PROBABILIDAD_1 (1)

7/25/2019 PROBABILIDAD_1 (1)

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Qu significa posibilidad?


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Son todos los resultados que se pueden obtenera partir de un experimento.


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Experimento: proceso a partir del cual, se obtiene uno y slo un resultado

de varios posibles.

Ejemplo: si lanzo un dado, cules son los posibles resultados?


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de varios posibles.


El experimento es lanzar un dado, los posibles resultados: 1, 2, 3, 4, 5 o 6.

Hay seis resultados posibles pero solo uno se obtiene.


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de varios posibles.


El experimento es lanzar un dado, los posibles resultados: 1, 2, 3, 4, 5 o 6.

Hay seis resultados posibles pero slo uno se obtiene.

Ejemplo: encuestar a unas personas sobre el ganador de las futuras elecciones

presidenciales.

El experimento: entrevistar a 35 personas por su candidato preferido a la

presidencia de su pas de entre ocho postulantes. Un resultado posible es

que 7 encuestados voten por el tercer postulante, otro resultado es que 16

tengan preferencia por el sexto candidato, etc.


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Posibilidad y probabilidad

es lo mismo?


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Qu es probabilidad?


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Qu es probabilidad?

En el lanzamiento de un dado:


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Qu es probabilidad?


cun posible es que aparezca un 3 en el lanzamiento?

tiene ms oportunidad de salir que el 2? cunto ms?

tiene menos posibilidad de salir que el 5? cunto menos?


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Qu es probabilidad?


cun posible es que aparezca un 3 en el lanzamiento?

tiene ms oportunidad de salir que el 2? cunto ms?

tiene menos posibilidad de salir que el 5? cunto menos?

La probabilidad es la medida de la posibilidad de que uno de los resultados

sea el que ocurra.


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Por ejemplo; de seis posibles resultados 1, 2, 3, 4, 5 o 6 cul es la medida

de la posibilidad que se obtenga 3 al lanzar el dado?


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Cuntos 3 hay?

Cuntos posibles resultados hay?


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Cuntos 3 hay?


La proporcin de la cantidad de resultado favorables respecto de los resultadosposibles es de uno entre seis, 1/6 . Esto es lo que se denomina probabilidad.


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Cuntos 3 hay?


La proporcin de la cantidad de resultado favorables respecto de los resultadosposibles es de uno entre seis, 1/6 . Esto es lo que se denomina probabilidad.

La probabilidad de obtener un 3 al lanzar un dado

La probabilidad tambin se puede representar en porcentajes,

La probabilidad de obtener un tres al lanzar un dado es del 16.6%..

(3) =6

o p(3) = 0.166

(3) = 0.166 %100 = 16.6%


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Al conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento

se lo denomina Conjunto muestral o Espacio muestral (S).

En el experimento lanzar una moneda, el conjunto muestral es

En el experimento lanzar un dado, el conjunto muestral es

A cada uno de los posibles resultados de un experimento se los llama Evento.

Obtener un cinco al lanzar un dado es un evento; obtener 3 o 4 al lanzar un

dado es otro evento, etc.

S = {c,s}

S = {1,2,3,4,5,6}


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Al conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento

se lo denomina Conjunto muestral o Espacio muestral (S).

En el experimento lanzar una moneda, el conjunto muestral es

En el experimento lanzar un dado, el conjunto muestral es

A cada uno de los posibles resultados de un experimento se los llama Evento.

Obtener un cinco al lanzar un dado es un evento; obtener 3 o 4 al lanzar un

dado es otro evento, etc.

Definicin:

La probabilidad de un evento es la razn entre el nmero de casos en los que

ocurre dicho evento (evento favorable) y el nmero de total de eventos.

(E) = e even os avora es# de eventos posibles

S = {c,s}

S = {1,2,3,4,5,6}


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Axiomas de probabilidad

(i) , dondeA es cualquier evento.

(ii) , donde S es el espacio muestral y es la probabilidad de

que ocurra cualquier evento de S.

(iii) , donde es el conjunto vaco y es la probabilidad que no

ocurra ningn evento de S.

0 [ (A) [ 1

(S) = 1

() = 0


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Eventos mutuamente excluyentes:


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Eventos mutuamente excluyentes:

Dos eventos son excluyentes, si y slo si, en el caso de que el un evento

ocurra significa que el otro no puede ocurrir. Por ejemplo, en el lanzamiento

de una moneda, si sale cara, ya no saldr sello; en el lanzamiento de un dado,

los eventos sale par o sale impar, son excluyentes; pues si sale par ya no saldr

impar.

A

B

A: sale cara

B: sale sello

3 B =Si A y B son excluyentes, entonces


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Regla de adicin

R l d di i


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Regla de adicin

1) Si A y B son eventos,, entonces, (A 4 B) = P(A) +p(B) p(A 3 B)


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R l d di i


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Regla de adicin


2) Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes

entonces: (A 4 B) =p(A) +p(B)(A 3 B) =p() = 0

Ejemplo1:

En el lanzamiento de un dado, los eventos:

A: sale 4 y B: sale 2. .

Halle la probabilidad de que salga cuatro o salga dos.:

Regla de adicin


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Regla de adicin


2) Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes

entonces: (A 4 B) =p(A) +p(B)(A 3 B) =p() = 0

Ejemplo1:

En el lanzamiento de un dado, los eventos:

A: sale 4 y B: sale 2. .

Halle la probabilidad de que salga cuatro o salga dos.:

p(A o B) = P(A) + P(B)

p(A o B) = 16

+16

p(A o B) = 26

p(A o B) = 13


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Ejemplo 2

En el lanzamiento de un dado no cargado, se tienen los eventos:

A: sale un nmero mayor que 2 y

B: sale un nmero impar.

Calcule la probabilidad de que cuando se lanza el dado, salga un

nmero mayor que 2 o un nmero impar.


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Ejemplo 2

En el lanzamiento de un dado no cargado, se tienen los eventos:

A: sale un nmero mayor que 2 y

B: sale un nmero impar.

Calcule la probabilidad de que cuando se lanza el dado, salga un

nmero mayor que 2 o un nmero impar.

P(A 4 B) = P(A) + P(B) P(A 3 B)

P(A 4 B) = 46 +36 26

P(A 4 B) = 56


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Sea A un evento, el complemento del evento A est formado por los

elementos que estn en el referencial Re pero no estn en A.

A 4Ac = Re

A 3Ac =


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Regla del complemento:



A 4Ac = Re

A 3Ac =


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P(Ac) = 1 P(A)

A 4Ac = Re

A 3Ac =

Si A es un evento cualquiera, entonces:


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P(Ac) = 1 P(A)

A 4Ac = Re

A 3Ac =


Ejemplo:

Cul es la probabilidad de que al lanzar un dado salga tres?

Cul es la probabilidad de que al lanzar un dado no salga tres?

P(sale tres) = 6


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P(Ac) = 1 P(A)

A 4Ac = Re

A 3Ac =


Ejemplo:

Cul es la probabilidad de que al lanzar un dado salga tres?

Cul es la probabilidad de que al lanzar un dado no salga tres?

P(sale tres) = 6

P(no salga tres) = 1 (salga tres)


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Ejemplo3:

Sea una caja de monedas de diferentes valores, sean se saca una moneda de 25E1 :centavos, se saca una moneda de 5 centavos; , . Cul es laE2 : p(E1) = 0.14 p(E2) = 0.35probabilidad de que al sacar una moneda se obtenga una que no sea de 25 ni de 5centavos? p((E1o E2)c) = ?


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Ejemplo3:

Sea una caja de monedas de diferentes valores, sean se saca una moneda de 25E1 :

centavos, se saca una moneda de 5 centavos; , . Cul es laE2 : p(E1) = 0.14 p(E2) = 0.35probabilidad de que al sacar una moneda se obtenga una que no sea de 25 ni de 5centavos? p((E1o E2)c) = ?

p((E1o E2)c

) = 1 p(E1o E2)p((E1o E2)c) = 1 (p(E1) +p(E2)

p((E1o E2)c) = 1 0.14 0.35

p((E1o E2)c

) = 0.51

Ejemplo 4:


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j p

Una encuesta a un grupo de 75 estudiantes revela que 30 estudian Hotelera y Turismo, 19estudian Economa y 33 no estudian ninguna de las dos.

(a) Represente mediante diagramas de Euler-Venn los eventos:

se escoge un estudiante de Hotelera y Turismo.E1 :

se escoge un estudiante de Economa.E2 :

(b) Calcule ,p(E1) p(E2)

(c) Calcule p(E13E2)

(d) Calcule ,p(E1c) p(E1 4E2)


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Eventos independientes:


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Dada una situacin en la que intervienen dos o ms eventos y stos nose afectan entre s, entonces se dice que son eventos independientes.


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Es decir dados dos eventos A y B, la probabilidad de que ocurra B tiene

el mismo valor sin importar que previamente ha ocurrido o no el evento A.

E t i d di t


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Es decir dados dos eventos A y B, la probabilidad de que ocurra B tiene

el mismo valor sin importar que previamente ha ocurrido o no el evento A.

y B son eventos independientes, si y solo si,P(A3 B) = P(A) $ P(B)

Ejemplo 1: con sustitucin


42/68

Sacas una bolilla de una caja que contiene 2 bolillas rojas, 2 blancas

y una verde. Observas el color, regresas la bolilla y sacas otra bolilla.

Cul es la probabilidad de sacar una bolilla blanca las dos veces?



43/68

Situacin A

Supongamos que la primera fue blanca, entonces





S b lill d j ti 2 b lill j 2 bl


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Situacin A

B: sacas una bolilla blanca








45/68

Situacin A






P(B) = 25




46/68

Situacin B

Supongamos que la primera no fue blanca, entonces

Situacin A






P(B) = 25


Sacas una bolilla de una caja que contiene 2 bolillas rojas 2 blancas


47/68

Situacin B



Situacin A






P(B) = 25




48/68

P(B) = 25

Situacin B



Situacin A






P(B) = 25




49/68

P(B) = 25

Situacin B

Como se puede ver, la probabilidad de que ocurra B no cambia segn

si ocurre o no el evento A.



Situacin A






P(B) = 25




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P(B) = 25

Situacin B

Como se puede ver, la probabilidad de que ocurra B no cambia segn




Situacin A






Se dice que A y B son eventos independientes..

P(B) = 25

Ejemplo 2: sin sustitucin



51/68


y una verde. Observas el color, y sacas otra bolilla. Cul es la

probabilidad de sacar una bolilla blanca las dos veces?




52/68

Situacin A








53/68

Situacin A









54/68

Situacin A



P(B) = 14

j q j ,






55/68

Situacin B

Situacin A



P(B) = 14

j q j ,






56/68

Situacin B


Situacin A



P(B) = 14

j j






57/68

Situacin B



Situacin A



P(B) = 14




58/68




59/68

P(B) = 24

P(B) = 12

Situacin B

Como se puede ver, la probabilidad de que ocurra B s cambia segn




Situacin A



P(B) = 14





d Ob l l t b lill C l l


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P(B) = 24

P(B) = 12

Situacin B

Como se puede ver, la probabilidad de que ocurra B s cambia segn




Situacin A



P(B) = 14



Se dice que A y B no son eventos independientes, es decir, son

eventos dependientes.

Ejemplo 3:

Sean A y B dos eventos como se muestra en el siguiente diagrama.


61/68

3

9

5

7

2

84

11

A B

Re

A y B son eventos independientes?


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Ejemplo 3:



63/68

3

9

5

7

2

84

11

A B

Re

P(A) $ P(B) = 1

2 $

1

2P(A) $ P(B) = 1

4

P(B) = 48

P(B) = 12

P(A) = 48

P(A) = 12

A y B son eventos independientes?


64/68

Ejemplo 3:



65/68

3

9

5

7

2

84

11

A BRe

P(A 3 B) = 28

P(A 3 B) = 14

P(A) $ P(B) = 1

2

$1

2P(A) $ P(B) = 1

4

P(B) = 48

P(B) = 12

P(A) = 48

P(A) = 12

P(A 3 B) = P(A) $ P(B)

A y B son eventos independientes

1. Sea el experimento lanzar una moneda tres veces y los eventos;

: los primeros lanzamientos salen caras

Ejercicios:


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: los primeros lanzamientos salen caras.

B: los segundos lanzamientos salen caras.

C: salen solamente dos caras seguidas.

(a) Describa el espacio muestral.

(b) Descrbanse los resultados de cada evento.

(c) calclese la probabilidad de cada evento

(d) halle la probabilidad de p(A 3B)

(e) halle la probabilidad de p(A 3C)

(f) halle la probabilidad de p(B 3C)

(g) son independientes los eventos Ay B?

(h) son independientes los eventos Ay C?

(i) son independientes los eventos By C?

2. Dado un grupo de 12 hombres y 4 mujeres, se seleccionan tres personas al azar.Encuentre la probabilidad de que todos sean hombres.

3 Se reparten 5 cartas a una persona de un naipe corriente de 52 cartas calcule la


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3. Se reparten 5 cartas a una persona de un naipe corriente de 52 cartas, calcule la

probabilidad de que todas sean jotas.

4. Se seleccionan estudiantes al azar, uno despus de otro, para un examen. Encuentre laprobabilidad de que alternen hombres y mujeres en la clase si:

(a) la clase est conformoada por 4 hombres y 3 mujeres,

(b) la clase est conformada por 3 hombres y 3 mujeres.

5. Sean Ay Beventos independientes con y . Encuentre:p(A)= 0.3 p(B)= 0.4

(a) p(A y B)

(b) p(A o B)

6. Sean Ay Beventos independientes con y . Encuentre:p(A)= 0.2 p(B)= 0.3

(a) p(A y B)

(b) p(A o B)

(c) p(A y no B)

(d) p(A o no B)

7. Dos personas Ay Bcompiten en el deporte de tiro al blanco, tal que, la probabilidad d

que Ade en el blanco es y la probabilidad de que Bd en el blanco es .p(A)= 14 p(B)= 13

Cada uno dispara una vez en el blanco.


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(a) son eventos independientes?

(b) calcule la probabilidad de que ambos den en el blanco.

8. En un programa de empleados que realizan prcticas de gerencia en un reconocido hotel

de Guayaquil, 80% de ellos son mujeres y 20% hombres. El 90% de las mujeres fue a launiversidad, as como el 78% de los hombres.

(a) Al azar se elige a un empleado que realiza prcticas de gerencia. Cul es laprobabilidad de que sea una mujer que no asist i a la universidad?

(b) El gnero y la asistencia a la universidad son independientes? Por qu?

9. Un hombre posee un negocio y es propietario de una casa. En un ao cualquiera, laprobabilidad de que una casa sea robada es de 0.02 la probabilidad de sufrir un robo en unnegocio es de 0.10. Suponiendo que estos sucesos son independientes, determine:

(a) La probabilidad de que haya robos en ambos.

(b) La probabilidad de solamente uno de ellos sufra un robo este ao.

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