PROBABILIDAD CONDICIONAL

En la práctica es común enfrentarnos al problema de obtener la probabilidad de un evento, condicionado a la ocurrencia o no ocurrencia de otro, esto es, el caso en que la ocurrencia de un evento altera las condiciones de las que depende la probabilidad del otro, estas probabilidades se llaman probabilidades condicionadas. Si A y B son los eventos en cuestión, tenemos que P(A/B) es la probabilidad de A dado que ya ocurrió el evento B. P (B/A) es la probabilidad de B dado que A ya ocurrió.Sea S el espacio muestral de E y sean A y B eventos definidos en S. Si preguntamos por la probabilidad de A dado que ocurrió B, el espacio se reduce sólo a lo comprendido en el conjunto B y viceversa, como se observa en el diagrama:

Definiremos las probabilidades condicionales de B dado A yde A dado B, como sigue:

P(A/B) =

P (A∩B )P (B ) y P (B/A) =

P (A∩B )P(A )

INDEPENDENCIA PROBABILISTICASe dice que dos sucesos son independientes si la ocurrencia o no ocurrencia de uno de ellos no cambia la probabilidad de ocurrencia del otro, a esto se le llama independencia probabilística. Sí A y B son eventos independientes, tenemos que: P(A/B) = P(A) y P(B/A) = P(B).

LEYES DE PROBABILIDADLas leyes pueden ser simplemente enunciadas y tomadas como ciertas mientras sean consistentes con nuestro modelo y con la realidad.Ley Aditiva de Probabilidad: Esta ley se aplica a las uniones y es igual a:P (AUB) = P (A) + P (B) - P (A∩B )sí A∩B = Ø, se dice que A y B son mutuamente excluyentes, entonces:P (A U B) = P (A) + P (B)Ley Multiplicativa de Probabilidad: Esta ley se aplica a las intersecciones y es igual a:P (A∩B) = P (A) * P (B/A) = P (B) * P (A/B)Sí A y B son independientes, entonces P (A∩B) = P (A) * P (B)Un experimento a menudo produce observaciones numéricas que varían de muestra a muestra. Por esta razón se define una variable aleatoria como una función con valores numéricos definida sobre un espacio muestral.En otras palabras, una variable X es una variable aleatoria si el valor que asume es un suceso numérico aleatorio. Un ejemplo de suceso numérico es el valor de cierre diario de ciertas acciones industriales.Las variables aleatorias se clasifican en discretas y continuas.

Una Variable Aleatoria Discreta es una variable que sólo puede asumir un conjunto numerable de valores. Veamos algunos ejemplos:- El número de unidades defectuosas en una muestra determinada extraída de un proceso industrial.- El número de individuos obesos en una región.- El numero de mascotas por habitantes en una ciudad

Una Variable Aleatoria Continua es una variable que puede asumir un número infinitamente grande de valores correspondientes a los puntos sobre un intervalo en una línea recta. Ejemplos:* El tiempo que demora una persona en una fila.* La cantidad de lluvia que cae en Pereira durante una hora.* La cantidad de azúcar en una gaseosa.

A B

S

Ejemplo:

Se lanzan dos dados normales. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de las caras sea 4, si se sabe:a) que cayeron dos caras impares? (1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6)(2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (2,6)(3,1); (3,2); (3,3); (3,4); (3,5); (3,6) = S(4,1); (4,2); (4,3); (4,4); (4,5); (4,6)(5,1); (5,2); (5,3); (5,4); (5,5); (5,6)(6,1); (6,2); (6,3); (6,4); (6,5); (6,6)

A = {(1, 3) (3, 1) (2, 2)}B = {(1, 1) (1, 3) (1, 5) (3, 1) (3, 3) (3, 5) (5, 1) (5, 3) (5, 5)}A∩B = {(1, 3) (3, 1)}P (A∩B) = 2/36 = 1/18 P (B) = 9/36 = 1/4P (A/B) = P (A∩B)/P (B) = (2/36)/ (9/36) = 2/9

b) Que la primera cara sea par?

(2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (2,6)(4,1); (4,2); (4,3); (4,4); (4,5); (4,6) = C(6,1); (6,2); (6,3); (6,4); (6,5); (6,6)

A∩C= (2, 2)

P (A∩C) = 1/36 P(C) = 18/36 = 1/2P(A/C) = P (A∩C)/P(C) = (1/36)/ (18/36) = 1/18

c) que al menos una cara sea par?

(1,2); (1,4); (1,6); (2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (2,6)(3,2); (3,4); (3,6); (4,1); (4,2); (4,3); (4,4); (4,5); (4,6) =D(5,2); (5,4); (5,6); (6,1); (6,2); (6,3); (6,4); (6,5); (6,6)

A∩D = {(2,2)}P (A∩D) = 1/36 P (D) = 27/36 = 3/4P (A/D) = P (A∩D)/P (D) = (1/36)/ (27/36) = 1/27

d) que la primera cara sea 1?E = {(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)}A∩E = {(1,3)}P (A∩E) = 1/36 P (E) = 6/36 = 1/6P(A/E) = P (A∩E)/P (E) = (1/36)/ (6/36) = 1/6