Probabilidad Conjunta

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Diapositivas del curso de Probabilidad y Estadística en la Prepa-UVAQ campus Santo Tomas Moro. Vemos nociones básicas de probabilidad como los conceptos mas importantes de ella y de como calcularlo. Incluye el árbol de probabilidad, enfoques de probabilidad, así como axiomas de probabilidad, probabilidad condicional y teorema de Bayes.

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  • Estadstica y Probabilidad II

    Probabilidad Conjunta

    Ciclo Escolar2014-2015

  • La Teora de la Probabilidad

    La teora de la probabilidad es la parte de las matemticas que estudia los fenmenos aleatorios estocsticos (ley de probabilidad que da la evolucin de un sistema depende del tiempo).

    Estos contraponen a los fenmenos determinsticos, los cuales son resultados nicos y/o previsibles de experimentos realizados bajo las mismas condiciones determinadas, por ejemplo, si se calienta el agua a 100 grados Celsius a nivel del mar se obtendr vapor.

    Los fenmenos aleatorios (o experimentos aleatorios), por el contrario, son aquellos que se obtienen como resultados de experimentos realizados, una y otra vez, bajo las mismas condiciones determinadas pero como resultados poseen un conjunto de alternativas, por ejemplo, el lanzamiento de un dado o una moneda.

    La teora de probabilidad da un cierto nmero a cada posible resultado que pueda ocurrir en cada experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso o evento es mas probable que otro.

    Ante esto podemos definir el concepto de evento de la siguiente forma:

  • La Teora de Probabilidad

    Un evento es el resultado posible, o un grupo de resultados de un experimento aleatorio o proceso observado, y es considerado como la mnima unidad de anlisis para efecto de calculo de probabilidades

    Los eventos para su estudio se clasifican en:

    Tip

    os

    de

    Even

    tos Mutuamente excluyentes Son aquellos que no pueden ocurrir al mismo tiempo.

    IndependientesSon los eventos que no se pueden ver afectados por

    otros.

    DependientesCuando la probabilidad de que exista un evento afecta

    la ocurrencia de otro.

    No excluyentes entre siCuando la ocurrencia de un

    evento no impide que suceda tambin otro.

    Eventos complementariosCuando si uno no ocurre, forzosamente el otro si.

  • Espacios Mustrales

    Espacio muestral: Un conjunto que consiste en todos los resultados de un experimento aleatorio se llama un espacio muestral y cada uno de los resultados se denomina punto muestral. Con frecuencia habr mas de un espacio muestral que describe los resultados de un experimento pero hay comnmente slo uno que suministra la mayora de la informacin. Obsrvese que corresponde al conjunto universal.

    Con esta definicin de espacio muestral obtenemos pues que un evento es un subconjunto del espacio muestral.

  • El concepto de Probabilidad

    En cualquier experimento aleatorio siempre hay incertidumbre sobre si un suceso especfico ocurrir o no. Como medida de la oportunidad o probabilidad con la que podemos esperar que un suceso ocurra es conveniente asignar un nmero entre 0 y 1. Si estamos seguros de que el suceso ocurrir decimos que su probabilidad es 100% o 1, pero si estamos seguros de que el suceso no ocurrir decimos que su probabilidad es cero. Por ejemplo, si la probabilidad es de 1/4, diramos que hay un 25% de oportunidad de que ocurra y un 75% de oportunidad de que no ocurra.

    Existen dos procedimientos importantes por medio de los cuales podemos obtener estimativos para la probabilidad de un suceso.

  • Enfoque de Probabilidad

    Enfoque clssico o a priori

    Si un suceso puede ocurrir en h maneras diferentes de un nmero total de n maneras posibles, todos igualmente factibles, entonces la probabilidad del suceso es h/n.

    Enfoque como frecuencia relativa o a posteriori.

    Si despus de n repeticiones de un experimento, donde n es muy grande, un suceso ocurre h veces, entonces la probabilidad del suceso es h/n.

    Esto tambin se llama la probabilidad emprica del suceso.

  • Ejemplos

    Probabilidad clsica o a priori

    Supngase que deseamos la probabilidad de que resulte guila en un solo lanzamiento de una moneda

    Probabilidad de frecuencia relativa o a posteriori.

    Si lanzamos una moneda 1000 veces y hallamos que 532 veces resultan guilas. Cul es la probabilidad de que en el siguiente lanzamiento obtengamos guila?

  • Ejemplos

    Escribe el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios. Sacar una bola de una urna donde hay 5 bolas blancas y 5 bolas negras Los colores de un semforo

    Determinar o estimar la probabilidad p de los siguientes sucesos Una tirada de un dado resulte impar. Al menos un guila en dos tiradas de una moneda. Un As, el 10 de diamante o el 2 de picas aparezca al sacar una sola

    carta de una baraja inglesa. La suma de los puntos de dos dados sea 7. Que aparezca un Sol en la prxima tirada de una moneda si han salido

    56 guilas en 100 tiradas.

  • Eventos

    Como eventos particulares tenemos el evento seguro , ya que un elemento de puede ocurrir; y el evento que se llama evento imposible, ya que un elemento de no puede ocurrir.

    Puesto que los eventos o sucesos son conjuntos es lgico que las proporciones relativas a eventos puedan traducirse a lenguaje de conjuntos e inversamente. En particular tenemos un algebra de eventos que corresponde al algebra de conjuntos.

  • Eventos

    Empleando las operaciones de conjuntos en sucesos en podemos obtener otros sucesos en . Asi si y son eventos, entonces es el evento A o B o ambos

    es el evento A y B

    es el evento no A

    es el evento A, pero no B

    Si los conjuntos correspondientes a los eventos A y B son disjuntos, es decir B = , frecuentemente decimos que los sucesos son mutuamente excluyentes. Esto quiere decir que no pueden ocurrir ambos

  • Axiomas de Probabilidad

    Ambos enfoques, el clsico y el de frecuencias relativas, presentan serias dificultades. El primero debido a la vaguedad de las palabras igualmente factibles y el segundo debido a la vaguedad incluida en un nmero muy grande.

    A causa de estas dificultades los matemticos en los ltimos aos se han orientado en un enfoque Axiomtico utilizando conjuntos.

  • Axiomas de Probabilidad Supngase que tenemos un espacio muestral . A cada

    evento de asociamos un numero real (), es decir es una funcin de valores reales. es llamada una funcin de probabilidad, y () la probabilidad del evento , si se satisfacen los axiomas siguientes.

    Axioma 1. Para cada evento A de () 0

    Axioma 2. Para cada evento seguro () = 1

    Axioma 3. Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes, es decir = , entonces

    ( ) = () + ()

  • Actividad

    Se saca al azar una bola de una caja que contiene 6 bolas rojas, 4 bolas blancas y 5 azules. Halla la probabilidad de que la bola extrada seaa) Rojab) Blancac) Azuld) No rojae) Roja o blanca

    En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, 5 alumnos rubios y 10 morenos hallar la probabilidad de que el representante del salna) Sea hombreb) Sea mujer morenac) Sea hombre o mujer

  • La probabilidad de eventos mutuamente excluyentes y no

    excluyentes entre si

    Regla de la suma o adicin

    Eventos mutuamente excluyentes

    = = +

    Eventos no excluyentes entre si

    =

    = +

  • Ejemplos

    Calcula la probabilidad de sacar un As o una carta del palo de diamantes de una baraja inglesa.

    Calcule la probabilidad de obtener un numero par o un mltiplo de tres al lanzar un dado.

    Se numeran 10 bolas y se colocan en una urna Cul es la probabilidad de que al sacar una bola de la urna esta sea un mltiplo de 4 o un mltiplo de 5?

  • Probabilidad Condicional(Introduccin)

    En una urna se tienen 9 bolas rojas, 7 azules y 8 bolas blancas. Cul es la probabilidad de que al sacar dos bolas se obtengan dos bolas blancas?a) Si al sacar la primera bola, esta se devuelve a la

    urna.

    b) Si al sacar la primera bola, esta no se devuelve.

  • Probabilidad Condicional

    Sean y dos sucesos tales que () > 0. Denotamos por (|) la probabilidad de dado que ha ocurrido. Puesto que se sabe que ha ocurrido, se convierte en el nuevo espacio muestral remplazando el original . De aqu llegamos a la definicin.

    (|) =

    O tambin

    ( ) = ()(|)

    En palabras, la ecuacin anterior nos dice la probabilidad de que tanto A y B ocurran simultneamente.

    Si = entonces se dice que y son eventos independientes entre si, es decir, la ocurrencia de no depende en nada de si ocurre o no.

  • La probabilidad de eventos Dependientes e Independientes

    Regla de la multiplicacin

    Eventos Independientes

    = =

    Eventos Dependientes

    = = |

  • Cual es la probabilidad de obtener una bola roja y luego una azul de una urna donde hay 4 bolas rojas, 6 bolas blancas y 5 bolas azules.

    a) Con remplazo

    b) Sin remplazo

    Calcule la probabilidad de obtener dos ases al sacar dos cartas de la baraja inglesa

    a) Con remplazo

    b) Sin remplazo

  • Ejemplos

    De una baraja espaola (4 palos con 12 valores) se extraen simultneamente dos cartas. Calcular la probabilidad de que:a) Las dos sean copasb) Al menos una sea copasc) Una sea copa y la otra espada

    Una clase consta de 6 nias y 10 nios. Si se escoge un comit de tres al azar, hallar la probabilidad de:a) Seleccionar tres nios

    b) Seleccionar exactamente 2 nios y 1 nia

    c) Seleccionar exactamente 1 nio y 2 nias

    d) Seleccionar al menos un nio

  • La probabilidad de eventos Complementarios

    Regla del complemento

    Eventos Complementarios

    = = 1

  • La probabilidad de que un vendedor de electrodomstico venda un producto en una visita es de 0.23, cual es la probabilidad de que en una visita no se realice la venta?

    En un tiro de penal, la probabilidad de que