Probabilidad basica
Transcript of Probabilidad basica
UNIVERSIDAD VERACRUZANA
FACULTAD DE ESTADÍSTICA E INFORMÁTICA
ESPECIALIZACIÓN EN MÉTODOS ESTADÍSTICOS
NOMBRE DEL CURSO:
PROBABILIDAD BÁSICA E
INFERENCIA ESTADÍSTICA
FERNANDO VELASCO LUNA
MARIO MIGUEL OJEDA RAMÍREZ
XALAPA, VERACRUZ, MÉXICO AGOSTO 2010
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
1
CONTENIDO
Pag.
UNIDAD I
Conceptos básicos y álgebra de eventos…………………. 3
I.1 Ensayos aleatorios, espacio muestral y eventos aleatorios……………….. 3
I.2 Álgebra de eventos en espacios muestrales………………..……………... 12
I.3 Probabilidad, reglas de probabilidad………………..……………………. 16
I.4 Probabilidad condicional………………..………………..………………. 23
I.5 Independencia………………..………………..………………..………… 26
UNIDAD II
Variables aleatorias y distribución de probabilidad… 28
II.1 Variable aleatoria y distribución de probabilidades……………………... 28
II.2 Variables aleatorias discretas y continuas………………..……………… 32
II.3. Momentos de variables aleatorias………………..……………………... 36
II.4. Propiedades de la esperanza y la varianza………………..…………….. 39
UNIDAD III
Algunas distribuciones discretas…………………………... 41
III.1. Distribución Bernoulli………………..………………..……………….. 41
III.2. Distribución Binomial………………..………………..……………….. 45
III.3. Distribución Geométrica………………..………………..…………….. 51
III.4. Distribución Poisson………………..………………..………………… 55
III.5. Distribución Hipergeometrica………………..………………..……….. 61
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
2
Pag.
UNIDAD IV
Algunas distribuciones continuas…………………………. 66
IV.1.1 Distribución Uniforme………………..………………..……………... 66
IV.1.1 Distribución Uniforme Discreta………………..………………….. 66
IV.1.2 Distribución Uniforme Continua………………..………………… 69
IV.2 Distribución Normal………………..………………..…………………. 72
IV.3 Distribución Beta………………..………………..…………………….. 80
IV.4 Distribución Exponencial………………..………………..……………. 85
UNIDAD V
Distribuciones muestrales…………………………………… 90
V.1 Muestras Aleatorias………………..………………..…………………… 90
V.2 Teorema Central del Limite………………..……………………………. 92
V.3 Distribución Ji-Cuadrada………………..………………..……………... 96
V.4 Distribución F de Fisher………………..………………..………………. 101
V.5 Distribución t de Student………………..………………..……………… 107
Referencias 112
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
3
I. Conceptos básicos y álgebra de eventos
Objetivo: Que el participante conozca, comprenda y maneje los conceptos
relacionados con eventos y probabilidad.
Introducción
El objetivo de estudio de la estadística es explicar el comportamiento de un
fenómeno aleatorio, para lo cual hace uso de herramientas, entre las cuales
se encuentra la probabilidad. El concepto de probabilidad es de suma
importancia. En esta unidad se tratan los conceptos básicos relacionados
con el concepto de probabilidad y la forma de trabajar ésta.
I.1. Ensayos aleatorios, espacio muestral y eventos aleatorios
Objetivo: Que el participante conozca, comprenda y maneje los conceptos
básicos de ensayo aleatorio, de espacio muestral, tipos de espacio muestral
y eventos.
La primera pregunta que se tiene que formular es ¿qué estudia la
estadística?
lejournaldepaula.blogspot.com digitalmediadesign2009.com
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
4
albertorayo.wordpress.com jardinplantas.com
nosoyelmismo.wordpress.com clubbycooosmos.com elcinegratis.com
zuzo.blogspot.com dermocosmetica.umh.es nosoyelmismo.wordpress.com
La estadística la mayoría de las veces se define como la ciencia que
tiene que ver con la obtención, tabulación, análisis e interpretación de
datos. Basándose en la definición anterior se tiene que la estadística para su
existencia necesita datos. Para la obtención de datos es necesario llevar a
cabo un experimento o ensayo, es decir, un proceso mediante el cual se
obtiene una observación.
La estadística tratar de explicar las variaciones que se presentan en
diversos problemas, tales variaciones son debidas a influencias que ocurren
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
5
cuando se realiza un ensayo o experimento. La estadística estudia el
comportamiento de la variable de interés cuando se realiza el ensayo. Al
realizar un ensayo no se sabe con exactitud cual va a ser el resultado que se
obtenga, por ejemplo, un grupo de los más capacitados científicos no
podrían decir exactamente cual va a ser el resultado de su experimento, aun
cuando todo bajo control.
lacomunidad.elpais.com
En la Física se tiene la siguiente relación entre la velocidad de un
objeto, la distancia que a recorrido y el tiempo que tarda en recorre dicha
distancia t
dv , tal relación aunque no es de todo exacta se podría
considerar como tal, a esta clase de ensayos se les conocer como ensayos
deterministas. Por el otro lado fenómenos en los cuales existe
incertidumbre debida a la variabilidad de los datos se les denomina ensayos
aleatorios. Lo anterior da pie a la siguiente definición
Definición 1.1.1 Experimento o ensayo aleatorio es aquel que puede dar
lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza
cuál de éstos va a ser observado en la realización del experimento.
Ejemplos. 1.1.1 Diversos ejemplos de experimentos y de experimentos
aleatorios.
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
6
Ejemplo (Biología)
D. El color de una margarita
A. Número de hojas en una planta
mojatexchile.ning.com
Ejemplo (Economía)
D. Habrá fluctuación en el tipo de cambio durante un año.
A. Tipo de cambio del respecto al dólar en el mes próximo.
mercado-divisas.com
Ejemplo (Educación)
safa.edu.uy
D. Habrá alumnos de primer grado el próximo año.
A. El número de alumnos que aprobaran el curso
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
7
Ejemplo (Medicina)
D. Número de hombres que resultaran embarazados mañana.
A. Número de huesos rotos durante una fractura de pie.
el-nacional.com
Ejercicio 1.1.1 Qué el participante de 2 ejemplos de experimentos y 2 de
experimentos aleatorios.
Cuando se realiza un ensayo aleatorio se obtiene un conjunto de
posibles resultados. Lo anterior nos lleva a la siguiente definición:
Definición 1.1.2 El espacio muestral de un experimento aleatorio es el
conjunto formado por todos los posibles resultados del experimento
aleatorio. El espacio muestral es denotado por S.
Ejemplos. 1.1.2
Lanzar una moneda, posibles resultados Cara, Cruz,
cienciainfinita.com
así Cruz Cara,S .
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
8
Lanzar un dado, posibles resultados, 1, 2, 3 , 4, 5, 6,
parchis.wordpress.com
así 61,2,3,4,5,S .
Presentar un examen, posibles resultados, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
Urse.edu.mx
así 105,6,7,8,9,S .
Presentar un examen, posibles resultados, 105, , así 105,S .
Mujeres que compran determinada marca de crema de belleza
wiki.biensimple.com
Así 10000,1,2,...,S
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
9
Número de dedos rotos al fracturarse las dos manos,
el-nacional.com
así 100,1,2,...,S
Número alumnos de primer grado el próximo año, así
,..1,...,1000S .
Ejercicio 1.1.2
Que el participante de 4 ejemplos de espacio muestral relacionados
con su área de trabajo.
Tipos de espacios muestrales
Ejemplos 1.1.3
Lanzamiento de un dado, los posibles resultados son: 1, 2, 3, 4, 5, 6,
así 61,2,3,4,5,S .
Un agrónomo desea contar el número de bacterias de determinada
plaga en una planta, así el espacio muestral será ,...50...,2,1,0S .
Se desea estudiar el tiempo de vida de un foco de 100 watts, el
espacio muestral será 0tt S .
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
10
Definición 1.1.3 Un espacio muestral se denomina numerable finito si el
espacio muestral tiene un número finito de elementos, es decir, si el
número de resultados de mi experimento aleatorio es finito.
Definición 1.1.4 Un espacio muestral se denomina numerable infinito si
el espacio muestral tiene un número infinito de elementos pero se puede
contar, y más aún, se puede poner en relación a los números naturales.
Definición1.1.5 Un espacio muestral se denomina no numerable si el
espacio muestral tiene un número infinito de elementos los cuales no se
pueden poner en relación con los naturales.
Ejercicio 1.1.3 Que el participante de 3 ejemplos de cada tipo de espacio
muestral.
Cuando el investigador realiza un experimento aleatorio por lo
general no es de su interés el conjunto total de resultados, sino solamente
un subconjunto de éstos. Al ser el espacio muestral de un experimento
aleatorio un conjunto se pueden formar a partir de este subconjuntos de
resultados, tales subconjuntos nos llevan a la siguiente definición.
Definición 1.1.6 Dado un experimento aleatorio, un evento aleatorio es un
subconjunto del espacio muestral. El evento es denotado por las letras A, B,
etc. Si el evento esta formado por sólo un resultado diremos que es un
evento simple, si por el contrario el evento consta de dos o mas resultados,
definiremos el evento como evento compuesto.
Ejemplos 1.1.4
Lanzamiento de una moneda, Cruz Cara,S .
CaraA , CruzB , Cruz Cara,C , D
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
11
Lanzar un dado, 61,2,3,4,5,S .
1A , 2,4,6B , 1,3,5C , D , etc.
Presentar un examen, 105,6,7,8,9,S .
7A , 8,9B , 9,10C , D , etc.
Presentar un examen, 105,S .
7A , 7,9.4B , etc.
Ejercicio 1.1.4.
El participante elabora un escrito de 3 imágenes de las imágenes
siguientes donde describa: la característica de interés, el
experimento, el espacio destral y 5 posibles eventos. Además dará
dos ejemplos relacionados con su área de trabajo. .
star110.lacoctelera.net gentedigital.es .
. es.fordesigner.com ptobal.wordpress.com
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
12
El evento A ocurre si cuando se realiza el experimento el resultado
que ocurre es un elemento del evento. Así en el ejemplo del lanzamiento de
un dado se definen los eventos como 2,4,6B , 1,3,5C y si al llevarse
acabo el experimento el resultado es un 3, entonces, ocurre el evento C, y
no ocurre el evento B.
Definición 1.1.7 Dado un experimento aleatorio, el evento imposible es el
evento que no tiene elementos, mientras que el evento seguro es el
conjunto de todos los posibles resultados, es decir, el espacio muestral S .
I.2. Álgebra de eventos en espacios muestrales finitos
Objetivo: Que el participante conozca y sea capaz de realizar operaciones
relacionadas con el álgebra de eventos.
Definición 1.2.1 Sean By A dos eventos, se dice que estos eventos son
eventos excluyentes si ellos no pueden ocurrir en forma simultanea. Los
eventos n21 AAA ...,,, se denominan eventos mutuamente excluyentes si
cualquier par de estos son eventos excluyentes.
Ejemplo 1.2.1
i) Mujeres que compran determinada marca de crema de belleza
Los eventos 50,1,2,3,4,A y 50,...,200B son excluyentes
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
13
ii) Se tienen los eventos relacionados al número de hamburguesas que se
come un adulto
todanoticia.com
Sean los eventos 1,2,3A , 3,4,5B , 6,7C , entonces
A y B no son excluyentes,
A y C son excluyentes,
B y C son excluyentes,
A , B y C son mutuamente excluyentes, ya que aunque A y B no lo
son, C si lo es con A, además de B con C.
Cuando se tienen dos o más eventos aleatorios, a partir de éstos se
pueden formar otros eventos, tal como se muestra a continuación.
Definición 1.2.2 Sean By A dos eventos, el evento unión de los eventos
By A es el evento formado por la unión de los subconjuntos By A , es
decir, por la unión de los resultados del evento A o del evento B . El
evento unión se denota por B A .
El evento B A ocurre si ocurre el evento A o el evento B .
El evento B A no ocurre cuando ni ocurre el evento A ni ocurre el
evento B .
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
14
Ejemplo 1.2.2 Hugo Sánchez anota en un partido de fútbol como máximo
5 goles, así 1,2,3,4,5 0,S . Sean los eventos:
1,2,30, goles 3 más lo a anotaA
3,4,5 goles 3 menos lopor anotaB
4 goles 4 anotaC ,
entonces se tiene que los eventos B A , C B y C A están formados por
5 4, 1,2,3,0,goles 3 menos lopor o goles 3 más lo a anotaBA
3,4,5 goles 4 anota o goles 3 menos lopor anotaCB
4 1,2,3,0,goles 4 anota o goles 3 más lo a anotaCA
colchonero.com
Ejercicio 1.2.1 Dar ejemplos.
Definición 1.2.3 Sean By A dos eventos, el evento intersección de los
eventos By A es el evento formado por la intersección de los subconjuntos
By A , es decir, por la intersección de los resultados del evento A y del
evento B . El evento intersección se denota por B A .
El evento intersección ocurre si ocurre el evento A y ocurre el
evento B .
El evento B A no ocurre cuando
No ocurre el evento A aunque ocurre el evento B ,
Ocurre el evento A pero no ocurre el evento B ,
No ocurre el evento A ni ocurre el evento B .
Es decir, con un evento de los dos que no ocurra, ya no ocurre
el evento intersección.
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
15
Ejemplo 1.2.3 Hugo Sánchez anota en un partido de fútbol como máximo
5 goles, así 1,2,3,4,5 0,S . Sean los eventos:
1,2,30, goles 3 más lo a anotaA
3,4,5 goles 3 menos lopor anotaB
4 goles 4 anotaC ,
entonces se tiene que los eventos B A , C B y C A están formados de
la siguiente manera
3goles 3 menos lopor goles 3 más lo a anotaBA y
4 goles 4 anotay goles 3 menos lopor anotaCB
goles 4 anotay goles 3 más lo a anotaCA
Definición 1.2.4 Sea el evento A , el evento complemento del evento A es
el evento formado por todos los resultados del espacio muestral que no
forman al evento A. El evento complemento del evento A se denota por
CA . el evento complemento de A ocurre cuando no ocurre el evento A. El
evento CA no ocurre cuando ocurre el evento A.
Ejemplo 1.2.4 Hugo Sánchez anota en un partido de fútbol como máximo
5 goles, así 1,2,3,4,5 0,S . Sean los eventos:
1,2,30, goles 3 más lo a anotaA
3,4,5 goles 3 menos lopor anotaB
4 goles 4 anotaC ,
entonces se tiene que los eventos CA , CB y CC están formados de la
siguiente manera
5,45) o 4 decir, es 3, de más (anota goles 3 más lo a anota noA C
,2,1,0 2) o 1 0, decir, es 3, de menos (anota goles 3 menos lopor anota noB C
0,1,2,3,5 goles 4 anotanoCC
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
16
Ejercicio 1.2.2. Dar ejemplos.
I.3. Probabilidad, reglas de probabilidad
Objetivo: Que el participante conozca y comprenda el concepto de
probabilidad y las principales reglas en su aplicación.
Se puede definir la probabilidad desde un punto de vista muy formal
y elegante (ver Ash, Royden), pero para los fines que se persiguen en este
curso es algo completamente innecesario. Aquí el interés es conocer qué es
la probabilidad, conocer su aplicación y de suma importancia adquirir la
capacidad para la interpretación.
Lo primero que se debe de conocer es a que se le aplica la
probabilidad. Para responder la pregunta se trata el siguiente ejemplo: Es
muy común preguntar ¿En el lanzamiento de un dado cuál es la
probabilidad de que el resultado del lanzamiento sea un seis? Aunque no
se dice explícitamente ya se sabe por las secciones anteriores que la frase
“resultado del lanzamiento sea un seis” es un evento.
Del ejemplo anterior se puede ver que se habla de obtener la
probabilidad de un evento. Si se denota el evento “resultado del
lanzamiento sea un seis” por medio de A , se tiene que se desea obtener la
A de adProbabilid . Ahora bien en vez de estar escribiendo la
“ A de adProbabilid ” se tiene una notación para expresar lo anterior la cual es:
AP , la P es una abreviatura de probabilidad, la A representa al evento del
cual se desea obtener su probabilidad de ocurrencia. Cuando se aplica la
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
17
probabilidad al evento se obtiene un valor numérico el cual es un número
que siempre toma el valor entre cero y uno.
En el ejemplo anterior se tiene que 6
1A P , el porqué de este valor
se basa en la regularidad estadística
¿Qué es la regularidad estadística? Si observamos un experimento aleatorio
un gran número de veces, bajo las mismas condiciones y se calcula el
porcentaje de veces que ocurre un resultado de todos los resultados posibles
esta proporción es prácticamente constante. La probabilidad se basa en la
regularidad estadística. A continuación se dará la idea de probabilidad.
Es una forma matemática de representar la regularidad estadística.
es.fordesigner.com
Un agrónomo desea contar el número de bichos de determinada
plaga en una planta, se sabe de estudios anteriores que a lo mas hay 4
bichos por planta, así el espacio muestral será 43210 ,,,,S . Si la
probabilidad del resultado “existen 2 bichos” se evalúa como 0.12, lo que
se hace es medir el resultado “existen 2 bichos” y el valor 0.12 o 12 por
ciento, indica que si se realiza, bajo las mismas condiciones, el
experimento, se tiene que el resultado “existen 2 bichos” ocurre
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
18
aproximadamente el 12% de las veces, es decir, si se realiza 100 veces el
experimento en 12 ocasiones se tendrá que existen 2 bichos en la planta. Si
el agrónomo observa una planta determinada y cuenta el número de bichos
en la planta, no se puede predecir si este será de 2 bichos, sólo se puede
decir que el porcentaje de plantas con dos bichos es del 12%.
Se debe hacer notar que podría haberse dado la interpretación
anterior de la siguiente manera: si se realiza 50 veces el experimento en 6
ocasiones se tendrá que existen 2 bichos en la planta. o, si se realiza 25
veces el experimento en 3 ocasiones se tendrá que existen 2 bichos en la
planta.
De lo anterior se tiene que la probabilidad de un evento aleatorio
tiene por objeto evaluar la proporción indicada por la regularidad
estadística, los valores que esta probabilidad puede asumir siempre serán
cantidades entre cero y uno.
Se tienen entonces que la probabilidad es una representación
matemática de la regularidad estadística, para lo cual es necesario llevar a
cabo el experimento aleatorio un número de veces y por cada vez que se
repita el experimento observar el resultado, lo cual lleva a la definición de
la probabilidad desde el punto de vista frecuentista o de frecuencia relativa,
la cual es la definición frecuencial y se expresa formalmente por medio de:
n
nA
n LimAP
donde
A evento el ocurre que vecesde número el es
o,experiment el realiza se que vecesde numero el es
interés de aleatorio evento el esA
LimAP
A
A
n
n
n
n
n
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
19
La definición de mayor uso en la práctica es la definición clásica de
probabilidad la cual es:
posibles casos Número
favorables casos NúmeroAP
Existe la forma de modelos probabilísticos, la cual se basa en la
representación a través de ecuaciones de un fenómeno aleatorio. Además
existe la idea de probabilidad subjetiva la cual se basa en el grado de
creencia del individuo respecto a la ocurrencia del evento aleatorio de
interés. (Estadística bayesiana)
Sea trrrS ,..., 21 el espacio muestral del experimento aleatorio, tal
que la probabilidad del resultado ir es ip , es decir, ii prP , y sea A
cualquier evento aleatorio, entonces la probabilidad del evento aleatorio A
es definida por
ii prPAP
Air
Ejemplo 1.3.1 Hugo Sánchez anota en un partido de fútbol como máximo
5 goles, así 1,2,3,4,5 0,S . Sean los eventos:
1,2,30, goles 3 más lo a anotaA
3,4,5 goles 3 menos lopor anotaB
4 goles 4 anotaC ,
Para obtener la probabilidad del evento 1,2,30,A de acuerdo a la
definición anterior
ii prPAP
Air
Se tiene
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
20
5,4,3,2,1,0 654321 rrrrrrS
y 1,2,30, goles 3 más lo a anotaA , así
6
4
6
1
6
1
6
1
6
1
PPPPPAP 4321
rrrrri
Ejercicio 1.3.1 Dar ejemplos.
Ejemplo 1.3.2 Dos agrónomos observan el número de bichos en dos
plantas, una cada agrónomo, y se anota la suma de los dos conteos, se sabe
de ejemplos anteriores que en cada planta hay a lo más 4 bichos, en este
caso el espacio muestral es S , y se tiene la siguiente
relación
ri 0 1 2 3 4 5 6 7 8
pi
ri 0 1 2 3 4 5 6 7 8
pi
25
1
25
2
25
3
25
4
25
5
25
4
25
3
25
2
25
1
Sea 1,2,30, plantas dos lasen bichos 3 más lo a A entonces
,4.025
10
25
4
25
3
25
2
25
1
3P2P1P0PPAP
ir
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
21
Interpretación la cual tiene una interpretación de la forma siguiente, si los
agrónomos observarán 200 plantas de dos en dos y sumaran el número de
bichos en las dos plantas, entonces, en 40 casos la suma de los bichos en las
dos plantas sería de a lo más 3.
Reglas de probabilidad
Sea A un evento, la probabilidad del evento A cumple las siguientes
propiedades:
La probabilidad de cualquier evento es un valor entre cero y uno,
1AP0
La probabilidad del evento seguro es uno, 1SP .
La probabilidad del evento imposible es cero, 0P .
La suma de las probabilidades de todos los elementos del espacio
muestral o de todos los eventos simples es uno, 1P ii pr .
Sean A y B dos eventos, entonces
La probabilidad del evento unión es igual a la probabilidad del
evento A mas la probabilidad del evento B , menos la probabilidad
del evento intersección BAPBPAPBAP .
La probabilidad del evento complemento es igual a uno menos la
probabilidad del evento, AP1AP c .
Ejemplo 1.3.3 Un maestro desea conocer el número de faltas de ortografía
en una hoja de redacción, se sabe que a lo más hay 6 faltas, así
61,2,3,4,5, 0,S .
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
22
vivapy.wordpress.com
Sean los eventos:
1,2,30, ortografía de faltas 3 más lo ahayA
3,4,5 ortografía de faltas 5y 3 entrehay B
4,5 ortograíia de faltas 5 o 4hay C ,
Para obtener las probabilidades de los eventos, en primer lugar se deben
tener la probabilidad de cada uno de los posibles resultados del
experimento aleatorio, lo cual se tiene en la siguiente tabla
ri 0 1 2 3 4 5 6
pi
7
1
7
1
7
1
7
1
7
1
7
1
7
1
7
4AP ,
7
3BP ,
7
2CP
El interés del maestro es obtener la probabilidad del evento BA , para lo
cual es necesario obtener la probabilidad del evento BA , en este caso se
tiene BA es el evento que existan exactamente 3 faltas de ortografía en la
redacción, así 7
1BAP , de lo anterior se tiene
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
23
857107
6
7
1
7
3
7
4
BAPBPAPBAP
.
Interpretación
Si se revisaran 100 hojas de redacción, entonces en aproximadamente 86
hojas se tendrían a lo mas 5 faltas de ortografía o en otras palabras en
aproximadamente 14 hojas se tendrían exactamente 6 faltas de ortografía.
Ejercicio 1.3.2
Obtener probabilidad de CA y BC e interpretar.
Obtener probabilidad de cCAP e interpretar
1.4 Probabilidad condicional
Objetivo: Que el participante conozca y comprenda el concepto de
probabilidad condicional.
Probabilidad condicional
Un doctor desea conocer cual es la probabilidad de que una persona
adulta mejore con un medicamento, si de estudios anteriores se conoce la
siguiente información
Mejora
Edad
Joven Adulta
Total
SI
NO
70 10
80 40
80
120
Total 150 50 200
Este es un problema de restricción ya que se pide la probabilidad de que
una persona que se sabe con anticipación que es adulta mejore en su salud,
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
24
que es muy distinto a pedir la probabilidad de que una persona no
importando si es adulta o joven muestre mejora después de administrarle el
medicamento.
En el caso de que no importe la edad el espacio muestral esta formado por
todos los posibles resultados, pero en el caso de que se conoce con
anticipación que la persona es adulta el espacio muestral esta formado por
los resultados solamente de las personas adultas.
En general en ocasiones se desea obtener la probabilidad de algún evento A
dado que a ocurrido un evento B, este tipo de probabilidad se denomina
probabilidad condicional (probabilidad condicionada) y se obtiene de la
siguiente manera
Sean A y B dos eventos aleatorios, tal que 0BP se define la
probabilidad condicional de A dado B como
BP
ByAPBA P
Ejemplo 1.4.1. Un doctor desea conocer cual es la probabilidad de que una
persona adulta que sufre de depresión, mejore con el medicamento, si de
estudios anteriores se conoce la siguiente información
hoypadres.com
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
25
Mejora
Edad
Joven Adulta
Total
SI
NO
70 10
80 40
80
120
Total 150 50 200
En este ejemplo se tienen los eventos MejoreA , adulta Persona B y la
probabilidad de interés es la del evento la persona mejora dado que es
adulta, es decir, se desea obtener la probabilidad del evento A condicionado
al B, tal probabilidad se obtiene a partir de
BP
By A PBA P
para obtener la probabilidad anterior es necesario conocer By A P y
BP . Al hacer uso de la definición de probabilidad frecuencial, se tiene lo
siguiente 050200
10By A P . y 250
200
50BP . , ahora sustituyendo se
obtiene:
20250
050
BP
By A PBA P .
.
.
la cual tiene la siguiente interpretación: si se administra el medicamento a
100 personas adultas en promedio 20 de éstas van a mejorar en su salud.
Ahora si se desea obtener la probabilidad de que la persona sea adulta dado
que se conoce que mejoró:
125040
050
AP
Ay BPA BP .
.
.
la cual tiene la siguiente interpretación: de cada 1000 personas que se sabe
mejoraron en su salud al tomar el medicamento, se tiene que en promedio
125 de éstas son adultas.
Ejercicio 1.4.1 LIBRO
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
26
I.5. Independencia.
Objetivo: Que el alumno conozca y maneje el concepto de eventos
independientes.
El doctor del ejemplo anterior desea conocer cual es la probabilidad de que
una persona adulta mejore con un medicamento DISTINTO al anterior, si
de estudios anteriores se conoce que la mejora del paciente tomando o no
del nuevo medicamento no presenta relación con la edad del paciente.
Así la ocurrencia del evento “persona es adulta” no altera para nada la
ocurrencia del evento ”mejore” así la probabilidad condicional de
APBA P
Definición 1.5.1 El evento A se dice independiente del evento B si
APBA P
Observación 1.5.1 Al ser el evento A independiente del evento B también
se tiene que el evento B es independiente del evento A, por lo anterior se
dice que los eventos A y B son independientes.
En ocasiones la definición de independencia está dada por lo siguiente:
Definición 1.5.2 El evento A es independiente del evento B si
BPAPBAP
Ejemplo 1.5.1 El INEGI desea hacer un estudio sobre familias con dos
hijos, niño y niña, así el espacio muestral es HH HM, MH, MM,S .
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
27
ahorrodiario.com
Sean los eventos mujer hijoPrimer A , mujer hijo SegundoB . ¿Son estos
eventos independientes?
Ejercicio 1.5.1
Resolver el problema anterior.
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
28
II. Variables aleatorias y distribución de probabilidad
Objetivo: Que el participante conozca, comprenda y maneje los conceptos
relacionados con las variables aleatorias y las distribuciones de
probabilidad.
Introducción
Cuando el investigador lleva acabo un experimento aleatorio es posible
obtener más de un espacio muestral, dependiendo de la característica de
interés bajo estudio. Por ejemplo, dos compañeros de la facultad de
Economía presentan su examen de Inglés, entonces el espacio muestral
asociado con observar el resultado del examen será RRRAARAAS ,,, ,
mientras que si el interés es conocer el número de aprobados el espacio
muestral será 0,1,2S . La asignación de valores numéricos a los
elementos del espacio muestral puede pensarse como una función del
espacio muestral a un conjunto de números reales, tales funciones son
conocidas como variables aleatorias. En esta unidad estudiaremos los
conceptos relacionados con las variables aleatorias.
II.1. Variable aleatoria y distribución de probabilidades
Definición 2.1.1 Una variable aleatoria es una función, del espacio
muestral a los números reales. Es decir, una variable aleatoria asocia a cada
elemento del espacio muestral un número real. Ya que el valor que tome la
variable depende del resultado del experimento aleatorio es por lo cual del
nombre variable aleatoria.
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
29
Ejemplo 2.1.1 Un jugador lanza dos monedas y observa los resultados. Se
tiene que el espacio muestral es CCACCAAAS ,,,,,,, . Defínase a X
como el número de cruces observadas. Los valores que toma la variable
aleatoria son 210 ,, , los puntos muestrales asociados a cada valor de la
variable aleatoria son
Valor de X 0 1 2
Elementos del espacio muestral AA, CAAC ,,, CC,
Ejemplo 2.1.2 En un laboratorio clínico trabajan tres biólogos y tres
químicos. Se desea formar un grupo de tres científicos para una labor
especial y se decide que la elección sea al azar para no introducir algún
sesgo. El espacio muestral es
QQQBQQQBQQQBBBQBQBQBBBBBS ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
Sea X el número de biólogos en el grupo. Los valores que toma la variable
aleatoria son 3y 210 ,, , los puntos muestrales asociados a cada valor de la
variable aleatoria son
Valor de X 0 1 2 3
Elementos del
espacio
muestral
QQQ ,,
QQB ,,
QBQ ,,
BQQ ,,
QBB ,,
BBQ ,,
BQB ,,
BBB ,,
Ejercicio 2.1.1. Dar 2 ejemplos de variables aleatorias.
Dado un experimento aleatorio y su espacio muestral se puede
definir una variable aleatoria. Esta variable aleatoria por definición toma
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
30
valores los cuales son números reales. Para cada uno de estos valores que
toma la variable aleatoria se puede obtener la probabilidad de ocurrencia.
Esta probabilidad se obtiene a partir de los elementos muestrales asociados
al valor particular que toma la variable aleatoria.
Notación. Por lo que respecta a la notación, se utilizarán mayúsculas como
X, para denotar variables aleatorias, y minúsculas como x, para denotar
valores particulares que pueda tomar una variable aleatoria.
Notación. Sea X una variable aleatoria cuyos valores son ,...,...,, 21 nxxx la
probabilidad de que la variable aleatoria X tome el valor particular ix es
denotado por ixP X
Ejemplo 2.1.3 Un jugador lanza dos monedas y observa los resultados. Se
tiene que el espacio muestral es CCACCAAAS ,,,,,,, . Defínase a X
como el número de cruces observadas. Los valores que toma la variable
aleatoria son 210 ,, , los puntos muestrales asociados a cada valor de la
variable aleatoria son
Valor de X 0 1 2
Elementos del espacio muestral AA, CAAC ,,, CC,
La probabilidad de que la variable aleatoria X tome el valor 1 está dada de
la siguiente manera. De la tabla anterior se tiene que los elementos
muestrales asociados al valor de 1 son CAAC ,,, , además se tiene que este
es el evento CAACE ,,, cruz una eexactament observa Se y de la unidad I
se tiene 2
1EP , así se tiene que
2
11 XP .
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
31
Ejercicio 2.1.2 Dar ejemplos.
El objetivo de la Estadística es explicar el comportamiento de la
variable aleatoria bajo estudio, se puede dar una idea de tal
comportamiento a partir del comportamiento de la muestra que se tiene. El
comportamiento de la muestra se da en términos de los valores de variables
aleatorias, y por eso es imperativo que conozcamos las probabilidades de
estos valores, lo cual nos lleva a obtener probabilidades de eventos. Dado
que ciertos tipos de variables aleatorias ocurren con mucha frecuencia en la
práctica, es útil disponer de la probabilidad para cada valor de una variable
aleatoria. Este conjunto de probabilidades se llama distribución de
probabilidades.
Definición 2.1.2 La función de distribución de probabilidad de la
variable aleatoria X es aquella función que va acumulando las
probabilidades hasta un valor especificado, también se conoce como
función de distribución acumulativa o función de distribución. La
función de distribución de probabilidad se denota por medio de xXF y se
define como
xPx XFX .
Nota. La función de distribución de probabilidades es una probabilidad, así
que debe tomar valores entre cero y uno.
Ejemplo 2.1.4 Un jugador lanza dos monedas y observa los resultados. Se
tiene que el espacio muestral es CCACCAAAS ,,,,,,, . Defínase a X
como el número de cruces observadas. Los valores que toma la variable
aleatoria son 210 ,, , los puntos muestrales asociados a cada valor de la
variable aleatoria son
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
32
Valor de X 0 1 2
Elementos del espacio muestral AA, CAAC ,,, CC,
La distribución de probabilidades para este caso es
4
10P0P0 XXFX ,
4
3
4
2
4
11P0P1P1 XXXFX ,
.XXXXFX 14
1
4
2
4
12P1P0P2P2
Se tiene que
4
3
4
2
4
11P0P1.74P1.74 XXXFX ,
14
1
4
2
4
12P1P0P23P23 XXXXFX ,
06-P6- XFX .
Nota 2.1.1 La grafica de la función de distribución de probabilidades tiene
una forma escalonada.
II.2. Variables aleatorias discretas y continuas
Objetivo: Que el participante conozca, comprenda y maneje los tipos de
variables aleatorias: discretas y continuas.
Sea X una variable aleatoria cuyos valores son ,...,...,, 21 nxxx , el
conjunto ,...,...,, 21 nxxx puede ser numerable finito, numerable infinito o no
numerable. Dependiendo del tipo de conjunto que sea ,...,...,, 21 nxxx es el
tipo en el cual se etiqueta la variable aleatoria.
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
33
Definición 2.2.1 Una variable aleatoria, se denomina variable aleatoria
discreta si solamente puede tomar un número finito o numerable infinito
de valores distintos. Es decir, si el conjunto ,...,...,, nxxx 21 es ya sea
numerable finito o numerable infinito.
La probabilidad inducida por la variable aleatoria discreta se obtiene
sumando las probabilidades correspondientes a los elementos del espacio
muestral.
Ejemplo 2.2.1 En el ejemplo del lanzamiento de las dos monedas sea X el
número de cruces observadas, la probabilidad de que la variable aleatoria
discreta X tome el valor 1 está dada de la siguiente manera. Los elementos
muestrales asociados al valor de 1 son CAAC ,,, , además se tiene que este
es el evento CAACE ,,, cruz una eexactament observa Se y de la unidad I
se tiene 2
1EP , así
2
11 XP .
Aunque las variables aleatorias no son eventos se puede hablar de la
probabilidad de ocurrencia de determinado valor de la variable aleatoria.
Cuando se tiene una variable aleatoria discreta la función relacionada
con la probabilidad de ocurrencia de cada uno de los valores de la variable
aleatoria se denomina función de probabilidad, esto es, la función de
probabilidad de la variable aleatoria discreta se define como ixP X y se
denota por medio de if x , así
ii xPxf X
La función de distribución de probabilidad y la función de
probabilidad de una variable aleatoria discreta están relacionadas de la
siguiente manera
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
34
xxi
f ixxXF
Propiedad. La función de probabilidad cumple las condiciones
0x f
1x f
Ejemplo 2.2.2 Un jugador lanza dos monedas y observa los resultados. Se
tiene que el espacio muestral es CCACCAAAS ,,,,,,, . Defínase a X
como el número de cruces observadas. Los valores que toma la variable
aleatoria son 210 ,, , los puntos muestrales asociados a cada valor de la
variable aleatoria son
Valor de X 0 1 2
Elementos del espacio muestral AA, CAAC ,,, CC,
La función de probabilidad para este caso es
4
10P0 Xf ,
4
21P1 Xf ,
4
12P2 Xf .
Gráfica
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
35
Ejercicio 2.2.1. Dar un ejemplo
Definición 2.2.2 Una variable aleatoria, se denomina variable aleatoria
continua si el conjunto ,...,...,, 21 nxxx es un conjunto no numerable. Es
decir si su rango de valores que la variable puede tomar es continuo.
Gráfica
Definición 2.2.3 Sea X una variable aleatoria continua, la función xf
cuya gráfica produce la curva anterior se denomina función de densidad
de la variable aleatoria continua.
La función de distribución de probabilidad y la función de densidad
de una variable aleatoria continua están relacionadas de la siguiente manera
a
-
dxxa fXF
Nota 2.2.1. Si X una variable aleatoria continua, entonces
b
a
dxxbaP fX
Nota 2.2.2. Si X una variable aleatoria continua, entonces 0aP X
Propiedad. La función de densidad cumple las condiciones
0x f
1dxx-
f
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
36
II.3. Momentos de variables aleatorias
Valor Esperado
El objetivo principal de la función de densidad o función de
probabilidad de una variable aleatoria es la de proporcionar información
respecto al comportamiento de tal variable aleatoria. Pensemos en la
calificación de la asignatura de Historia de los alumnos de tercero de
bachillerato en la escuela “López Obrador”. Si el director del plantel
deseara saber cual es el comportamiento de la calificación en forma rápida
no seria aconsejable que se le preguntara a cada estudiante su calificación
en tal asignatura. Una forma rápida y más que otra cosa
REPRESENTATIVA de la variable calificación es la calificación promedio
en Historia de los alumnos de tercer semestre. El ejemplo anterior nos lleva
a la siguiente definición.
Definición 2.3.1 Sea X una variable aleatoria, el valor esperado de la
variable aleatoria X se define como
continua es sixx
discreta es si xx
E
X
X
X
f
f
donde la sumatoria se hace para todos los posibles valores de la variable
aleatoria y la integral se hace sobre todos los posibles valores para los
cuales 0x f .
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
37
Ejemplo 2.3.1 Sea la variable aleatoria discreta X con función de
probabilidad dada de la siguiente manera
5 si200
4 si200
3 si300
2 si250
1 si050
x
X.
X.
X.
X.
X.
f
Se tiene que X es una variable aleatoria discreta así su valor esperado está
dado por medio de xx f . Para este caso en particular.
053800800900500050
205204300325020501xxE
......
.*.*.*.*.*X
f
Así si se quisiera predecir el próximo valor de la variable aleatoria el valor
más apropiado sería 3.
Ejemplo 2.3.2 Sea la variable aleatoria continua X con función de
densidad
202
xx
xf
entonces
6
8
6dx
2
dx2
xdxxxE
2
0
32
0
2
2
0
xx
xfX
Así si se quisiera predecir el próximo valor de la variable aleatoria el valor
más apropiado sería 6
8.
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
38
Varianza
El director la escuela “López Obrador” tiene conocimiento de que la
calificación promedio en la asignatura de Historia de los alumnos del
plantel es de 8.5, pero que también la calificación promedio en Historia de
los alumnos del plantel “Calderón” es de 8.5 ¿Es el comportamiento el
mismo en las dos escuelas respecto a la calificación en la asignatura de
Historia?
ddicrociodiaz.blogspot.com
Para responder se necesita la siguiente definición.
Definición 2.3.2 Sea X una variable aleatoria, la varianza de la variable
aleatoria X se define como
continua es sixE-
discreta es si xE-
Var
2
2
XXX
XXX
X
f
f
donde la sumatoria se hace para todos los posibles valores de la variable
aleatoria y la integral se hace sobre todos los posibles valores para los
cuales 0x f .
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
39
La varianza de una variable aleatoria nos da información respecto a
la dispersión de los valores de la variable aleatoria. El concepto de varianza
de la variable aleatoria es el mismo para variables discretas o continuas.
Observación. De la definición de varianza y de valor esperado de una
variable aleatoria se tiene que
2E-EVar XXX
II.4. Propiedades de la esperanza y la varianza
Propiedades de la esperanza La esperanza tiene las siguientes
propiedades. Sea X una variable aleatoria y c , 1c y 2c números, entonces
ccE
XX cEE c
XX EE 2121 cccc
Propiedades de la varianza La varianza tiene las siguientes propiedades.
Sea X una variable aleatoria y c un número, entonces
0Var c
22 EEVar XXX
XX VarVar 2cc
Ejemplo 2.4.1 Obtener la varianza de la siguiente variable aleatoria
discreta la cual tiene función de probabilidad
5 si200
4 si200
3 si300
2 si250
1 si050
x
X.
X.
X.
X.
X.
f
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
40
Se tiene en primer lugar que obtener el valor esperado. Para este caso
053E .X , ahora se puede hacer uso de la propiedad
22 EEVar XXX
para la cual se necesita 2E X la cual toma el valor ¿?
30259053EVar22
..XX
Así tenemos que la varianza de la variable aleatoria es y su desviación
estándar toma el valor .
Ejercicio 2.4.1 Por parte de los participantes.
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
41
III Algunas distribuciones discretas
Objetivo: Que el participante conozca y maneje algunas de las variables
aleatorias discretas, así como la función de probabilidad de cada una de
éstas.
Introducción
Como se estableció en la Unidad II cuando se tiene una variable
aleatoria discreta, información acerca de su comportamiento se puede
obtener a partir de su función de probabilidad. Tal función de probabilidad
puede estar dada en forma de una expresión algebraica. En esta unidad se
tratan las principales variables aleatorias de tipo discreto, así como la
correspondiente función de probabilidad.
III.1. Distribución Bernoulli
La señora López está indecisa si comprar o no la crema antiacné
saludmedicina.com
Su decisión la basara en si tiene menos de 2 infecciones o no.
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
42
Una industria fármaco bióloga desea sacar al mercado un nuevo
medicamento, para lo cual realiza un experimento y la decisión de sacarlo
al mercado dependerá si el paciente muestra o no mejora respecto a la
enfermedad que presenta.
dermocosmetica.umh.es
El anterior es un problema donde el espacio muestral es numerable
finito, ya que solamente se tienen dos posibles resultados para el
experimento NMSM,S . Sea la variable aleatoria definida de la siguiente
manera
Mejora Nosi0
Mejora si1
:X
así se tiene que el conjunto de valores de la variable aleatoria es 10, por lo
cual la variable aleatoria es una variable aleatoria discreta.
En el ejemplo anterior el rango de la variable aleatoria es discreto,
por lo cual es una variable aleatoria discreta, pero además, la variable
aleatoria solamente puede tomar dos valores. En general existen variables
aleatorias en las cuales sólo existen dos valores en su rango. Lo anterior
nos lleva a la siguiente definición.
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
43
Definición 3.1.1 Un experimento se denomina Bernoulli si los posibles
resultados del experimento son solamente dos. Comúnmente a uno de los
dos resultados se le denomina éxito (E) y al otro fracaso (F).
safa.edu.uy gentedigital.es
elianayjenniferdesnutri
Observación 3.1.1 Posibles resultados del experimento dos.
Observación 3.1.2 Éxito (EVENTO DE INTERÉS) y fracaso
Nota 3.1.1 Ya sea que se trate como probabilidad de la variable aleatoria o
la probabilidad del evento éxito, ésta se denota por medio de p y al
probabilidad de fracaso por q , la cual por las propiedades de probabilidad
es p-1 ¿Porqué?
Nota 3.1.2 El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria la cual
tiene una distribución Bernoulli están dados por medio de:
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
44
pXE y p1Var X .
Ejemplo 3.1.1 Un alumno de la facultad de Estadística presenta un examen
de la asignatura de técnicas básicas de muestreo, su interés, como es de
esperarse, es aprobar la asignatura, así que los posibles resultados del
experimento son APROBAR o REPROBAR. RA,S . Lo cual en
términos de la variable aleatoria sería
Repruebasi0
Aprueba si1
:X
con alguna probabilidad de éxito p .
Ejemplo 3.1.2 El maestro de la asignatura técnicas básicas de muestreo,
quien le imparte clases al alumno del ejemplo anterior tiene el interés de
conocer cuál fue la calificación del alumno en el examen, así que los
posibles resultados del experimento son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. el cual
ya no sería un experimento Bernoulli.
Ejemplo 3.1.3 Un alumno de la facultad de Estadística presenta un examen
de la asignatura de técnicas básicas de muestreo
Valor de X 0 1
Probabilidad asociada p-1 p
La distribución de probabilidades para este caso es
p 10P0P0 XXFX , 11P0P1P1 XXXFX ,
p10P0.74P0.74 XXFX ,
.XXXFX 11P0P2P2
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
45
Grafica de la función de distribución.
Para una variable aleatoria Bernoulli su función de probabilidad está
dada por medio de x-1x p-1pxXPx f , con 10,x . Así
pp-1p1XP1
p1p-1p0XP0
1-11
0-10
f
f
Grafica de la función de probabilidad
Ejercicio. Dar 2 ejemplos de variables aleatorias Bernoulli con valores de
p, con graficas.
III.2. Distribución Binomial
Una industria fármaco bióloga desea sacar al mercado un nuevo
medicamento, para lo cual realiza un experimento. El nuevo medicamento
es probado en 50 pacientes los cuales presentan la enfermedad bajo
exactamente las mismas condiciones. El interés es conocer cuantos
pacientes de los 50 muestran mejora respecto a la enfermedad.
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
46
El anterior es un problema donde el espacio muestral es numerable
finito. La cantidad de pacientes que mostraron mejora puede tomar 51
posibles valores, así la variable aleatoria toma los valores 0,1,2,…,50.
En el ejemplo de la industria fármaco bióloga el rango de la variable
aleatoria es discreto, por lo cual es una variable aleatoria discreta, pero
además, el experimento consta de experimentos Bernoulli, cada uno de
ellos con la misma probabilidad de mejora (E), digamos p .
Definición 3.2.1 Un experimento se denomina Binomial si éste está
compuesto por n experimentos Berrnoulli, y el interés es el número X de
éxitos en estos n experimentos Bernoulli, los cuales se suponen que son
independientes
nartube.com drgrowonline.com
lila2.blogspot.com cancunforos.com
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
47
Supuestos
Se realizan n experimentos Bernoulli,
Probabilidad de éxito p ,
Los experimentos son independientes
La variable aleatoria de interés es el número de éxitos en los n
experimentos, por lo cual X puede tomar los valores n,...,2,1,0 .
La función de probabilidad está dada por
x-nx p-1px
nxXPx
f
donde !!
!
xnx
n
x
n
, y !n es el factorial.
Ejemplo 3.2.1 El grupo 302 de la facultad de Estadística el cual tiene 15
alumnos presenta un examen de la asignatura de técnicas básicas de
muestreo, su interés de cada alumno, como es de esperarse, es aprobar la
asignatura, así que los posibles resultados del experimento son APROBAR
o REPROBAR. RA,S . Pero al profesor le interesa conocer la cantidad
de alumnos que aprobaron el examen, así que los posibles valores de la
variable aleatoria son 0, 1, 2,.., 15. Así se tiene
x15-x p-1px
15xXPx
f
Si la probabilidad de aprobar el examen es 0.8, se tiene que la probabilidad
de que exactamente seis alumnos aprueben el examen es
0.0006717
2080123456
101112131415
208096
15
p-1p6
156XP6
96
96
6-156
..*****
*****
..!!
!
f
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
48
Interpretación. Se tiene que si se tuvieran 100,000 grupos de 15 alumnos
cada uno de éstos y se presentaran un examen de muestreo que tiene una
probabilidad de ser aprobado de 0.8, entonces en aproximadamente 67 de
estos grupos aprobarían exactamente 6 alumnos.
La Probabilidad de que aprueben a lo más 5 alumnos es
.
FX
515-5415-4
315-3215-2
115-1015-0
p-1p5
15p-1p
4
15
p-1p3
15p-1p
2
15
p-1p1
15p-1p
0
155XP5
Nota 3.2.1 El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria la cual
tiene una distribución Binomial están dados por medio de:
npXE y )(X pnp 1Var .
Ejercicio 3.2.1 Dar 2 ejemplos de variables aleatorias Binomial.
Probabilidad en Excel Los pasos a seguir para obtener la probabilidad de
una variable aleatoria discreta con distribución Binomial son:
1. Entrar a Excel a la pestaña de Insertar, en la parte marcada con función
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
49
2. Aparece la siguiente ventana
3. Irse a la pestaña de seleccionar una categoría y elegir Estadística
4. Elegir BINOM y aceptar
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
50
5. Aparece la ventana de la Binomial
6a. Calcular la probabilidad 6f
Resultado
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
51
6b. Calcular 5FX
Resultado
III.3. Distribución Geométrica
La industria fármaco bióloga anterior desea sacar al mercado otro
medicamento, para lo cual realiza un experimento. El nuevo medicamento
es probado en pacientes los cuales presentan la enfermedad bajo
exactamente las mismas condiciones, pero se desea conocer en cuantos
pacientes se debe probar hasta que ocurra un éxito, estos es hasta que uno
de los pacientes muestre mejora.
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
52
El anterior es un problema donde el espacio muestral es numerable.
La cantidad de pacientes necesarios hasta que ocurra la primera mejora es
numerable tomando los valores 1,2,…,20,…, así que la variable aleatoria
número de experimentos necesarios hasta que ocurra el primer éxito es una
variable aleatoria discreta, se tiene que el experimento consta de
experimentos Bernoulli, cada uno de ellos con la misma probabilidad de
mejora (E), digamos p .
Definición 3.3.1 Una variable aleatoria se denomina geométrica si el
interés es el número de experimentos necesarios hasta que ocurra el
primer éxito, cada uno de estos experimentos es un ensayo Bernoulli, los
cuales se suponen que son independientes.
Supuestos
Se realizan experimentos Bernoulli hasta obtener un éxito,
Probabilidad de éxito p ,
Los experimentos son independientes.
La variable aleatoria de interés es el número de experimentos necesarios
hasta obtener el primer éxito por lo cual X puede tomar los valores ,...2,1 .
La función de probabilidad está dada por 1-x1 p-1pxPx Xf
donde p denota la probabilidad de éxito y ,...,21x .
Nota 3.3.1 El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria la cual
tiene una distribución Geométrica están dados por medio de:
p
1E X y
2p
1Var
pX .
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
53
Ejemplo 3.3.1 El Biólogo Rivas va a analizar cultivos de bacterias hasta
detectar bacterias tipo B1. Se sabe de estudios anteriores que en promedio
se analizan 8 cultivos antes de encontrar bacterias tipo B1. ¿Cuál es la
probabilidad de que el biólogo Rivas analice 3 cultivos para encontrar la
bacteria tipo B1?
digitalmediadesign2009.com
Se tiene a una variable aleatoria geométrica ya que se desea conocer el
número de experimentos necesarios “analizar cultivos” antes de obtener un
éxito “bacterias tipo B1”. El biólogo Rivas cuenta con la información de
que 8E X , de lo cual se obtiene que 8p
1 , así 1250p . . Se desea obtener
la probabilidad de analizar 3 cultivos para encontrar bacterias tipo B1.
Si es necesario analizar 3 cultivos para encontrar bacterias tipo B1, se tiene
que en los 2 primeros cultivos no se encontraron bacterias tipo B1, así
0.096
87501250p-1pp-1p3P2211-31
..X
Interpretación. Así se tiene que si en 1000 ocasiones el biólogo Rivas se
pusiera a analizar cultivos de bacterias hasta encontrar un cultivo de
bacterias tipo B1 en 96 de estas 1000 ocasiones necesitaría analizar 3
cultivos hasta detectar bacterias tipo B1.
Probabilidad en Excel Los pasos a seguir para obtener la probabilidad de
una variable aleatoria discreta con distribución Geométrica son:
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
54
1, 2 y 3 son los mismos que la distribución Binomial
4. Elegir NEGBINOMDIST y aceptar
5. Aparece la ventana de la Binomial Negativa
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
55
6. Calcular la probabilidad de que sea al tercer ensayo el exito
Resultado
III.4 Distribución Poisson
Una maestra de escuela secundaria desea conocer el número
promedio de faltas de ortografía que existe en cada página del libro de texto
de la asignatura de español. Un agente de transito desea conocer el número
promedio de accidentes automovilísticos que ocurren en la avenida Ávila
Camacho en un día. Un biólogo desea conocer el número promedio de
plagas en una planta.
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
56
taringa.net mexicotop.com
La maestra no se pondría a escribirle faltas de ortografía a las
páginas del libro. El agente de transito no se pondría a producir accidentes
de autos. El biólogo no se pondría a poner plagas en las plantas. Todos
estos hechos no ocurren como resultado de llevar a cabo un experimento,
sino al azar. No es de interés conocer el número de no faltas de ortografía,
no es de interés conocer el número de no accidentes automovilísticos, así
como tampoco el número de no plagas en una planta.
Ahora se tiene que ha mayor número de palabras en la pagina el
número de faltas de ortografía es mayor. A mayor lapso de tiempo el
número de accidentes es mayor, y a mayor tamaño del la planta el número
de plagas es mayor. O viceversa.
En todos los casos la variable aleatoria es
unidad unaen interés de resultado el ocurre que vecesde númeroX .
Los posibles valores que puede tomar la variable son 0,1,2,3,4,…, el
cual es un conjunto numerable, así que se trata de una variable aleatoria
discreta.
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
57
La función de densidad está dada por
,...2,1,0
xx
exXPxf
x
!
Definición 3.4.1 Una variable aleatoria X es una variable aleatoria poisson
si tiene la siguiente función de probabilidad
,...,,!
210
xx
exXPxf
x
Supuestos.
La probabilidad de que ocurra más de una vez el resultado de interés
en una unidad muy pequeña es cero.
El número de ocurrencias del resultado de interés es proporcional al
tamaño de la unidad.
El número de ocurrencias del resultado de interés en cada unidad, es
independiente del número de ocurrencias en cualquiera otra unidad.
Nota 3.4.1 El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria la cual
tiene una distribución Poisson están dados por medio de:
XE y XVar .
Ejemplo 3.4.1 Una maquina despachadora de café, tiene, en promedio, tres
fallas a la semana. ¿Cuál es la probabilidad de que la maquina despache
café sin fallas durante una semana?
chicadelatele.com
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
58
Se tienen los siguientes componentes del experimento:
semana laen fallas de Número:X
Unidad semana Una
3
Evento semana la durante fallahay No
La función de probabilidad toma la forma
,...,,!
21033
xx
exXPxf
x
y para el caso de interés se tiene 0X , así
0500
300 3
03
.!
X
ee
Pf
Interpretación. Si durante 100 semanas se contaran el número de fallas en
la maquina de café, se tendría que en 5 de estas semanas no ocurriría
ninguna falla en la maquina.
Ejemplo 3.4.2 Una maquina despachadora de café, tiene, en promedio, tres
fallas a la semana. ¿Cuál es la probabilidad de que la maquina despache
café sin fallas durante la mitad de la semana? Los componentes del
experimento son los mismos que los del ejemplo 3.4.1 únicamente con la
excepción que el numero promedio para este caso particular es de 1.5, es
decir, 51. , así la probabilidad de interés es
2200
5100 51
051
.!
.X
..
ee
Pf
Interpretación. Si durante 100 medias semanas se contaran el número de
fallas en la maquina de café, se tendría que en 22 de estas medias semanas
no ocurriría ninguna falla en la maquina.
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
59
Ejercicio 3.4.1 En la Florida, USA, hay en promedio 6 huracanes cada
ocho meses.
fgarcia.diariolibre.com
¿Cuál es la probabilidad de que en los próximos ocho meses se
presenten 5 huracanes?
¿Cuál es la probabilidad de que en los próximos cuatro meses se
presenten 5 huracanes?
Ejercicio 3.4.2 Dar ejemplos por parte de los participantes de variables
aleatorias Poisson.
Probabilidad en Excel Los pasos a seguir para obtener la probabilidad de
una variable aleatoria discreta con distribución Poisson son:
1, 2 y 3 son los mismos que la distribución Binomial
4. Elegir POISSON y aceptar
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
60
5. Aparece la ventana de la Poisson
6. Calcular la probabilidad de que no falla durante la semana
Resultado
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
61
III.5 Distribución Hipergeométrica
En una bolsa hay 3 bolas blancas y 2 negras, se extraen dos bolas de
la urna, lo cual puede ser con reemplazo o sin reemplazo. Cuando se hace
CON reemplazo se extrae la bola y se regresa a la urna, por lo cual cada
extracción de bolas sería un evento Bernoulli, con X número de bolas
negras extraídas, lo cual seria un experimento Binomial. Si el experimento
se hace SIN reemplazo la variable aleatoria ya no se distribuye como una
Binomial, sino que es una distribución Hipergeométrica, la cual se basa en
la siguiente definición
acertijosymascosas.com
Definición 3.5.1 Una variable aleatoria X es una variable aleatoria
hipergeométrica si tiene la siguiente función de probabilidad
n210
n
N
xn
DN
x
D
,...,,,X
xxPxf
Supuestos.
En el experimento hay N elementos, de los cuales D tienen la
característica de interés y el resto, N-D, no la tienen.
El experimento es SIN reemplazo
Se extrae una muestra de tamaño n.
La variable aleatoria es el número de elementos con la características
que hay entre los n seleccionados.
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
62
Nota 3.5.1 El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X la
cual tiene una distribución Hipergeométrica están dados por medio de:
N
DnXE y
1N
nNp-1npVar X .
Ejemplo 3.5.1 En un laboratorio hay 4 químicos y 3 biólogos, se forma un
comité de dos personas.
larioja.com
¿Cuál es la probabilidad de que el comité este formado por dos químicos?
Los datos del experimento son:
comité elen químicos de Número:X
2n4D7N ,, .
Evento: químicosson miembros dos los
de lo anterior se tiene que la función de probabilidad toma la forma
.210
2
7
x2
47
x
4
,,X
xxPxf
y para el caso de interés se tiene 2X , así
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
63
2907
2
21
6
1*2*1*2*3*4*5
1*2*3*4*5*6*7
11*2*1*2
1*2*3*4
5!2!
7!
12!2!
4!
2
7
0
3
2
4
2
7
22
47
2
4
22
.
**
X
Pf
Interpretación. Si hubiera 100 laboratorios cada uno con 4 químicos y 3
biólogos y se formará en cada laboratorio un comité de dos personas de las
7 disponibles, entonces, en promedio en 29 comités los dos miembros que
forman tal comité serían dos químicos.
Ejercicio 3.5.1 Un comité de 3 personas se forma de un grupo de 2
abogados y 4 contadores. Encontrar la función de probabilidad para el
número de abogados en el comité.
abogadosdeempresa.com.mx
Ejercicio 3.5.2 Dar ejemplos por parte de los participantes de variables
aleatorias Hipergeométrica.
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
64
Probabilidad en Excel Los pasos a seguir para obtener la probabilidad de
una variable aleatoria discreta con distribución Hipergeométrica son:
1, 2 y 3 son los mismos que la distribución Binomial
4. Elegir DIST.HIPERGEOM y aceptar
5. Aparece la ventana de la Hipergeométrica
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
65
6. Calcular la probabilidad de que en un laboratorio hay 4 químicos y 3
biólogos, se forma un comité de dos personas.
¿Cuál es la probabilidad de que el comité este formado por dos químicos?
Los datos del experimento son:
comité elen químicos de Número:X
2n4D7N ,, .
Evento: químicosson miembros dos los
En excel
Resultado
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
66
UNIDAD IV. Algunas distribuciones continuas
Objetivo: Que el participante conozca, identifique y maneje las variables
aleatorias continuas más comunes, así como la función de densidad de cada
una de éstas.
Introducción
Como se estableció en la Unidad II cuando se tiene una variable
aleatoria continua, información acerca de su comportamiento se puede
obtener a partir de su función de densidad. Tal función de densidad puede
estar dada en forma de una expresión algebraica. En esta unidad se tratan
las principales variables aleatorias de tipo continuo, así como su
correspondiente función de densidad.
IV.1. Distribución Uniforme
IV.1.1 Distribución Uniforme Discreta
liceorosenthal.edu.co lasescapadas.com
Un alumno del tercer semestre de la licenciatura en Estadística está
interesado en conocer cual es su promedio que lleva de las 15 asignaturas
que ha cursado hasta ese momento, para lo cual anota las 15 calificaciones
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
67
obtenidas, las suma, y esta suma la divide entre 15, el número total de
asignaturas. ¿Por qué las divide entre 15?
En el ejemplo anterior el rango de la variable aleatoria es discreto,
por lo cual es una variable aleatoria discreta, y le damos la misma
importancia a cada una de las asignaturas, esto lo podemos expresar
diciendo que tratamos en forma uniforme a cada uno de los posibles
valores que puede tomar la variable aleatoria. Lo anterior nos lleva a la
siguiente definición.
Definición 4.1.1.1 Una variable aleatoria X se distribuye en forma
uniforme (caso discreto) si su función de probabilidad está dada por
nxxxn
xf ,...,, 21valoreslosdeunoesxsi1
Notación. nUD~X .
Nota 4.1.1.1 El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria
discreta la cual se distribuye en forma uniforme es
n
E
ixX y
n
Var
2
xExiX
Ejemplo 4.1.1.1 Un alumno de la especialidad en métodos estadísticos
presenta el segundo examen de la asignatura de probabilidad básica. La
escala de calificaciones es del 6 al 9.5 tomando valores de .5 a .5 ¿Cuál es
la probabilidad de que obtenga un 7.5 de calificación?, ¿Cuál es la
probabilidad de que obtenga una calificación entre 7.5 y 9?
Sea X definida como la calificación obtenida por el alumno en el examen,
entonces nUD~X . Para responder la primera pregunta basta con obtener
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
68
en primer lugar la función de probabilidad de la variable aleatoria, la cual
es en este caso
599588577566valoreslosdeunoesxsi8
1.,,.,,.,,.,xf
así la probabilidad de que la variable aleatoria tome exactamente el valor
de 7.5 es 0.125.8
17.57.5XP f
Interpretación: Si se les aplicara el segundo examen a 1000 alumnos,
donde la escala de calificaciones es del 6 al 9.5 tomando valores de .5 a .5,
en promedio 125 de éstos obtendrían una calificación de 7.5.
Ahora la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor de entre
7.5 y 9 es obtenida de la siguiente manera
2
1
8
4
8
1
8
1
8
1
8
1
98.587.59X7.5P
ffff
Interpretación: Si se les aplicara el segundo examen a 1000 alumnos,
donde la escala de calificaciones es del 6 al 9.5 tomando valores de .5 a .5,
en promedio 500 de éstos obtendrían una calificación de entre 7.5 y 9.
Calificación
0.1
00
.11
0.1
20
.13
0.1
40
.15
f(x)
Grafica de la función de probabilidad
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
69
Ejercicio 4.1.1.1 Dar 2 ejemplos de variables aleatorias que tengan
distribución uniforme discreta.
IV.1.2 Distribución Uniforme Continua
Un alumno del tercer semestre de la licenciatura en Estadística está
interesado en conocer cual es la probabilidad de que el profesor de
Matemáticas llegue entre los primeros 10 minutos después de la hora de
entrada, si se sabe que éste puede llegar entre las 10:00 y las 10:20 horas.
En el ejemplo anterior el rango de la variable aleatoria es continuo,
por lo cual es una variable aleatoria continuo, y le damos la misma
importancia a cada una de los minutos, esto lo podemos expresar diciendo
que tratamos en forma uniforme a cada uno de los posibles valores que
puede tomar la variable aleatoria. Lo anterior nos lleva a la siguiente
definición.
Definición 4.1.2.1 Una variable aleatoria X se distribuye en forma
uniforme (caso continuo) en el intervalo ba, si su función de densidad
está dada por
caso otro0
bxa si1
abxf
Notación. ba,U~X .
Nota 4.1.2.1 El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria
continua la cual se distribuye en forma uniforme es
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
70
2
baE
X y
12
a-bVar
2
X .
Ejemplo 4.1.2.1 Dos amigas se ponen de acuerdo para tomar un café y se
quedan de ver entre las cinco y cinco treinta de la tarde, si una de ellas llega
a las cinco en punto
omniyourlife.8m.com
¿Cuál es la probabilidad de que tenga que esperar?
a) a lo mas 10 minutos
b) por lo menos 20 minutos
c) a lo mas 15 minutos
d) entre 10 y 20 minutos.
Sea X definida como la hora en la que la segunda amiga llega al café,
entonces ba,U~X . Es de gran ayuda hace un dibujo de la situación
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
71
En este caso la función de densidad está dada por 30
1
030
1
xf
Para calcular la probabilidad de que la variable ocurra en un intervalo dado
basta con realizar el producto de la longitud del intervalo por la función de
densidad. Así tenemos los siguientes resultados
a) A lo mas 10 minutos, se desea encontrar 10P X
3
1
30
11010P X ,
así la probabilidad de que la primera amiga tenga que esperar a su
compañera a lo mas 10 minutos es 3
1.
b) Por lo menos 20 minutos, se desea encontrar 20P X
3
1
30
11020P X
así la probabilidad de que la primera amiga tenga que esperar a su
compañera por lo menos 20 minutos es 3
1
c) A lo mas 15 minutos, se desea encontrar 15P X
2
1
30
11515P X
así la probabilidad de que la primera amiga tenga que esperar a su
compañera a lo mas 15 minutos es 2
1
d) Entre 10 y 20 minutos, se desea encontrar 2010P X
3
1
30
1102010P X
así la probabilidad de que la primera amiga tenga que esperar a su
compañera entre 10 y 20 minutos es 3
1.
Ejercicio 4.1.2.1 Interpretación de cada inciso del ejemplo 4.1.2.1.
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
72
Ejemplo 4.1.2.2 Si un paracaidista cae en un sitio aleatorio de la línea recta
entre los marcadores A y B.
servicioshf.com
Encuentre la probabilidad de que esté más cerca de A que de B. Calcule la
probabilidad de que la distancia respecto de A sea más de tres veces la
distancia con respecto a B.
Ejercicio 4.1.2.2 Dar 2 ejemplos de variables aleatorias que tenga
distribución uniforme continúa.
IV.2 Distribución Normal
Dentro de las distribuciones continuas la más importante de ellas es
la distribución normal, ejemplo de variables aleatorias normales son la
estatura de un ser humano, el peso de las tortugas que llegan a la playa de
Veracruz, la cantidad de gramos de azúcar que se le pone al café, etc. El
comportamiento de una variable aleatoria continua que se distribuye en
forma normal está dado en la siguiente forma:
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
73
Definición 4.2.1 Una variable aleatoria X que se distribuye en forma
normal tiene la siguiente función de densidad
x
xxf
2
2
exp2
1
Notación. 2,N ~X .
Nota 4.2.1 El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria
continua la cual se distribuye en forma normal son
XE y 2Var X
Grafica
De la grafica anterior se observa que
La curva es simétrica con respecto a su media
La grafica tiene forma de campana
El valor de determina la altura de la curva.
Observación 4.2.1 Se tienen las siguientes relaciones entre intervalos y
probabilidades
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
74
El intervalo de a tiene una probabilidad de 0.683.
El intervalo de 2 a 2 tiene una probabilidad de 0.954.
El intervalo de 3 a 3 tiene una probabilidad de 0.997.
Observación 4.2.2 Cambios de y de
****Cambios de
****Cambios de
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
75
Inconveniente. Cuando se trata de encontrar una probabilidad asociada a
una variable aleatoria normal se debe de integrar la función de densidad, lo
cual es complicado.
Afortunadamente existen tablas de probabilidades de la normal, pero
para un tipo particular de parámetros, los cuales son 0 y 1 .
Definición 4.2.2 Una variable aleatoria Z se denomina variable aleatoria
normal estándar si tiene la siguiente función de densidad
zzzf 2exp2
1
Notación. 1,0N~Z .
Ejemplo 4.2.1 Calcular las siguientes probabilidades
0013503ZP .
0.97720.022812ZP12ZP
.0228.02ZP
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
76
0.47720.0228502ZP502Z0P ..
954404772022Z0P22Z2-P ..
61801.54ZP .
Probabilidad en Excel Los pasos a seguir para obtener la probabilidad de
una variable aleatoria continuaa con distribución Normal Estándar son:
1, 2 y 3 son los mismos que la distribución Binomial
4. Elegir DIST.NORM.ESTAND y aceptar
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
77
5. Aparece la ventana de la distribución Normal Estándar
6. Calcular la probabilidad 0.97720.022812ZP12ZP
Resultado
La forma de obtener una variable aleatoria normal estándar a partir
de una variable aleatoria normal es estandarizando, lo cual se logra
realizando la siguiente operación:
XZ
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
78
Ejemplo 4.2.2 Sea X una variable aleatoria normal con media 12 y
varianza 9 ¿Cuál es la probabilidad de que X se encuentre entre 10 y 15?
Se desea obtener 1510P X , pero al no ser X una variable aleatoria
normal estándar no se puede ocupar la tabla, por lo cual X se debe
estandarizar lo cual se logra de la siguiente manera
XZ
con 12 y 92 , de lo anterior se obtiene
6703
2
3
12101 .Z
y 1
3
3
3
12152
Z
así se tiene 10.67-P1510P ZX y
590
3413024870
1587050251405010.67-P
.
..
....Z
Interpretación.
Ejemplo 4.2.3 Los resultados del primer examen de probabilidad de la
especialización en métodos estadísticos tiene una distribución normal con
media 7 y desviación estándar de 0.5 ¿Cuál es la probabilidad de que un
alumno obtenga una calificación de entre 8 y 9?
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
79
Interpretación
Ejercicio 4.2.1 Ejemplos por parte de los participantes.
Probabilidad en Excel Los pasos a seguir para obtener la probabilidad de
una variable aleatoria continua con distribución Normal son:
1, 2 y 3 son los mismos que la distribución Binomial
4. Elegir DIST.NOR. y aceptar
5. Aparece la ventana de la distribución Normal
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
80
6. Sea X una variable aleatoria normal con media 12 y varianza 9 ¿Cuál es
la probabilidad de que X sea menor a 15? Se desea obtener 15XP ,
Resultado
IV.3 Distribución Beta
En ocasiones la variable de interés en el experimento es una proporción,
por ejemplo puede ser de interés el porcentaje de alumnos que obtuvieron
calificación por arriba de 8, o el porcentaje de bichos hembras en una
planta, o el porcentaje de mujeres embarazadas en una comunidad, etc.
La función de densidad Beta es una función de densidad con dos
parámetros definida en el intervalo cerrado 10 x . Como tal se utiliza
frecuentemente como un modelo para fracciones.
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
81
Definición 4.3.1 Una variable aleatoria X que se distribuye en forma Beta
tiene la siguiente función de densidad
caso otroen 0
1001
11
xxx
xf
;,
donde 1 !
Notación. ,B~X .
Nota 4.3.1 El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria ,B
son
XE y
1Var
2
X
Grafica
Ejemplo 4.3.1 El dueño de una lechería suministra leche cada día sábado,
la leche se almacena en un tanque.
noticiasrurales.com.uy
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
82
Encuentre la probabilidad de que el dueño venda al menos el 70% de la
leche del tanque durante la semana. Se sabe de estudios anteriores que
4 y 2 .
En este caso la característica de interés es una proporción por lo cual se
trabajara con la distribución Beta, con parámetros 4 y 2 , así la
función de densidad toma la forma
caso otroen 0
1024
1241214
xxx
xf .
Desarrollando se tiene
xx
xx
xxxx
xx
12011*2*3
112345
!1!3
1!5
24
16
24
124
313
1313
1214
*
*****
*
La probabilidad que se desea obtener está dada por
471780026411005020
5
168070
4
24010
5
1
4
120
5420
dx20
dx1207
1
7
54
1
7
43
1
7
3
...
..
.
.
.
.
xx
xx
xxXP
Así la probabilidad de que se venda al menos el 70% de la leche es 0.47, lo
cual tiene una interpretación de que….
Ejercicio 4.3.1 Ejemplos de parte de los participantes
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
83
Probabilidad en Excel Los pasos a seguir para obtener la probabilidad de
una variable aleatoria continua con distribución Beta son:
1, 2 y 3 son los mismos que la distribución Binomial
4. Elegir DISTR.BETA y aceptar
5. Aparece la ventana de la distribución Normal
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
84
6. Encuentre la probabilidad de que el dueño venda al menos el 70% de la
leche del tanque durante la semana. Se sabe de estudios anteriores que
4 y 2 . Encontrar 7.XP
Resultado
471780026411005020
5
168070
4
24010
5
1
4
120
5420
dx20
dx1207
1
7
54
1
7
43
1
7
3
...
..
.
.
.
.
xx
xx
xxXP
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
85
IV.4 Distribución Exponencial
Una variable aleatoria se dice que tiene una distribución sesgada
(asimétrica) a la derecha si la mayor parte del área bajo la curva de la
función de densidad se encuentra cerca del origen y la función de densidad
disminuye gradualmente cuando el valor de la variable aleatoria aumenta
Algunas distribuciones aleatorias son siempre no negativas y por
varias razones tienen distribuciones de datos que son sesgadas a la derecha.
Por ejemplo, los intervalos de tiempo entre la descomposturas del motor de
un automóvil, así como los intervalos de tiempo entre la llegada a una fila a
la caja registradora de un supermercado, también los tiempos de espera del
paciente al pasar al dentista, o el tiempo que tarda uno en realizar una tarea.
En la unidad referente a la variable aleatoria poisson se trato el
siguiente ejemplo: Un agente de transito desea conocer el número de
accidentes automovilísticos que ocurren en la avenida Ávila Camacho en
un día. Se definió
unidad unaen interés de resultado el ocurre que vecesde númeroX .
Los posibles valores que puede tomar la variable son 0,1,2,3,4,…, el cual
es un conjunto numerable, así que se trata de una variable aleatoria
discreta. El jefe del agente de transito tiene la inquietud de conocer qué
tiempo transcurre entre cada accidente en la avenida Ávila Camacho en un
día. Definiendo
Poisson oexperiment elen eventos los de espera de tiempoY
se tiene que Y es una variable aleatoria continua.
Las variables X y Y están relacionadas de la siguiente manera
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
86
Definición 4.4.1 Una variable aleatoria X es una variable aleatoria
exponencial si tiene la siguiente función de densidad
caso otro0
0xe
xf
x
Nota 4.4.1 El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria
exponencial son XE y 2Var X
Ejemplo 4.4.1 El tiempo de espera entre dos llegadas de autobuses de
determinada línea puede asumirse que tiene una distribución exponencial.
estudiosaustralia.freeblog.co.nz
Se conoce de estudios anteriores que el tiempo promedio de espera entre la
llegada de dos autobuses es de 2 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que el
tiempo de espera sea a lo menos de 3 horas?
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
87
Definiendo la variable autobuses de llegadas dos entre espera de tiempoX . Se
desea encontrar la probabilidad 3 P X
2230111
12
11
13 P13 P
2
3
2
3
2
0
2
3
3
0
23
0
2
3
0
.
XX
eeee
edxe
dxxf
xx
Interpretación.
Ejemplo 4.4.2 El tiempo entre fallas de focos KEY tiene una distribución
exponencial con un promedio de falla de 2 días.
smud.org
¿Cuál es la probabilidad de que la falla entre un foco y el siguiente sea
menor a los 4 días?
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
88
8650135011
1
2
1
4 P
2
4
2
4
2
0
2
4
4
0
24
0
2
4
0
..
X
e
eee
edxe
dxxf
xx
Interpretación
Ejercicio 4.4.1 Dar ejemplos de variable aleatoria exponencial por parte de
los participantes.
Probabilidad en Excel Los pasos a seguir para obtener la probabilidad de
una variable aleatoria continua con distribución Exponencial son:
1, 2 y 3 son los mismos que la distribución Binomial
4. Elegir DISTR.EXP y aceptar
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
89
5. Aparece la ventana de la distribución Exponencial
6. Definiendo la variable autobuses de llegadas dos entre espera de tiempoX . Se
desea encontrar la probabilidad 3 P X
Resultado
22303 .X P
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
90
UNIDAD V. Distribuciones Muestrales
Objetivo: Que el participante conozca, y maneje las distribuciones
relacionadas con la media y la varianza muestral.
Introducción
En la estadística tanto teórica como aplicada se trabaja con la media
y la varianza muestral, al ser éstas funciones de la muestra tienen su propia
distribución, y en base a esta distribución es que se toman decisiones sobre
la media y la varianza poblacional.
V.1. Muestra aleatoria
Cuando se lleva a cabo un experimento aleatoria para estudiar el
comportamiento de una característica de interés no se toma en cuenta a
toda la población, sino que tomamos una parte de ésta. Aunque existen
varias formas para obtener la muestra, la elección se lleva a cabo no
violando el concepto de independencia.
Definición 5.1.1 Una muestra aleatoria de tamaño n de una población
Xf es una colección de n variables aleatorias independientes nX,...,X,X 21 ,
cada una teniendo la misma distribución Xf .
Cuando se tiene una muestra aleatoria nX,...,X,X 21 a partir de ella se
pueden obtener nuevas variables, sumando, restando, sumando una
constante, etc. Algunas de las nuevas variables más usadas por su
aplicación son la media muestral y la varianza muestral, las cuales son tipo
de estadísticas, la cual se define a continuación
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
91
Definición 5.1.2 Dada una muestra aleatoria nX,...,X,X 21 , una estadística
es una función de las observaciones muestrales nX,...,X,X 21 .
Definición 5.1.3 Dada una muestra aleatoria nX,...,X,X 21 , la media muestral
de la muestra aleatoria se define por
n
iiX
nX
1
1.
Definición 5.1.4 Dada una muestra aleatoria nX,...,X,X 21 , la varianza
muestral de la muestra aleatoria se define por
1-n
2
2
XxS i
Ejemplo 5.1.1 Los siguientes son datos de pesos de 10 pájaros de Xico.
zaragozaciudad.net
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
800 900 1000 950 850 900 950 800 900 950
Obtener la media y la varianza muestral del peso de los pájaros de Xico.
n
iiX
nX
1
1=900 y
1-n
2
2
XxS i =66.67
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
92
Una estadística es una nueva variable aleatoria la cual tiene su propio
comportamiento. Al ser una variable aleatoria tal comportamiento se
estudia en términos de su función de distribución la cual se denomina
distribución muestral.
V.2. Teorema Central del Límite
Una de las estadísticas de mayor uso es la media muestral X .
Relacionado a la media muestral existe un resultado el cual es de suma
importancia, ya que relaciona la media muestral de distribuciones distintas
a la normal con la distribución normal estándar. Los siguientes resultados
están relacionados con la distribución de la media muestral.
El Teorema Central del Límite (TLC) establece lo que pasa cuando
tenemos la suma de un gran número de variables aleatorias independientes.
Este teorema dice que si tenemos un gran número de variables aleatorias
independientes y todas ellas tienen la misma distribución (cualquier
distribución), la suma de ellas se comporta como una distribución normal.
Por ejemplo; se tiene que la variable "tirar una moneda al aire" se
distribuye como una variable Bernoulli. Si lanzamos la moneda al aire 100
veces (en forma independiente), la suma de estas 100 variables tiene el
comportamiento de una distribución normal.
Este teorema se aplica tanto a suma de variables discretas como de
variables continuas
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
93
Ejercicio. Que cada alumno realice el lanzamiento de la moneda 50 veces
por alumno, y sume el número de caras (1). Observar el comportamiento
grupal.
Resultado 5.2.1 Si nXXX ,...,, 21 son variables aleatorias independientes (de
cualquier distribución) con iXE y 2Var iX . Sea
n
iiX
nX
1
1
Entonces XE y n
X2
Var
.
Resultado 5.2.2 Si nX,...,X,X 21 es una muestra aleatoria de tamaño n de
una distribución Normal con media y desviación estándar , entonces la
distribución de X será normal con media y desviación estándar n .
En una muestra aleatoria nX,...,X,X 21 , de una población arbitraria con
media y desviación estándar , la distribución de X cuando n es grande
es aproximadamente normal con media y desviación estándar n . En
otras palabras,
n
X
Z es aproximadamente 10,N
Nota 5.2.1 El Teorema Central del Límite involucra n, el tamaño de la
muestra, y menciona que el resultado se cumple para n grande. En la
práctica se tiene una buena aproximación cuando n es mayor o igual a 30.
Ejemplo 5.2.1 La longitud de los eslabones de una cadena de mar tiene una
media 5 cm., con una desviación estándar 40. cm. Las normas de la
naval requieren que la longitud de la cadena se encuentre entre 4.9 y 5
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
94
metros. Si la cadena se elabora con 100 eslabones ¿Cuál es la probabilidad
de que una cadena cumpla con la norma de la naval?
larsvontrier.blogspot.com
Sea iX denotando la longitud de un eslabón y L la longitud de la cadena, es
decir, .
100
1i iXL La probabilidad de interés es 500L490P , la cual se
puede expresar como
.5X4.9P
100
500
100
L
100
490P500L490P
Además
052P
0.04
55
nσ
μX
0.04
5-4.9P5X4.9P
Z.
Así la probabilidad de que una cadena cumpla con la norma de la naval es
de 0.4938
Interpretación.
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
95
Ejemplo 5.2.2 La cantidad de café por vasito que despacha una maquina de
café presenta una distribución normal con 1 ml. En un día se
despacharon 25 vasitos de café y se midió la cantidad de café en cada
vasito. Determinar la probabilidad de que la media muestral se encuentre a
lo más a 2 ml. de la media real .
chicadelatele.com
En primer lugar se debe identificar que la probabilidad que se desea
obtener es la del evento 2 X . En este caso tenemos n=25. Se tiene
que la media muestral X será normal con media y desviación estándar
n . Es decir, XE y nXVar . Se desea calcular
11P
20
20
nσ
μX
20
0.2-P
2020P20P
Z
XX
.
.
.
...
Interpretación.
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
96
V.3. Estadístico-variable Ji-Cuadrada
Como se ha visto entre los estadísticos más importantes se encuentran la
media muestral y la varianza muestral. El teorema central del límite se
refiere a la distribución muestral de la media muestral, X . El siguiente
resultado está relacionado con la distribución muestral de la varianza
muestral.
Resultado 5.3.1 Si n21 Z,...,Z,Z es una muestra aleatoria de tamaño n de una
distribución normal estándar, entonces
n
1i
2iZY ,
presenta una distribución ji-cuadrada con n grados de libertad.
Notación. 2n
La función de densidad de esta variable está dada por medio de
0 si
22 2
21
2
yn
eyyf
n
yn
Para 21n , , la grafica de la distribución 2n es semejante a una curva
normal, sesgada a la izquierda
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
97
El valor esperado de una variable aleatoria Y con distribución 2n está dado
por nYE y la varianza por 2nYVar .
Ejemplo 5.3.1 Obtener el valor de para las siguientes probabilidades
a) 050P 28 . x
Para encontrar el valor de 2n para el cual el área en la cola derecha
de la distribución ji-cuadrada con 8 grados de libertad sea de 0.05, se
observa en la tabla de la 2 el valor que aparece en el renglón de 8
grados de libertad y en la columna de 0.05. En este caso el valor es
de 15.5073, así se tiene que 050507315P 28 .. .
b) 050P 28 . x
Para encontrar el valor de 2n para el cual el área en la cola izquierda
de la distribución ji-cuadrada con 8 grados de libertad sea de 0.05, se
observa que 050P1P 28
28 . xx , así se desea encontrar
950P 28 . x , para lo cual se observa en la tabla de la 2 el valor
que aparece en el renglón de 8 grados de libertad y en la columna de
0.95. En este caso el valor es de 2.73264, así se tiene que
050732642P 28 ..
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
98
c) 0250P 212 . x
Probabilidad en Excel Los pasos a seguir para obtener la probabilidad de
una variable aleatoria con distribución Ji-Cuadrado son:
1, 2 y 3 son los mismos que la distribución Binomial
4. Elegir DISTR.CHI y aceptar
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
99
5. Aparece la ventana de la distribución Ji-Cuadrada
6. Obtener la probabilidad 5073152
8 .P
Resultado
Valores en Excel Los pasos a seguir para obtener los valores de una
variable aleatoria con distribución Ji-Cuadrado dada la probabilidad son:
1, 2 y 3 son los mismos que la distribución Binomial
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
100
4. Elegir DISTR.GAMMA.INV y aceptar
5. Aparece la ventana de la distribución Gamma Inversa
6. Obtener el valor de x tal que 0502
8 . xP
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
101
Resultado
050732642P 28 ..
Resultado 5.3.2 Si 2S denota la varianza muestral para una muestra
aleatoria de tamaño n de una distribución normal con media y desviación
estándar , entonces la variable aleatoria
2
2
1nS
,
presenta una distribución ji-cuadrada con (n-1) grados de libertad.
V.4. Distribución F de Fisher
En ocasiones es necesario verificar si las varianzas poblacionales de dos
muestras aleatorias son similares, los siguientes resultados están
relacionados con la razón de varianzas muestrales.
Resultado 5.4.1 Si 1X y 2X son variables aleatorias independientes las
cuales tienen distribución 2n y 2
m respectivamente, entonces
mX
nXY
2
1
tiene una distribución F con n y m grados de libertad.
La función de densidad de esta variable está dada por medio de
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
102
caso otro 0
0 xsim
n1
m
n
2
m
2
n
2
mnmn
2
1
12
2xx
xf
nn
Nota 5.4.1 La distribución F tiene dos parámetros, n y m , los cuales se
conocen como los grados de libertad del numerador y del denominador
respectivamente.
Nota 5.4.2 La grafica de la función de densidad F es semejante a la grafica
de la 2 .
Ejemplo 5.4.1 Obtener el valor de f para cual se cumple 050FP 128 ., f
Para encontrar el valor de f para el cual el área en la cola derecha de
la distribución ji-cuadrada con 8 grados de libertad en el numerador
y 12 grados de libertad en el denominador sea de 0.05, se observa en
la tabla de la F el valor que aparece en la columna de 8 grados de
libertad y en el renglón 12 de 0.05. En este caso el valor es de 2.85,
así se tiene que 050852FP 128 ..,
Resultado 5.4.2 αn,,m
α1m,,nF
1F
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
103
Ejemplo 5.4.2 Obtener el valor de f para el cual se cumple
950FP 812 ., f .
Se tiene del ejemplo anterior que 050852FP 128 .., , es decir,
852F 050128 ..,, , así se tiene que 3502.85
1
F
1F
0.0512,8,
0.9512,8, . lo cual
implica que 950350FP 812 .., .
Probabilidad en Excel Los pasos a seguir para obtener la probabilidad de
una variable aleatoria con distribución F son:
1, 2 y 3 son los mismos que la distribución Binomial
4. Elegir DISTR.F y aceptar
5. Aparece la ventana de la distribución F
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
104
6. Obtener la probabilidad 350812 ., FP
Resultado
950350FP 812 ..,
Valores en Excel Los pasos a seguir para obtener los valores de la variable
aleatoria con distribución F dada la probabilidad son:
1, 2 y 3 son los mismos que la distribución Binomial
4. Elegir DISTR.F.INV y aceptar
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
105
5. Aparece la ventana de la distribución F Inversa
6. Obtener el valor de f tal que 050FP 128 ., f
Resultado
050852FP 128 ..,
Resultado 5.4.3 Si 21S y 2
2S denotan las varianzas muestrales para dos
muestras aleatorias de tamaño n y m tomadas de dos distribuciones
normales con varianzas 21 y 2
2 respectivamente, entonces la variable
aleatoria
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
106
22
21
21
22
22
22
21
21Y
S
S
S
S
,
tiene una distribución F con (n-1) y (m-1) grados de libertad.
El resultado 5.4.3 está relacionado con la razón de varianzas muestrales de
muestras aleatorias de poblaciones normales cada una con su propia
varianza poblacional.
Ejemplo 5.4.3 Si 21S y 2
2S denotan las varianzas muestrales para dos
muestras aleatorias de tamaño 6 y 10 respectivamente tomadas de dos
distribuciones normales con la misma varianza poblacional 2 , cual es el
valor de b para el cual se cumple que
95022
21 .b
S
SP ,
Como se puede observar este es un problema de la razón de dos varianzas
muestrales de dos poblaciones normales, por lo cual se puede hacer uso de
que la razón 22
22
21
21
S
S tiene una distribución F con 5 y 9 grados de libertad.
Se tiene que observar que al tener las dos poblaciones la misma varianza
poblacional, la razón 22
22
21
21
S
S será igual a
22
21
S
S la cual es la razón de interés.
Además se tiene que
bb.
22
21
22
21 1950
S
SP
S
SP .
Así el valor b de interés cumple
05022
21 .b
S
SP ,
el cual es 3.48.
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
107
V.5 Distribución t de Student
En la mayoría de las ocasiones la varianza poblacional es
desconocida y algunos de los resultados anteriores no se pueden utilizar,
afortunadamente está la distribución t de Student.
Una distribución la cual tiene un gran uso en la inferencia estadística
es la distribución t de Student la cual se define a continuación.
Definición 5.5.1 La función de densidad de la variable aleatoria t de
Student está dada por medio de
caso otro 0
x- sin
x1
n2
n
2
1n1n
2
1
2
xf
Las graficas son simétricas.
Nota 5.5.1 El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria t de
Student está dada por medio de
0E X y 2-n
Varn
X .
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
108
Sea una muestra aleatoria nX,...,X,X 21 de una distribución normal con
media y varianza 2 , se tiene que nσ
μXZ
es aproximadamente 10,N .
En la mayoría de los casos la varianza 2 , es desconocida, en tales
situaciones una estimación de 2 es necesaria. Si la varianza muestral 2S
es usada en vez de 2 , entonces nS
μX se distribuye como una variable t de
Student con (n-1) grados de libertad.
Definición 5.5.2 Si Z denota una variable aleatoria normal estándar y X
denota una variable aleatoria 2n , la cual es independiente de Z , entonces la
variable aleatoria
nX
ZY ,
tiene una distribución t de Student con n grados de libertad.
Notación. nt
Ejemplo 5.5.1 Obtener el valor de t para el cual se cumple
050tP 05012 .. t
Para encontrar el valor de t para el cual el área en la cola derecha de la
distribución t de Student con 12 grados de libertad sea de 0.05, se observa
en la tabla de la t el valor que aparece en la columna de 0.05 y en el renglón
12. En este caso el valor es de 1.782, así se tiene que 0507821tP 12 .. .
Así se tiene que la probabilidad de que una variable aleatoria t con 12
grados de libertad sea a lo menos en valor igual a 1.782 es 0.05
Ejercicio 5.5.1 Obtener el valor de t el cual cumple 10tP 105 .. t
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
109
Probabilidad en Excel Los pasos a seguir para obtener la probabilidad de
una variable aleatoria con distribución t son:
1, 2 y 3 son los mismos que la distribución Binomial
4. Elegir DISTR.T y aceptar
5. Aparece la ventana de la distribución T
6. Obtener la probabilidad 7821.12tP
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
110
Resultado
0507821 .. 12tP
Valores en Excel Los pasos a seguir para obtener los valores de la variable
aleatoria con distribución T dada la probabilidad son:
1, 2 y 3 son los mismos que la distribución Binomial
4. Elegir DISTR.T.INV y aceptar
5. Aparece la ventana de la distribución T Inversa
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
111
6. Obtener el valor de t tal que 050tP 05012 .. t
Resultado
0507821tP 12 ..
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
112
Referencias
Álvarez, C. R. (2007), Estadística aplicada a las ciencias de la salud. Díaz
de Santos. Madrid.
Anderson, D. R. (2008). Estadística para administración y economía.
Thomson. México.
Box, G. E. P. (2008). Estadística para investigadores: diseño, innovación y
descubrimiento. Reverté. Barcelona.
DeGroot, Morris H., 1931-(2002). Probability and statistics. Addison-
Wesley. Boston
Devore, J. L. (2008), Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias.
Cengage Learning. México, D.F.
Etxeberría, M. J. (2005), Análisis descriptivo de datos de educación.
Editorial La Muralla. Madrid.
Hernández S. A. A. (2005). Manual del paquete estadístico S-PLUS en la
aplicación de algunas distribuciones discretas de probabilidad. Trabajo
Práctico-Educativo (Licenciatura en Estadística) Universidad Veracruzana.
México.
Ritchey, F. J. (2008). Estadística para las ciencias sociales. McGraw-Hill.
México.
Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
113
Sahagún C. J. (2007). Estadística descriptiva y probabilidad: una
perspectiva biológica. Universidad Autónoma Chapingo. México.
Schay, G. (2007). Introduction to probability with statistical applications.
Birkhäuser. Boston.
Spiegel, M. R., ed. (2010), Probabilidad y estadística. McGraw-Hill.
México.
Tejedor, F. J. (2006), Análisis inferencial de datos en educación. Editorial
La Muralla. Madrid.
Walpole, R. E. (2007). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias.
Pearson Educación. México.