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4. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES Y MULTIDIMENSIONALES

Frecuentemente el uso de dos o mas eventos es de importancia fundamental para el investigador, en este caso se involucran dos o mas variables aleatorias.

Por ejemplo: Un bilogo al observar el nmero de animales que sobreviven en una camada se interesa en la interaccin de los eventos siguientes:

A: La camada contiene n animales B: No. Y de animales que sobreviven

De manera similar, la observacin de la estatura y del peso de un individuo representa la interseccin de un par especfico de mediciones estatura-peso. Es de mucha importancia para los estadsticos las intersecciones que ocurren al efectuar un muestreo como por ejemplo, supngase que nXXX ...., 21 denota los resultados de n pruebas sucesivas de un experimento, estos podran ser el resultado del peso de n personas, o bien el resultado de n caractersticas fsicas de una sola persona. Dado un conjunto de n eventos nXXX ...., 21 sus resultados especficos o mediciones muestrales puede ser expresado en trminos de la interaccin que puede ser denotado por nxxx ...., 21 . Entonces para hacer inferencia acerca de la poblacin de la cual se obtuvo la muestra, es necesario calcular la probabilidad de la interaccin, por lo que se encuentra con la necesidad de obtener la probabilidad de la interaccin de un conjunto de eventos numricos. Esta necesidad justifica el hecho de estudiar las distribuciones de probabilidad multivariables, aunque primero se estudiar las probabilidades Bivariadas.

4.1 Distribuciones Bivariadas 4.1.1 Distribuciones discretas conjuntas. Definicin: Sean X y Y v.a. discretas. La funcin de densidad conjunta de la v.a. (X,Y) es una funcin f: R2R tal que: a) 2

,),(0),( Ryxyxf YX

b) Existe un conjunto finito o infinito numerable de 2),( RAyx ji tal que: 1),(

),(,

=Aji

jiYXyx

yxf

Ejemplo 1: Sea X y Y v.a. con valores posibles {1,2,3} y {1,2,3,4} respectivamente. La funcin de densidad conjunta es dada en la tabla siguiente:

Y X

1 2 3 4

1 0.1 0 0.1 0 2 0.3 0 0.1 0.2 3 0 0.2 0 0

Hallar a) ),2,2( YXP b) )1( =XP a) )4,3()3,3()2,3()4,2()3,2()2,2( fffffYXP ++++= =0+0.1+0.2+0.2+0+0=0.5

=

==+++=+++==4

1),1(2.001.001.0)4,1()3,1()2,1()1,1()1(

y

yfffffXP

Distribuciones Marginales Discretas Definicin: Sea ),(

,yxf YX la fn de densidad conjunta de las v.a. discretas X y Y entonces, las distribuciones

marginales de las variables aleatorias de X e Y son:

70

=

==

0),()(

jjii yxfxXf para cada valor posible ix de X, y todos los jy valores posibles de Y

=

==

0),()(

ijij yxfyYf para cada valor posible iy de Y, y todos los ix valores posibles de X

respectivamente y son precisamente las funciones de densidad de las variables aleatorias X e Y

Ejemplo 2. Del ejemplo 1, determinar la marginal de X Observamos que los valores posibles de X son 1,2 y 3.

Entonces, la marginal de X es:

=

===

4

0),1()1(

jjyfXf 0.1+0+0.1+0=0.2

=

===

4

0),2()2(

ijyfXf 0.3+0+0.1+0.2=0.6

=

===

4

0),3()3(

ijyfXf 0+0.2+0+0=0.2

O bien, puede ser expresado por:

=

=

=

ootrodexsixsi

xf Xmod0

26.03,12.0

)(

Ejemplo 5: Dado un grupo de tres republicanos y dos demcratas, debe seleccionarse al azar un comit de dos personas. Sea X el nmero de republicanos y Y el nmero de demcratas en el comit.

a) Encuentre la distribucin de probabilidad conjunta de X y Y b) Determinar la distribucin marginal de X?

Solucin. ={conjunto de dos elementos del grupo de 6 personas} # = 10

!2)4(5

!2)!25(!5

25

==

=

En general:

=

25

23

),(,

yxyxf YX x = 0,1,2 y = 0,1,2, x+y=2

La distribucin marginal de X es determinada por:

=

=

1),0()(

jjX yfxf

Esto es, se fija cada valor posible de X (0,1 o 2) y se suman las probabilidades considerando los valore posibles de Y. Veamos:

10/110100

25

22

03

00 )2,0()1,0()0,0(),0()0(1

=++=+

++=++===

fffyffj

jX

10/610

)2(30

25

12

13

0)2,1()1,1()0,1(),1()1(1

==+

+=++===

fffyffj

jX

71

10/310/)1(300

05

02

23

)2,2()1,2()0,2(),2()2( ==++

=++== fffyffy

X

O bien, la marginal de X es:

=

=

=

=

ootrodexsixsixsi

xf Xmod0

210/3110/6010/1

)(

Obsrvese que la marginal X es una funcin de densidad (al igual que la marginal de Y)

4.2 Distribuciones continuas conjuntas Definicin: Sean X y Y v.a. continuas. La funcin de densidad conjunta de la v.a. (X,Y) es una funcin f: R2R tal que: a) 2

,),(0),( Ryxyxf YX

b)

= 1),(,

dxdyyxf YX

Nota: =B

YX dxdyyxfBYXP ),()),(( , Si },{ yxB = el conjunto B consta de un punto entonces 0),(),(}),({

},{,

==== yx

YX dxdyyxfyYxXPyxP

En general cualquier curva unidimensional en el plano (X,Y) tiene la probabilidad cero, por tanto la probabilidad de que (X,Y) pertenezca a cualquier recta en el plano, es cero.

Ejemplo 3: Suponga que la funcin de densidad conjunta de la v.a. X y Y es la siguiente:

=

modo otro de01para),(

22

,

yxycxyxf YX

a) Determinar el valor c b) )( YXP Solucin:

Se sabe que

= 12 ycx

=

=

==

1

1

1

1

624

21

1

1

2

22

1

1

1

2

22 )(21

221

2dxxxcdxxxcdxyxcydydxxcycx

xx

4/21entonces214

72

32

21

7321

1

1

73

==

=

=

cccxx

c

)( YXP = SSo

YX dydxyxf ),(, =

=

1

0

1

0 2

22

2

2

2421

421 dxyxdydxyx

x

x

x

x

}|),{( yxyxSo = S: soporte de (x,y)

72

=

203

14021

352

821

71

51

821

75821)

821

1

0

751

0

64==

=

=

=

xxdxxx

Distribuciones Marginales Continuas Definicin: Sea ),(

,yxf YX la fn de densidad conjunta de las v.a. continas X y Y entonces, las distribuciones

marginales de las variables aleatorias de X e Y son:

= dyyxfxf YXX ),()( , y

= dxyxfyf YXY ),()( ,

Ejemplo 7: Suponga que la fn. de densidad conjunta de las v.a.s X y Y es:

Determinar las marginales de X y Y

]1,1[62

1

2

1

2

222 )(821

821

421)(

=== Ixxyxdyyxxfx x

X

]1,0[2/52

525

32

27

47

47

421)( Iyyyyxdxyxyf

y

y

y

yY =

+===

4.3 Funcin de distribucin acumulada conjunta de una v.a. bivariada

Definicin: La funcin de distribucin acumulada conjunta de dos v.a.s X e Y se define como la funcin ),(

,yxF YX para cada ),( yx de RxR en [0,1] tal que:

),(),(,

yYxXPyxF YX = Obsrvese que a)

==

yyxx

ii

iiYX yxfyYxXPyxF ),(),(),(, cuando X y Y es discreta

b)

==y x

YX dxdyyxfyYxXPyxF ),(),(),(, cuando X y Y son continuas. En el caso b) la funcin de densidad conjunta de X e Y es dada por:

xyyxFyxf YX

=

),(),(,

en todos los puntos (x,y) donde exista la derivada

Definicin: Suponga que se conoce la funcin de distribucin acumulada conjunta de X y Y entonces se puede obtener )()( yFyxF YX (distribuciones acumuladas marginales de X e Y ), como sigue:

),(lim)()(,

yxFxXPxF YXyX ==

),(lim)()(,

yxFyYPyF YXx

Y

==

Ejemplo 8 : Sean X1 y X2 v.a. continuas con funcin de densidad conjunta definida por:

=

modo otro de0

1para421

),(22

,

yxyxyxf YX

73

74

>

++= yxxx

),2(),(lim),(lim)()(,,

yFyxFyYxXPyYPyF YXYXxx

Y ====

2,20 si)2(81

>+= xyyy

Entonces se tiene que para cualquier (x,y) en 2R :

>>

+

>+

>+

75

)(),()( ,| yf

yxfyxf

Y

YXYX = )(yfY >0

Definicin: X y Y son v.a. independientes si y solo si )()(),(

,yfxfyxf YXYX =

O bien, cualquiera de las siguientes dos definiciones: X y Y son independientes si )()(| xfyxf XYX = con 0)( >xf X

X y Y son independientes si )()(| yfxyf YXY = con 0)( >yfY :

Nota: cuando no son independientes se dice que X e Y son dependientes.

Teorema: Dado dos v.a. X y Y con ),( yxf entonces )|(| yxf YX es una funcin de densidad

Ejemplo1 : Sean la v.a. X e Y con funcin de densidad definida en la siguiente tabla Y 1 2 3 4 )(xf X X 1 0.1 0 0.1 0 0.2 2 0.3 0 0.1 0.2 0.6 3 0 0.2 0 0 0.2

)(yfY 0.4 0.2 0.2 0.2 1 a) Son las v.a. X y Y independientes? b) Determinar la funcin de densidad (X dado y=2) y )2(| =xyf XY Solucin:

a) Por definicin si son independientes las v.a.s X y Y entonces para cualquier pareja de valores se debe cumplir: )()(),(

,yfxfyxf YXYX =

Analizando: )2()1()2,1(0)2,1(2.0)2(2.0)1(

,

,

YXYX

YXYX

ffffff

===

entonces las v.as X e Y no son independientes.

b) i) )(),()( ,| yf

yxfyxf

Y

YXYX =

2.0)2,(

)2()2,()2( ,,|

xff

xfxf YX

Y

YXYX == se calcula para x=1,2,3

12.02.0)23(,0

2.00)22(,0

2.00)21( ||| ====== YXYXYX fff

c) 6.0

),2()2(

),2()2( ,,|yf

fyf

xyf YXX

YXXY === se calcula para y=1,2,3,4

6.02.0)24(,

6.01.0)23(,0

6.00)22(,

6.03.0)21( |||| ============= xyfxyfxyfxyf YXYXYXYX

Ejemplo2:Sea la fn de densidad definida en la siguiente tabla se puede ver que en este caso las variables aleatorias X e Y son independientes. O sea, para cualquier pareja se cumple que )()(),(

,yfxfyxf YXYX = .

Adems observe que )()(y )()( || xfxyfyfyxf XXYYYX ==

76

Y 1 2 3 4 )(xf X X 1 0.06 0.02 0.04 0.08 0.20 2 0.15 0.05 0.10 0.20 0.50 3 0.09 0.03 0.06 0.12 0.30

)(yfY 0.30 0.10 0.20 0.40 1 Ejemplo3: Supngase que se toman medidas independientes X y Y de la lluvia durante un perodo de tiempo en una localidad y que la fn. de densidad de cada medida es la siguiente:

)(2)( ]1,0[ xIxxf X = . Determinar el valor de )1( + YXP Solucin: Para determinar )1( + YXP es necesario primero conocer la fn de densidad conjunta ),(

,yxf YX de X e Y.

Como las medidas de X e Y son independientes y tienen la misma funcin de densidad entonces )(2)( ]1,0[ yIyyfY =

Adems: )()(),(,

yfxfyxf YX =

=

modo otro de010,10si4),(

,

yxxyyxf YX

Y

X Se desea la probabilidad de }1|),{( += yxyxS es decir:

61

6386

21

341

432

22

)2(2)1(224)1(1

0

432

1

0

1

0

321

0

21

02

1

0

1

0

=+

=+=

+=

+====

77

obsrve que ye 22 es una funcin de densidad exponencial con media =1/2

+===

0

2

10

2)2( 222)( yxyyxY edyeedxeyf con 0 y

obsrve que xe es una fn exponencial con =1

),(22)()(,

)2(2 yxfeeexfxf YXyxyxYX === + con 0,0 yx entonces X y Y son independientes. Obsrvese que )(2)|( ),0[2| xIexyf yXY = por ser independientes

Nota: Se considera que X e Y son independientes tambin si ),(,

yxf YX puede escribirse como )()(),(

,yhxgyxf YX = donde g(x) es una funcin solamente en trminos de x y h(y) solamente en trminos

de y adems )()( xafxg X= y )()( ybfyh Y= con a y b constantes y )(xf X , )(yf y marginales de X e Y respectivamente. Adems en el soporte no deben de depender una de otra.

Ejercicios a)

=

modeyxsixy

yxf YX.0

108),(,

X e Y no son independientes?

b)

=

..0

10,2023

),(2

,

mode

yxparayyxf YX

X e Y son independientes. Comprobar Hay dos formas de responder: determinando sus marginales y multiplicarlas o utilizando la nota anterior.

Esperanza Definicin: Sea ),(

,yxf YX la funcin de densidad de una v.a Bivariada (X,Y), y sea g(X,Y) una funcin de

las variables aleatorias X e Y. Se define la esperanza de g(X,Y) como:

i) Si X,Y son variables aleatorias discretas se tiene: ),(),()),((

, jiYXji yxfyxgYXgE = la suma es para todos los valores posibles de X e Y.

ii) Si X,Y son variables aleatorias continuas se tiene:

= dxdyyxfyxgYXgE YX ),(),()),(( ,

Ejemplo. Una maquinaria vendedora de refrescos se llena al principio de un da dado con una cantidad aleatoria Y y se despacha durante el da una cantidad X (medida en galones). No se vuelve a surtir durante el da y entonces X Y. Se ha observado que X y Y tienen una densidad conjunta dada por

=

puntootrocualquierpara

yyxyxf YX

0

20;021

),(,

Es decir, los puntos (x,y) tienen una distribucin uniforme en el tringulo con las fronteras dadas. Determinar E(XY), E(X), V(Y), E(2Y), E(X+Y)