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Probabilidad de Poker (Texas hold 'em)De Wikipedia, la enciclopedia libre

En el poker , la probabilidad de muchos eventos se puede determinar por cálculo directo. Este artículo aborda calcular probabilidades para muchos acontecimientosque ocurren comúnmente en el juego de Texas Hold 'em y ofrece algunas probabilidades y las probabilidades [ Nota 1 ] para situaciones específicas. En la mayoría delos casos, las probabilidades y las probabilidades son aproximaciones debido a redondeo .

En el cálculo de probabilidades para un juego de cartas como Texas Hold 'em, hay dos enfoques básicos. El primer enfoque es determinar el número de resultados quesatisfacen la condición que se está evaluando y se dividen por el número total de posibles resultados . Por ejemplo, hay seis resultados (para ignorar) para ser tratado unpar de ases en Hold 'em: A ♠ A ♥ , A ♠ A ♦ , A ♠ A ♣ , A ♥ A ♦ , A ♥ A ♣ y A ♦ A ♣ . Hay 52 maneras de elegir la primera tarjeta y 51 maneras de elegirla segunda tarjeta y dos formas de ordenar las dos tarjetas que producen resultados posibles cuando se reparten dos cartas (también haciendo casoomiso de la orden). Esto le da una probabilidad de obtener dos ases de .

El segundo enfoque consiste en utilizar las probabilidades condicionales , o en situaciones más complejas, un árbol de decisiones . Existen 4 maneras a tratar un as de52 opciones para la primera tarjeta que resulta en una probabilidad de Hay 3 maneras de conseguir ocupado un as de 51 opciones en la segunda tarjetadespués de haber sido tratado un as en la primera tarjeta de probabilidad de que este valor es la probabilidad condicional de que segunda carta repartida es unas, dada la condición de que la primera carta repartida es un as. La probabilidad conjunta de ser tratado dos ases es el producto de las dos probabilidades:

A menudo, la clave para determinar la probabilidad es seleccionar el mejor enfoque para un problema dado. Este artículo utiliza los dos enfoques.

Contenido1 Manos iniciales

1.1 Manos iniciales presiones hasta1.1.1 Cabeza a cabeza partida duelos mano

1.2 A partir manos contra varios oponentes1.3 manos dominadas

1.3.1 pares de bolsillo1.3.2 Las manos con un as

2 El flop2.1 Flopping overcards al sostener una pareja de mano

3 Después del flop - salidas3.1 Estimación de la probabilidad de salidas de dibujo - La regla de cuatro y dos3.2 Runner-corredor outs

3.2.1 outs comunes3.2.2 outs disjuntos3.2.3 Las salidas compuestas

4 Véase también5 Notas6 Referencias7 Enlaces externos

Manos inicialesLa probabilidad de obtener varias manos iniciales se puede calcular de forma explícita. En Texas Hold'em, un jugador se le reparten dos abajo (o agujero o bolsillo )tarjetas. La primera tarjeta puede ser cualquiera de los 52 naipes de la baraja y la segunda tarjeta puede ser cualquiera de las 51 cartas restantes. Esto le da a 52 × 51 ÷ 2= 1.326 combinaciones posibles manos iniciales. (Dado que el orden en el que recibe las dos primeras cartas no es significativo, las 2652 permutaciones son divididaspor las 2 formas de ordenar dos cartas.) Por otra parte, el número de posibles manos iniciales es representado como el coeficiente binomial

que es el número de posibles combinaciones de elegir 2 cartas de una baraja de 52 cartas de juego.

Los 1.326 manos iniciales se pueden reducir los efectos de determinar la probabilidad de manos iniciales de Hold 'em-desde trajes no tienen valor relativo en el póquer,muchas de estas manos son idénticas en valor antes del Flop . Los únicos factores que determinan la fuerza de una mano inicial son las filas de las tarjetas y si las cartastienen el mismo traje. De las combinaciones 1326, hay 169 diferentes manos iniciales agrupados en tres formas: 13 pares de bolsillo (hole cards pares), 13 × 12 ÷ 2 =78 manos del mismo palo y 78 manos inadecuadas, 13 + 78 + 78 = 169. La probabilidad relativa de ser tratado de una mano de cada forma determinada es diferente.A continuación se muestran las probabilidades y las probabilidades de ser tratado cada tipo de mano inicial.

Forma de la manoNúmero

demanos

Combinaciones de trajepara cada mano Combinaciones

Parte específica que es objeto Que es objeto de ningunaparte

Probabilidad Posibilidades Probabilidad Posibilidades

Pocket pair 13 13 × 6 = 78 221: 1 17: 1

Cartas del mismo palo 78 78 × 4 = 312 331: 1 3,25: 1

Cartas de diferente palo noapareados 78 78 × 12 = 936 110: 1 1,417: 1

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Aquí están las probabilidades y las probabilidades de ser tratado otros tipos de manos iniciales.

Mano Probabilidad PosibilidadesQA (o cualquier cartas del mismo palo específicos) 0.00302 331: 1AA (o cualquier par específico) 0.00452 221: 1AKs, KQs, QJs o JTS (cartas del mismo palo) 0.0121 81.9: 1AK (o cualquier falta de par específico incl. Suited) 0.0121 81.9: 1AA, KK, o QQ 0.0136 72.7: 1AA, KK, QQ o JJ 0.0181 54,3: 1Cartas del mismo palo, jack o mejor 0.0181 54,3: 1AA, KK, QQ, JJ, o TT 0.0226 43.2: 1Cartas del mismo palo, 10 o mejor 0.0302 32.2: 1Conectores del mismo palo 0.0392 24.5: 1Tarjetas conectadas, 10 o mejor 0.0483 19.7: 1Cualquiera 2 tarjetas con rango, al menos, la reina 0.0498 19.1: 1Cualquiera 2 tarjetas con rango al menos jack 0.0905 10.1: 1Cualquiera 2 tarjetas con rango, al menos, 10 0.143 5,98: 1Tarjetas conectados (tarjetas de rango consecutivo) 0.157 5,38: 1Cualquiera 2 tarjetas con rango, al menos, 9 0.208 3,81: 1No conectado ni adecuado, al menos un 2-9 0.534 0,873: 1

Manos iniciales cabezas hasta

Para cualquier mano inicial dado, hay 50 × 49 ÷ 2 = 1.225 manos que un oponente puede tener antes del flop. (Después del flop, el número de posibles manos de unoponente puede tener se reduce en las tres tarjetas de la comunidad revelados en el flop de 47 × 46 ÷ 2 = 1.081 manos.) Por lo tanto, hay

posibles duelos de cabeza a cabeza en Hold 'em. (El número total de duelos se divide entre las dos formas en que las dos manos pueden distribuirse entre dos jugadorespara dar el número de duelos singulares.) Sin embargo, ya que sólo hay 169 manos iniciales distintas, hay 169 × 1225 = 207025 distintos partidos cabeza a cabeza ups.[ Nota 2 ]

Es útil saber cómo dos manos iniciales compiten entre sí cara a cara antes del flop. En otras palabras, se supone que ninguna mano se doblará, y vamos a ver unenfrentamiento. Esta situación ocurre a menudo en no-limit y torneos. Además, el estudio de estas probabilidades ayuda a demostrar el concepto de dominación mano ,lo cual es importante en todos los juegos de cartas comunitarias.

Este problema es considerablemente más complicada que la determinación de la frecuencia de las manos repartidas. Para ver por qué, tenga en cuenta que dado dosmanos, hay 48 cartas no vistas restantes. De estas 48 cartas, se puede elegir cualquier 5 para hacer una tabla. Por lo tanto, hay

posibles tablas que pueden caer. Además de determinar el número exacto de tablas que dan la victoria a cada jugador, también hay que tener en cuenta los consejosque se reparten el bote, y dividir el número de estas tarjetas entre los jugadores.

El problema es trivial para los ordenadores para resolver por la búsqueda de fuerza bruta , hay muchos programas de software disponibles que calcular lasprobabilidades en segundos.

Cabeza a cabeza partida duelos mano

Al comparar dos manos iniciales, el head-to-head probabilidad describe la probabilidad de un lado al otro después de vencer todas las cartas han salido. Probabilidadescabeza a cabeza varían ligeramente distinta para cada partido en particular mano inicial, pero las probabilidades promedio aproximados, dado por Dan Harrington enHarrington on Hold'em [p. 125], se resumen en la siguiente tabla.

Favorito a perdedor partido Probabilidad Las probabilidades dePar vs 2 tarjetas no 0.83 4,9: 1Par vs par inferior 0.82 4,5: 1Par vs 1 carta alta, 1 cartelera 0.71 2.5: 12 vs 2 overcards carteleras 0.63 1,7: 1Par vs 2 overcards 0.55 1,2: 1

Estas cifras son aproximaciones generales sólo derivados de un promedio de todos los duelos mano en cada categoría. Las probabilidades de cabeza-a-cabeza realespara cualquiera de las dos manos iniciales varían en función de un número de factores, incluyendo:

Palo o no las manos iniciales;Trajes compartidas entre manos iniciales;La conectividad de la no-pair manos iniciales;La proximidad de los rangos de tarjetas entre las manos iniciales (disminución potencial recto);La proximidad de las filas de la tarjeta hacia A o 2 (reducción potencial recto);Posibilidad de división del bote.

Un ejercicio algo menos trivial es un análisis exhaustivo de todos los duelos de cabeza a cabeza en Texas Hold 'em, el cual requiere laevaluación de cada pensión posible para cada uno distinto de cabeza a cabeza coinciden, o 1.712.304 x 207.025 = 354489735600 ( ≈ 354 millones de dólares ) losresultados. [ Nota 2 ]

A  somewhat  less  trivial  exercise  is  an  exhaustive  analysis  of  all  ofthe  head­to­head  match  ups  in  Texas  Hold  'em,  which  requiresevaluating each possible board  for each distinct head­to­head matchup, or 1,712,304 × 207,025 = 354,489,735,600 (≈354 billion ) results. [Note 2 ]

Sugiere una traducción mejor

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Por ejemplo, A ♠ A ♣ vs K ♠ Q ♣ es 87,65% para ganar (0,49% para dividir), pero A ♠ A ♣ vs 7 ♦ 6 ♦ es 76,81% para ganar (0,32% para dividir).

La matemática para el cálculo de todos los emparejamientos posibles es simple. Sin embargo, el cálculo es tedioso para llevar a cabo a mano. Un programa decomputadora puede llevar a cabo una evaluación de la fuerza bruta de las posibles juntas 1712304 para cualquier par dado de manos iniciales en segundos.

Comenzando manos contra múltiples oponentes

Cuando se enfrenta a dos adversarios, para cualquier mano inicial, dado el número de combinaciones posibles de las manos de los oponentes pueden tener es

manos. Para el cálculo de probabilidades se puede ignorar la distinción entre los dos oponentes que sostienen un ♠ J ♥ y 8 ♥ 8 ♣ y los opositores que sostienen 8 ♥ 8 ♣ y A ♠ J ♥ . El número de formas en que las manos pueden ser distribuidos entre los oponentes es (el factorial de n). Así que el número de combinacionesde manos únicas contra dos oponentes es

y contra tres oponentes es

y en contra de los opositores es

o alternativamente

donde es el número de formas de distribuir las tarjetas entre las manos de dos cartas cada uno. [ Nota 3 ] [ ¡ es el factorial doble operador: (2n-1)! No es((2n-1)!)!.] La siguiente tabla muestra el número de combinaciones de manos para un máximo de nueve opositores.

Opositores Número de posibles combinaciones de manos1 12252 6909003 2383605004 563722582505 ≈ 9,7073 × 10 12 (más de 9 billones de dólares )6 ≈ 1,2620 × 10 15 (más de 1 mil billones )7 ≈ 1,2674 × 10 17 (más de 126 billones)8 ≈ 9,9804 × 10 18 (casi 10 trillones )9 ≈ 6,2211 × 10 20 (más de 622 trillones)

Un análisis exhaustivo de todos los duelos en Texas Hold 'em de un jugador contra nueve oponentes requiere la evaluación de cada pensión posible para cada manoinicial distinta contra cada posible combinación de manos en manos de nueve opositores, que es

(Más de 21 octillion ).

Si fueron capaces de evaluar a un billón (10 12 ) combinaciones por segundo, tardaría más de 670 millones de años para evaluar todas las combinaciones de manos /tabla. Si bien es posible reducir significativamente el número total de combinaciones de poda combinaciones con propiedades idénticas, el número total de situacioneses todavía mucho más allá de la cantidad que puede ser evaluada por la fuerza bruta. Por esta razón, la mayoría de los programas de software de calcularprobabilidades y los valores esperados de Hold 'em manos de poker contra múltiples oponentes por simular el juego de miles o incluso millones de manos paradeterminar probabilidades estadísticas .

Manos dominadas

Al evaluar una mano antes del flop, es útil tener una idea de qué tan probable es la parte dominada . Una mano dominada es una mano que es golpeado por otro lado(el dominante mano) y es poco probable que gane en su contra. A menudo, la parte dominada sólo tiene una parada de una sola tarjeta que puede mejorar la partedominada por batir el dominante mano (sin contar las escaleras y colores). Por ejemplo, KJ está dominado por KQ -dos manos comparten el rey y la reina pateadorestá latiendo el pateador jack. Salvo una escalera o un color, el KJ se necesita un conector en el tablero para mejorar contra el KQ (y todavía estaría perdiendo si unareina aparece en la tarjeta junto con el gato). Una pareja de mano está dominada por una pareja de mano de rango superior.

Pares de bolsillo

Salvo una escalera o un color, una pareja de mano tiene que hacer un trío para vencer a una pareja de mano superior. Consulte la sección " Después del fracaso "de lasposibilidades de una pareja de mano y mejoró a un trío.

Para calcular la probabilidad de que otro jugador tiene una pareja de mano superior, primero considere el caso contra un solo oponente. La probabilidad de que un solooponente tiene un par más alto se puede afirmar que la probabilidad de que la primera carta repartida al oponente es un rango más alto que la pareja de mano y lasegunda carta es del mismo valor que la primera. ¿Dónde es el rango de la pareja de mano (asignación de valores 2-10 y J-A = 11-14), hay (14 - r ) x 4 tarjetas derango superior. Restando las dos cartas para la pareja de mano deja 50 cartas de la baraja. Después de la primera carta es repartida al jugador hay 49 cartas que quedan,3 de las cuales son del mismo rango que el primero. Así que la probabilidad de un solo oponente está tratando una pareja de mano superior es

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El siguiente enfoque se extiende esta ecuación para calcular la probabilidad de que uno o más de otros jugadores tiene un par de bolsillo superior.

1. Multiplique la probabilidad de base para un solo jugador para un rango determinado de parejas de mano por el número de oponentes en la mano;2. Reste la probabilidad ajustada de que más de un oponente tiene una pareja de mano superior. (Esto es necesario porque esta probabilidad efectivamente se suma

al cálculo varias veces al multiplicar el resultado de un solo jugador.)

Donde es el número de otros jugadores todavía en la mano y es la probabilidad ajustada que varios oponentes tienen pares de bolsillo más altos, entonces laprobabilidad de que al menos uno de ellos tiene un par de bolsillo superior es

El cálculo depende del rango de par en mano de los jugadores, pero se puede generalizar como

que es la probabilidad de que exactamente dos jugadores tienen un par más alto, es la probabilidad de que tres jugadores tienen un par más alto, etc En lapráctica, incluso con bolsillo 2 s contra 9 oponentes, y , por lo que sólo el cálculo y da una adecuada resultado preciso.

La siguiente tabla muestra la probabilidad de que antes del flop otro jugador tiene una pareja de mano mayor cuando hay ocho y cincuenta y nueve otros jugadores enla mano.

Probabilidad de enfrentar a un par más grande al sostener Contra 1 Contra 2 Contra 3 Contra 4 Contra 5 Contra 6 Contra 7 Contra 8 Contra 9

KK 0.0049 0.0098 0.0147 0.0196 0.0244 0.0293 0.0342 0.0391 0.0439QQ 0.0098 0.0195 0.0292 0.0388 0.0484 0.0579 0.0673 0.0766 0.0859JJ 0.0147 0.0292 0.0436 0.0577 0.0717 0.0856 0.0992 0.1127 0.1259TT 0.0196 0.0389 0.0578 0.0764 0.0946 0.1124 0.1299 0.1470 0.163799 0.0245 0.0484 0.0718 0.0946 0.1168 0.1384 0.1593 0.1795 0.199088 0.0294 0.0580 0.0857 0.1125 0.1384 0.1634 0.1873 0.2101 0.231877 0.0343 0.0674 0.0994 0.1301 0.1595 0.1874 0.2138 0.2387 0.261966 0.0392 0.0769 0.1130 0.1473 0.1799 0.2104 0.2389 0.2651 0.289055 0.0441 0.0862 0.1263 0.1642 0.1996 0.2324 0.2623 0.2892 0.312944 0.0490 0.0956 0.1395 0.1806 0.2186 0.2532 0.2841 0.3109 0.333433 0.0539 0.1048 0.1526 0.1967 0.2370 0.2729 0.3040 0.3300 0.350322 0.0588 0.1141 0.1654 0.2124 0.2546 0.2914 0.3222 0.3464 0.3633

La siguiente tabla muestra la probabilidad de que una mano se enfrenta a dos o más pares más grandes antes del flop. A partir de las ecuaciones anteriores, laprobabilidad se calcula como

Probabilidad de enfrentar varios pares más grandes al sostener Contra 2 Contra 3 Contra 4 Contra 5 Contra 6 Contra 7 Contra 8 Contra 9

KK <0.00001 0.00001 0.00003 0.00004 0.00007 0.00009 0.00012 0.00016QQ 0.00006 0.00018 0.00037 0.00061 0.00091 0.00128 0.00171 0.00220JJ 0.00017 0.00051 0.00102 0.00171 0.00257 0.00360 0.00482 0.00621TT 0.00033 0.00099 0.00200 0.00335 0.00504 0.00709 0.00950 0.0122699 0.00054 0.00164 0.00330 0.00553 0.00836 0.01177 0.01580 0.0204588 0.00081 0.00244 0.00493 0.00828 0.01253 0.01769 0.02378 0.0308477 0.00112 0.00341 0.00689 0.01160 0.01758 0.02487 0.03351 0.0435366 0.00149 0.00454 0.00918 0.01550 0.02353 0.03335 0.04503 0.0586155 0.00191 0.00583 0.01182 0.01998 0.03040 0.04318 0.05840 0.0761944 0.00239 0.00728 0.01480 0.02506 0.03821 0.05438 0.07371 0.0963533 0.00291 0.00890 0.01812 0.03075 0.04698 0.06699 0.09099 0.1191922 0.00349 0.01068 0.02180 0.03706 0.05673 0.08107 0.11034 0.14484

Desde una perspectiva práctica, sin embargo, las probabilidades de salir dibujando un par de mano única o múltiples parejas de mano no son muy diferentes. En amboscasos, la gran mayoría de las manos ganadoras requiere una de las otras dos cartas necesarias para hacer un trío . La diferencia real contra múltiples overpairs seconvierte en la mayor probabilidad de que uno de los overpairs también hará un trío.

Manos con un as

Cuando la celebración de un solo as (denominado Ax ), es útil saber qué tan probable es que otro jugador tiene una mejor ace -un as con una segunda carta más alta,ya que un as débil está dominado por una mejor ace. La probabilidad de que un solo oponente tiene una mejor as es la probabilidad que tiene ya sea AA o Ax , dondex es un rango que no sea as que es más alta que la segunda carta del jugador. Al sostener Ax , la probabilidad de que un solo jugador elegido tiene AA es

. En el caso de una mesa con oponentes, la probabilidad de que uno de ellos en posesión de AA es . Si el jugadortiene Ax contra 9 oponentes, existe una probabilidad de aproximadamente 0,0218 que un oponente tiene AA .

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Cuando es el rango 2-K de la segunda tarjeta (la asignación de valores a partir de 2-10 y J-K = 11-13) la probabilidad de que un solo oponente tiene una mejor as secalcula por la fórmula

La probabilidad de que un jugador tenga Ay , donde Y es un rango tal que x < y <= K , se multiplica por las dos formas de ordenar las tarjetas A y Yen la mano.

La siguiente tabla muestra la probabilidad de que antes del flop otro jugador tiene un as con un kicker grande en la mano.

Probabilidad de enfrentar un as con mayor golpeador al sostener Contra 1 Contra 2 Contra 3 Contra 4 Contra 5 Contra 6 Contra 7 Contra 8 Contra 9

Alaska 0.00245 0.00489 0.00733 0.00976 0.01219 0.01460 0.01702 0.01942 0.02183AQ 0.01224 0.02434 0.03629 0.04809 0.05974 0.07126 0.08263 0.09386 0.10496AJ 0.02204 0.04360 0.06468 0.08529 0.10545 0.12517 0.14445 0.16331 0.18175AT 0.03184 0.06266 0.09250 0.12139 0.14937 0.17645 0.20267 0.22805 0.25263A9 0.04163 0.08153 0.11977 0.15642 0.19154 0.22520 0.25745 0.28837 0.31799A8 0.05143 0.10021 0.14649 0.19038 0.23202 0.27152 0.30898 0.34452 0.37823A7 0.06122 0.11870 0.17266 0.22331 0.27086 0.31550 0.35741 0.39675 0.43369A6 0.07102 0.13700 0.19829 0.25523 0.30812 0.35726 0.40291 0.44531 0.48471A5 0.08082 0.15510 0.22338 0.28615 0.34384 0.39687 0.44561 0.49041 0.53160A4 0.09061 0.17301 0.24795 0.31609 0.37806 0.43442 0.48567 0.53227 0.57465A3 0.10041 0.19073 0.27199 0.34509 0.41085 0.47000 0.52322 0.57109 0.61416A2 0.11020 0.20826 0.29552 0.37315 0.44223 0.50370 0.55840 0.60706 0.65037

El flopEl valor de una mano de inicio puede cambiar drásticamente después del flop. A pesar de la resistencia inicial, cualquier mano puede flop frutos secos , por ejemplo, siel flop viene con tres 2 s, cualquier mano que sostiene el cuarto 2 tiene las tuercas. Por el contrario, el flop puede socavar la fuerza percibida de cualquier mano unjugador que tiene una ♣ A ♥ no sería feliz de ver 8 ♠ 9 ♠ 10 ♠ en el flop, debido a las posibilidades de escalera y color.

Hay

posibles fracasos para cualquier mano inicial dado. Por la vuelta el número total de combinaciones se ha incrementado a

y en el río hay

posibles tablas que van de la mano.

Las siguientes son algunas probabilidades generales sobre lo que puede ocurrir en el tablero. Estos asumen un " al azar "mano de partida para el jugador.

Junta Directiva formada porHacer el fracaso Hacer por turno Hacer por el río

Prob.. Posibilidades Prob.. Posibilidades Prob.. PosibilidadesTres o más del mismo palo (otro juego puede tener dos) 0.05177 18.3: 1 0.17537 4,70: 1 0.37107 1,69: 1Cuatro o más del mismo palo 0.01056 93.7: 1 0.04490 21.3: 1Fracaso del arco iris (todos los palos diferentes) 0.39765 1,51: 1 0.10550 8,48: 1Tres cartas de rango consecutivo (pero no cuatro consecutivos) 0.03475 27.8: 1 0.10544 8,48: 1 0.19910 4,02: 1Cuatro cartas para una escalera (pero no cinco) 0.01040 95.1: 1 0.03763 25.6: 1Tres o más cartas de rango consecutivo y del mismo palo 0.00217 459: 1 0.00675 147: 1 0.01305 75.6: 1Tres de una clase (pero no una casa completa o cuatro de una clase) 0.00235 424: 1 0.00922 107: 1 0.02113 46.3: 1Un par (pero no dos pares o tres o cuatro de una clase) 0.16941 4,90: 1 0.30425 2,29: 1 0.42257 1,37: 1Dos pares (pero no una casa llena) 0.01037 95.4: 1 0.04754 20.0: 1

Se puede ver en la tabla anterior que más del 60% de los fracasos tendrá por lo menos dos del mismo palo.

Flopping overcards teniendo un par de bolsillo

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También es útil examinar las posibilidades diferentes manos iniciales tienen ya sea la mejora en el flop, o de debilitamiento en el flop. Cuando la celebración de unapareja de mano, tarjetas de mayor rango que el par debilitan la mano debido a la posibilidad de que este tipo de tarjetas ha emparejado una tarjeta en la mano de unoponente. La mano empeora las más de estas tarjetas no están en el tablero y los más opositores que están en la mano, porque la probabilidad de que una de las cartasmás altas ha emparejado un aumento de tarjeta del agujero. Para calcular la probabilidad de que no overcard, tome el número total de resultados sin overcard divididopor el número total de resultados.

Cuando es el rango 3-K de la pareja de mano (asignación de valores 3-10 y J-K = 11-13), a continuación, el número de cartas altas es y el número detarjetas de rango o menos es . El número de resultados sin una carta mayor es el número de combinaciones que se pueden formarcon las cartas restantes, por lo que la probabilidad de una carta alta en el flop es

y en el turn y el river son

y respectivamente.

La siguiente tabla muestra la probabilidad de que no overcards vendrán en el flop, turn y river, para cada una de las parejas de mano de 3 a K .

Sosteniendo pareja de manoNo overcard de flop No overcard por turno No overcard por el río

Prob.. Posibilidades Prob.. Posibilidades Prob.. PosibilidadesKK 0.7745 0,29: 1 0.7086 0,41: 1 0.6470 0,55: 1QQ 0.5857 0,71: 1 0.4860 1,06: 1 0.4015 1,49: 1JJ 0.4304 1,32: 1 0.3205 2,12: 1 0.2369 3,22: 1TT 0.3053 2,28: 1 0.2014 3,97: 1 0.1313 6,61: 199 0.2071 3,83: 1 0.1190 7,40: 1 0.0673 13.87: 188 0.1327 6,54: 1 0.0649 14.40: 1 0.0310 31.21: 177 0.0786 11.73: 1 0.0318 30.48: 1 0.0124 79.46: 166 0.0416 23.02: 1 0.0133 74.26: 1 0.0040 246,29: 155 0.0186 52.85: 1 0.0043 229,07: 1 0.0009 1,057.32: 144 0.0061 162.33: 1 0.0009 1,095.67: 1 0.0001 8,406.78: 133 0.0010 979.00: 1 0.0001 15,352.33: 1 0.0000 353,125.67: 1

Tenga en cuenta que hay un% de probabilidad mayor del 35 que un as vendrá por el río si la celebración de reyes, y con par de reinas, las probabilidades son un pocomás a favor de un as o un rey que viene en el turn, y un total de 60% a favor de una carta mayor a la reina por el río. Con jotas, sólo hay un 43% de posibilidades deque una carta alta no vendrá en el flop y es mejor que 3: 1 que un overcard vendrá por el río.

Tenga en cuenta, sin embargo, que esas probabilidades serían menores si se considera que al menos un oponente pasa a tener una de las cartas más altas.

Después del flop - salidasDurante el juego, es decir, desde el flop y en adelante elaboración probabilidades se reducen a una cuestión de outs . Todas las situaciones que tienen el mismo númerode salidas tienen la misma probabilidad de mejorar a una mano que gana a través de cualquier parte no mejorada en manos de un oponente. Por ejemplo, una corridahacia adentro (por ejemplo 3-4-6-7 perder el 5 por una escalera), y una casa empate completa (por ejemplo, 6-6-KK sorteo de uno de los pares para convertirse en tres-de-uno- especie) son equivalentes. Cada uno puede ser satisfecho por cuatro cartas y cuatro 5 s en el primer caso, y los otros dos 6 s, y otros dos reyes en el segundo.

Las probabilidades de sacar estas salidas se calculan fácilmente. En el flop quedan 47 cartas no vistas, por lo que la probabilidad es (outs ÷ 47). A la vuelta hay 46cartas no vistas por lo que la probabilidad es (outs ÷ 46). La probabilidad acumulada de hacer una mano en el turn o el river se puede determinar como el complementode la probabilidad de no tomar la mano en la vuelta y no en el río. La probabilidad de no dibujar una salida (47 - outs) ÷ 47 en el turn y (46 - outs) ÷ 46 en el río,tomando el complemento de estas probabilidades condicionales da la probabilidad de sacar la salida por el río, que se calcula por la fórmula

Para referencia, la probabilidad y las probabilidades para algunos de los números más comunes de las salidas se dan aquí.

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Ejemplo de dibujo para OutsHacer en el turno Hacer en el río Hacer el turn o el

riverProb.. Posibilidades Prob.. Posibilidades Prob.. Posibilidades

Dentro de escalera de color , Cuatro de una clase 1 0.0213 46.0: 1 0.0217 45.0: 1 0.0426 22,5: 1Abierta escalera de color, Trío 2 0.0426 22,5: 1 0.0435 22.0: 1 0.0842 10.9: 1Alto par 3 0.0638 14.7: 1 0.0652 14.3: 1 0.1249 7,01: 1Dentro recta ; Full 4 0.0851 10,8: 1 0.0870 10.5: 1 0.1647 5,07: 1Tres de una clase o dos pares 5 0.1064 8,40: 1 0.1087 8,20: 1 0.2035 3,91: 1Cualquiera de los pares 6 0.1277 6,83: 1 0.1304 6,67: 1 0.2414 3,14: 1

Casa completa o cuatro de una clase, [A]

Dentro de par lineal o de alta 7 0.1489 5,71: 1 0.1522 5,57: 1 0.2784 2,59: 1

Escalera abierta 8 0.1702 4,88: 1 0.1739 4,75: 1 0.3145 2,18: 1Enjuagar 9 0.1915 4,22: 1 0.1957 4,11: 1 0.3497 1,86: 1Dentro recta o pareja 10 0.2128 3,70: 1 0.2174 3,60: 1 0.3839 1,60: 1De composición abierta par lineal o alta 11 0.2340 3,27: 1 0.2391 3,18: 1 0.4172 1,40: 1Dentro de escalera o color, par Flush o alto 12 0.2553 2,92: 1 0.2609 2,83: 1 0.4496 1,22: 1

13 0.2766 2,62: 1 0.2826 2,54: 1 0.4810 1,08: 1Escalera abierta o pareja 14 0.2979 2,36: 1 0.3043 2,29: 1 0.5116 0,955: 1Abierta escalera o color; Flush o pareja; Dentro par escalera, color o alto 15 0.3191 2,13: 1 0.3261 2,07: 1 0.5412 0,848: 1

16 0.3404 1,94: 1 0.3478 1,88: 1 0.5698 0,755: 117 0.3617 1,76: 1 0.3696 1,71: 1 0.5976 0,673: 1

Dentro par escalera o color, o, de composición abierta par escalera, color o alto 18 0.3830 1,61: 1 0.3913 1,56: 1 0.6244 0,601: 1

19 0.4043 1,47: 1 0.4130 1,42: 1 0.6503 0,538: 120 0.4255 1,35: 1 0.4348 1,30: 1 0.6753 0,481: 1

Abierta escalera, color o pareja 21 0.4468 1,24: 1 0.4565 1,19: 1 0.6994 0,430: 1

A. ^ Cuando se dibuja a una casa completa o cuatro de una clase con una pareja de mano que ha afectado a un set (un trío) en el flop, hay 6 outs para conseguir unacasa llena por el emparejamiento de la junta y un out para hacer cuatro de una clase. Esto significa que si el giro no par en la mesa o hacer cuatro de una clase,habrá 3 salidas adicionales en el río, para un total de 10, para emparejar la tarjeta de la vuelta y hacer una casa llena. Esto hace que la probabilidad de sacar a unacasa completa o cuatro de una clase en el turn o el river 0.334 y las probabilidades son 1.99: 1. Esto hace que la elaboración de una casa completa o cuatro deuna especie en el río cerca de 8 ½ outs.

Si un jugador no se pliega ante el río, una mano con un mínimo de 14 outs en el flop tiene más de un 50% de posibilidades de coger uno de sus outs en el turn o en elriver. Con 20 o más outs, una mano es mejor que 2: 1 favorito para tomar por lo menos uno en las dos cartas restantes.

Ver el artículo sobre las probabilidades del bote para ver ejemplos de cómo se pueden utilizar estas probabilidades en las decisiones de juego.

Estimación de la probabilidad de salidas de dibujo - La regla de cuatro y dos

Muchos jugadores de poker no tienen la habilidad matemática para calcular probabilidades en el medio de una mano de poker. Una solución es simplementememorizar las probabilidades de sacar outs en el río y girar ya que estas probabilidades se necesitan con frecuencia para la toma de decisiones. Otra solución dealgunos jugadores utilizan una aproximación fácil de calcular la probabilidad de que las salidas de dibujo, comúnmente conocida como la "Regla de Cuatro y Dos".Con dos cartas por venir, el por ciento de probabilidades de golpear x outs está a punto ( x × 4)%. Esta aproximación da probabilidades más o menos precisos hastaaproximadamente 12 outs en el flop, con un error absoluto promedio de 0,9%, un máximo error absoluto de 3%, un error medio relativo de 3.5% y un error relativomáximo del 6,8%. Con una tarjeta de venir, el por ciento de probabilidades de golpear x es de aproximadamente ( x × 2)%. Esta aproximación tiene un error relativoconstante de una subestimación 8%, lo que produce un aumento lineal de error absoluto de alrededor de 1% por cada 6 salidas.

Una aproximación un poco más complicado, pero mucho más precisa de la elaboración outs en el flop es utilizar ( x × 4)% para un máximo de 9 outs y ( x × 3 + 9)%de 10 o más outs. Esta aproximación tiene un error máximo absoluto de menos de 1% de 1 a 19 salidas y de error relativa máxima de menos de 5% de entre 2 y 23salidas. Una aproximación más exacta de la probabilidad de sacar outs después de la vuelta es ( x × 2 + ( x × 2) ÷ 10)%. Esto se hace fácilmente por primeramultiplicación de x por 2, a continuación, redondeando el resultado al múltiplo de diez y añadiendo dígitos del 10 al primer resultado. Por ejemplo, 12 outs serían 12 ×2 = 24, 24 rondas de 20, por lo que la aproximación es 24 + 2 = 26%. Esta aproximación tiene un error absoluto máximo de menos de 0,9% de 1 a 19 salidas y unerror máximo relativo de 3.5% durante más de 3 salidas. A continuación se muestran las aproximaciones y los errores absolutos y relativos de los dos métodos deaproximación.

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OutsHacer el turn o el river Hacer en el río

Real(X × 4)% (X × 3 + 9)%

Real(X × 2)% (X × 2 + (x × 2) ÷ 10)%

Est. Error % Error Est. Error % Error Est. Error % Error Est. Error % Error1 4,2553% 4% -0,26% 6,00% 4% -0,26% 6,00% 2,1739% 2% -0,17% 8,00% 2% -0,17% 8,00%2 8,4181% 8% -0,42% 4,97% 8% -0,42% 4,97% 4,3478% 4% -0,35% 8,00% 4% -0,35% 8,00%3 12.4884% 12% -0,49% 3,91% 12% -0,49% 3,91% 6,5217% 6% -0,52% 8,00% 7% 0,48% 7,33%4 16.4662% 16% -0,47% 2,83% 16% -0,47% 2,83% 8,6957% 8% -0,70% 8,00% 9% 0,30% 3,50%5 20.3515% 20% -0,35% 1,73% 20% -0,35% 1,73% 10.8696% 10% -0,87% 8,00% 11% 0,13% 1,20%6 24.1443% 24% -0,14% 0,60% 24% -0,14% 0,60% 13.0435% 12% -1,04% 8,00% 13% -0,04% 0,33%7 27.8446% 28% 0,16% 0,56% 28% 0,16% 0,56% 15.2174% 14% -1,22% 8,00% 15% -0,22% 1,43%8 31.4524% 32% 0,55% 1,74% 32% 0,55% 1,74% 17.3913% 16% -1,39% 8,00% 18% 0,61% 3,50%9 34.9676% 36% 1,03% 2,95% 36% 1,03% 2,95% 19.5652% 18% -1,57% 8,00% 20% 0,43% 2,22%

10 38.3904% 40% 1,61% 4,19% 39% 0,61% 1,59% 21.7391% 20% -1.74% 8,00% 22% 0,26% 1,20%11 41.7206% 44% 2,28% 5,46% 42% 0,28% 0,67% 23.9130% 22% -1,91% 8,00% 24% 0,09% 0,36%12 44.9584% 48% 3,04% 6,77% 45% 0,04% 0,09% 26.0870% 24% -2,09% 8,00% 26% -0,09% 0,33%13 48.1036% 52% 3,90% 8,10% 48% -0,10% 0,22% 28.2609% 26% -2,26% 8,00% 29% 0,74% 2,62%14 51.1563% 56% 4,84% 9,47% 51% -0,16% 0,31% 30.4348% 28% -2,43% 8,00% 31% 0,57% 1,86%15 54.1166% 60% 5,88% 10,87% 54% -0,12% 0,22% 32.6087% 30% -2,61% 8,00% 33% 0,39% 1,20%16 56.9843% 64% 7,02% 12,31% 57% 0,02% 0,03% 34.7826% 32% -2,78% 8,00% 35% 0,22% 0,62%17 59.7595% 68% 8,24% 13,79% 60% 0,24% 0,40% 36.9565% 34% -2,96% 8,00% 37% 0,04% 0,12%18 62.4422% 72% 9,56% 15,31% 63% 0,56% 0,89% 39.1304% 36% -3,13% 8,00% 40% 0,87% 2,22%19 65.0324% 76% 10,97% 16,86% 66% 0,97% 1,49% 41.3043% 38% -3,30% 8,00% 42% 0,70% 1,68%20 67.5301% 80% 12,47% 18,47% 69% 1,47% 2,18% 43.4783% 40% -3,48% 8,00% 44% 0,52% 1,20%21 69.9352% 84% 14,06% 20,11% 72% 2,06% 2,95% 45.6522% 42% -3,65% 8,00% 46% 0,35% 0,76%22 72.2479% 88% 15,75% 21,80% 75% 2,75% 3,81% 47.8261% 44% -3,83% 8,00% 48% 0,17% 0,36%23 74.4681% 92% 17,53% 23.54% 78% 3,53% 4,74% 50.0000% 46% -4.00% 8,00% 51% 1,00% 2,00%

Cualquiera de estas aproximaciones es generalmente lo suficientemente precisa para ayudar en la mayoría de los cálculos de las probabilidades del pote.

Runner-corredor outs

Algunas salidas de la mano requieren la elaboración de un cabo tanto en el turn y el river toma de dos outs consecutivos se llama runner-runner . Ejemplos de ello anecesitar dos cartas para hacer una escalera, color, o tres o cuatro de una clase. Runner-corredor outs puede dibujar de un común conjunto de salidas o de conjuntosdisjuntos de outs. Dos outs disjuntos o bien pueden ser condicionales o independiente de los acontecimientos.

Outs comunes

Dibujo de una escalera es un ejemplo de la elaboración de un conjunto común de outs. Tanto la vuelta y río tienen que ser del mismo palo, por lo que ambas salidasson procedentes de un conjunto común de outs-el conjunto de tarjetas restantes del traje deseada. Después del fracaso, si es el número de outs comunes, laprobabilidad de dibujo del corredor-corredor outs en Texas hold 'em es

Desde una escalera tendría 10 outs, la probabilidad de un proyecto de color runner-runner es . Otros ejemplos de runner-runnerextrae de un conjunto común de salidas están atrayendo a tres o cuatro de una clase. Al contar outs, es conveniente convertir runner-runner outs outs "normales" (ver "Después del flop "). A ras sorteo runner-runner es el equivalente de una "normal" hacia fuera.

La siguiente tabla muestra la probabilidad y las probabilidades de hacer un runner-runner de un conjunto común de outs y las salidas normales equivalentes.

Dibujo propensos a Outs comunes Probabilidad Posibilidades Outs equivalentesCuatro de una clase (con un par) Dentro de sólo escalera de color 2 0.00093 1080: 1 0.02

Tres de una clase (sin pareja) 3 0.00278 359: 1 0.074 0.00556 179: 1 0.135 0.00925 107: 1 0.22

Dos pares o un trío (sin pareja) 6 0.01388 71.1: 1 0.337 0.01943 50.5: 1 0.468 0.02590 37.6: 1 0.619 0.03330 29.0: 1 0.78

Enjuagar 10 0.04163 23.0: 1 0.98

Outs disjuntos

Dos outs son disjuntos cuando no hay cartas comunes entre el conjunto de cartas necesarias para el primer out y el juego de cartas necesarias para el segundo out. Lassalidas son independientes el uno del otro si no importa qué tarjeta viene primero, y una carta que aparece no afecta a la probabilidad de que la otra tarjeta que apareceexcepto cambiando el número de tarjetas restantes; un ejemplo está dibujando dos tarjetas para el interior de una recta . Las salidas están condicionadas a la otra si elnúmero de salidas disponibles para la segunda tarjeta depende de la primera tarjeta, un ejemplo está elaborando dos cartas a una recta exterior.

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Después del fracaso, si es el número de salidas independientes para una tarjeta y es el número de salidas de la segunda tarjeta, entonces la probabilidad de hacerque el runner-runner es

Por ejemplo, un jugador que tiene J ♦ Q ♦ después del flop 9 ♥ 5 ♣ 4 ♠ necesita un 10 y ya sea una K o 8 en el turn y el river para hacer una escalera. Hay 4 10 sy 8 K s y 8 s, por lo que la probabilidad es .

La probabilidad de cometer un runner-runner condicional depende de la condición. Por ejemplo, un jugador con 9 ♥ 10 ♥ después del flop 8 ♦ 2 ♠ A ♣ puedehacer una escalera con J Q , 7 J o 6 7 . El número de salidas para la segunda tarjeta está condicionada a la primera carta-a Q o 6 (8 tarjetas) en la primera deja sólo 4salidas (tarjeta de J o 7 , respectivamente) para la segunda tarjeta, mientras que una J o 7 (8 MultiMediaCard) para la primera tarjeta deja 8 outs ({ Q , 7 } o { J , 6 },respectivamente) para la segunda tarjeta. La probabilidad de una escalera runner-runner para esta parte se calcula por la ecuación

La siguiente tabla muestra la probabilidad y las probabilidades de hacer un runner-runner de un conjunto inconexo de entrenamientos para situaciones comunes y lassalidas normales equivalentes.

Dibujo para Probabilidad Posibilidades Outs equivalentesFuera recta 0.04440 21.5: 1 1.04+ Fuera recta interior 0.02960 32.8: 1 0.70Dentro de sólo recta 0.01480 66.6: 1 0.35Fuera de escalera de color 0.00278 359: 1 0.07+ Exterior escalera de color interior 0.00185 540: 1 0.04

La tabla anterior asume las siguientes definiciones.

Fuera recta y escalera de colorDibujo de una secuencia de tres tarjetas de rango consecutivo de 3-4-5 a 10-JQ donde dos tarjetas se pueden añadir a cualquiera de los extremos de la secuenciapara hacer una escalera de color o recta.

Dentro + fuera recto y escalera de colorDibujo de una escalera o escalera de color en un rango deseado se puede combinar con uno de los otros dos filas para hacer la mano. Esto incluye secuenciascomo 5-7-8 que requiere un 6 más ya sea un 4 o 9 , así como las secuencias de JQK , lo que requiere un 10 más ya sea un 9 o A , y 2-3-4 que requiere un 5 másya sea un Una o 6 .

Dentro de sólo recto y escalera de colorDibujo de una escalera o escalera de color, donde sólo hay dos filas que componen la mano. Esto incluye las manos, tales como 5-7-9 que requiere un 6 y un 8 ,así como A-2-3 que requiere un 4 y un 5 .

Outs compuestos

Las fuertes probabilidades del corredor-corredor se encuentran con las manos que están atrayendo a múltiples manos con diferentes combinaciones del corredor-corredor. Estos incluyen las manos que pueden hacer que una escalera de color, escalera o color, así como cuatro de una clase o una casa completa. Cálculo de estasprobabilidades requiere agregar las probabilidades de los diferentes compuestos outs, cuidando de dar cuenta de las jugadas compartidas. Por ejemplo, si es laprobabilidad de que una escalera runner-runner, es la probabilidad de que un runner-runner color, y es la probabilidad de que un runner-runner escalera decolor, entonces la probabilidad compuesta de conseguir una de estas manos es

La probabilidad de la escalera de color se resta del total, debido a que ya está incluido tanto en la probabilidad de una recta y la probabilidad de un color, por lo que seha añadido dos veces y por lo tanto debe ser restado de las salidas compuestas de una escalera o un color .

El siguiente cuadro muestra la probabilidad compuesta y las probabilidades de hacer un runner-runner para situaciones comunes y las salidas normales equivalentes.

Dibujo para Probabilidad Posibilidades Outs equivalentesEnjuague, fuera recta o escalera de color 0.08326 11.0: 1 1.98Ras, en el interior + exterior recta o escalera de color 0.06938 13.4: 1 1.65Ras, dentro de sólo recta o escalera de color 0.05550 17.0: 1 1.30

Algunas manos tienen aún más del corredor-corredor posibilidades de mejorar. Por ejemplo, la celebración de la mano de J ♠ Q ♠ tras un flop de 10 ♠ J ♥ 7 ♦ hayvarios runner-runner manos para hacer al menos una escalera. La mano puede tener dos cartas de las salidas comunes de { J , Q } (5 tarjetas) para hacer una casacompleta o cuatro de una clase, pueden obtener una J (2 cartas) más bien un 7 o 10 (6 cartas) para hacer una casa llena de estas salidas disjuntos independientes, y estállegando a las salidas compuestas de un color, fuera recta o una escalera de color. La mano también se puede hacer { 7 , 7 } o { 10 , 10 } (cada dibujo de 3 outscomunes) para hacer una casa llena, aunque esto hará que cuatro de una clase para cualquier persona que sostiene el restante 7 o 10 o más completa casa paracualquiera que tenga un par más . Trabajando a partir de las probabilidades de las tablas y ecuaciones anteriores, la probabilidad de hacer una de estas runner-runnermanos es una probabilidad compuesta

y las probabilidades de 8.16: 1 por el equivalente a 2,59 outs normales. Casi todos estos runner-corredores dan una mano ganadora ante un rival que había tirado unaparticipación directa 8 , 9 , [ Nota 4 ] , pero sólo algunos dan una mano ganadora contra A ♠ 2 ♠ (esta mano hace que vuelca más grandes que un color, es golpear) ocontra K ♣ Q ♦ (esta mano hace rectas más grandes cuando una recta es golpeado con 8 de 9 ). Al contar las salidas, es necesario ajustar para que las salidas sonpropensas a dar una mano ganadora-este es el lugar donde la habilidad en el póquer se convierte en más importante que ser capaz de calcular las probabilidades.

Véase también

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Temas del póker:

Probabilidad de PokerEstrategia de Poker

Matemáticas y probabilidad temas:

Espacio muestralPermutaciónLa teoría de juegos CombinatoriaLa complejidad del juegoTeoría de conjuntosLas matemáticas del juego

Notas1. ^ Las probabilidades se presentan en este artículo utilizan la notación x: 1 que se traduce en x a 1 probabilidades de la ocurrencia del evento. Las probabilidades

se calcularon a partir de la probabilidad p de la ocurrencia de eventos mediante la fórmula: odds = [(1 - p ) ÷ p ]: 1, o probabilidades = [(1 ÷ p ) - 1]: 1. Otraforma de expresar el odds x 1 es decir que hay un 1 en 1 x probabilidad de que ocurra el evento o la probabilidad de que ocurra el evento es 1 / (x +1). Así, porejemplo, las probabilidades de un rollo de una feria de seis lados die subiendo tres es 5: 1 en contra, porque hay 5 posibilidades de un número que no sea de tresy 1 posibilidad para tres, alternativamente, podría ser descrito como un 1 de cada 6 casualidad o probabilidad de que un niño de tres para rodar porque el tres es1 de 6 por igual-probables resultados posibles.

2. ^ un b Al eliminar la reflexión y la aplicación agresiva búsqueda de poda de árboles , es posible reducir el número de combinaciones únicas de mano de cabeza acabeza desde 207.025 a 47.008. Reflexión elimina cálculos redundantes mediante la observación de que las manos dadas y , si es la probabilidad de vencer en un duelo y es la probabilidad de que la división de la olla con el , entonces la probabilidad de golpeo es , eliminando así la necesidad de evaluar encontra . La poda es posible, por ejemplo, mediante la observación de que la Q ♥ J ♥ tiene la misma oportunidad de ganar tanto contra 8 ♦ 7 ♣ y 8 ♦ 7 ♠ (perono la misma probabilidad que contra 8 ♥ 7 ♣ porque compartir el corazón afecta el rubor posibilidades de cada mano).

3. ^ Vea " Pi notación de capital para la multiplicación "para una descripción del símbolo (capital π o pi).4. ^ En el ejemplo, si el oponente está llevando a cabo ya sea 8 ♥ 9 ♥ u 8 ♦ 9 ♦ , el oponente gana con un color si el jugador hace una recta con dos corazones

o dos diamantes, respectivamente. Si el oponente está llevando a cabo 8 ♦ 9 ♦ , el oponente gana con una escalera de color si el jugador tiene una casa llenacon 10 ♦ J ♦ .

ReferenciasMike Petriv (1996). Hold'em Odds libro . Objetivo Observador Press. ISBN 0-9681223-0-2 .Catalin Barboianu (2011). Texas Hold'em Poker Odds para su estrategia, con análisis de mano basado en la probabilidad . Publishing Infarom. ISBN 978-973-199-134-4 . extractos (http://probability.infarom.ro/holdempoker.html)Rey Yao (2005). Pesar las probabilidades de Hold 'em Poker . Pi Yee Press. ISBN 0-935926-25-9 .Dan Harrington , Bill Robertie (2005). Harrington on Hold'em Volume 1: Juego Estratégico . Two Plus Two Publishing. ISBN 1-880685-33-7 .

Enlaces externosCálculos Poker (http://www.math.sfu.ca/~alspach/computations.html) por Brian AlspachCalculadora de bolsillo (http://www.pokermarines.com/calcholecards.php)

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