PLAN DE CLASES.

Colegio: LICEO PRIVADO MILAGRO DE DIOS. Prof. Domingo A. Camacho. Grado: _______________ . Grado. Fecha: ___________________.rea: Matemticas. Disciplina: Matemticas.

Nmero y Nombre de la Unidad: I Probabilidades.

Indicador de Logro:

1) Utiliza los conceptos de probabilidad clsica o terica y, los aplica en el clculo de la probabilidad de un evento o suceso.

Contenido:

Diagrama de rbol.

Combinaciones y permutaciones.

Probabilidad Clsica o Terica.

Iniciacin:

1) Repaso de Resolucin de sistemas de ecuaciones con dos variables.Verificar el Orden y Aseo del aula.Constatar la asistencia y puntualidad de los Educandos.Orientaciones Generales.

Desarrollo:Conteo.

El simple proceso de contar sigue desempeando un papel importante en la Administracin y la economa. Todava tenemos que contar 1, 2, 3, 4, , por ejemplo, cundo se hacen inventarios, cuando se determina el nmero de cajas daadas de un cargamento de vino que viene de Francia o cuando se elabora un informe que indica en cuntas ocasiones subieron ciertos ndices del mercado de valores durante un mes dado. Algunas veces, el proceso de conteo puede simplificarse mediante el uso de dispositivo mecnicos (por ejemplo, cuando se cuentan los espectadores que pasan por torniquetes) o al realizar cuentas en forma indirecta (por ejemplo, al tomar los nmeros de serie de las facturas con el fin de determinar el nmero de ventas). En otros casos, el proceso de cuentas se puede simplificar apreciablemente por medio de tcnicas matemticas especiales, como las que se citan enseguida.En el estudio de lo que es posible, existen esencialmente dos tipos de problemas. Primero, existe el problema de citar todo lo que puede suceder en una situacin dada y, despus, el de determinar cuntas cosas diferentes pueden acontecer (sin elaborar en realidad una lista completa). El segundo tipo de problema es de especial importancia, ya que en muchos casos no necesitamos realmente una lista completa y, por lo tanto, nos podemos ahorrar mucho trabajo. Aunque el primer tipo de problema quiz parezca directo y sencillo, no siempre se da este caso.

Ejemplo. Un servicio de helicpteros que enlaza dos aeropuertos tiene cuatro pilotos y tres helicpteros. En cuntas formas diferentes se pueden asignar un piloto y un helicptero a un trabajo? Solucin. Supongamos A, B, C y D a los cuatros pilotos; I, II y III a los tres helicpteros y trazamos el diagrama de rbol de la figura1, hallamos que existen 12 maneras diferentes en total. La primera trayectoria a lo largo de las ramas del rbol corresponde a la eleccin del piloto A y el helicptero I, la segunda trayectoria corresponde a la eleccin del piloto A y el helicptero II, , y la duodcima trayectoria corresponde a la eleccin del piloto D y el helicptero III.

La respuesta que se obtuvo en el siguiente ejemplo es 4 . 3 = 12, el producto del nmero de maneras de seleccionar un piloto por el nmero de formas en que se puede elegir un helicptero.

Multiplicacin de opciones. Si una eleccin consta de dos pasos, donde el primero puede realizarse en m formas y, por cada una de stas, el segundo puede efectuarse en n formas, entonces es posible resolver toda la situacin en m . n formas.

Para demostrar esto, slo necesitamos trazar un diagrama de rbol similar al de la figura 1. Primero, se tienen m ramas que corresponden a las posibilidades del primer paso y, despus, n ramas que brotan de cada una de las primeras para representar las posibilidades del segundo paso. Esto nos lleva a tener m.n trayectorias a lo largo del diagrama de rbol y, por lo tanto (m) (n) posibilidades.

Ejemplo. Si una firma tiene cuatro almacenes y 12 tiendas de ventas al menudeo, de cuntas maneras diferentes puede enviar un artculo del almacn a una de sus tiendas?Solucin. Como m = 4 y n = 12, existen 4 . 12 = 48 maneras.

Ejemplo. Una agencia de viajes ofrece recorridos a 15 ciudades diferentes, sea por avin, por ferrocarril o por autobs, De cuntas maneras diferentes es posible arreglar un recorrido de ste tipo?Solucin. Como m = 15 y n = 3, existen 15 . 3 = 45 maneras. Con el uso de diagramas de rbol adecuados, resulta sencillo generalizar la regla anterior de modo que se aplique a situaciones en las que intervengan ms de dos paso. En relacin con k pasos, donde k es un entero positivo, se llega a la siguiente regla:

Multiplicacin de opciones (generalizada). Si una eleccin consta de k pasos donde el primero puede realizarse de maneras, en cada una de stas el segundo paso puede efectuarse de maneras, , y, en cada una de stas, el k simo puede hacerse de maneras, entonces toda la situacin puede resolverse en formas.

Ejemplo. Si el comprador de un automvil nuevo se enfrenta con una opcin de cinco estilos de carrocera, tres motores y 10 colores, de cuntas maneras diferentes puede elegir una carrocera, un motor y un color para su automvil? Adems, si el comprador puede escoger una unidad con o sin transmisin automtica, con o sin aire acondicionado y con o sin asiento de cubo, cuntas opciones diferentes puede tener?

Solucin. En relacin con la primera pregunta, = 5, = 3 y = 10, de manera que el comprador puede elegir su automvil en (5)(3)(10) = 150 formas distintas. Con respecto a la segunda pregunta =5,

= 3, = 10 y = 2, = 2 y = 2, de modo que en total tiene 5 . 3 . 10 . 2 . 2 . 2 = 1 200 opciones diferentes.

Ejemplo. Si una prueba consta de 10 preguntas de opcin mltiple donde cada una admite tres respuestas posibles, de cuntas formas diferentes es posible marcar el papel con una respuesta a cada pregunta?

Solucin. Como , existen 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 59 049 formas. En uno de los 59 049 todas las respuestas estarn correctas y, en 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 1 024 casos, todas estarn equivocadas.

A menudo, la regla de la multiplicacin de opciones y su generalizacin se aplica cuando se toman varias opciones de un conjunto y es importante el orden en que se presentan.

Ejemplo. Cuntas formas diferentes pueden elegir los jueces al ganador y al primer subcampen entre 10 finalistas en un concurso de ensayos literarios de estudiantes?Solucin. Como el ganador se puede escoger en m = 10 formas y el primer subcampen puede ser uno de los otros n = 9 finalistas, existen 10 . 9 = 90 formas.

Ejemplo. De cuntas maneras distintas pueden elegir los 48 miembros de una fraternidad universitaria a un presidente, un vicepresidente, un secretario y un tesorero?

Solucin. Como (Sin importar qu oficial sea elegido en 1, 2, 3 y 4 trminos), existen 48 . 47 . 46 . 45 = 4 669 920 formas.

En trminos generales, si se seleccionan r objetos de un conjunto de n unidades, cualquier disposicin (orden) especfica de stos objetos se conoce como permutacin. Por ejemplo, 3214 es una permutacin de los primeros cuatros enteros positivos; Managua, Masaya, Granada es una permutacin (una disposicin ordenada en particular) de tres de los 16 departamentos de Nicaragua y Los indios del Ber, El San Fernando, El Chinandega, La Costa Atlntica y La Costa Atlntica, Los Indios del Ber, Dantos, El Matagalpa son dos permutaciones distintas (disposiciones ordenadas) de cuatro de los 6 equipos de bisbol de la divisin de la liga nacional.

Ejemplo. Determine el nmero de posible permutaciones de dos de las cinco vocales, a, e, i, o, u, y cteles todas.Solucin. Como m = 5 y n = 4, existen 5 . 4 = 20 permutaciones, que son:

aeaiaoaueieoeuioiuouea iaoauaieoeueoiuiuo

Para obtener una frmula del nmero total de permutaciones de r objetos, seleccionamos a partir de n objetos distintos, como los seis equipos de bisbol o las cinco vocales, se observa que la primera seleccin se hace a partir del conjunto total de n objetos, la segunda se realiza con objetos que sobran de la primera seleccin realizada, la tercera se efecta con los objetos que quedan, despus de las dos primeras selecciones, , y la r-sima y la ltima seleccin se hace con los objetos restantes, despus de realizar las primeras r 1 selecciones. Ahora bien, la aplicacin directa de la regla generalizada de la multiplicacin de opciones muestra que el nmero total de permutaciones de r objetos, seleccionados de n objetos distintos, las cuales se representa con es .Como los productos de enteros consecutivos figuran en muchos problemas relativos a las permutaciones y otros tipos de disposiciones o selecciones especiales, conviene presentar aqu la notacin factorial. En esta notacin, el producto de todos los enteros positivos, menores o iguales al entero positivo n, se denomina

factorial n y se designa con Por lo tanto.

y, en general, As mismo, para hacer que diversas frmulas puedan aplicarse de manera ms general, hacemos , por definicin.

Para expresar la frmula de en trminos factoriales, se observa, por ejemplo, que

y de la misma manera,

de manera que . En resumen,Nmero de permutaciones de n objetos tomados de r en r. El nmero de permutaciones de r objetos seleccionados de un conjunto de n elementos distintos es

o bien, en notacin factorial,

y ya tenemos dos frmulas de . Obsrvese que la primera frmula se aplica con r = 1, 2, , n y la segunda con r = o, 1, 2, , n.

Ejemplo. Determine el nmero de formas en que es posible que clasifiquen tres de diez vendedores de bienes races en primero, segundo y tercer lugar, de acuerdo con su conocimiento del mercado.

Solucin. Para n = 10 y r = 3 la primera frmula produce.

y la segunda frmula da como resultado.

Ejemplo. Determine el nmero de permutaciones de cero objetos seleccionados de un conjunto de 25 objetos diferentes.

Solucin. No podemos utilizar la primera frmula aqu, pero, al sustituir n = 25 y r = 0 en la segunda frmula se obtiene. Este resultado puede parecer trivial, pero muestra que la notacin factorial hace que la frmula del nmero de permutaciones sea ms aplicable en trminos generales.

Para obtener la frmula del nmero de permutaciones de n objetos diferentes, tomados todos al mismo tiempo, se sustituye n = r n la segunda frmula de con lo cual se obtiene: (ya que , por definicin). Por consiguiente:

Nmero de permutaciones de n objetos, tomados todos al mismo tiempo.

Ejemplo. Determine el nmero de formas en las cuales se puede asignar nueve asistentes de docencia a nueve secciones de un curso y el nmero de formas en que se pueden clasificar 12 diseos de paquetes distintos de un nuevo producto, en orden de preferencia.

Solucin. En relacin a los nueve asistentes de docencia, se obtiene y, en relacin con los 12 diseos de paquetes, se obtiene .

Existen muchos problemas en los que se desea conocer el nmero de formas en que se pueden seleccionar r objetos de un conjunto de n elementos, pero sin el deseo de incluir en la cuenta a todos los diversos rdenes en los que puede acomodarse la seleccin. Por ejemplo, tres personas, P, Q, R, se pueden asignar a un comit de tres personas en rdenes diferentes (PQR, PRQ, QPR, QRP, RPQ, RQP), pero slo existe un comit, no seis.

Para obtener una frmula que se aplique a este tipo de problemas, consideraremos las siguientes 24 permutaciones de tres de las primeras cuatro letras del alfabeto.

abcacbbacbcacabcbaabdadbbadbdadabdbaacdadccadcdadacdcabcdbdccbdcdbdbcdcb

La inspeccin de esta tabla muestra que, si no contamos los diferentes rdenes en que es posible escoger tres de las cuatro letras a, b, c y d, slo hay cuatro maneras de realizar la seleccin. Estas se ilustran en la primera columna (abc, abd, acd, bcd). Cada rengln de la tabla contiene meramente las permutaciones distintas de las letras que aparecen en la primera columna.

En general, hay permutaciones de r objetos cualesquiera seleccionados de un conjunto de n objetos diversos, de manera que permutaciones de r objetos escogidos de n objetos diferentes contengan veces a cada subconjunto de r objetos. Por lo tanto, para determinar el nmero de formas en que pueden

seleccionarse r objetos de un conjunto de n objetos distintos, tambin llamados nmero de combinaciones de n objetos tomados de r en r, que se denota con , se divide entre , y se obtiene:Nmero de combinaciones de n objetos, tomados de r en r. El nmero de formas en que pueden seleccionarse r objetos de un conjunto de n elementos distintos es:

o en notacin factorial:

Para n = 0 a n = 20, los valores de pueden leerse de la tabla IX, donde estas cantidades reciben el nombre de coeficientes binomiales.

Ejemplo. Determine el nmero de formas en que una persona puede seleccionar cuatro productos de una lista de ocho (el nmero de combinaciones de ocho elementos tomados de cuatro en cuatro).

Solucin. Para n = 8 y r = 4, la primera frmula produce:

y la segunda produce:

Ejemplo. En cuntas formas puede elegir un decano a 2 de los 50 miembros de la facultad para efectuar una revisin de calificaciones?

Solucin. Para n = 50 y r = 2, la primera frmula genera: El resultado del primer ejemplo, pero no el del segundo, puede leerse en la tabla IX.

Ejemplo. En cuntas formas pueden escogerse cuatro interruptores buenos y dos defectuosos de un lote que contiene 20 interruptores buenos y cinco defectuosos?

Solucin. Los cuatros interruptores que funcionan pueden seleccionarse en formas,

los dos interruptores defectuosos en formas y, por medio de la multiplicacin de opciones, se tiene

En este caso, se buscaron los coeficientes binomiales en la tabla IX.Cuando se seleccionan r objetos de un conjunto de n objetos diversos, n r de los objetos quedan en el grupo y, en consecuencia, hay tantas maneras de dejar (o seleccionar) n r objetos de un conjunto de n objetos distintos como maneras de seleccionar r objetos. En forma simblica, escribimos:

Regla de los coeficientes binomiales. Algunas veces, esta regla sirve para simplificar detalles y, a veces, se necesita emplear junto con la tabla IX.

Ejemplo. Determine el valor de

Solucin. Para no tener que escribir el producto 85 . 84 . 83 . . 4 y cancelar 82 . 81 . . 4, se escribe directamente

Ejemplo. Determine el valor de

Solucin. no se puede obtener directamente en la tabla IX, pero si es posible encontrar

Evaluacin: Resolver los siguientes problemas.

1) Un corredor de bolsa recibe el mismo nmero de rdenes de compras y de venta de ttulos de sus clientes. Elabore un diagrama de rbol que muestre en relacin con las tres rdenes siguientes que reciba el corredor, cuntas pueden ser ordenes de compras u rdenes de ventas. En cuntos casos puede haber:

a) Exactamente dos rdenes de venta; b) Exactamente una orden de venta;c) Exactamente tres rdenes de compra;d) Exactamente tres rdenes de venta.

2) Un Constructor puede terminar 0, 1 2 casas residenciales en un mes. Construya un diagrama de rbol para indicar que hay seis formas en las que el constructor puede terminar exactamente dos casas residenciales en tres meses.

3) Un cuarto de hotel puede ocuparse con reservacin por correo, por telfono o sin reservacin. La Poltica del hotel consiste en que las reservaciones por correo pueden pagarse en efectivo, cheque o tarjeta de crdito; El alojamiento por telfono se puede pagar en efectivo y con tarjeta de crdito; y el alojamiento sin previa reservacin se puede pagar en efectivo. Trace un diagrama de rbol que muestre las seis formas en que es posible obtener una habitacin del hotel y pagar el alojamiento.

4) Un fabricante de yates ofrece el modelo deportivo para pesca con dos, tres o cuatros camarotes; con o sin puente de flotacin, con motor de gasolina o diesel y en varios colores de casco diferentes. Si existen 72 opciones posibles abiertas a un comprador, De cuntos colores se dispone para el casco?5) Un profesor de Estadstica puede asignar calificaciones de A, B, C, D o F a los exmenes de sus alumnos.

a) En cuntas formas puede el profesor asignar las calificaciones a tres diferentes exmenes?b) De cuntas maneras puede asignar el maestro calificaciones de A o B a tres exmenes distintos?

6) En un estudio de investigacin de las mujeres que compran acciones con capital mancomunado, las entrevistadas se clasifican en 7 categoras de ingreso, cuatro categoras de objetivos de inversin, cinco categoras de lugares de residencia y dos categoras de posicin ocupacional. En cuntas formas puede clasificarse a una mujer que compra acciones con capital mancomunado?

7) Un examen consta de 10 preguntas, con cuatro opciones cada una, slo una es correcta y tres incorrectas.

a) En cuntas formas puede un alumno marcar las respuestas a estas preguntas, si seala una respuesta para cada una de las 10 preguntas?b) De cuntas maneras puede un alumno obtener una calificacin prefecta (Todas las respuestas correctas) en este examen?c) En cuntas formas puede marcar el estudiante las respuestas a estas preguntas, si responde las 10 preguntas incorrectamente?

8) El Wall Street Journal publica una lista diaria de los 10 valores o ttulos ms activamente negociados en la American Stock Exchange (Bolsa de Valores Norteamericana). Un inversionista desea elaborar una lista de estos ttulos, en orden de importancia para la posible compra. Cuntas permutaciones habr con tres de los 10 ttulos negociados cierto da en dicha bolsa de valores?

9) El representante de un sindicato desea hablar con tres de los 10 trabajadores inmiscuidos en un procedimiento que es motivo de una queja.

a) Si es importante el orden de las entrevistas, En cuntas formas puede planear las tres entrevistas el representante del sindicato?b) Si no importa el orden de las entrevistas, De cuntas maneras puede planearlas el representante del sindicato?

10) En cuntas formas puede acomodar un juez a seis corredores en una lnea de partida de una carrera?

11) Calcule el nmero de formas en que un capataz puede escoger a 12 de 18 trabajadores para asignarles trabajo en tiempo extra.

12) Una caja contiene una docena de focos elctricos, que incluyen dos unidades defectuosas. De cuntas maneras se pueden seleccionar tres focos, de manera que:

a) No se incluya ninguno de los focos defectuosos;b) Se incluya una de las unidades defectuosas;c) Se incluyan ambos focos defectuosos.

13) Una tabla de coeficientes binomiales es fcil de construir, siguiendo el modelo que se muestra a continuacin, el cual se denomina tringulo de Pascal.

En esta disposicin, cada rengln principia con 1 y termina con 1, y cada nmero adicional est dado por la suma de los datos ms prximos del rengln que est inmediatamente arriba.

a) Utilice la tabla IX para verificar que el tercer rengln del tringulo contiene los valores de para

r = 0, 1 y 2; que el cuarto rengln contiene los valores de para r = 0, 1, 2, y 3; y que el quinto rengln contiene los valores de para r = 0, 1, 2, 3, y 4.Obtenga los dos renglones siguientes del tringulo y utilice la tabla IX para verificar los resultados.

14) Verifique la identidad expresando cada uno de los coeficientes binomiales en los trminos de los factoriales. Explique porqu esta identidad justifica el mtodo que se aplica en la construccin del tringulo de Pascal del ejercicio anterior.

TABLA IXCoeficientes Binomiales.

n

01

111

2121

31331

414641

515101051

61615201561

7172135352171

818285670562881

9193684126126843691

10110451202125221012045101

11111551653304624623301655511

121126622049579292479249522066

13113782867151 2871 7161 7161 287715286

14114913641 0012 0023 0033 4323 0032 0021 001

151151054551 3653 0035 0056 4356 4355 0053 003

161161205601 8204 3688 00811 44012 87011 4408 008

171171366802 3806 18812 37619 44824 31024 31019 448

181181538163 0608 56818 56431 82443 75848 62043 758

191191719693 87611 62827 13250 38875 58292 37892 378

2012019011404 84515 50438 76077 520125 970167 960184 756

Si es necesario, utilice la identidad: