencia
relativa de un suceso A erimentoelrealizasevecesqueden
AocurrequevecesdenFr expºº
= tiende a
aproximarse a un valor fijo llamado probabilidad de A . 3.- Definición axiomática de probabilidad La probabilidad de un suceso A , cumple los siguientes axiomas: )(AP
1)(0 ≤≤ AP
1)( =EP ( ) 1P E =
•
•
• Si A y B son dos sucesos incompatibles )()()( BPAPBAP +=∪⇒
Consecuencias:
)(1)( APAP −=• • )()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪ ( ) ( ) ( ) (P A B P A P B P A B∪ = + − ∩ )
• )(...)()()...(
,,...,,
2121
21
nn
n
APAPAPAAAPdosadoslesincompatibAAA
+++=∪∪∪
• Ley de Laplace: (sucesos equiprobables) posiblescasosden
favorablescasosdenAPº
º)( =
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4.- Probabilidad condicionada Probabilidad de que ocurra un suceso B una vez que ha ocurrido un suceso A es
0)(,)(
)()/( >∩
= APconAP
BAPABP
5.- Probabilidad compuesta La probabilidad de que se realicen dos sucesos simultáneamente A y B es
)()()(),/()()( BPAPABPntesindependiesonByAsiyABPAPABP ⋅=⋅=
EAAAquetalesydosadoslesincompatibAAA nn =∪∪∪ ...,,...,, 2121
6.- Probabilidad total Sean n sucesos
y un suceso cualquiera
)/()(...)/()()/()()( 2211 nn ABPAPABPAPABPAPBPEB ⋅++⋅+⋅=⇒∈ . 7.- Teorema de Bayes Sean n sucesos
y un suceso
cualquiera
EAAAquetalesydosadoslesincompatibAAA nn =∪∪∪ ...,,...,, 2121
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ABPAPBAPBPEB ii
i ,...1)(
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⋅=⇒>∈
