Probabilidad conjunta

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Estudio de la Probabilidad Conjunta. Enfoque a priori, enfoque a posteriori, enfoque axiomático, probabilidad condicional y teorema de Bayes.

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  • 1. Estadstica y Probabilidad II Probabilidad Conjunta Ciclo escolar 2013-2014

2. Experimentos Aleatorios Todos estamos familiarizados con la importancia de los experimentos en la ciencia y en la ingeniera. Un principio fundamental es que si efectuamos tales experimentos repetidamente bajo condiciones aproximadamente idnticas, obtenemos resultados que son esencialmente los mismos. Sin embargo, hay experimentos en los cuales los resultados no son esencialmente los mismos a pesar de que las condiciones sean aproximadamente idnticas. Tales experimentos se denominan experimentos aleatorios. Los siguientes son algunos ejemplos Si lanzamos una moneda el resultado del experimento es guila o sol. Si lanzamos un dado el resultado del experimento es uno de los nmeros en el conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6} Si lanzamos una moneda dos veces, el resultado puede indicarse por {AA,AS,SA,SS}, es decir dos Aguilas, Aguila primero y luego sol, etc. Si tenemos una mquina que produce tornillos, el resultado del experimento es que algunos pueden estar defectuosos. As cuando se produce un tornillo ser un miembro del conjunto {defectuoso, no defectuoso}. 3. Espacios Mustrales y Sucesos Espacio muestral: Un conjunto que consiste en todos los resultados de un experimento aleatorio se llama un espacio muestral y cada uno de los resultados se denomina punto muestral. Con frecuencia habr mas de un espacio muestral que describe los resultados de un experimento pero hay comnmente slo uno que suministra la mayora de la informacin. Obsrvese que corresponde al conjunto universal. Suceso o Evento: Un suceso es un subconjunto del espacio muestral , es decir es un conjunto de resultados posibles. Si el resultado de un experimento es un elemento de decimos que el suceso ha ocurrido. Un suceso que consiste de un solo punto de frecuentemente se llama un suceso elemental o simple. 4. El concepto de Probabilidad En cualquier experimento aleatorio siempre hay incertidumbre sobre si un suceso especfico ocurrir o no. Como medida de la oportunidad o probabilidad con la que podemos esperar que un suceso ocurra es conveniente asignar un nmero entre 0 y 1. Si estamos seguros de que el suceso ocurrir decimos que su probabilidad es 100% o 1, pero si estamos seguros de que el suceso no ocurrir decimos que su probabilidad es cero. Por ejemplo, si la probabilidad es de 1/4, diramos que hay un 25% de oportunidad de que ocurra y un 75% de oportunidad de que no ocurra. Existen dos procedimientos importantes por medio de los cuales podemos obtener estimativos para la probabilidad de un suceso. 5. Enfoque de Probabilidad Enfoque clssico o a priori Si un suceso puede ocurrir en h maneras diferentes de un nmero total de n maneras posibles, todos igualmente factibles, entonces la probabilidad del suceso es h/n. Enfoque como frecuencia relativa o a posteriori. Si despus de n repeticiones de un experimento, donde n es muy grande, un suceso ocurre h veces, entonces la probabilidad del suceso es h/n. Esto tambin se llama la probabilidad emprica del suceso. 6. Ejemplos Probabilidad clsica o a priori Supngase que deseamos la probabilidad de que resulte guila en un solo lanzamiento de una moneda Probabilidad de frecuencia relativa o a posteriori. Si lanzamos una moneda 1000 veces y hallamos que 532 veces resultan guilas. Cul es la probabilidad de que en el siguiente lanzamiento obtengamos guila? 7. Ejemplos Escribe el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios. Sacar una bola de una urna donde hay 5 bolas blancas y 5 bolas negras Los colores de un semforo Determinar o estimar la probabilidad p de los siguientes sucesos Una tirada de un dado resulte impar. Al menos un guila en dos tiradas de una moneda. Un As, el 10 de diamante o el 2 de picas aparezca al sacar una sola carta de una baraja inglesa. La suma de los puntos de dos dados sea 7. Qua aparezca un Sol en la prxima tirada de una moneda si han salido 56 guilas en 100 tiradas. 8. Actividad Se saca al azar una bola de una caja que contiene 6 bolas rojas, 4 bolas blancas y 5 azules. Halla la probabilidad de que la bola extrada sea a) Roja b) Blanca c) Azul d) No roja e) Roja o blanca En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, 5 alumnos rubios y 10 morenos hallar la probabilidad de que el representante del saln a) Sea hombre b) Sea mujer morena c) Sea hombre o mujer 9. Eventos Como eventos particulares tenemos el evento seguro , ya que un elemento de puede ocurrir; y el evento que se llama evento imposible, ya que un elemento de no puede ocurrir. Puesto que los eventos o sucesos son conjuntos es lgico que las proporciones relativas a eventos puedan traducirse a lenguaje de conjuntos e inversamente. En particular tenemos un algebra de eventos que corresponde al algebra de conjuntos. 10. Eventos Empleando las operaciones de conjuntos en sucesos en podemos obtener otros sucesos en . Asi si y son eventos, entonces es el evento A o B o ambos es el evento A y B es el evento no A es el evento A, pero no B Si los conjuntos correspondientes a los eventos A y B son disjuntos, es decir B = , frecuentemente decimos que los sucesos son mutuamente excluyentes. Esto quiere decir que no pueden ocurrir ambos 11. Axiomas de Probabilidad Ambos enfoques, el clsico y el de frecuencias relativas, presentan serias dificultades. El primero debido a la vaguedad de las palabras igualmente factibles y el segundo debido a la vaguedad incluida en un nmero muy grande. A causa de estas dificultades los matemticos en los ltimos aos se han orientado en un enfoque Axiomtico utilizando conjuntos. 12. Axiomas de Probabilidad Supngase que tenemos un espacio muestral . A cada evento de asociamos un numero real (), es decir es una funcin de valores reales. es llamada una funcin de probabilidad, y () la probabilidad del evento , si se satisfacen los axiomas siguientes. Axioma 1. Para cada evento A de () 0 Axioma 2. Para cada evento seguro () = 1 Axioma 3. Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes, es decir = , entonces ( ) = () + () 13. Algunos Teoremas Importantes sobre Probabilidad 0 1 () = 0 () = 1 () ( ) = () + () ( ) 14. Ejemplo Si () = 0.62, () = 0.49, () = 0.25, ( ) = 0.35, ( ) = 0.20, = 0.18, calcule ( ) = = ( ) = 15. Probabilidad Condicional (Introduccin) En una urna se tienen 9 bolas rojas, 7 azules y 8 bolas blancas. Cul es la probabilidad de que al sacar dos bolas se obtengan dos bolas blancas? a) Si al sacar la primera bola, esta se devuelve a la urna. b) Si al sacar la primera bola, esta no se devuelve. 16. Probabilidad Condicional Sean y dos sucesos tales que () > 0. Denotamos por (|) la probabilidad de dado que ha ocurrido. Puesto que se sabe que ha ocurrido, se convierte en el nuevo espacio muestral remplazando el original . De aqu llegamos a la definicin. (|) = O tambin ( ) = ()(|) En palabras, la ecuacin anterior nos dice la probabilidad de que tanto A y B ocurran simultneamente. Si = entonces se dice que y son eventos independientes entre si, es decir, la ocurrencia de no depende en nada de si ocurre o no. 17. Cual es la probabilidad de obtener una bola roja y una azul de una urna donde hay 4 bolas rojas, 6 bolas blancas y 5 bolas azules a) Con remplazo b) Sin remplazo Calcule la probabilidad de obtener dos ases al sacar dos cartas de la baraja inglesa a) Con remplazo b) Sin remplazo Si () = 0.62, () = 0.49, () = 0.25, = 0.35, ( ) = 0.20, ( ) = 0.18, calcule a) = b) = c) = 18. Teorema de Bayes Si 1, 2, 3, , son eventos mutuamente excluyentes y cuya unin es el espacio muestral . Si es otro evento cualquiera, entonces se da el siguiente teorema importante ( |) = =1 Esto nos permite hallar las probabilidades de los diferentes sucesos que pueden causar la ocurrencia de . Por esta razn con frecuencia se hace referencia al teorema de Bayes como teorema de las causas.