Probabilidad y estadística para CEA

Mtra. Ma. Del Carmen López Munive

Distribución Normal

Distribución normal (probabilidad continua)

O En ocasiones llamada Gaussiana, utilizada más comúnmente en estadística.

O Se representa por la clásica forma de campana y uno puede calcular la probabilidad de que varios valores ocurran dentro de ciertos rangos o intervalos.

O Gráfica de Distribución Normal con una media de 0, y una desviación típica 1

Ejemplo: O Es factible determinar la probabilidad de que el

tiempo de descarga de una página principal de un navegador de la Web esté entre 7 y 10 segundos, o que la probabilidad de que el tiempo de descarga esté entre 8 y 9 segundos.

O Sin embargo, la probabilidad de que el tiempo de descarga sea exactamente de 8 segundos es cero.

O La función de la densidad normal de probabilidad es

𝑓 (𝑥 )= 1𝜎 √2𝜋

∗𝑒−

(𝑥−𝜇 ) 22𝜎 2

O Donde:O μ= promedioO σ= desviación estándarO π= 3.1416O e= 2.71828O x= cualquier valor de la variable continua,

donde (-∞ < X < ∞)

𝑓 (𝑥 )= 1𝜎 √2𝜋

∗𝑒−

(𝑥−𝜇 )22𝜎 2

O a, b y c tienen igual μ, pero diferente σO b y d tienen igual σ, pero diferente μO a, d y e tienen diferente μ y σ

e

d

c

b

a

O El primer paso para encontrar una probabilidad normal es usar la fórmula de la transformación para convertir cualquier variable aleatoria normal X en una variable aleatoria estandarizada Z

O La fórmula de la transformación es:

Características de la curva normal1. El 68.26% de las veces asume un valor entre ± una desviación estándar respecto a su

media2. 95.44% de las veces asume un valor entre ± 2 desviaciones estándar respecto a su media3. 99.72% de las veces asume un valor entre ± 3 desviaciones estándar respecto a su media

68.26%

95.44%

m-3s m -2s m -1s m m +1s m +2s m+3s

68.26%

95.44%

m-3s m -2s m -1s m m +1s m +2s m+3s

0.5 0.5 = 1+

Escala Z

Ejemplo O El tiempo de descarga de la página

Web se distribuye normalmente con una media μ = 7 segundos, y una desviación estándar σ = 2 segundos. Por tanto, un tiempo de descarga de 9 segundos equivale a 1 unidad estandarizada (es decir, 1 desviación estándar por arriba de la media, porque:

O y sustituyendo:Z = (9-7)/2 = 2/2= 1

68.26%

99.72%

95.44%

-3 2 -1 m 1 2 3 Escala Z

1 3 5 7 9 11 Escala X

μ=7, σ= 2

O Un tiempo de descarga de 1 segundo equivale a 3 unidades estandarizadas (3 desv. Est) por debajo de la media, porque sustituyendo Z=(1-7)/2 = -3

O Entonces, la desviación estándar es la unidad de medida. En otras palabras, un tiempo de 9 segundos es 2 segundos (es decir 1 desviación est.) más alto o más lento que la media de tiempo de 7 segundos.

Ejemplo 2, O Suponga que la página principal de

otro sitio web tiene un tiempo de descarga que se distribuye normalmente con una media de 4 segundos y una σ de 1 segundo. Si el tiempo fue de 5 segundos.

O X=5, μ=4, σ=1 sustituyendo es igual a 1

O Haz la gráfica correspondiente

O Suponga que se quiere encontrar la probabilidad de que el tiempo de descarga para el ejemplo 1 sea menor a 9 segundos

O X=9, μ=7, σ=2 sustituyendo es igual a 1O En tablas 0.8413 y en Minitab será:

En Minitab: Calc/probability distr/Normal

Cumulative/mean=7/input column elegir: C1/optional storage: C2

Práctica. Grafica lo que se solicita

1. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de descarga sea de menos de 9 segundos.

2. Encontrar la probabilidad de que el tiempo de descarga esté entre 7 y 9 segundos

3. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de descarga sea menor a 7 segundos o mayor a 9 segundos?

4. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de descarga esté por debajo de 3.5 segundos?