Estadística y Probabilidad II

Probabilidad Conjunta

Ciclo Escolar2014-2015

La Teoría de la Probabilidad

• La teoría de la probabilidad es la parte de las matemáticas que estudia los fenómenos aleatorios estocásticos (ley de probabilidad que da la evolución de un sistema depende del tiempo).

• Estos contraponen a los fenómenos determinísticos, los cuales son resultados únicos y/o previsibles de experimentos realizados bajo las mismas condiciones determinadas, por ejemplo, si se calienta el agua a 100 grados Celsius a nivel del mar se obtendrá vapor.

• Los fenómenos aleatorios (o experimentos aleatorios), por el contrario, son aquellos que se obtienen como resultados de experimentos realizados, una y otra vez, bajo las mismas condiciones determinadas pero como resultados poseen un conjunto de alternativas, por ejemplo, el lanzamiento de un dado o una moneda.

• La teoría de probabilidad da un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en cada experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso o evento es mas probable que otro.

• Ante esto podemos definir el concepto de evento de la siguiente forma:

La Teoría de Probabilidad

• Un evento es el resultado posible, o un grupo de resultados de un experimento aleatorio o proceso observado, y es considerado como la mínima unidad de análisis para efecto de calculo de probabilidades

• Los eventos para su estudio se clasifican en:

Tip

os

de

Even

tos Mutuamente excluyentes

Son aquellos que no pueden ocurrir al mismo tiempo.

IndependientesSon los eventos que no se pueden ver afectados por

otros.

DependientesCuando la probabilidad de que exista un evento afecta

la ocurrencia de otro.

No excluyentes entre siCuando la ocurrencia de un

evento no impide que suceda también otro.

Eventos complementariosCuando si uno no ocurre, forzosamente el otro si.

Espacios Muéstrales

• Espacio muestral: Un conjunto Ω que consiste en todos los resultados de un experimento aleatorio se llama un espacio muestral y cada uno de los resultados se denomina punto muestral. Con frecuencia habrá mas de un espacio muestral que describe los resultados de un experimento pero hay comúnmente sólo uno que suministra la mayoría de la información. Obsérvese que Ω corresponde al conjunto universal.

• Con esta definición de espacio muestral obtenemos pues que un evento es un subconjunto del espacio muestral.

El concepto de Probabilidad

• En cualquier experimento aleatorio siempre hay incertidumbre sobre si un suceso específico ocurrirá o no. Como medida de la oportunidad o probabilidad con la que podemos esperar que un suceso ocurra es conveniente asignar un número entre 0 y 1. Si estamos seguros de que el suceso ocurrirá decimos que su probabilidad es 100% o 1, pero si estamos seguros de que el suceso no ocurrirá decimos que su probabilidad es cero. Por ejemplo, si la probabilidad es de 1/4, diríamos que hay un 25% de oportunidad de que ocurra y un 75% de oportunidad de que no ocurra.

• Existen dos procedimientos importantes por medio de los cuales podemos obtener estimativos para la probabilidad de un suceso.

Enfoque de Probabilidad

Enfoque clássico o a priori

• Si un suceso puede ocurrir en h maneras diferentes de un número total de n maneras posibles, todos igualmente factibles, entonces la probabilidad del suceso es h/n.

Enfoque como frecuencia relativa o a posteriori.

• Si después de n repeticiones de un experimento, donde n es muy grande, un suceso ocurre h veces, entonces la probabilidad del suceso es h/n.

• Esto también se llama la probabilidad empírica del suceso.

Ejemplos

Probabilidad clásica o a priori

• Supóngase que deseamos la probabilidad de que resulte Águila en un solo lanzamiento de una moneda

Probabilidad de frecuencia relativa o a posteriori.

• Si lanzamos una moneda 1000 veces y hallamos que 532 veces resultan águilas. ¿Cuál es la probabilidad de que en el siguiente lanzamiento obtengamos águila?

Ejemplos

• Escribe el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios.– Sacar una bola de una urna donde hay 5 bolas blancas y 5 bolas negras– Los colores de un semáforo

• Determinar o estimar la probabilidad p de los siguientes sucesos– Una tirada de un dado resulte impar.– Al menos un águila en dos tiradas de una moneda.– Un As, el 10 de diamante o el 2 de picas aparezca al sacar una sola

carta de una baraja inglesa.– La suma de los puntos de dos dados sea 7.– Que aparezca un Sol en la próxima tirada de una moneda si han salido

56 águilas en 100 tiradas.

Eventos

• Como eventos particulares tenemos el evento seguro Ω, ya que un elemento de Ω puede ocurrir; y el evento ∅ que se llama evento imposible, ya que un elemento de ∅ no puede ocurrir.

• Puesto que los eventos o sucesos son conjuntos es lógico que las proporciones relativas a eventos puedan traducirse a lenguaje de conjuntos e inversamente. En particular tenemos un “algebra” de eventos que corresponde al algebra de conjuntos.

Eventos

• Empleando las operaciones de conjuntos en sucesos en Ω podemos obtener otros sucesos en Ω. Asi si 𝐴 y 𝐵son eventos, entonces𝐴 ∪ 𝐵 es el evento “A o B o ambos”

𝐴 ∩ 𝐵 es el evento “A y B”

𝐴′ es el evento “no A”

𝐴 − 𝐵 es el evento “A, pero no B”

• Si los conjuntos correspondientes a los eventos A y B son disjuntos, es decir 𝐴 ∩ B = ∅, frecuentemente decimos que los sucesos son mutuamente excluyentes. Esto quiere decir que no pueden ocurrir ambos

Axiomas de Probabilidad

• Ambos enfoques, el clásico y el de frecuencias relativas, presentan serias dificultades. El primero debido a la vaguedad de las palabras “igualmente factibles” y el segundo debido a la vaguedad incluida en un “número muy grande”.

• A causa de estas dificultades los matemáticos en los últimos años se han orientado en un enfoque Axiomático utilizando conjuntos.

Axiomas de Probabilidad• Supóngase que tenemos un espacio muestral Ω. A cada

evento 𝐴 de Ω asociamos un numero real 𝑃(𝐴), es decir 𝑃 es una función de valores reales. 𝑃 es llamada una función de probabilidad, y 𝑃(𝐴) la probabilidad del evento 𝐴, si se satisfacen los axiomas siguientes.

Axioma 1. Para cada evento A de Ω𝑃(𝐴) ≥ 0

Axioma 2. Para cada evento seguro Ω𝑃(Ω) = 1

Axioma 3. Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes, es decir 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, entonces

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)

Actividad

• Se saca al azar una bola de una caja que contiene 6 bolas rojas, 4 bolas blancas y 5 azules. Halla la probabilidad de que la bola extraída seaa) Rojab) Blancac) Azuld) No rojae) Roja o blanca

• En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, 5 alumnos rubios y 10 morenos hallar la probabilidad de que el representante del salóna) Sea hombreb) Sea mujer morenac) Sea hombre o mujer

La probabilidad de eventos “mutuamente excluyentes” y “no

excluyentes entre si”

Regla de la suma o adición

Eventos mutuamente excluyentes

𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 𝑜 𝐵= 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵

Eventos no excluyentes entre si

𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 𝑜 𝐵

= 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴 𝑦 𝐵

Ejemplos

• Calcula la probabilidad de sacar un As o una carta del palo de diamantes de una baraja inglesa.

• Calcule la probabilidad de obtener un numero par o un múltiplo de tres al lanzar un dado.

• Se numeran 10 bolas y se colocan en una urna ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una bola de la urna esta sea un múltiplo de 4 o un múltiplo de 5?

Probabilidad Condicional(Introducción)

• En una urna se tienen 9 bolas rojas, 7 azules y 8 bolas blancas. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar dos bolas se obtengan dos bolas blancas?a) Si al sacar la primera bola, esta se devuelve a la

urna.

b) Si al sacar la primera bola, esta no se devuelve.

Probabilidad Condicional

• Sean 𝐴 y 𝐵 dos sucesos tales que 𝑃(𝐴) > 0. Denotamos por 𝑃(𝐵|𝐴) la probabilidad de 𝐵 dado que 𝐴 ha ocurrido. Puesto que se sabe que 𝐴 ha ocurrido, se convierte en el nuevo espacio muestral remplazando el original Ω. De aquí llegamos a la definición.

𝑃(𝐵|𝐴) =𝑃 𝐴 ∩ 𝐵

𝑃 𝐴

• O también

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵|𝐴)

• En palabras, la ecuación anterior nos dice la probabilidad de que tanto A y B ocurran simultáneamente.

• Si 𝑃 𝐵 𝐴 = 𝑃 𝐵 entonces se dice que 𝐴 y 𝐵 son eventos independientes entre si, es decir, la ocurrencia de 𝐵 no depende en nada de si ocurre 𝐴 o no.

La probabilidad de eventos “Dependientes” e “Independientes”

Regla de la multiplicación

Eventos Independientes

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 𝑦 𝐵= 𝑃 𝐴 ⋅ 𝑃 𝐵

Eventos Dependientes

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 𝑦 𝐵= 𝑃 𝐴 ⋅ 𝑃 𝐵|𝐴

• Cual es la probabilidad de obtener una bola roja y luego una azul de una urna donde hay 4 bolas rojas, 6 bolas blancas y 5 bolas azules.

a) Con remplazo

b) Sin remplazo

• Calcule la probabilidad de obtener dos ases al sacar dos cartas de la baraja inglesa

a) Con remplazo

b) Sin remplazo

Ejemplos

• De una baraja española (4 palos con 12 valores) se extraen simultáneamente dos cartas. Calcular la probabilidad de que:a) Las dos sean copasb) Al menos una sea copasc) Una sea copa y la otra espada

• Una clase consta de 6 niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de:a) Seleccionar tres niños

b) Seleccionar exactamente 2 niños y 1 niña

c) Seleccionar exactamente 1 niño y 2 niñas

d) Seleccionar al menos un niño

La probabilidad de eventos “Complementarios”

Regla del complemento

Eventos Complementarios

𝑃 𝐴′ = 𝑃 𝑁𝑜 𝐴 = 1 − 𝑃 𝐴

• La probabilidad de que un vendedor de electrodoméstico venda un producto en una visita es de 0.23, ¿cual es la probabilidad de que en una visita no se realice la venta?

• En un tiro de penal, la probabilidad de que se anote gol es de 0.87 ¿Cuál es la probabilidad de que no sea gol?

Teorema de Bayes

• Si 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, … , 𝐴𝑛 son eventos mutuamente excluyentes y cuya unión es el espacio muestral Ω. Si 𝐵 es otro evento cualquiera, entonces se da el siguiente teorema importante

𝑃(𝐴𝑘|𝐵) =𝑃 𝐴𝑘 𝑃 𝐵 𝐴𝑘

𝑗=1𝑛 𝑃 𝐴𝑗 𝑃 𝐵 𝐴𝑗

• Esto nos permite hallar las probabilidades de los diferentes sucesos que pueden causar la ocurrencia de 𝐵.

• Por esta razón con frecuencia se hace referencia al teorema de Bayes como teorema de las causas.