PROBABILIDADYESTADISTICA

UNIDAD2Queeslaestadstica?LaEstadsticaesunacienciaqueaplicamtodosmatemticosparalarecoleccin,presentacinycaracterizacindelainformacin;comobaseparaelanlisisdedatosylatomadedecisiones.Laestadsticapermite:

Describircaractersticas Obtenerconclusiones Evaluarsituaciones Tomardecisiones Hacerpronsticos

Recoleccindedatos: Publicaciones Estudiosobservacionales Estudiosexperimentales Encuestas

COMOPODEMOSORDENARLOSDATOS?Paraquelosdatosseantiles,necesitamosorganizarnuestrasobservaciones,demodoquepodamosdistinguirpatronesyllegaraconclusioneslgicas.

Recoleccindedatos.Losespecialistasseleccionansusobservacionesdemodoquetodoslosgruposrelevantesestnrepresentadosenlosdatos.Losdatospuedenprovenirdeobservacionesrealesoderegistrosquesemantienenparaotrospropsitos.Estosdatospuedenayudaralosquetomandecisionesahacersuposicionesbienpensadasacercadelascausas,ydelosefectosprobablesdeciertascaractersticasensituacionesdadas.Antesdedepositarnuestraconfianzaencualquierconjuntodedatos,prubelosdelasigmanera:Dedondevienenlosdatos?lafuenteesparcial?Losdatoscompruebanocontradicenotrasevidenciasqueseposeen?Cuntasobservacionessetienen?Representanatodoslosgrupos?.

Diferenciaentremuestraypoblaciones.Losexpertosrecogendatosdeunamuestra.Utilizanestainformacinparahacerinferenciassobrelapoblacinqueestarepresentadaporlamuestra.Unapoblacinesuntodo(conjuntodetodosloselementosqueestamosestudiando,acercadeloscualesintentamossacarconclusin)yunamuestraesunafraccinosegmentodeesetodo.Elestudiodemuestraesmssencilloqueelestudiodepoblacincompleta;seprobqueelexamendeunapoblacinenteratodavapermitelaaceptacindeelementosdefectuosos,portantoelmuestreopuedeelevarelniveldecalidad.

Tamaopoblacional(N):nmerodeelementosdelapoblacin.Seconocecomoparametro.Tamaomuestral(n):cantidaddeelementosqueconformanlamuestra.Seconocecomoestadstica.

BsquedadeunpatrnsignificativoenlosdatosExistenmuchasformasdeorganizarlosdatos.Unaformacomndeorganizarlosconsisteendividirlosencategorasoclasesparecidasyluegocontarelnumerodeobservacionesquequedandentrodecadacategora.Estemtodoproduceunadistribucindefrecuencias.Elobjetivodeorganizarlosesquenospermiteverrapidamentealgunadelascaracteristicasquehemosrecogido.Lainformacinobtenida,antesdeserorganizadayanalizada,seconocecomodatossinprocesar.

Ordenamientodedatosutilizandosuarregloyladistribucindefrecuencia.Laordenacindedatosesunadelasformasmassencillasdepresentarlos,laformaenordenascendenteydescendente.Elarreglodedatosofreceventajas:

Podemosnotarrpidamentelosvaloresmayorymenordelosdatos. Podemosfcilmentedividirlosdatosensecciones. Podemosversialgunodelosvaloresaparecenmsdeunavez. Podemosobservarladistanciaentrevaloressucesivosdelosdatos.

Arreglo2.03.43.4

Distribucindefrecuencia,formaenquepodemoscomprimirlosdatos.Perdimosalgodeinformacinyanopodemosversilosvaloresaparecenmasdeunavez,sinembargoganamosinformacinacercadelpatrndeexistenciapromedio.Ladistribucindefrecuenciamuestraelnmerodeobservacionesdelconjuntodedatosquecaenencadaunadelasclases.Distribucindefrecuenciarelativa:podemosexpresarlafrecuenciadecadavalorcomounafraccinounporcentajedelnmerodeltotaldeobservaciones,estaapareaacadaclase(gruposdevaloresparecidosdepuntodedato)consufraccinoporcentajeapropiadosdeltotaldelosdatos,lasclasesqueaparecenencualquierdistribucindefrecuencia,yasearelativaosimple,soncompletamenteinclusivas,todoslosdatoscaenenunauotracategora.Lasclasesmutuamenteexclusivas,sonlasqueningnpuntodedatocaeenmsdeunacategora.Estasdosclasessoncuantitativas,consistenennmeros.Clasededatoscualitativos :clasificalainformacinencaractersticascualitativas,comorazareligin,noconsisteennmeros.Claseotrasoextremoabierto,observacionesquenoentranenlascategorasmencionadas.Clasediscreta:sonentidadesseparadasquenopasandeunaclasediscretaaotrasinquehayaunrompimiento.Solopuedentomarunnmerolimitadodevalores.CONTEOS.Ejemplos:nmerodeestudiantesdeprimerao,cantidaddecamasenunhospital,nmerodesuscripcionesaunarevista,nmerodecoloniasdebacteriasenunaplaca,etc.DIAPOSITIVA37Y38VEREJEMPLO.

Clasecontinua:pasandeunaclaseaotrasinquehayaunrompimiento.Admiteninfinitosvaloresentredosvalorescualquiera;generalmentesurgendeunamedicin.

Clasefrecuencia2a2.512.6a3.103.2a3.72Pg.18,mirargrficos.

Construccindeunadistribucindefrecuencia.Ahoraqueyaaprendimosadividirunamuestraenclases,podemostomarlosdatossinprocesaryconstruirunadistribucindefrecuencia.

Decidaeltipoyelnmerodeclaseparadividirlosdatos.Dividaelalcancetotaldelosdatosentreclasesiguales,silasclasesfuerandesigualesylosintervalosvarandeunaclaseaotra,esunadistribucinmuydifcildeinterpretar.Elnmerodeclasesdependedelnmerodepuntosdedatosydelalcancedelosdatosrecolectados.Debidoaquenecesitamoshacerlosintervalosdeclasedeigualtamao,elnmerodeclasedeterminasuancho.Parahallarelanchodelintervaloutilizamosestaecuacin:

Anchodelosintervalosdeclase=valorunitariosiguientedespusdelvalormasgrandedelosdatos.Menosvalormspequeodelosdatos.DivididoNumerototaldeintervalos.

Clasifiquelospuntosdedatosenclasesycuenteelnumerodepuntosquehayencadaclase.

Ilustrelosdatosenundiagrama.

REPRESENTACIONGRAFICADEDISTRIBUCIONDEFRECUENCIA.Lasgraficasdanlosdatosenundiagramadedosdimensiones.Sobreelejehorizontalpodemosmostrarlosvaloresdelasvariables(lacaractersticaqueestamosmidiendo).Sobreelejeverticalsealamoslasfrecuenciasdelasclasesmostradasenelejehorizontal.LasgraficasdedistribucinFyFR,sondeutilidadyaqueresaltanyaclaranlospatronesquenosepuedendistinguirfcilmenteenlatabla.Nospermiteestimaralgunosvaloresconsolounamirada.

Tabladefrecuencia:ReferenciasLI:lmiteinferiordelintervalodeclase(abierto)LS:lmitesuperiordelintervalodeclase(cerrado) MC:marcadeclaseFA:frecuenciaabsoluta FR:frecuenciarelativaFAA:frecuenciaabsolutaacumuladaFRA:frecuenciarelativaacumuladaEjemplo:

Diapositiva43.

HISTOGRAMA:Unhistogramaconsisteenunaseriaderectngulos,cuyoanchoesproporcionalalalcancedelosdatosqueseencuentrandentrodeunaclase,cuyoaltoesproporcionalalnmerodeelementosquecaendentrodeunaclase.Laalturadelabarraquecorrespondienteacadaclaserepresentaelnmerodeobservacionesdelaclase.Unhistogramaqueutilizalafrecuenciarelativaenvezdelnmerorealdepuntos,seconocecomohistogramadeFR.

POLGONOSDEFRECUENCIA.OtraformaderepresentargrficamentedistribucionestantoFYFR.Estasvanenelejeverticalylosvaloresdelasvariablesqueestamosmidiendoenelejehorizontal.Setrazaunpuntosobresupuntomedioyconectamossuspuntosconunalinearectaparaformarunpolgono

404 496 588 680 772 865 957 1049 1141 1233

Ingreso

0.00

0.07

0.13

0.20

0.27

frecu

enciarelativa

.histogramaypolgonos(lalneanegra).

OJIVAS:Lagraficadeunadistribucinacumuladaseconocecomoojiva.Semarcaenlaextremidadyquieredecirmenorqueelnumeroquesemuestraenelejehorizontal.

404 496 588 680 772 865 957 1049 1141 1233

Ingreso

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

frec.re

l.ac

umulad

a

UNIDAD3ESTADISTICASUMERIA:Tenamosnecesidaddemedidasmasexactas,esestoscasospodemosusarunaseriedenmerosconocidoscomoestadsticasumariaparadescribirlascaractersticasdelconjuntodedatos.Dosdeestascaractersticassonimportantesparalatomadedecisiones:tendenciacentralydispersin.

1. tendenciacentral:serefierealpuntomediodeunadistribucin.2. dispersin:extensindelosdatosenunadistribucin,gradoenquelas

observacionessedistribuyen.3. sesgo:lascurvasquerepresentanlospuntosdedatosdeunconjuntodedatos

puedesersimtricoosesgado.Lascurvassimtricas,tieneunaformatanqueunalneaverticalquepaseporelpuntoasaltodelacurvaladivideendospartesiguales.Lascurvassesgadas,losvaloresdesudistribucindefrecuenciasestn

concentradosenelextremoinferioroenelsuperiordelaescalademedicindelejehorizontal.Losvaloresnoestnigualmentedistribuidos.

4. curtosis:cuandomedimoslacurtosismedimossugradodeagudeza,tienenlamismaposicincentralylamismadispersin,yambassonsimtricas.

MEDIDADETENDENCIACENTRAL:Lamediaaritmtica:cuandonosreferimosalpromediodealgo,estamoshablandodemediaaritmtica.Paraencontrarlamediasumamoslosvaloresyelresultadolodividimosporeltotaldeobservaciones.LAmediadeunapoblacinsesimbolizacon:ParaunapoblacindetamaoN,lamediadeunavariableYsedefinecomolasumadetodoslosvaloresdeYdivididaN(total)

Calculodelamediaapartirde datosnoagrupados :

Mediadelamuestra:

X=sumadelosvaloresdetodaslasobservaciones

Numerodeelementosdelamuestra.(n)

Calculodelamediadedatos agrupados:

X=sumade(frecuenciadecadaclase*puntomediodecadaclase)Numerodeelementosdelamuestra.(n)

Lamediana:esunsolovalorcalculadoapartirdeunconjuntodedatosquemidelaobservacincentraldeestos.Datosnoagrupados:Primeroorganiceestosdedescenderteaascendente.Sicontieneelementosimpareseldelmediodelarregloeslamediana.Sihaynmeroparlamedianaeselpromediodelosdoselementosdeenmedio.Mediana=numerodeelementos+1Dividido2.

Lamoda:esaquelvalorquemsserepiteenelconjuntodedatos.Distribucinmultimodal:Quepasasihaydosnmerosdiferentesqueaparecenmayormente?,estadistribucintienedosmodasdistribucinbinominal.

Comparacindelamediamedianaylamoda:Lamedialamediaylamodasonidnticasenunadistribucinsimtrica,Enunadistribucinpositivamentesesgada(derecha)lamodaseencuentraenelpuntomasaltodeladistribucin,lamedianaestahacialaderechadelamoda,ylamediaseencuentratodavamasaladerechadelamediaylamediana.

Enunanegativa:(izquierda)lamodasiguesiendoelpuntomasaltodeladistribucin,lamedianaestahacialaizquierdadeellaylamediaseencuentratodavamasalaizquierdadelamodaylamediana.Lamedianaentodosloscasossueleserlamejormedidadeposicinyaqueestaenelmedio.

Dispersinporqueesimportante?Lamedialamedianaylamodasolonosrevelanunapartedelainformacindelaquenecesitamossaberacercadelascaractersticasdelosdatos.Paraaumentarnuestroentendimientodelpatrndelosdatos,debemosmedirtambinsudispersin,extensinovariabilidad,yaquenosproporcionainformacinadicionalconfiabledenuestramedidadetendenciacentral.Figura3.9Pg.110.

ALCANCE:medidastilesdedispersin:Ladispersinpuedemedirseentrminosdeladiferenciaentredosvaloresseleccionadosdelconjuntodedatos.Estudiamos3delallamadamedidadedistancia:

ALCANCE:esladiferenciaentreelmasaltoyelmaspequeodelosvaloresobservados.

Alcance=valormasaltodelaobservacionmenosvalormaspequeodelaobservacin. ALCANCEINTERFRACTIL:enunamedidadeladispersinentredosfractiles

deunadistribucindefrecuencia,esdecir,ladiferenciaentrelosvaloresdelodosfractiles.Enunadistribucindefrecuencia,unafraccinoproporcindadadelosdatoscaeenunfractilopordebajodeste.Elpuntofractilessiempreelpuntoenelodebajodelcualcaelaproporcinestablecidadevalores.Lamediana,porejemplo,eselfractal0.5puestoquelamitaddelosdatosesigualqueomenoraestevalor.Otroejemplo:90%delosvaloresestanenelodebajodelnonagsimoporcentil.

ALCANCEINTERCUARTIL:aproximadamentequetanlejosdelamedianatenemosqueirencualquieradelasdosdireccionesantesdequepodamosrecorrerunamitaddelosvaloresdelconjuntodedatos..paracalcularestealcancedividimosnuestrosdatosen4partes,cadaunadelascualescontiene25%deloselementosdeladistribucin.Loscuartelesson,losvaloresmasaltosymasbajosdecadadeestas4partes,yelalcanceintercuartilesladiferenciaentrelosvaloresdelcuartel1yeltercercuartel.Figura3.11Pg.115.

DISPERSION:medidadedesviacinpromedio:Dosdetalesmedidassonimportantes:varianzadesviacinestndar.Ambasmedidasnosdanunadistanciapromediodecualquierobservacindelconjuntodedatosconrespectoalamediadeladistribucin.VARIANZAdepoblacin:cadapoblacintieneunavarianza,quesesimbolizacon(sigmacuadrada).Paracalcularladividimoslasumadelasdistanciasalcuadradoentremediaycadaelementodelapoblacinentreelnumerototaldeobservacionesdedichapoblacin.Laelevaralcuadradocadaunadelasdistancias,logramosquetodoslosnmerosqueaparecenseanpositivosy,almismotiempo,asignamosmaspesoalasdesviacionesmasgrandes.

2( )2 1

NXi

iN

=

=

Varianzaeslasumadecadaelementomenoslamediaelevadoalados,divididoporelnumerototaldeelementos.DESVIACIONESTANDAR:Eslarazcuadradadelavarianza(delpromediodelasdistanciasalcuadradoquevandelasobservacionesalamedia).

Usodeladesviacinestndar:nospermitedeterminardondeestnlocalizadoslosvaloresdeunadistribucindefrecuenciaconrelacinalamedia.Estambintilparadescribirquetanlejoslasobservacionesindividualesdeunadistribucinseapartandelamediadedistribucin.Unamedidaqueseconocecomoresultadoestndarnosdaelnmerodedesviacionesestndarqueunaobservacinenparticularocupapordebajooporencimadelamedia.Resultadoestndardelapoblacin:elemento(observacin)lamediadelapoblacinDesviacinestndardelapoblacin.DESVIACIONESTANDARDEUNAMUESTRA:Paracalcularlavarianzayladesviacinestndardeunamuestra,utilizamoslasmismasformulas,sustituyendomediaconmediadelamuestrayNconn1.Smbolodelavarianzadelamuestraselevadoala2.

Resultadoestndardelamuestra:XX(smbolodemediadelamuestra)Desviacinestndardelamuestra(smbolos)

Dispersinrelativa,elcoeficientedevariacin.Esunamedidaabsolutadeladispersinqueexpresalavariacinenlasmismasunidadesquelosdatosoriginales.Nopodemosconocerladispersindeunconjuntodedatoshastaqueconocemossudesviacionesestndar,sumediaycomosecomportaladesviacinestndarconrespectoalamedia.Losquenecesitamosesunamedidarelativa,nosproporcionaunaestimacindelamagnituddeladesviacinconrespectoalamagnituddelamedia.Elcoeficientedelavariacinesunadeestasmedidasrelativadedispersin.Serelacionaladesviacinestndarylamedia,expresandoladesviacincomoporcentajedelamedia.Laundaddemedidaesporciento.Coeficientedevariacindelapoblacin:desviacinestndardelapoblacin/mediadelapoblacin*(100).

UNIDAD4PROBABILIDAD:Utilizarinformacinextradadeunamuestraparaelaborarconclusionesrespectodelascaractersticasdeunapoblacin,implicaunriesgobasadoenlaincertidumbre.LaEstadsticaproveeunamaneraracionaldecuantificaresaincertidumbre,denominadaprobabilidad.Probabilidad:posibilidadquealgoocurra.LaprobabilidaddeuneventoA,P(A),esunnmeroqueseencuentraenelintervalo[0,1]:

0P(A)1

2 50.44 =7.1cm = =

Tenerunaprobabilidadde0significaquealgonuncavaasuceder.Laprobabilidadde1indicaquealgovaasucedersiempre.

Evento:unoomsdelosposiblesresultadosdehaceralgo.Altirarunamoneda,sicaecaraesuneventoysicaecruzesotro.

Experimento:eslaactividadqueoriginadichoseventos.Ejemplos:tirarunamoneda,tirarundado,etc.

Espaciomuestral:todoslosposiblesresultadosdeunexperimentoaleatorio.Ejemplo:caraocruzUneventoelementaloeventosimpleescadaunodelosposiblesresultadoscontenidosenunespaciomuestral.Ejemplo:cara.Uneventoesunsubconjuntodeeventoselementales,queconstituyenunespaciomuestral.

Eventosmutuamenteexcluyentes:eventosquenopuedenocurrirsimultneamente.

Ejemplo:searrojaunamoneda,puedesalircaraocruzperonoambas. Listacolectivamenteexhaustiva:listadeposibleseventosquepuedenresultarde

unexperimento,enlacualseincluyentodoslosresultadosposibles.Ejemplo:searrojaunamoneda,losresultadosposiblessoncaraocruzynohayotraposibilidad.

TIPOSDEPROBABILIDAD:clsica,defrecuenciarelativaysubjetivo.CLASICA:Probabilidadesunamedidadelaincertidumbreasociadaalaocurrenciadeeventosoresultados.

Cadaunodelosresultadosdebeserigualmenteposible.

Otroejemplo:Seextraeunnaipedeunabarajainglesade52cartas.Aeseleventocorazn.Considerarquehay13corazonesenelmazo.As:

ENFOQUEFRECUENCIAL:Pararesponderapreguntastalescomo:Culeslaprobabilidadquelluevamaana?Culeslaprobabilidadqueunapersonavivahastalos85aos?Ladefinicindeprobabilidadeslamismaquelapresentadaparaelenfoqueclsico.

Lafrecuenciarelativadeuneventodeberegistrarseduranteungrannmerodeexperimentos.

Laprobabilidadeslafraccindevecesqueuneventosepresentaalalarga,cuandolascondicionessonestables.

Ejemplo:Sesabe,porregistroshistricos,quedeloshombresdemsde40aos,60decada100000,muerenporenfermedadescardacas.

NderesultadosenlosquesepresentaeleventoP(A)=

Ntotalderesultadosposibles1

P(cara)2

=

13 1( )

52 4P A = =

Culeslaprobabilidaddequeunhombredeesaedadsufradeunaenfermedadcardaca?

Mayornmerodeintentosimplicanmayorprecisin. Problemas:tiempoycosto.

SUBJETIVA:Estnbasadasenlascreenciasdelaspersonasqueefectanlaestimacindelaprobabilidad.Sepuededefinircomolaprobabilidadasignadaauneventoporpartedeunindividuo,basadaenlaevidenciaquesetengadisponible.Ejemplo:unjuezdebedecidirsipermitelaconstruccindeunaplantadeenerganuclearenunlugardondehayevidenciasdequeexisteunafallageolgica.DebepreguntarseasimismoCuleslaprobabilidaddequeocurraunaaccidentegrave?.Debeutilizarsumejorsentidocomn,yaquenoexisteunafrecuenciarelativadepresentacindelaevidenciadeaccidentesanteriores.

REGLASDEPROBABILIDAD:Condiciones:elcasoenqueuneventouotrosepresente,ylasituacinenquedosomaseventossepresentenalmismotiempo.

Smbolosdefinicionesyreglasdeusocomn.Smboloparaunaprobabilidadmarginal:LaprobabilidaddeuneventoAsepodrapresentarcomo:P(A)=laUnaprobabilidadsencillaquieredecirquesolouneventopuedellevarseacabo.Selaconocecomoprob.Marginaloincondicional.Existeunaformadeilustrarpormediodeundiagrama,elespaciomuestralcompletoserepresentamedianteunrectnguloyloseventosserepresentancomopartedeeserectngulo.Sidosvecessonmutuamenteexcluyentes,laspartescorrespondientesenelrectngulonosetraslaparn.SidoseventosNOsonmutuamenteexcluyentes,sisetraslapan.

Regladeedicin:mutuamenteexcluyente:

Porejemplo,seaA=1,3,5yB=2,4,6AB

Eventonomutuamenteexcluyente:

Porejemplo,seaA=1,3,5,6yB=2,4,6

60( ) 0.0006

100000P A = =

( ) ( ) ( )( o )P A B P P PA B A B= = +( ) { }1,3,5,2,4,6A B =

( ) 3 3 16 6

P A B = + =

135

246

( ) ( ) ( ) ( )( o )P A B P P PA B A B P A B= = +

Mirardiapositiva16deprobabilidadunidad2.

PROBABILIDADESBAJOCONDICIONESDEINDEPENDENCIAESTADITICA.Cuandosepresentandoseventoselresultadodelprimeropuedetenerunefectoenelresultadodelsegundoopuedonotenerlo.Estoesloseventospuedenserdependientesoindependientes.Enestecasosonindependientes,unonotieneefectosobreelotro.Trestipos:MARGINAL:eslaprobabilidadsimpledepresentacindeunevento.Laprobabilidaddeobtenercaraesigualalaprobabilidaddeobtenercruz,0.5.CONJUNTA:laprobabilidaddedosomaseventosindependientesquesepresentanjuntosoensucesineselproductodesusprobabilidadesmarginales.P(AB)=P(A)*P(B)Cualeslaprobabilidaddequesalgacaraendostirossucesivos?

CONDICIONAL:P(B/A)simblicamente.Eslaprobabilidaddequeunsegundoeventosepresentesiunprimereventoyahasucedido.PROBABILIDADESBAJOCONDICIONESDEDEPENDENCIAESTADITICA.Dependeoseveafectadaporotroevento.Trestipos:Ejemplo:Infartodelmiocardioytabaco(J.Epidemiology&C.Health.43,1989)Setomaron262mujeresdeedadmedia,quetuvieroninfartodemiocardioyquefueronatendidasenunhospitaldelnortedeItalia.

Loscontrolessonmujeresquenotuvieroninfarto.Cadagrupofueclasificadosegnsifuma(actualoantes)onofuma(nunca).

MARGINALES:secalculanmediantelasumadelasprobabilidadesdetodosloseventosconjuntosenlosquesepresentaeleventosencillo.X=infartodemiocardio Y=fuma Total

Si No

Si 172 90 262

No 173 346 519

Total 345 436 781

Siseeligeunamujeralazarysedefinendoseventos:X(tuvoinfarto)eY(fuma)entonces:

( ) { }1,3,5,6,2,4A B =( ) 4 3 1 1

6 6 6P A B = + =

( ) 0.5 0.5 0.25P CC = =

262 345( ) 0.34y ( ) 0.44

781 781SI SIP X P Y= = = =

( ) ( )oP PA B

CONDICIONAL:Culeslaprobabilidadquehayatenidoinfartodemiocardiodadoquefuma?

Culeslaprobabilidadquehayatenidoinfartodemiocardiodadoquenofuma?

Tambinsepodrahabertransformadotodoelcuadroenprobabilidades,dividiendocadaceldaporeltotalX=infartodemiocardio

Y=fuma Total

Si No

Si 172/781=0.22 90/781=0.12 262/781=0.34

No 173/781=0.22 346/781=0.44 519/781=0.66

Total 345/781=0.44 436/781=0.56 781/781=1.00

CONJUNTA:

Culeslaprobabilidadquehayatenidoinfartodemiocardioyquefume?

172( / ) 0.5

345SI SIP X Y = =

( )( )( / )

SI SISI SI

SI

P X YP X Y

P Y= =

172 0.22781( / ) 0.5345 0.44

781SI SIP X Y = = =

90( / ) 0.21

436SI NOP X Y = =

0.22 0.12( / ) 0.5y ( / ) 0.21

0.44 0.56SI SI SI NOP X Y P X Y= = = =

172( ) ( ) 0.22

781SI SI SI SIP X y Y P X Y= = =

( ) ( )( )PP BA

B AP A

=

( ) ( ) ( )P PAB A P B=

Lasprobabilidadesqueestnenlasmrgenesdelatabla(0.34,0.66,0.44y0.56)sedenominan:probabilidadesmarginales.Lasprobabilidadesqueestnenelcuerpodelatabla(0.22,0.12,0.22y0.44)sedenominan:probabilidadesconjuntas.

UNIDAD5

DISTRIBUCIONDEPROBABILIDAD:relacionadaconladistribucindefrecuencia.Describelaformaenqueseesperaquevarenlosresultados.Unadistribucindefrecuenciaesunlistadodelasfrecuenciasobservadasdetodoslosresultadosdeunexperimentoquesepresentaronrealmentecuandoseefectuelexperimento,mientrasqueunadistribucindeprobabilidadesunlistadodelasposibilidadesdetodoslosposiblesresultadosquepodranobtenersesielexperimentosellevaacabo.Tiposdedistribucindeprobabilidad:seclasificanendiscretasycontinuas,enladistribucindeprobabilidaddiscretaestapermitidotomarsolounnumerolimitadodevalores.Porotroladoenlacontinua,lavariablequeseestconsiderandopuedetomarcualquiervalordentrodeunintervalodado.Variablesaleatorias:Unavariableesaleatoriasitomadiferentesvalorescomoresultadodeunexperimentoaleatorio.Puedeserdiscretaocontinua.Sipuedetomarsolounnumerolimitadodevaloresesdiscreta,sipuedetomarcualquiervalordentrodeunintervalodado,escontinua.Sepuedepensarenunavariablealeatoriacomounvalorounamagnitudquecambiadeunapresentacinaotra,sinseguirunasecuenciapredecidle.Ejemploenunaclnicaqueatiendesamujeresconcncerdemamanosetienemaneradesaberconexactitudcuntasmujeresvanaseratendidasenundacualquiera,demodoqueelnumerodepacientesdeldasiguienteesunavariablealeatoria.Valoresperadodeunavariablealeatoria:Paraobtenerelvaloresperadodeunavariablealeatoriadiscreta,multiplicamoscadavalorquelavariablepuedetomarporlaprobabilidaddepresentacindeesevaloryluegosumamoslosproductos.PAG239.

Usodelvaloresperadoenlatomadedecisiones:Combinacindeprobabilidadyvaloresmonetarios:problemadeventaalmayor,unvendedordefrutas,lascualestienenunavidadetilmuylimitada,sinovendeeneldadesuentrega,yanotienevalor.Tiposdeperdidas:perdidaporobsolescencia,demasiadaexistenciaytienequetirarlaaldasiguiente.Operdidadeoportunidad,notenerexistenciacuandoelclientelosolicita.

DISTRIBUCIONBINOMINAL:Unadistribucindeprobabilidaddeunavariablealeatoriadiscretautilizadaesladistribucinbinominal.Estadistribucindescribe,datosdiscretos,nocontinuos,quesonresultadodeunexperimentoconocidocomoprocesodebernoulli.Usoprocesodebernoulli:

Cadaobservacinpuedeclasificarseenunadedoscategorasexcluyentes:xito(seleasignaelvalor1)yfracaso(seleasignaelvalor0).

Modelalaprobabilidaddeobtenerxxitosennexperimentosindependientes,siendolaprobabilidaddexitoigualap.

Formulabinominal.

n=numerodeintentoshechos.x=numerodexitosdeseados.p=probabilidaddelxito1p=posibilidaddelfracaso.

Ejemplo,modelounidad3,diapositiva14,juntoconlatablabinominal.Distribucinbinomial:usodelatabla

Culeslaprobabilidadque8decada15votantesempadronadosnopuedanvotarenlasprximaselecciones,silaprobabilidaddequecualquierindividuonopuedavotaresde0.30?

p=0.30 x=8P(8)=0.0347 n=15

Distribucinbinomial:mediaydesviacinestndar.

Unamquinaempacadoraproduceel20%depaquetesdefectuosos.Encontrarlamediayladesviacinestndar,sisetieneunamuestradetamao10.

DISTRIBUCIONDEPOISSON:Seutilizaparadescribirciertotipodeprocesos.Aplicableavariablesdiscretas.Seusaparadescribirporejemplo:

Ladistribucindelnmerodellamadasqueentranaunacentraltelefnica Ladistribucindelnmerodesolicitudesdepacientesquerequierenservicioen

unainstitucindesalud Ladistribucindelnmerodecamionesyautosquelleganaunaestacinde

peaje Ladistribucindelnmerodeaccidentesregistradosenunaciudad,etc.

Formuladepoisson:

Donde:=nmeromediodepresentacionesporintervaloe=2.71828basedeloslogaritmos naturalesx!=factorialdex

Ejemplo:

( )!

(1! !

) =

x n xPn

x n xp p

= n p

= n p q

(10)(0.2) 2 = = =n p(10)(0.2)(0.8) 1.265 = = =n p q

( )!

=

x

P xex

Enunestudiodeseguridadvial,seestinvestigandounapeligrosainterseccindecalles.

Losregistrospolicacosindicanunamediade5accidentesmensualesenesecruce.

ElnmerodeaccidentesestdistribuidodeacuerdoaunadistribucindePoisson.

Calcularlaprobabilidaddequeencualquiermesocurranexactamente0,1,2,3o4accidentes.

Entonceslaprobabilidadquenoocurraningnaccidentees:

Operandodelamismaformaseobtiene:P(1)=0.03370 P(2)=0.08425P(3)=0.14042 P(4)=0.17552

Usandoestasprobabilidades,sepuederesponderalasiguientepregunta:Culeslaprobabilidaddequeocurranmenosde3accidentes?Entoncessedebeplantear:P(X

Observarquesereemplazapornp,expresinquerepresentaelpromedioenunadistribucinbinomial.