PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

IME261

PROF.: Dra. Sonia Salvo Garrido

Ayudantes: Tamara Manzano Felipe Matheson

Primer Semestre 2006

Unidad I: Probabilidad

1.0 Introducción

• Los primeros estudios sobre probabilidad tuvieron su origen en los juegos de azar.

• Por muchos años las ideas de probabilidades estuvieron asociadas a los juegos de azar, hasta que en el siglo XVIII los matemáticos Laplace y Gauss muestran que las probabilidades son también aplicables a otras actividades.

• La teoría de probabilidades conocida hoy en día fue desarrollada por el matemático Kolmogorov quien en su paper titulado “Foundations of Theory of Probability”, desarrolló la teoría axiomática de la probabilidad.

• En esta unidad se presentará un modelo matemático que recoja la idea vaga de probabilidad que se tiene y le de un contexto preciso.

1.1 Conceptos Importantes

- Experimento Aleatorio: Operación cuyo resultado no puede ser predicho con certeza antes de realizarlo.

- Espacio Muestral (Ω): Conjunto de resultados posibles al desarrollar un experimento, que posee las siguientes características:

Si Ω tiene un número finito o infinito numerable de elementos, se dirá que es Discreto.

Si Ω tiene como elementos todos los puntos de algún intervalo de la recta real, se dirá que es Continuo.

- Evento o Suceso: Subconjunto cualquiera del espacio muestral.

Ω espacio muestralE espacio muestral

A

A’

SUCESO

SUCESOCOMPLEMENTO

E espacio muestral

A

B

INTERSECIÓN

E espacio muestral

A

B

UNIÓN

Ejemplo 1: Seleccionar al azar una ficha desde una caja con seis fichas.

El experimento consiste en extraer una ficha. Si las fichas están enumeradas del 1 al 6, entonces Ω={1,2,3,4,5,6}, con lo que el resultado de una extracción es un número entre el 1 y el 6.

discreto. conjunto un es casos ambos en que claro es ,Finalmente

Asíelementos. 30 tendrá muestral espacio el caso esta En ficha. otra

la de número el segunda la y extraida ficha primera la de número el denota

componente primera la donde , , ; , ordenados pares

como denotar pueden se esextraccion dos las de resultados Los vez. la a

fichas dos extraen se que suponiendo y caja misma la ahora doConsideran

},6,1;6,1);,{(

6,16,1),(

jijiji

jijiji

Ejemplo 2: Observar las caras de dos dados al ser lanzados al aire.

El experimento consiste en lanzar dos dados al aire, por lo que el espacio muestral es:

}6,1;6,1);,{( jiji

Este experimento tiene 36 eventos elementales. Se definen los siguientes eventos:

A1: “La suma de los dos números es divisible por tres”.

A2: “Los dos dados muestran el mismo número”.

A3: “El segundo número es el cuadrado del primero”.

Evidentemente estos eventos son compuestos y se pueden describir:

etc.

)},4,2{(

)}4,2(),6,6(),5,5(),4,4(),3,3(),2,2(),1,1{(

}:),{(

}:),{(

}4,1;3:),{(

31

32

23

2

1

AA

AA

ijjiA

jijiA

nnjijiA

Probabilidad: Es una función de conjunto, definida sobre una clase AA de subconjuntos del espacio muestral Ω, tal que a un subconjunto cualquiera A de AA le asocia un número P(A), llamado probabilidad de A, y que debe satisfacer los siguientes axiomas:

ijiii

ijiAAAPAP

AP

P

.,),(

0)(

1)(

Ax.3

Ax.2

Ax.1

Definición de probabilidad

E espacio muestral

100%

E espacio muestral

B

A

AA es una clase específica, una σ-álgebra, que incluye al conjunto ø, al espacio muestral y es cerrada bajo uniones e intersecciones numerables de sus conjuntos.

La formulación de los axiomas de probabilidad completa la descripción matemática de un experimento aleatorio, que consta de tres elementos fundamentales: un espacio muestral Ω, una σ-álgebra de eventos AA, y la función de probabilidad P.

La terna ordenada (Ω, AA, P) constituye un espacio de probabilidad asociado a un experimento aleatorio.

En todo experimento aleatorio, el espacio muestral Ω juega el papel de conjunto universal de manera que todos los complementos son tomados con respecto a Ω.

1.3 Axiomas de Probabilidad

Teorema 1.1: Sean A y B dos eventos arbitrarios

a) 0P

b) APAP C 1)(

c) Si BA , entonces BPAP )(

Teorema 1.2: Sean A y B dos eventos arbitrarios

BAPBPAPBAP )(

Colorario: 1AP

Teorema 1.3: Dado un espacio muestral y cualquier evento A

k

iiAPAP

1

donde kiAi ,...1, son eventos elementales distintos y

k

iiAA

1

Teorema de la urna: Consideremos una urna que contiene

M elementos de la misma forma y numerados del 1 al M,

donde los MI primeros elementos son del tipo I y los

restantes MII = M- MI del tipo II. Se seleccionan n elementos

de uno en uno y se definen los siguientes eventos:

II. tipodelson restantes losy I tipodelson

dosselecciona elementos primeros )( los

kn

nkkUk

-II tipodel restantes los(y dosselecciona losen

I tipodelson restantes losy I deltipo elementos )( eexactamenthay

n-kn

knnkkV k

a) S i el m uestreo es con reem plazo , tenem os:

kn

Ik

Ik

knI

kI

k

MM

MM

kn

VP

MM

MM

UP

1

1

S i e l m u e s t r e o e s s i n r e e m p l a z o , T e n e m o s :

!!!

!!!MknMMkM

nMMMMUP

II

IIk

n

MknMM

kM

VP IIk

Conclusiones

• Los Axiomas Ax1, Ax2 y Ax3 y sus resultados obtenidos, definen las propiedades de una medida de probabilidad, las cuales son consistentes con nuestra noción intuitiva.

•El Teorema 1.3 da una caracterización de los eventos compuestos mediante eventos elementales, lo que facilita en gran medida el cálculo de probabilidades, sobre todo en aquellos casos en que Ω es finito.

muestral. espacio del elementos

de número el es y de elementos de número el es donde

:es evento cualquier para adprobabilid La

)()(

)(

)()(

nAAn

n

AnAP

A

Ejemplo

Supongamos que lanzamos dos dados distinguibles. Entonces el espacio

muestral asociado a este experimento está dado por

36,6,...,1,:, njiji

y el número total de eventos que se pueden definir son 362 .

Consideremos los sucesos

6,6,6,5,...,2,3,2,2,2,1par es :,

6,6,6,5,6,4,6,3,6,2,6,16:,

1,2,2,1,1,13:,

jjiC

jjiB

jijiA

Supongamos que jijiP ,361, , entonces

12

1

36

3,

,

Aji n

AnjiPAP

6

1366

,,

Bji n

BnjiPBP

21

3618 CP

1.4 Probabilidad Condicional, Independencia.

A veces se sabe que un evento determinado ocurre y basándose en esta información, se quiere averiguar cuál es la probabilidad de otro evento.

Probabilidad Condicional: Sean dos eventos A y B, la probabilidad condicional de que A ocurra, dado que ha ocurrido B, es:

0)(,0)/(

0)(,)(

)()/(

BPBAP

BPBP

BAPBAP

si

si

→ Las probabilidades Condicionales satisfacen los axiomas de probabilidad.

)(

)()|(

BP

ABPBAP

E espacio muestral

A

B

“tam

año”

de

uno

resp

ecto

al

otro

Intuir la probabilidad condicionada

B

A

P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(AB) = 0,10

B

A

¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B?

P(A|B)=1 P(A|B)=0,8

P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(AB) = 0,08

Intuir la probabilidad condicionada

A

B

A

B

¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B?

P(A|B)=0,05 P(A|B)=0

P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(AB) = 0,005

P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(AB) = 0

Probabilidad de la intersección: Esta probabilidad es frecuentemente más utilizada, ya que generalmente la probabilidad condicional aparece como dato, por lo tanto para cualquier par de eventos A1 y A2:

)()/()( 11221 APAAPAAP

segunda. la de resultado el y primera

la de resultado el describe condiciona que evento El etapas. dos en

eventos de sucesión una como dointerpreta ser puede donde

2

1

21

A

A

AA

Ejemplo

En Temuco, la probabilidad de que llueva el primero de Julio es 0.5. Si llueve el día 1 de Julio, la probabilidad que llueva al día siguiente es 0.8. ¿Cuál es la probabilidad que llueva los dos primeros días de Julio?

4.05.08.0)()/()(

:

:

:

11221

21

2

1

JPJJPJJP

JJ

J

J

adprobabilid tiene Julio". de 2 y 1 día el Llueve" evento el Entonces

Julio" de 2 día el llueve"

Julio" de 1 día el llueve"

:eventos los Sean

Ejemplo

Una caja contiene dos bolas blancas y tres negras. Una bola se selecciona al azar y enseguida se extrae la otra de las restantes. ¿Cuál es la probabilidad que la primera sea negra y la segunda blanca?. ¿Cuál es la probabilidad que la segunda sea blanca?

Definimos los siguientes eventos:

A: “la primera bola es negra”

B: “la segunda bola es blanca”

Tenemos entonces que P(A)=3/5 y la segunda extracción depende de lo que haya sucedido en la primera extracción. Si la primera fue negra, restan dos blancas y dos negras para la segunda extracción. Así, de acuerdo a nuestra notación P(B/A)=2/4 y luego

P(A∩B) = P(B/A)P(A) = 2/4 x 3/5 = 3/10

Para la segunda pregunta, notemos que B = (A∩B) U (Ac∩B) y por Ax.3

P(B) = P(A∩B) + P(Ac∩B) = 2/4 x 3/5 + 1/5 x 2/5 = 2/5

Ejemplo

Una caja de fusibles contiene 20 unidades, de los cuales 5 son defectuosas. Si tres de estos fusibles son tomados al azar, en sucesión y sin reemplazo.

a)¿Cuál es la probabilidad de que los tres sean defectuosos?

b) Si en cada uno de las dos primeras se extrajo un defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que el tercero extraído sea bueno?.

c)Si los dos primeros estaban buenos, ¿Cuál es la probabilidad de que el tercero extraído sea defectuoso?

d)¿Cuál es la probabilidad que los dos primeros sean buenos y el tercero defectuoso?

Considerando los siguientes eventos:

A = El primer fusible extraído es defectuoso.

B = El segundo fusible extraído es defectuoso.

C = El tercer fusible extraído es defectuoso. …

… Del enunciado tenemos P(A) = 5/20, P(B/A) = 4/19 y P(C /A∩B) = 3/18

Para (a) notemos que la probabilidad que los tres sean defectuosos corresponde a la probabilidad de la intersección de los sucesos recién definidos; esto es. P(A∩B∩C), aplicando la regla del producto y reemplazando los valores correspondientes tenemos

P(A∩B∩C) = P(C /A∩B) P(B/A) P(A) = 3/18 x 4/19 x 5/20 = 0.0087

La pregunta (b) es una probabilidad condicional y corresponde a:

P(Cc /A∩B) = 1 – P(C /A∩B) = 1 – 3/18 = 15/18 = 0.83

Para la parte (c) tenemos que:

P(C / Ac ∩ Bc) = 5/18 = 0.277

Finalmente, la probabilidad de que los primeros sean buenos y el tercero defectuoso está dada por

P(Ac ∩ Bc ∩ Cc) = P(C / Ac ∩ Bc) P(Bc /Ac) P(Ac) = 0.15

kiAEPAP

AEPAPEAP

AEPAPEP

E

jiAAA

AAA

k

jjj

iii

k

iii

jii

k

i

k

,1,)/()(

)/()()/(

)/()()(

.

,,,

1

1

1

21

tiene se 1.4 Teorema del scondicione mismas las Bajo

Bayes) (de

:tiene se

evento cualquier para Entonces y decir, es

, de partición una forman eventos los que Supongamos

total). adprobabilid la (de

1.5. Teorema

1.4. Teorema

Divide y vencerás

A1 A2

A3 A4

B

Todo suceso B, puede ser descompuesto en componentes de dicho sistema.

B = (B∩A1) U (B∩A2 ) U ( B∩A3 ) U ( B∩A4 )

Nos permite descomponer el problema B en subproblemas más simples. Créeme. Funciona.

Teorema de la probabilidad total

A1 A2

A3 A4

B

Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces…

… podemos calcular la probabilidad de B.

P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + ( B∩A4 )

=P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + …

Ejemplo: En este aula el 70% de los alumnos son varones. De ellos el 10% son fumadores. De las mujeres, son fumadoras el 20%.

• ¿Qué porcentaje de fumadores hay en total?– P(F) = P(F∩H) + P(F∩M)

= P(F|H) P(H) + P(F|M) P(M)

=0,2 x 0,3 + 0,1 x 0,7

= 0,13 =13%

• ¿Se elige a un individuo al azar y resultafumador. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un hombre?

– P(H|F) = P(F ∩ H)/P(F)

= P(F|H) P(H) / P(F)

= 0,2 x 0,3 / 0,13

= 0,46 = 46%

MujeresVarones

fumadores

T. Prob. Total.Hombres y mujeres formanUn Sist. Exh. Excl.De sucesos

T. Bayes

Expresión del problema en forma de árbol

Estudiante

Mujer

No fumaHombre

Fuma

No fuma

Fuma

0,7

0,1

0,20,3

0,8

0,9

P(F) = 0,7 x 0,1 + 0,3x0,2

P(H | F) = 0,3x0,2/P(F)

•Los caminos a través de nodos representan intersecciones.

•Las bifurcaciones representan uniones disjuntas.

•Podéis resolver los problemasusando la técnica de vuestrapreferencia.

Teorema de Bayes

A1 A2

A3 A4

B

Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces…

…si ocurre B, podemos calcular la probabilidad (a posteriori) de ocurrencia de cada Ai.

donde P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total:

P(B)=P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + ( B∩A4 )

=P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + …

P(B)

Ai) P(B B)|P(Ai

Ejemplo

El gerente de una empresa regional dispone de dos autos; uno

proporcionado por la empresa y el otro de su propiedad. La probabilidad

que utilice su auto es 2/5 y la probabilidad que utilice el auto de la empresa

es 3/5. Además se sabe que el gerente llega a tiempo a las reuniones de la

empresa con probabilidad de 1/5 y que se utiliza el auto de la empresa, la

probabilidad de llegar a tiempo a esas reuniones es 1/4. ¿Cuál es la

probabilidad que llegue a tiempo a una reunión dado que utilizó su propio

auto?. Dado que el gerente llegó a tiempo a la reunión, ¿Cuál es la

probabilidad que haya utilizado el auto de la empresa?

Definamos los siguientes eventos:

A: “el gerente utiliza auto propio”.

B: “el gerente utiliza auto proporcionado por la empresa”.

C: “el gerente llega a tiempo a las reuniones”. …

… Tenemos entonces de acuerdo al enunciado que: P(A) = 2/5, P(B)=3/5,

P(C) = 1/5 y P(C/B) = 1/4

La primera pregunta corresponde a P(C/A). Del teorema de la probabilidad

total tenemos

P(C) = P(C /A) P(A) + P(C/B) P(B), de donde

P(C /A) = [P(C) – P(C/B)P(B)] / P(A) = [1/5 – (1/4 x 3/5)] / (2/5) =

1/8

La segunda corresponde a P( B/C) y es una aplicación directa del teorema

de Bayes. En efecto:

P(B/C) = [P(C/B) P(B)] / [P(C/B) P(B) + P(C/A) P(A)

= [1/4 x 3/5] / [(1/4 x 3/5) + (1/8 x 2/5)] = 3/4

Dos sucesos son independientes si el que ocurra uno

no añade información sobre el otro. En lenguaje probabilístico:

– A indep. B P(A|B) = P(A)

• Dicho de otra forma:

– A indep. B P(AB) = P(A) P(B)

Sistema exhaustivo y excluyente de sucesos

A1 A2

A3 A4

Son una colección de sucesos

A1, A2, A3, A4…

Tales que la unión de todos ellos forman el espacio muestral, y sus intersecciones son disjuntas.

Ejemplo

Sean A y B dos sucesos independientes, entonces A y Bc son

independientes. En efecto:

)()(

)](1)[(

)()()(

)()()(

c

c

BPAP

BPAP

BPAPAP

BAPAPBAP

Así, de acuerdo a la definición de independencia entre eventos, A y Bc son independientes.

Ejemplo

La probabilidad que un estudiante estudie para un examen final

es 0.20. Si estudia, la probabilidad de que apruebe el examen es

0.80 en tanto que si no estudia, la probabilidad es de sólo 0.50.

¿Cuál es la probabilidad que dicho estudiante apruebe su

examen final?. Dado que aprobó su examen, ¿Cuál es la

probabilidad que él haya estudiado?.

Consideremos los siguientes eventos:

A: “el estudiante estudia para el examen”.

B: “el estudiante aprueba el examen”. …

… Del enunciado tenemos que: P(A) = 0.20, P(B/A)=0.80, P(B/Ac)

= 0.50. La primera pregunta corresponde a la probabilidad de que B

ocurra; esto es:

P(B) = P(B /A) P(A) + P(B/Ac) P(Ac) = 0.56

reemplazando los valores correspondientes. Notemos que los

eventos A y B no son independientes.

Por otra parte, la probabilidad que el estudiante haya estudiado,

dado que aprobó su examen esta dada por:

P(A/B) = P(A∩B) / P(B) = P(B/A)P(A) / P(B) = (0.8 x 0.2) / 0.56 = 0.286

Ejemplo

Se extrae una carta al azar de un juego de naipes de 52 cartas. Dado que la carta extraída es un “mono”, nos interesa determinar la probabilidad que dicha carta sea de “corazón”.

Consideremos los eventos:

A: “la carta extraída es de corazón”

B: “la carta extraída es un mono”

En términos probabilísticos, la pregunta corresponde a la probabilidad condicional de A dado B así:

ntes.independie son mono""y

corazón"" eventos los y que lo por )()/(,25.052/13)(

25.04

1

52/12

52/3

)(

)()/(

APBAPAP

BP

BAPBAP

Ejemplo

Se usa un interruptor para cortar un flujo cuando este alcanza un cierto nivel de profundidad en un estanque. La confiabilidad del interruptor (probabilidad que trabaje cuando debe) se supone de 0.9. Un segundo tipo de interruptor es puesto en paralelo y su confiabilidad es 0.7. Los interruptores trabajan en forma independiente.

a)¿Cuál es la confiabilidad de la combinación de los interruptores?

b)¿Cuál es la probabilidad, que cuando el flujo alcance el nivel de profundidad sólo trabaje el primer interruptor?

c)¿Cuál es la probabilidad que cuando se alcance el nivel, sólo uno de los interruptores trabaje?

Considerando los siguientes eventos:

A1 = “Primer interruptor trabaja”.

A2 = “Segundo interruptor trabaja”. …

a) La confiabilidad del sistema está dada por la probabilidad del evento “al menos uno de los dos interruptores trabaja”, que corresponde a la probabilidad del evento A1 U A2

97.07.09.07.09.0

)()()()(

)()()()(

2121

212121

APAPAPAP

AAPAPAPAAP

b) Se debe determinar la probabilidad de A1 ∩ A2c, que corresponde al

evento que el interruptor 1 trabaje y el 2 no.

27.0)](1)[()()()( 212121 APAPAPAPAAP cc

c) Definamos los eventos:

A: “Sólo trabaja el interruptor 1” = A1 ∩ A2c

B: “Sólo trabaja el interruptor 2” = A1c ∩ A2

34.07.01.03.09.0

)()()()()( 2121

AAPAAPBPAPBAP cc