1. 2.- PROBABILIDAD Experimento.- cualquier proceso o procedimiento para el cual hay ms de un resultado. Espacio de muestreo.- conjunto de todos los posibles resultados experimentales.21

2. Jacob Bernoulli (1654-1705) introdujo la definicin del concepto de probabilidad de un evento como la proporcin entre el nmero de resultados favorables al evento, y el nmero de resultados posibles en el experimento. Bernoulli probablemente fue el primero en hacer la distincin entre la probabilidad de un evento y la frecuencia de su realizacin. 3. 2.1 Funcin e Importancia de la Probabilidad La probabilidad nos permite cuantificar la variabilidad en el resultado de un experimento cuyo resultado exacto es imposible de predecir con seguridad. 4. La probabilidad tiene como fin predecir, con algun grado de certeza, la frecuencia de ocurrencia de un evento. Implcita en esta idea est la nocin de que existe alguna incertidumbre asociada con la generacin del evento o que la informacin con la que se determina el resultado exacto del evento es incompleta. 5. Las seales que tienen esta propiedad, comunmente se refieren como seales estocsticas. Si no es este el caso, un evento o cierta seal se dice que es determinstica. 6. Una aplicacin de la teora de la probabilidad es en la confiabilidad (reliability). En el diseo de productos, tales como automviles y electrnica para consumidores, se utiliza la teora de la confiabilidad para establecer la probabilidad de falla, la cual puede ser asociada con la garanta del producto. 7. 2.2 Clasificacin de la Probabilidad El concepto de la probabilidad de unevento particular en un experimento estsujeto a varios significados ointerpretaciones. 8. 2.2.1 Terica Es la proporcin entre el nmero de formas en que el evento puede ocurrir (que se de el caso considerado) entre el nmero total de posibilidades. Nmero de resultados favorables P (evento) =Nmero total de resultados posibles 9. Ej. se lanza una moneda honesta. El nmero total de posibles resultados es 2 (cara o cruz); la probabilidad de que el resultado sea cara es y es igual a la probabilidad de que caiga cruz. 10. Ej. Se lanza un dado no cargadoCul es la probabilidad de que el resultadosea un nmero menor o igual a 3? (1,2,3)3/6 = Cul es la probabilidad de obtener unnmero non? (1,3,5)3/6 = Cul es la probabilidad de obtener unnmero mayor de 2? (3,4,5,6)4/6 = 2/3 11. Ej. Se toma una baraja de 52 cartas y se selecciona una de ellas. Cul es la probabilidad de que la carta sea: una carta negra? (la mitad de las cartasson negras 52/2 = 26); la probabilidad es26/52 = un rey? (hay 4 reyes); la probabilidad es4/52 = 0.077un 8 de espadas: (slo hay 1) 1/52 = 0.019 12. Ej. En un saln de clase hay 18 nios y 12 nias. El profesor escoge estudiantes al azar. Cul es la probabilidad de que el primer estudiante seleccionado sea: un nio? (18+12 = 30 alumnos en total);18/30 = 0.6 una nia? 12/30 = 0.4 13. Ej. Se escoge una letra al azar de cierta palabra. Encontrar la probabilidad de que la letra sea una vocal si la palabra es: ALGEBRA (tiene 7 letras en total, 3 sonvocales); la probabilidad es 3/7 = 0.429PROBABILIDAD (tiene 12 letras en total, 5son vocales); la probabilidad es 5/12 =0.417 14. 2.2.2 Subjetiva Si se dice que un ingeniero gelogo manifest que "hay una posibilidad de 60% de encontrar petrleo en una determinada regin", probablemente todos nosotros tendremos una idea de lo que se est diciendo. 15. La mayora de nosotros interpretar esto de una de estas dos maneras, ya sea suponiendo que1. el gelogo siente que, a la larga, en el 60% de lasregiones en las que las condiciones ambientalessean muy semejantes a las condiciones en laregin en consideracin, hay petrleo.o suponiendo que2. el gelogo cree que es ms probable que hayapetrleo en la regin, a que no haya. 0.6 es unamedida de la creencia del gelogo en la hiptesisde que en la regin haya petrleo. 16. A las dos interpretaciones anteriores de la probabilidad de un evento se les conoce como la interpretacin de la frecuencia y la interpretacin subjetiva (o personal) de la probabilidad. En la interpretacin de la frecuencia, se considera que la probabilidad de un resultado dado en un experimento es una "propiedad" del resultado. Se supone que esta propiedad se puede determinar operacionalmente mediante una repeticin continua del experimento; la probabilidad del resultado ser considerada como la proporcin de ocaciones en que se obtenga este resultado. 17. En la interpretacin subjetiva, no se considera la probabilidad de un resultado como una propiedad del experimento, sino ms bien se considera como la creencia que tiene la persona que evala la probabilidad de que ese resultado ocurra. En esta interpretacin, la probabilidad se vuelve un concepto personal, y no tiene significado ms all de expresar el grado de creencia de uno. 18. 2.2.3 Frecuencial Los problemas y paradojas de la interpretacin clsica de la probabilidad motiv el desarrollo del concepto de frecuencia relativa de la probabilidad. Los frecuentistas hablan sobre probabilidades solo cuando se tratan experimentos aleatorios bien definidos. La frecuencia relativa de ocurrencia de un evento es una medida de su probabilidad. 19. 2.2.4 AxiomticaAxioma:Proposicin tan clara y evidente que seadmite sin necesidad de demostracin.Cada uno de los principios fundamentalese indemostrables sobre los que seconstruye una teora. 20. Probabilidad axiomtica, teora de la probabilidad con un fundamento formal lgico, como ciencia matemtica. El primero en desarrollar este punto de vista fue Sergei Bernstein en 1917. 21. 2.3 Espacio Muestral y Eventos Un conjunto de todos los posibles resultados de un experimento se llama espacio muestral, ya que usualmente se compone de todas las cosas que pueden ocurrir cuando se extrae una muestra. Los espacios muestrales suelen denotarse con la letra S. 22. En estadstica, los trminos experimento y resultado se usan en un sentido muy amplio. Un experimento puede consistir en el simple proceso de advertir si un interruptor est encendido o apagado, en la determinacin del tiempo que tarda un automvil en alcanzar una velocidad de 50 km por hora, etc. 23. En consecuencia, el resultado de un experimento puede ser una simple eleccin entre 2 opciones, el producto de una medicin o conteo directos o la respuesta obtenida luego de dilatados clculos y mediciones. Cuando estudiamos los resultados de un experimento, usualmente identificamos las diversas posibilidades con nmeros, puntos u otro tipo de smbolos. 24. Ej. si 4 contratistas compiten por la construccin de una carretera y procedemos de tal forma que a, b, c y d denoten que el proyecto le ha sido concedido al sr. Alvarez, la sra. Brcenas, el sr. Crdenas o la srita. Dvila, el espacio muestral de este experimento es el conjunto S = {a, b, c, d} 25. De igual manera, si un organismo gubernamental debe decidir dnde ubicar 2 nuevos centros de investigacin en computacin y si resulta de inters indicar cuntos de ellos se ubicarn en Monterrey y cuntos en Guadalajara, podemos formular el espacio muestral como S = {(0,0), (1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (0,2)} 26. S = {(0,0), (1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (0,2)} Donde la primera coordenada es el nmero de centros de investigacin que se ubicarn en Monterrey y la segunda los de Guadalajara. 27. Geomtricamente este espacio muestral puede representarse grficamente como en la figura, de donde se deduce claramente, por ej. que en 2 de las 6 posibilidades Monterrey y Guadalajara obtendrn igual nmero de centros.S = {(0,0), (1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (0,2)} Espacio muestral para el nmero de nuevos centros de investigacin en computacin por ubicar en Monterrey y Guadalajara. 28. S = {a, b, c, d}S = {(0,0), (1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (0,2)} El uso de puntos tiene la ventaja de facilitar la visualizacin de las diversas posibilidades. Por lo general, los espacios muestrales se clasifican de acuerdo con el nmero de elementos que contienen (finitos o infinitos). En los 2 ejemplos anteriores, los espacios muestrales tienen 4 y 6 elementos (contratistas y centros), de manera que a ambos se les conoce como finitos 29. Los siguientes son ejemplos de espacios muestrales no finitos. Si a unas personas encargadas de verificar la emisin de xido de nitrgeno de automviles les interesa saber el nmero de autos que deben inspeccionar antes de observar cul es el primero que no satisface los reglamentos, podra ocurrir que fuera el primero, el segundo,, el quincuagsimo,, y que tuvieran que verificar miles de autos antes de encontrar uno que no satisfaga los reglamentos gubernamentales. 30. Dado que ignoramos cun lejos trendran que llegar, consideramos como espacio muestral la totalidad del conjunto de nmeros naturales, de los que existe una cantidad infinita. Ms an, si les interesara la emisin de xido de nitrgeno de determinado auto en g/km, el espacio muestral tendra que consistir en todos los puntos de una escala contnua (cierto intervalo en la lnea de nmeros reales), de los cuales existe un continuo. 31. En general, se dice que un espacio muestral es discreto si posee elementos en forma finita. Si los elementos de un espacio muestral constituyen un continuo ej. todos los puntos de una linea o de un segmento o de un plano-, se dice que el espacio muestral es continuo. 32. En estadstica, a todo subconjunto de un espacio muestral se le llama evento. Por subconjunto entendemos cualquier parte de un conjunto, incluidos el conjunto en su totalidad y, comnmente, un conjunto llamado conjunto vaco y denotado por (phi), el cual no posee ningn elemento. En muchos problemas de probabilidad nos interesan eventos que puedan expresarse en trminos de la formacin de uniones, intersecciones y complementos entre 2 o ms eventos. 33. S = {(0,0), (1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (0,2)} Ej. con referencia a la figura anterior, C = {(1,0), (0,1)} es el evento en el cual tanto Monterrey comoGuadalajara obtendrn uno de los dos centros, D = {(0,0), (0,1), (0,2)} es el evento en el que Monterrey no obtendrninguno de los 2 centros, y E = {(0,0), (1,1)} es el evento en el que Monterrey y Guadalajaraobtendrn igual nmero de centros. Los eventos C y E no tienen elementos en comn:son eventos mutuamente excluyentes. 34. 2.4 Teora de Conjuntos 2.4.1 Definicin de Conjuntos La teora de conjuntos es una divisin delas matemticas que estudia losconjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fuerealizado por el matemtico alemn GeorgCantor en el siglo XIX y ms tardereformulada por Zermelo. 35. El concepto de conjunto es intuitivo y se podra definir como una "coleccin de objetos"; as, se puede hablar de un conjunto de personas, ciudades, gafas, lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto est bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto. 36. El conjunto de los bolgrafos azules est bien definido, porque a la vista de un bolgrafo se puede saber si es azul o no. El conjunto de las personas altas no est bien definido, porque a la vista de una persona, no siempre se podr decir si es alta o no, o puede haber distintas personas, que opinen si esa persona es alta o no lo es. 37. Sigue siendo clebre la definicin que public Cantor: Se entiende por conjunto a la agrupacin en untodo de objetos bien diferenciados de nuestraintuicin o nuestra mente. 38. 2.4.2 Operaciones con Conjuntos Usualmente los conjuntos se representan con una letra mayscula: A, B, K,... Llamaremos elemento, a cada uno de los objetos que forman parte de un conjunto, estos elementos tienen carcter individual, tienen cualidades que nos permiten diferenciarlos, y cada uno de ellos es nico, no habiendo elementos duplicados o repetidos. Los representaremos con una letra minscula: a, b, k,... 39. De esta manera, si A es un conjunto, y a, b, c, d, e todos sus elementos, es comn escribir: A = {a, b, c, d, e} para definir a tal conjunto A. Esta notacinempleada para definir al conjunto A se llamanotacin por extensin. 40. Para representar que un elemento x pertenece a un conjunto A, escribimos x A (lase "x en A", "x pertenece a A" o bien "x es un elemento de A"). La negacin de x A se escribe x A(lase x no pertenece a A). 41. El conjunto universal, que siempre representaremos con la letra U (u mayscula), es el conjunto de todas las cosas sobre las que estemos tratando. As, si hablamos de nmeros enteros entonces U es el conjunto de todos los nmeros enteros, si hablamos de ciudades, U es el conjunto de todas las ciudades. 42. Existe adems, un nico conjunto que no tiene elementos al que se le llama conjunto vaco y que se denota por . Es decir={} La caracterstica importante de este conjunto es que satisface la propiedad de que todos los elementos posibles no estn contenidos en l, es decirx x 43. Por otro lado, si todos los elementos x de un conjunto A satisfacen alguna propiedad, misma que pueda ser expresada como una proposicin p(x), con la indeterminada x, usamos la notacin por comprensin, y se puede definir: Ax U : p( x) Lo anterior se lee "A es el conjunto de elementos x, que cumplen con la propiedad p(x)". El smbolo ":" se lee "que cumplen la propiedad" o "tales que", este smbolo puede ser remplazado por una barra |. 44. Por ej. el conjunto A = {1,2,3,4} puede definirse por:A nN :1 n4 donde el smbolo N representa al conjunto denmeros naturales. 45. Si A y B son dos conjuntos cualesquiera en un espacio muestral S, su unin A B es el subconjunto de S que contiene todos los elementos que se encuentran en A, en B y en ambos; su interseccin A B es el subconjunto de S que contiene todos los elementos que se encuentran tanto en A como en B, y el complemento A' de A es el subconjunto de S que contiene todos los elementos de S que no se encuentran en A. 46. S = {(0,0), (1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (0,2)} C = {(1,0), (0,1)} D = {(0,0), (0,1), (0,2)} E = {(0,0), (1,1)} Ej. con referencia al espacio muestral de la figura anterior y a los eventos C, D y E que hemos definido, liste los resultados que comprendan cada uno de los siguientes eventos y exprese asimismo los eventos en palabras: a) CEPuesto que C E contiene todos los elementos que se encuentran en C, en E o en ambos,CE ={(1,0), (0,1), (0,0), (1,1)} es el evento en el que ni Monterrey ni Guadalajara obtendrn los 2 centros. 47. S = {(0,0), (1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (0,2)} C = {(1,0), (0,1)} D = {(0,0), (0,1), (0,2)} E = {(0,0), (1,1)} Ej. con referencia al espacio muestral de la figura anterior y a los eventos C, D y E que hemos definido, liste los resultados que comprendan cada uno de los siguientes eventos y exprese asimismo los eventos en palabras: b) CDPuesto que C D contiene todos los elementos que se encuentran tanto en C como en D, C D= {0,1)}es el evento en el que Monterrey no obtendr ninguno de los dos centros y Guadalajara obtendr uno. 48. S = {(0,0), (1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (0,2)} C = {(1,0), (0,1)} D = {(0,0), (0,1), (0,2)} E = {(0,0), (1,1)} Ej. con referencia al espacio muestral de la figura anterior y a los eventos C, D y E que hemos definido, liste los resultados que comprendan cada uno de los siguientes eventos y exprese asimismo los eventos en palabras: c) D ' Puesto que D' contiene todos los elementos del espacio muestral que no se encuentran en D,D' = {(1,0), (1,1), (2,0)}es el evento en el que Monterrey obtendr al menos uno de los centros de investigacin. 49. 2.4.3 Diagramas de Venn Los espacios muestrales y los eventos, y particularmente las relaciones entre eventos, a menudo se describen por medio de diagramas de Venn, como los que aparecen en las siguientes figuras. 50. En cada caso el espacio muestral est representado por un rectngulo, mientras que los eventos estn representados por regiones (o reas) dentro del rectngulo, usualmente por crculos o partes de crculos. 51. Las regiones sombreadas de los cuatro diagramas de Venn representan respectivamente el evento A, el complemento del evento A, la unin de los eventos A y B y la interseccin de los eventos A y B. 52. Los diagramas de Venn se usan a menudo para verificar relaciones entre conjuntos, lo que vuelve innecesario aplicar pruebas formales basadas en el lgebra de conjuntos. 53. Cuando tratamos con 3 eventos, trazamos los crculos como en la siguiente figura. En este diagrama, los crculos dividen el espacio muestral en 8 regiones, numeradas del 1 al 8, y es fcil determinar si los eventos correspondientes son partes de A o A, B o B y C o C. 54. Ej. A un fabricante de motores le preocupan 3 tipos principales de defectos.Si A es el evento en el que el eje es demasiado grande,B es el evento en el que las bobinas son inadecuadas, yC el evento en el que las conexiones elctricas soninsatisfactorias, exprese verbalmente qu eventos estnrepresentados por las siguientes regiones del diagramade Venn de la figura. a) regin 2 Dado que esta regin est contenida en A y B pero no en C, representa el evento en el que el eje es demasiado grande y las bobinas inadecuadas, pero las conexiones elctricas satisfactorias. 55. Ej. A un fabricante de motores le preocupan 3 tipos principales de defectos.Si A es el evento en el que el eje es demasiado grande,B es el evento en el que las bobinas son inadecuadas, yC el evento en el que las conexiones elctricas soninsatisfactorias, exprese verbalmente qu eventos estnrepresentados por las siguientes regiones del diagramade Venn de la figura. b) regiones 1 y 3 juntas En vista de que esta regin es comn a B y C, representa el evento en el que las bobinas son inadecuadas y las conexiones elctricas insatisfactorias. 56. Ej. A un fabricante de motores le preocupan 3 tipos principales de defectos.Si A es el evento en el que el eje es demasiado grande,B es el evento en el que las bobinas son inadecuadas, yC el evento en el que las conexiones elctricas soninsatisfactorias, exprese verbalmente qu eventos estnrepresentados por las siguientes regiones del diagramade Venn de la figura.c) regiones 3,5,6 y 8 juntasComo sta es toda la regin fuera de A, representa el evento en el que el eje no es demasiado largo 57. 57 de cuntas maneras diferentes?2.5 Tcnicas de Conteo 2.5.1 Principio Multiplicativo y2.5.2 Diagramas de Arbol A veces puede resultar sumamente difcil, o al menos tedioso, determinar el nmero de elementos en un espacio muestral finito mediante la enumeracin directa. Para ilustrarlo, supongamos que un consumidor realiza pruebas de servicio y clasifica mquinas industriales segn sean fciles, promedio o difciles de operar; de alto o bajo costo, y de alto, promedio o bajo costo de reparacin.Slide 111 58. De cuntas maneras diferentes podraclasificarse una mquina con esta prueba de clasificar servicio? Existen muchas posibilidades: una mquinapodra clasificarse como fcil de operar, de bajo costo, pero de alto costo de reparacin; difcil de operar, de alto costo y bajo costo de reparacin; ni fcil ni difcil de operar, de bajo costo y con un costo promedio de reparacin, etc. 59. Si prosiguieramos de esta manera, podramos listar todas las posibilidades, aunque quiz omitiramos al menos una o dos. Para el manejo sistemtico de este tipo de problema, es til trazar un diagrama de rbol, como el que se muestra en la siguiente figura, 60. donde las 3 alternativas de facilidad de operacin estn denotadas por E1, E2 y E3 el precio es P1 o P2, y las 3 alternativas de costo de reparacin estn denotadas por C1, C2 y C3. Diagrama de rbol para la clasificacin de mquinas industriales. 61. Siguiendo un curso dado de izquierda a derecha por las ramas del rbol, obtenemos una clasificacin en particular, a saber, un elemento particular del espacio muestral, adems de lo cual salta a la vista que en total existen 18 posibilidades. 62. Tambin habramos podido obtener este resultado mediante la observacin de que hay 3 ramas E, de que cada rama E se bifurca en 2 ramas P y de que cada rama P se bifurca a su vez en 3 ramas C. As, existen 3 2 3 =18 combinaciones de ramas, o rutas. 63. 63 Este resultado es un caso especial del Principio multiplicativosiguiente teorema:Teorema: Si los conjuntos A1, A2, ... , Ak contienen, respectivamente, n1, n2, ..., nk elementos, existen n1 n2 nk maneras de elegir primero un elemento de A1, despus un elemento de A2,...,y finalmente un elemento de Ak. En nuestro ejemplo tenamos n1 = 3,n2 = 2 y n3 = 3, y por lo tanto3 2 3 = 18 posibilidades.Slide 70 Slide 88 64. Ej. De cuntas maneras diferentes unaseccin sindical con 25 miembros puedeelegir un presidente y un vicepresidente? elegir Puesto que el vicepresidente puede ser elegido de 25 maneras y, subsecuentemente, el presidente de 24, existen en total 25 24 = 600 maneras en las que puede tomarse la decisin completa. 65. Ej. Si una prueba se compone de 12 preguntas de verdadero-falso, de cuntas maneras diferentes puede contestar un estudiante con una respuesta para cada pregunta? Dado que cada pregunta puedecontestarse de 2 maneras, existen entotal2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 212 =4,096 posibilidades. 66. 2.5.3 Permutaciones seleccionar La regla para la multiplicacin de probabilidades se usa a menudo cuando se realizan varias selecciones de un conjunto y nos interesa el orden en que se les hizo. En general, si r objetos son seleccionados ordenar de un conjunto de n objetos distintos, cualquier disposicin, u orden particular de estos objetos se llama permutacin. 67. Permutacin es cada una de las posibles ordenaciones de los elementos de un conjunto. Ej. en el conjunto {1, 2, 3}, cada ordenacin posible de sus elementos, sin repetirlos, es una permutacin. 68. Existe un total de 6 permutaciones para estos elementos: 1) "1,2,3"2) "1,3,2"3) "2,1,3"4) "2,3,1"5) "3,1,2"6) "3,2,1" 69. A fin de determinar una frmula para el nmero total de permutaciones de r objetos seleccionados de un conjunto de n objetos distintos, observamos que: 1-1=0 1 la primera seleccin se realiza a partir del conjuntoentero de n objetos,2 la segunda seleccin a partir de los n-1 objetos 2-1=1restantes despues de realizada la primera seleccinr ..., y la rsima seleccin a partir de losn-(r-1) = n r + 1 objetos restantes tras realizadas lasr-1 primeras selecciones.r-1=r-1 70. En consecuencia, por efecto de la regla de la multiplicacin de las probabilidades (slide 63), el nmero total de permutaciones de r objetos seleccionados de un conjunto de n objetos distintos esnPr n(n 1)( n 2 )...( n r 1) para r = 1,2,...,n Puesto que los productos de nmeros enteros consecutivos aumentan en muchos problemas relativos a permutaciones u otro tipo de selecciones especiales, ser conveniente introducir aqu la notacin factorial 71. donde 1! = 12! = 2 1 = 23! = 3 2 1 = 64! = 4 3 2 1 = 24 ..., y en general n! = n(n-1)(n-2) 2 1 Para todo nmero natural n, se llama n factorial o factorial de n al producto de todos los naturales desde n hasta 1. Se define 0! = 1 72. Para expresar la frmula de nPr en trminos factoriales, multiplicamos por y dividimos entre (n-r)!, con lo que obtenemosn(n 1)( n2 )...( n r 1)( n r )! n Pr(nr )! n!npr (nr )! 73. Ej. De cuntas maneras diferentes se puede realizar una primera, segunda, tercera y cuarta seleccin entre 12 empresas arrendadoras de equipo para construccin?Para n = 12 y r = 4, la primera frmula n Pr n ( n 1)( n2 )...( n r1) da como resultado 12P4 = 12 11 10 9 = 11,880 n! y la segunda frmula n Pr (nr )! da como resultado12 ! 12 ! 12 111098 !12 P411 ,880(12 4 )! 8!8! 74. Ej. Un mecanismo electrnico requiere de 5 chips de memoria idnticos. De cuntas maneras puede ensamblarse este mecanismo colocando los 5 chips en las 5 posiciones dentro del controlador? Para n = 5 y r = 5,la primera frmula n Pr n ( n 1)( n 2 )...( n r 1)da como resultado5P5 = 5 4 3 2 1 = 120 n!y la segunda frmula n Pr (nr )!da como resultado 5!5! P5 5 5! 120(55 )! 0! 75. 2.5.4 Combinaciones Hay muchos problemas en los que debemos determinar el nmero de maneras en las cuales pueden seleccionarse r objetos de un conjunto de n objetos, pero sin tomar en cuenta el orden en que se realiza la seleccin. Ej. de cuntas maneras pueden elegirse 3 de 20 asistentes de laboratorio para colaborar en un experimento? 76. Se tiene un conjunto con 6 objetos escogerdiferentes {A,B,C,D,E,F}, de los cuales se desea escoger 2 (sin importar el orden de eleccin). Existen 15 formas de efectuar tal eleccin: A,B A,C A,D A,E A,FB,C B,D B,E B,FC,D C,E C,FD,E D,FE,F 77. El nmero de formas de escoger r elementos a partir de un conjunto de n, puede denotarse de varias formas: nnC(n,r),nCr, C ,orrAs, en el ejemplo anterior se tiene entoncesque C(6,2)=15,A,B A,C A,D A,E A,F {A,B,C,D,E,F}puesto que hayB,C B,D B,E B,F15 formas de escogerC,D C,E C,F2 objetos a partir de un conjunto conD,E D,F6 elementos.E,F 78. Los nmeros C(n,r) se conocen como "coeficientes binomiales", pero es frecuente referirse a ellos como "combinaciones de n en r", o "combinaciones de n en grupos de r" simplemente "n en r". n Por tanto, el coeficiente binomialr es el nmero de subconjuntos de r elementos escogidos de un conjunto con n elementos. 79. (seleccin ordenada: Permutacin) A Supongamos que un conjuntoB original tiene 5 elementos, de losC cuales se deben escoger 3. AlD momento de escoger el primero, E se tiene 5 opciones disponibles, pero una vez fijo el primero, slo hay 4 opciones para el segundo, y por tanto slo 3 opciones para elHay 5 4 3 formas de ltimo (pues no se puede repetir escogerordenadamente 3 los escogidos en los primeros 2objetos de un conjunto pasos). De este modo, la con 5. seleccin puede hacerse de 5 4 3=60 formas. 80. Sin embargo, en tal conteo, el orden en que se escogen los elementos hace diferencia. Por ejemplo, tomar C, luego B, luego E, es una seleccin diferente de tomar B, luego C y cules se escogen luego E. Pero en la definicin de coeficiente binomial, no importa el orden en que se eligen los objetos, nicamente cules se escogen. Por tanto, las elecciones BCE, BEC, CEB, CBE, ECB,EBC son todas equivalentes. Del mismo modo, las elecciones ABC,ACB, BCA,BAC, CAB, CBA son equivalentes, y as para cualquier terna de letras. 81. De esta forma, el resultado obtenido (60) no dividir es la cantidad de subconjuntos de 3 elementos de {A,B,C,D,E}, sino que cada subconjunto est contado 6 veces, por lo que la cantidad de subconjuntos es realmente 60/6 = 10. 82. (seleccin ordenada: Permutacin) El argumento presentado para el ejemplo puede generalizarse de la siguiente forma. Si se tiene un conjunto con n elementos, delos cuales se van a escoger r de ellos, laeleccin (ordenada) puede hacerse de n (n-1) (n-2) ... (n-r+1) ya que en el primer paso se tienenn opciones, en el segundo se tienen n-1,en el tercero n-2, y as sucesivamente,terminando en el paso r que tendrn-r+1 opciones. 83. Ahora, hay que dividir el producto anteriorentre el nmero de selecciones dividir entre r! "equivalentes". Pero si se tiene r objetos, hayr! formas de permutarlos, es decir,r! formas de listarlos en distinto orden. Recordemos que r! se lee r-factorial y esigual a r! = 1 2 3 ... r 84. Concluimos que el nmero de subconjuntos con r elementos, escogidos de un conjunto con n elementos esn n(n 1)( n 2 ) (n - r 1) r 123(r - 1)r 85. La expresin anterior puede escribirse de forma ms compacta usando factoriales n n! rr! ( nr )! 86. Ej. De cuntas maneras diferentes pueden seleccionarse 3 de 20 asistentes de laboratorio para colaborar en un experimento?n n(n 1)( n 2 ) (n - r 1) r 123(r - 1)rnPara n = 20 y r = 3 la primera frmula de rda como resultado 20 20 19183 1,140 3! 87. Ej. Se requiere la realizacin de un estudio de calibracin para comprobar si los registros de 15 mquinas de prueba ofrecen resultados similares. De cuntas maneras pueden seleccionarse 3 de las 15 para la investigacin?nn(n 1)( n 2 ) (n - r 1)r 123(r - 1)r15 15 14133 4553! 88. 88nn! r r! ( nr )! Ej. De cuntas maneras diferentes eldirector de un laboratorio de investigacinpuede seleccionar a 2 qumicos entre 7candidatos y a 3 fsicos entre 9 candidatos? 7 Los 2 qumicos pueden seleccionarse de221 maneras y los 3 fsicos de 93 84 maneras.Por efecto de la regla de multiplicacin, la slide 63 seleccin total puede realizarse de 21 84 = 1,764 maneras. 89. 2.6 Axiomas de Probabilidad Cul es la probabilidad? En esta seccin definiremos matemticamente las probabilidades como valores de funciones aditivas de conjuntos, lo que significa que el nmero que asigna a la unin de 2 subconjuntos sin elementos en comn, + es la suma de los nmeros asignados a cada uno de los subconjuntos en los individual. Con ello podemos determinar el nmero de elementos de A [o valor de N(A) ] para cualquier subconjunto A de S. 90. Los axiomas de probabilidad son las condiciones mnimas que deben verificarse para que una funcin que definimos sobre unos sucesos determine consistentemente valores de probabilidad sobre dichos sucesos. La probabilidad P de un suceso A, denotada por P(A), se define con respecto a un "universo" o espacio muestral S, tal que P verifique los Axiomas de Kolmogrov, enunciados por el matemtico ruso de este nombre en 1933. 91. Dado un espacio muestral finito S y un evento A, definimos P(A), la probabilidad de A, como valor de una funcin aditiva de conjuntos que satisface las 3 condiciones siguientes:Axioma 10 P(A) 1 para cada evento A en S.Las probabilidades son nmeros reales en el intervalode 0 a 1. 92. Axioma 2P(S) = 1. Al espacio muestral en su conjunto se leasigna una probabilidad de 1, lo queexpresa la idea de que la probabilidad decierto evento, un evento que debe ocurrir,es igual a 1. 93. 93 Axioma 3 Si A y B son cualesquiera eventosmutuamente excluyentes en S, entoncesP(A B) = P(A) + P(B).Las funciones de probabilidad deben ser aditivas.Segn este axioma se puede calcular la probabilidad de un suceso compuesto de varias alternativas mutuamente excluyentes sumando las probabilidades de sus componentes. Slide 107 Slide 108 94. Los axiomas de probabilidad restringen las maneras en las que se asignan probabilidades a los diversos resultados de un experimento. Las probabilidades se asignan con base en:experiencias pasadas,un detenido anlisis de las condicionessubyacentes del experimento,evaluaciones subjetivas osupuestos; por ej. el supuesto comn de quetodos los resultados son igualmente probables. 95. Ej. Si un experimento tiene los 3 resultados posibles y mutuamente excluyentes A, B, C, verifique en cada caso si la asignacin de probabilidades es permisible: a) P(A) = 1/3, P(B) = 1/3, P(C) = 1/3 La asignacin de probabilidades espermisible, porque todos los valores seencuentran en el intervalo de 0 a 1y la suma es 1/3+1/3+1/3 = 1. 96. b) P(A) = 0.64, P(B) = 0.38 y P(C) = -0.02 La asignacin no es permisible, porque P(C) es negativa.c) P(A) = 0.35, P(B) = 0.52 y P(C) = 0.26 La asignacin no es permisible, porque 0.35+0.52+0.26 = 1.13, lo que excede de 1. d) P(A) = 0.57, P(B) = 0.24 y P(C) = 0.19 La asignacin es permisible, porque todos los valores se encuentran en el intervalo de 0 a 1 y su suma es 0.57+0.24+0.19 = 1. 97. El tercer axioma de probabilidad puede ampliarse para incluir cualquier nmero de eventos mutuamente excluyentes. Teorema: Si A1, A2,...,An son eventos mutuamente excluyentes en un espacio muestral S, entonces P ( A1 A2 ... An ) P ( A1 ) P ( A2 ) ... P ( An ) 98. Ej. La probabilidad de que un ingeniero que prueba el servicio de un nuevo dispositivo anticontaminante para automviles lo clasifique como muy deficiente, deficiente, suficiente, bueno, muy bueno o excelente son 0.07, 0.12, 0.17, 0.32, 0.21 y 0.11. Cules son las probabilidades de que las clasificaciones del dispositivo seana) muy deficiente, deficiente, suficiente o bueno;b) bueno, muy bueno o excelente? Puesto que las posibilidades son mutuamente excluyentes, la sustitucin directa en la frmula del teorema anterior da como resultado a) 0.07 + 0.12 + 0.17 + 0.32 = 0.68 b) 0.32 + 0.21 + 0.11 = 0.64 99. Regla de clculo de probabilidad Regla de clculo de probabilidad de un evento.Teorema. Si A es un evento en el espaciomuestral S, entonces P(A) es igual a la sumade las probabilidades de losresultados individuales comprendidos en A. 100. Ej. Con referencia al ej. de las mquinas industriales, (slide 60) supongamos que las probabilidades de los 18 resultados son las que se indican en la siguiente figura. Determine:P(E1),P(P1),P(C1),P(E1 P1) yP(E1 C1) 101. Al sumar las probabilidades de los resultados comprendidos en los respectivos eventos, obtenemos:P(E1) = 0.07 + 0.13 + 0.06 + 0.05 + 0.07 + 0.02 = 0.40 102. P(P1) = 0.07 + 0.13 + 0.06 + 0.07 + 0.14 + 0.07 + 0.02 + 0.03 + 0.01 = 0.60 103. P(C1) = 0.07 + 0.05 + 0.07 + 0.08 + 0.02 + 0.01 = 0.30 104. P(E1P1) = 0.07 + 0.13 + 0.06 = 0.26 105. P(E1C1) = 0.07 + 0.05 = 0.12 106. Otra ampliacin del tercer axioma nos permite determinar la probabilidad de la unin de 2 eventos cualesquiera en S, independientemente de que sean mutuamente excluyentes. Para motivar el siguiente teorema, consideremos el siguiente diagrama de Venn, referente a las solicitudes de empleo de estudiantes recientemente graduados de la escuela de ingeniera. 107. 107 Las letras I y G representan la obtencin de un empleo en la industria o en el gobierno, de modo que del diagrama se desprende que P (I) = 0.18 + 0.12 = 0.30 P (G) = 0.12 + 0.24 = 0.36 P (I G) = 0.18 + 0.12 + 0.24 = 0.54 Podemos sumar las diversas posibilidades porque representan eventos mutuamente excluyentes. 108. 1080.54 Si hubisemos empleado errneamente el tercer axioma de probabilidad (slide 93) para calcular P(I G), habramos obtenido P(I) + P(G) = 0.30 + 0.36 = 0.66, lo que excede del valor correcto por 0.12 Este error resulta de incluir P(I G) dos veces, una en P(I) = 0.30 y otra en P(G) = 0.36, lo que podramos corregir restando 0.12 de 0.66.Slide 93 109. 0.54 Por lo tanto, obtendramos P(I G) = P(I) + P(G) P(IG)= 0.30 + 0.36 0.12= 0.54lo que coincide con el resultado obtenido anteriormente. En consonancia con esto, ahora se enuncia el siguiente teorema: 110. Regla General de la adicin Regla General de la adicin. Teorema: Si A y B son cualesquiera eventos en S, entoncesP(AB) = P(A) + P(B) P(A B) Probabilidad de complemento. Teorema: Si A es cualquier evento en S, entonces P(A') = 1 P(A) 111. 111 Ej. Con referencia al ej. de clasificacin demquinas industriales, determine la probabilidadde que una de ellas sea clasificada ya sea comofcil de operar, con un alto costo de reparacin o P(E1) = 0.40 ambascondiciones, es decir, P(E1 C1). P(C1) = 0.30 P(E1 C1) = 0.12Mediante el uso de los resultados obtenidosanteriormente (slides 101-105), P(E1) = 0.40,P(C1) = 0.30 y P(E1C1) = 0.12, sustituimos enla frmula del teorema anterior y obtenemos P(E1 C1) = 0.40 + 0.30 0.12= 0.58Slide 57 112. Ej. Si las probabilidades de que, en condiciones de garanta, un automvil nuevo requiera reparaciones del motor, la transmisin o ambos son 0.87, 0.36 y 0.29, cul es la probabilidad de que un auto requiera uno o el otro o ambos tipos de reparacin durante el periodo de garanta?Al sustituir estos valores dados en la frmula del teorema anterior, obtenemos:0.87 + 0.36 0.29 = 0.94 113. 2.7 Probabilidad Condicional e Independencia Hasta aqu hemos definido probabilidad de un evento en relacin a un espacio muestral S dado. Buscar la probabilidad de que un ingeniero gane al menos 40 mil dlares al ao carece de significado, a menos que especifiquemos si nos referimos a todos los ingenieros del Continente Americano, a todos los ingenieros de Estados Unidos o de Mxico, a los de cierta industria o cierta universidad, etc. 114. As, cuando empleamos el smbolo P(A) para la probabilidad de A, aludimos en realidad a la probabilidad de A dado algn espacio muestral S. Puesto que la eleccin de S no siempre es evidente, y puesto que hay problemas en los que nos interesan las probabilidades de A con respecto a ms de un espacio muestral, la notacin P(A|S) sirve para aclarar que nos referimos a un espacio muestral S en particular. 115. Leemos P(A|S) como la probabilidad condicional de A en relacin con S, de modo que toda probabilidad es una probabilidad condicional. Cuando la eleccin de S se sobreentiende, optamos por la notacin simplificada P(A). 116. Supongamos que 500 partes de maquinaria son inspeccionadas antes de su embarque, que I denota que una parte ha sido inadecuadamente ensamblada, D denota que contiene uno o ms componentes defectuosos y la distribucin de las 500 partes entre las diferentes categoras es la que se muestra en el siguiente diagrama de Venn. 117. Los nmeros sonN(ID') = 20N(ID) = 10N(I' D) = 5N(I' D') = 465 Clasificacin de 500 partes de maquinaria 118. Suponiendo iguales probabilidades en la seleccin de una de las partes para su inspeccin, la probabilidad de obtener una con uno o ms componentes defectuosos es 10 53P(D ) 500 100 119. Para verificar si la probabilidad es la misma cuando la seleccin se restringe a las partes de maquinaria que han sido inadecuadamente ensambladas, nos basta con remitirnos al espacio muestral reducido de la siguiente figura, y suponer que cada una de las 30 partes inadecuadamente ensambladas tiene la misma oportunidad de ser seleccionada. 120. En consecuencia obtenemos N (D I) 10 1 P(D | I ) N (I )30 3 Puesto que se sabe que I ha ocurrido, se convierte en el nuevo espacio muestral reemplazando el original S 121. De modo que la probabilidad de obtener una parte con 1 o ms componentes defectuosos se ha incrementado de 3/100 = 0.03 a 1/3 = 0.33. 122. Advirtase que si dividimos el numerador y eldenominador de la frmula de P(D|I)entre N(S), obtenemos N (D I)N (S ) P(DI) P(D | I ) N (D I) N (I ) P(I ) P(D | I ) N (I ) N (S ) 123. Abordando este ejemplo de otra manera, obsrvese que con respecto al espacio muestral S en su conjunto tenemos 101202 P(D I)y P(D ' I )500 50 500 50 124. 101202 P(D I)y P(D ' I )500 50 500 50 Suponemos, como antes, que cada una de las 500 partes tiene la misma oportunidad de ser seleccionada. 125. 101202 P(D I)y P(D ' I )500 50 500 50 Las probabilidades de que la parte seleccionada contenga o no uno o ms componentes defectuosos, concediendo que ha sido inadecuadamente ensamblada, deberan corresponder a la razn 1 a 2. 126. 101202 P(DI) y P(D ' I )500 50 500 50 Puesto que las probabilidades de D y D' en el espacio muestral reducido deben sumar 1, de ello se deduce que12 P(D | I ) yP ( D '| I )33 127. Lo cual coincide con el resultado obtenido anteriormente. Esto explica porqu tuvimos que dividir entre P(I) (slide 122) cuando formulamos P(DI) P(D | I )P(I ) 128. La divisin entre P(I), o la multiplicacin por 1/P(I), toma en cuenta el factor de proporcionalidad que hace que la suma de las probabilidades en el espacio muestral reducido sea igual a 1. 129. 129 Como consecuencia de estas observaciones,establezcamos la siguiente definicin general: Regla General de la Multiplicacin Probabilidad condicional. Si A y B son eventosen S y P(B) 0,la probabilidad condicional de A dado B es P( A B) P( A | B)P(B) La probabilidad de la interseccin esP( AB)P(B)P( A | B) Es la probabilidad de que ambos eventosocurran (tambin llamado evento compuesto). 130. Ej. Hallar la probabilidad de que en un slo lanzamiento de un dado resulte un nmero menor que 4, a) no se da ninguna otra informacinSi A denota el suceso {menor que 4}, ya que A es la unin de los sucesos 1, 2 3 observamos queP(A) = P(1) + P(2) + P(3) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = suponiendo probabilidades iguales para los puntos muestrales. 131. Ej. Hallar la probabilidad de que en un slo lanzamiento de un dado resulte un nmero menor que 4, b) se da la informacin de que el lanzamiento result en un nmero impar.Si B es el suceso {nmero impar} observamos que P(B) = 3/6 = . Tambin P(A B) = 2/6 = 1/3. Entonces 1 P(A B) 3 2P(A | B)P(B)1 32 Por tanto, el saber que el resultado del lanzamiento es un nmero impar aumenta la probabilidad de a 2/3 132. Ej. Un recipiente contiene 5 transistores defectuosos (inmediatamente fallan cuando se ponen en uso), 10 transistores parcialmente defectuosos (fallan despus de unas horas en uso) y 25 transistores aceptables. Del recipiente se toma aleatoriamente un transistor y se pone en funcionamiento. Si no falla inmediatamente, cul es la probabilidad de que sea aceptable? Ya que el transistor no falla inmediatamante, sabemos que no es uno de los 5 defectuosos y, entonces la probabilidad buscada es: P{aceptable | nodefectuo so }P( A B) P { aceptable , nodefectuo so } P( A | B) P(B)P { nodefectuo so } Si es aceptable, ser tanto aceptable como no defectuoso P { aceptable } P { nodefectuo so } 2540250 . 71353540 133. Ej. Un recipiente contiene 5 transistores defectuosos (inmediatamente fallan cuando se ponen en uso), 10 transistores parcialmente defectuosos (fallan despus de unas horas en uso) y 25 transistores aceptables. Del recipiente se toma aleatoriamente un transistor y se pone en funcionamiento. Si no falla inmediatamente, cul es la probabilidad de que sea aceptable?Otra forma de resolverlo: A = aceptableN(A) = 25 B' = defectuosoN(B') = 5| B = no defectuosoN(B) = 40 - 5= 35 P(B) = (40 5)/40 = 35/40 C = parcialN(C) = 10N(AB) = 25P(AB) = 25/40 B 35B'A C5 2525 10 P( A B)40 25 P( A | B)P(B)P(A|B) 350 . 7135 40 134. Ej. Un recipiente contiene 5 transistores defectuosos (inmediatamente fallan cuando se ponen en uso), 10 transistores parcialmente defectuosos (fallan despus de unas horas en uso) y 25 transistores aceptables. Del recipiente se toma aleatoriamente un transistor y se pone en funcionamiento. Si no falla inmediatamente, cul es la probabilidad de que sea aceptable?Otra forma de resolverlo:Esta probabilidad tambin se hubiera obtenido del espacio muestralreducido. Como sabemos que el transistor no es defectuoso, elproblema se reduce a calcular la probabilidad de que un transistor,tomado de un recipiente con 25 aceptables y 10 parcialmentedefectuosos, sea aceptable. Esto es,25 35 135. Ej. El seor Martnez piensa que hay un 30% de probabilidad de que la empresa donde labora abra una sucursal en La Paz. Si lo hace, el tiene un 60% de seguridad de que ser nombrado director de esta nueva oficina. Con qu probabilidad el seor Martnez ser el director de la nueva sucursal en La Paz? Si B denota el evento de que la compaa abra una oficina filial en La Paz y A el evento que el seor Martnez sea nombrado su director, entonces la probabilidad buscada es P(B A), que se obtiene deP(B A) = P(B) P(A|B)= (0.3)(0.6) = 0.18 136. Ej. Se tiran un par de dados, hallar: 1) la probabilidad de que salga un 2 en al menos uno de los dados, y 2) la probabilidad de que salga un 2 en uno de los dados, si la suma ha salido 6.1) A = {que salga un 2 en al menos unode los dados}A se compone de los siguientes 11 elementos:A = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (1,2),(3,2), (4,2), (5,2), (6,2)S tiene 36 elementosP(A) = 11/36 137. Ej. Se tiran un par de dados, hallar: 1) la probabilidad de que salga un 2 en al menos uno de los dados, y 2) la probabilidad de que salga un 2 en uno de los dados, si la suma ha salido 6. 2)A = {salga 2 en uno de los dados} B = {la suma es 6} Se pide hallar P(A|B). B se compone de 5 elementos: B = {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)} 2 de ellos pertenecen a A, es decir AB = (2,4) y (4,2) N (AB) P( A | B) N (B )(slides 120, 122) P(A|B) = 2/5 138. Ej. Un lote contiene 12 objetos, de los cuales 4 son defectuosos. Se sacan 2 objetos al azar, uno detrs del otro. Hallar la probabilidad de que los 2 no sean defectuosos. La probabilidad de que el primero no sea defectuoso es 8/12, ya que 8 de los 12 no son defectuosos. Si el primero no es defectuoso, entonces la probabilidad de que el segundo no lo sea es de 7/11, ya que slo 7 de los restantes 11 no son defectuosos, entonces P( A B) P(B)P( A | B) slide 129 (se multiplican)P = (8/12)(7/11) = 56/132 = 0.42 139. Regla Especial de la Multiplicacin Independencia Si P(A|B) = P(A), es decir, la probabilidad de que A ocurra no est afectada por la ocurrencia o no ocurrencia de B, entonces decimos que A y B son sucesos independientes. Esto es equivalente a P(AB) = P(A) P(B) P(B A) = P(B) P(A|B) Inversamente, si se cumple lo anterior, entonces A y B son independientes. 140. Ej. Hallar la probabilidad de obtener al menos un 4 en 2 lanzamientos de un dado honrado. A = {4 en el primer lanzamiento} B = {4 en el segundo lanzamiento} Requerimos A B = {4 en el primer lanzamiento o 4 en el segundo lanzamiento o ambos} P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (regla gral. adicin slide 110) Los eventos A y B son independientes, por tanto = P(A) + P(B) P(A) P(B) (slide 139) = 1/6 + 1/6 (1/6)(1/6) = 11/36 141. Ej. Se extraen 2 cartas al azar de un juego de 52. Qu probabilidad hay de obtener 2 ases si: a) la primera carta es reemplazada antes de que se extraiga la segunda. b) sin reemplazo a) dado que entre los 52 cartas hay 4 ases,obtenemos (4/52)(4/52) = 1/169 b) dado que entre los 51 cartas restantes, trasde separar un as, slo quedan 3 ases,obtenemos (4/52)(3/51) = 1/221 Ntese que cuando el muestreo es sin reemplazo la independencia se viola. 142. Ej. Si P(C) = 0.65, P(D) = 0.40 y P(C D) = 0.24 los eventos C y D son independientes?si se cumple P(A B) = P(A) P(B) entonces son independientes (slide 140) Puesto que P(C)P(D) = (0.65)(0.4) = 0.26 y no 0.24, estos 2 sucesos no son independientes. 143. Ej. A es el evento en el que se dispone de materia prima cuando se necesita y B es el evento en el que el tiempo de operacin de la maquinaria es inferior a 1 hora. Si P(A) = 0.8 y P(B) = 0.7, asigne probabilidad al evento A B.Puesto que los eventos A y B se refieren a pasos del proceso de manufactura sin relacin entre si, invocamos la independencia y establecemos la asignacinP(AB) = P(A)P(B) = (0.8)(0.7) = 0.56 144. 2.8 Regla de Eliminacin Las reglas generales de la multiplicacin son tiles para la resolucin de muchos problemas en los que el resultado final de un experimento depende de los resultados de varias etapas intermedias. Supongamos, por ej. que una planta de ensamblado recibe sus reguladores de voltaje de 3 proveedores diferentes, 60% del proveeedor B1, 30% del proveedor B2 y 10% del proveedor B3. 145. Si 95% de los reguladores de B1, 80% de los de B2 y 65% de los de B3 se desempean de acuerdo con las especificaciones, lo que querramos saber es la probabilidad de que cualquier regulador de voltaje recibido en la planta se desempee de acuerdo con las especificaciones.Proveedor B1 B2 B3Recepcin 0.60 0.30 0.10 Desempeo 0.95 0.80 0.65 146. Si A denota el evento en el que un regulador de voltaje recibido en la planta se desempee de acuerdo con las especificaciones y B1, B2 y B3 son los eventos en lo que esto es atribuible a los respectivos proveedores, podemos formular queA A( B1 B2B3 )A (AB1 )(A B2 ) (A B3 ) dado que A B1 , A B 2 y AB3son mutuamente excluyentes, P ( A)P( AB1 )P( A B2 )P( A B3 ) 147. P( A) P( A B1 ) P( AB2 ) P( A B3 ) Si aplicamos la segunda regla de lamultiplicacin a P ( A B1 ), P ( A B 2 ) y P ( AB3 )obtenemos (slide 129) P ( A) P ( B 1 ) P ( A | B 1 ) P ( B 2 ) P ( A | B 2 )P ( B 3 ) P ( A | B 3 ) y la sustitucin de los valores numricosdados nos daP(A) = (0.60)(0.95)+(0.30)(0.80)+(0.10)(0.65)= 0.875 Proveedor B1B2B3 Recepcin 0.600.300.10Desempeo 0.950.800.65 es la probabilidad de que cualquier reguladorrecibido en la planta se desempee deacuerdo con las especificaciones 148. Para visualizar este resultado, nos basta con elaborar un diagrama de rbol donde la probabilidad del resultado final esta dada por la suma de los productos de las probabilidades correspondientes a cada una de las ramas del rbol. Proveedor B1 B2 B3Recepcin 0.60 0.30 0.10 Desempeo 0.95 0.80 0.65P(A) = (0.60)(0.95)+(0.30)(0.80)+(0.10)(0.65) 149. En el ejemplo anterior slo haba3 alternativas en la etapa intermedia, pero sisi hay n alternativas mutuamente regla de eliminacin excluyentes B1, B2,,Bn en la etapaintermedia, una argumentacin similar nosconducir al siguiente resultado, llamadoregla de eliminacin oregla de probabilidad total:Teorema. Si B1,B2,,Bn son eventos mutuamente excluyentes, uno de los cuales debe ocurrir, entoncesnP ( A) P ( B i ) P ( A | B i )i 1 150. Para visualizar este resultado, nos basta con elaborar un diagrama de rbol donde la probabilidad del resultado final esta dada nuevamente por la suma de los productos de las probabilidades correspondientes a cada una de las ramas del rbol. 151. Supongamos que queremos conocer la probabilidad de que un regulador en particular, del que sabemos que se desempea de acuerdo con las especificaciones, proceda del proveedor B3. Simblicamente, deseamos saber el valor de P(B3|A), y para determinar una frmula para esta probabilidad establecemos primeramente que P(AB3 ) (slide 129)P ( B 3 | A) P ( A) 152. P(AB3 )P( B3 | A) P( A) Luego, al sustituir P(B3) P(A|B3) por P(AB 3) y3( P ( B i )P(A | B i ) por P(A), i 1 (slides 129 y 149) P ( B 3 )P(A | B 3 ) obtenemos la frmulaP ( B3 | A )3 P ( B i )P(A | B i )i 1 que expresa a P(B3|A) en trminos deprobabilidades dadas. Al sustituir los valoresnumricos (de la tabla o del diagrama)obtenemos 153. P ( B3 )P(A | B3 )P ( B3 | A) 3P ( Bi )P(A | Bi ) i 1Proveedor B1 B2B3 Recepcin 0.60 0.300.10Desempeo 0.95 0.800.65(0.10)(0.6 5) P ( B 3 | A)0 . 074( 0 . 60 )( 0 . 95 ) ( 0 . 30 )( 0 . 80 ) ( 0 . 10 )( 0 . 65 ) Advirtase que la probabilidad de que unregulador sea provisto por B3 decrece de0.10 a 0.074 una vez que se sabe que sedesempea de acuerdo con lasespecificaciones. 154. Ej. Se ha nominado a 3 miembros de un club para ocupar la presidencia del mismo. La probabilidad de que se elija al seor Adams es de 0.3; la de que se haga lo propio con el seor Brown es de 0.5 y la de que gane la seora Cooper es de 0.2. En caso de que se elija al seor Adams, la probabilidad d que la cuota de ingreso se incremente es de 0.8; si se elige al seor Brown o a la seora Cooper, las correspondientes probabilidades de que se incremente la cuota son de 0.1 y 0.4 Cul es la probabilidad de que haya un incremento en la cuota de membresa? 155. Considrense los siguientes eventos:A: se incrementan las cuotas de ingresoB1: se elige al seor AdamsB2: se elige al seor BrownnB3: se elige a la seora CooperP( A) P( Bi )P( A | Bi )i 1 Al aplicar la regla de eliminacin, se puede escribirP(A) = P(B1) P(A|B1) + P(B2) P(A|B2) + P(B3) P(A|B3) 156. Al hacer referencia al siguiente diagrama de rbol, se encuentra que las 3 ramas dan las probabilidadesP (B1) P(A|B1) = (0.3)(0.8) = 0.24 P (B2) P(A|B2) = (0.5)(0.1) = 0.05 P (B3) P(A|B3) = (0.2)(0.4) = 0.08y por lo tanto P(A) = 0.24 + 0.05 + 0.08 = 0.37 157. P ( B3 )P(A | B3 )P ( B3 | A)3P ( Bi )P(A | Bi )2.9 Teorema de Bayes i 1 El mtodo empleado para resolver el ejemplo de los proveedores puede generalizarse para dar como resultado la siguiente frmula: Teorema. Si B1, B2,Bn son eventos mutuamenteexcluyentes, uno de los cuales debe ocurrir,entoncesP ( B r ) P ( A | B r )P ( Br | A) n P ( B i ) P ( A | B i )i 1para r = 1, 2,,n. 158. P ( Br )P ( A | Br ) P ( Br | A) nP ( Bi )P ( A | Bi ) i 1 Ntese que la expresin en el numerador es la probabilidad de alcanzar A va la r-sima rama del rbol y que la expresin en el denominador es la suma de las probabilidades de alcanzar A va la n ramas del rbol. El teorema de Bayes ofrece una frmula para determinar la probabilidad de que el efecto A haya sido causado por el evento Br. 159. P ( Br )P ( A | Br )P ( Br | A) n P ( Bi )P ( A | Bi )i 1 En el ej. anterior determinamos la probabilidad de que un regulador aceptable haya sido producido por el proveedor B3. Las probabilidades P(Bi) se llaman probabilidades anteriores, o a priori de las causas Bi. 160. Ej. 4 tcnicos se encargan regularmente de las reparaciones de una linea de produccin automatizada en caso de descomposturas. El empleado 1, quien se ocupa del 20% de las descomposturas, realiza una reparacin incompleta 1 vez de 20; el empleado 2, quien atiende 60% de las descomposturas, realiza una reparacin incompleta 1 vez en 10; el empleado 3, quien atiende el 15% de las descomposturas, hace una reparacin incompleta 1 vez en 10; y el empleado 4, quien se ocupa del 5% de las descomposturas, realiza una reparacin incompleta 1 vez en 20. 161. Para el siguiente problema con la lnea de produccin, atribuido en el diagnstico a una reparacin incompleta, cul es la probabilidad de que tal reparacin inicial haya sido por el empleado 1?Empleado 1 234Atencin a0.200.60 0.15 0.05descomposturasReparaciones 1 de 20 1 de 10 1de10 1 de 20incompletes 162. Empleado 1 23 4causa BAtencin adescomposturas0.200.60 0.150.05 Reparaciones efecto A incompletes 1 de 20 1 de 10 1de101 de 20 Sustituyendo las diversasP ( Br )P ( A | Br ) P ( Br | A) probabilidades en la formula delnP ( Bi )P ( A | Bi ) teorema de Bayes obtenemosi 1(0.20)(0.05) P( B1 | A)0.114(0.20)(0.05) (0.60)(0.10) (0.15)(0.10)(0.05)(0.05)resulta de inters notar que aunque el empleado 1realice una reparacin incompleta slo 1 de cada 20veces (5% de las descomposturas), ms del 11% de lasreparaciones incompletas son responsabilidad suya. 163. x Mxi| i fi k 2 xi f i