PLAN DE CLASES.

Colegio: LICEO PRIVADO MILAGRO DE DIOS. Prof. Domingo A. Camacho. Grado: _______________ . Grado. Fecha: ___________________.

Área: Matemáticas. Disciplina: Matemáticas.

Número y Nombre de la Unidad: I Probabilidades.

Indicador de Logro:

1) Utiliza los conceptos de probabilidad clásica o teórica y, los aplica en el cálculo de la probabilidad de un evento o suceso.

Contenido:

Diagrama de árbol.

Combinaciones y permutaciones.

Probabilidad Clásica o Teórica.

Iniciación:

1) Repaso de Resolución de sistemas de ecuaciones con dos variables.Verificar el Orden y Aseo del aula.Constatar la asistencia y puntualidad de los Educandos.Orientaciones Generales.

Desarrollo: Conteo.

El simple proceso de contar sigue desempeñando un papel importante en la Administración y la economía. Todavía tenemos que contar 1, 2, 3, 4, …, por ejemplo, cundo se hacen inventarios, cuando se determina el número de cajas dañadas de un cargamento de vino que viene de Francia o cuando se elabora un informe que indica en cuántas ocasiones subieron ciertos índices del mercado de valores durante un mes dado. Algunas veces, el proceso de conteo puede simplificarse mediante el uso de dispositivo mecánicos (por ejemplo, cuando se cuentan los espectadores que pasan por torniquetes) o al realizar cuentas en forma indirecta (por ejemplo, al tomar los números de serie de las facturas con el fin de determinar el número de ventas). En otros casos, el proceso de cuentas se puede simplificar apreciablemente por medio de técnicas matemáticas especiales, como las que se citan enseguida.

En el estudio de “lo que es posible,” existen esencialmente dos tipos de problemas. Primero, existe el problema de citar todo lo que puede suceder en una situación dada y, después, el de determinar cuántas cosas diferentes pueden acontecer (sin elaborar en realidad una lista completa). El segundo tipo de problema es de especial importancia, ya que en muchos casos no necesitamos realmente una lista completa y, por lo tanto, nos podemos ahorrar mucho trabajo. Aunque el primer tipo de problema quizá parezca directo y sencillo, no siempre se da este caso.

Ejemplo. Un servicio de helicópteros que enlaza dos aeropuertos tiene cuatro pilotos y tres helicópteros. ¿En cuántas formas diferentes se pueden asignar un piloto y un helicóptero a un trabajo? Solución. Supongamos A, B, C y D a los cuatros pilotos; I, II y III a los tres helicópteros y trazamos el diagrama de árbol de la figura1, hallamos que existen 12 maneras diferentes en total. La primera trayectoria a lo largo de las ramas del árbol corresponde a la elección del piloto A y el helicóptero I, la segunda trayectoria corresponde a la elección del piloto A y el helicóptero II, … , y la duodécima trayectoria corresponde a la elección del piloto D y el helicóptero III.

La respuesta que se obtuvo en el siguiente ejemplo es 4 . 3 = 12, el producto del número de maneras de seleccionar un piloto por el número de formas en que se puede elegir un helicóptero.

Multiplicación de opciones. Si una elección consta de dos pasos, donde el primero puede realizarse en m formas y, por cada una de éstas, el segundo puede efectuarse en n formas, entonces es posible resolver toda la situación en m . n formas.

Para demostrar esto, sólo necesitamos trazar un diagrama de árbol similar al de la figura 1. Primero, se tienen m ramas que corresponden a las posibilidades del primer paso y, después, n ramas que brotan de cada una de las primeras para representar las posibilidades del segundo paso. Esto nos lleva a tener m.n trayectorias a lo largo del diagrama de árbol y, por lo tanto (m) (n) posibilidades.

Ejemplo. Si una firma tiene cuatro almacenes y 12 tiendas de ventas al menudeo, ¿de cuántas maneras diferentes puede enviar un artículo del almacén a una de sus tiendas?Solución. Como m = 4 y n = 12, existen 4 . 12 = 48 maneras.

Ejemplo. Una agencia de viajes ofrece recorridos a 15 ciudades diferentes, sea por avión, por ferrocarril o por autobús, ¿De cuántas maneras diferentes es posible arreglar un recorrido de éste tipo?Solución. Como m = 15 y n = 3, existen 15 . 3 = 45 maneras. Con el uso de diagramas de árbol adecuados, resulta sencillo generalizar la regla anterior de modo que se aplique a situaciones en las que intervengan más de dos paso. En relación con k pasos, donde k es un entero positivo, se llega a la siguiente regla:

Multiplicación de opciones (generalizada). Si una elección consta de k pasos donde el primero puede

realizarse de maneras, en cada una de éstas el segundo paso puede efectuarse de maneras, … , y,

en cada una de éstas, el k – ésimo puede hacerse de maneras, entonces toda la situación puede

resolverse en formas.

Ejemplo. Si el comprador de un automóvil nuevo se enfrenta con una opción de cinco estilos de carrocería, tres motores y 10 colores, ¿de cuántas maneras diferentes puede elegir una carrocería, un motor y un color para su automóvil? Además, si el comprador puede escoger una unidad con o sin transmisión automática, con o sin aire acondicionado y con o sin asiento de cubo, ¿cuántas opciones diferentes puede tener?

Solución. En relación con la primera pregunta, = 5, = 3 y = 10, de manera que el comprador

puede elegir su automóvil en (5)(3)(10) = 150 formas distintas. Con respecto a la segunda pregunta =5,

= 3, = 10 y = 2, = 2 y = 2, de modo que en total tiene 5 . 3 . 10 . 2 . 2 . 2 = 1 200 opciones diferentes.

Ejemplo. Si una prueba consta de 10 preguntas de opción múltiple donde cada una admite tres respuestas posibles, ¿de cuántas formas diferentes es posible marcar el papel con una respuesta a cada pregunta?

Solución. Como , existen 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 59 049 formas. En uno de los 59 049 todas las respuestas estarán correctas y, en 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 1 024 casos, todas estarán equivocadas.

A menudo, la regla de la multiplicación de opciones y su generalización se aplica cuando se toman varias opciones de un conjunto y es importante el orden en que se presentan.

Ejemplo. ¿Cuántas formas diferentes pueden elegir los jueces al ganador y al primer subcampeón entre 10 finalistas en un concurso de ensayos literarios de estudiantes?Solución. Como el ganador se puede escoger en m = 10 formas y el primer subcampeón puede ser uno de los otros n = 9 finalistas, existen 10 . 9 = 90 formas.

Ejemplo. ¿De cuántas maneras distintas pueden elegir los 48 miembros de una fraternidad universitaria a un presidente, un vicepresidente, un secretario y un tesorero?

Solución. Como (Sin importar qué oficial sea elegido en 1º, 2º, 3º y 4º términos), existen 48 . 47 . 46 . 45 = 4 669 920 formas.

En términos generales, si se seleccionan r objetos de un conjunto de n unidades, cualquier disposición (orden) específica de éstos objetos se conoce como permutación. Por ejemplo, 3214 es una permutación de los primeros cuatros enteros positivos; Managua, Masaya, Granada es una permutación (una disposición ordenada en particular) de tres de los 16 departamentos de Nicaragua y Los indios del Bóer, El San Fernando, El Chinandega, La Costa Atlántica y La Costa Atlántica, Los Indios del Bóer, Dantos, El

Matagalpa son dos permutaciones distintas (disposiciones ordenadas) de cuatro de los 6 equipos de béisbol de la división de la liga nacional.

Ejemplo. Determine el número de posible permutaciones de dos de las cinco vocales, a, e, i, o, u, y cíteles todas.Solución. Como m = 5 y n = 4, existen 5 . 4 = 20 permutaciones, que son:

ae ai ao au ei eo eu io iu ouea ia oa ua ie oe ue oi ui uo

Para obtener una fórmula del número total de permutaciones de r objetos, seleccionamos a partir de n objetos distintos, como los seis equipos de béisbol o las cinco vocales, se observa que la primera selección

se hace a partir del conjunto total de n objetos, la segunda se realiza con objetos que sobran de la

primera selección realizada, la tercera se efectúa con los objetos que quedan, después de las dos

primeras selecciones, … , y la r-ésima y la última selección se hace con los objetos restantes, después de realizar las primeras r – 1 selecciones. Ahora bien, la aplicación directa de la regla generalizada de la multiplicación de opciones muestra que el número total de permutaciones de r objetos,

seleccionados de n objetos distintos, las cuales se representa con es .Como los productos de enteros consecutivos figuran en muchos problemas relativos a las permutaciones y otros tipos de disposiciones o selecciones especiales, conviene presentar aquí la notación factorial. En esta notación, el producto de todos los enteros positivos, menores o iguales al entero positivo n, se denomina

“factorial n” y se designa con Por lo tanto.

y, en general, Así mismo, para hacer que diversas fórmulas puedan aplicarse de

manera más general, hacemos , por definición.

Para expresar la fórmula de en términos factoriales, se observa, por ejemplo, que

y de la misma manera,

de manera que . En resumen,Número de permutaciones de n objetos tomados de r en r. El número de permutaciones de r objetos seleccionados de un conjunto de n elementos distintos es

o bien, en notación factorial,

y ya tenemos dos fórmulas de . Obsérvese que la primera fórmula se aplica con r = 1, 2, …, n y la segunda con r = o, 1, 2, …, n.

Ejemplo. Determine el número de formas en que es posible que clasifiquen tres de diez vendedores de bienes raíces en primero, segundo y tercer lugar, de acuerdo con su conocimiento del mercado.

Solución. Para n = 10 y r = 3 la primera fórmula produce.

y la segunda fórmula da como resultado.

Ejemplo. Determine el número de permutaciones de cero objetos seleccionados de un conjunto de 25 objetos diferentes.Solución. No podemos utilizar la primera fórmula aquí, pero, al sustituir n = 25 y r = 0 en la segunda

fórmula se obtiene. Este resultado puede parecer trivial, pero muestra que la notación factorial hace que la fórmula del número de permutaciones sea más aplicable en términos generales.Para obtener la fórmula del número de permutaciones de n objetos diferentes, tomados todos al mismo

tiempo, se sustituye n = r n la segunda fórmula de con lo cual se obtiene: (ya que

, por definición). Por consiguiente:

Número de permutaciones de n objetos, tomados todos al mismo tiempo.

Ejemplo. Determine el número de formas en las cuales se puede asignar nueve asistentes de docencia a nueve secciones de un curso y el número de formas en que se pueden clasificar 12 diseños de paquetes distintos de un nuevo producto, en orden de preferencia.

Solución. En relación a los nueve asistentes de docencia, se obtiene y, en relación con los 12

diseños de paquetes, se obtiene .

Existen muchos problemas en los que se desea conocer el número de formas en que se pueden seleccionar r objetos de un conjunto de n elementos, pero sin el deseo de incluir en la cuenta a todos los diversos órdenes en los que puede acomodarse la selección. Por ejemplo, tres personas, P, Q, R, se

pueden asignar a un comité de tres personas en órdenes diferentes (PQR, PRQ, QPR, QRP, RPQ, RQP), pero sólo existe un comité, no seis.

Para obtener una fórmula que se aplique a este tipo de problemas, consideraremos las siguientes 24 permutaciones de tres de las primeras cuatro letras del alfabeto.

abc acb bac bca cab cbaabd adb bad bda dab dbaacd adc cad cda dac dcabcd bdc cbd cdb dbc dcb

La inspección de esta tabla muestra que, si no contamos los diferentes órdenes en que es posible escoger tres de las cuatro letras a, b, c y d, sólo hay cuatro maneras de realizar la selección. Estas se ilustran en la

primera columna (abc, abd, acd, bcd). Cada renglón de la tabla contiene meramente las permutaciones distintas de las letras que aparecen en la primera columna.

En general, hay permutaciones de r objetos cualesquiera seleccionados de un conjunto de n objetos

diversos, de manera que permutaciones de r objetos escogidos de n objetos diferentes contengan veces a cada subconjunto de r objetos. Por lo tanto, para determinar el número de formas en que pueden

seleccionarse r objetos de un conjunto de n objetos distintos, también llamados número de combinaciones

de n objetos tomados de r en r, que se denota con , se divide entre , y se obtiene:Número de combinaciones de n objetos, tomados de r en r. El número de formas en que pueden seleccionarse r objetos de un conjunto de n elementos distintos es:

o en notación factorial:

Para n = 0 a n = 20, los valores de pueden leerse de la tabla IX, donde estas cantidades reciben el nombre de coeficientes binomiales.

Ejemplo. Determine el número de formas en que una persona puede seleccionar cuatro productos de una lista de ocho (el número de combinaciones de ocho elementos tomados de cuatro en cuatro).

Solución. Para n = 8 y r = 4, la primera fórmula produce:

y la segunda produce:

Ejemplo. ¿En cuántas formas puede elegir un decano a 2 de los 50 miembros de la facultad para efectuar una revisión de calificaciones?

Solución. Para n = 50 y r = 2, la primera fórmula genera: El resultado del primer ejemplo, pero no el del segundo, puede leerse en la tabla IX.

Ejemplo. ¿En cuántas formas pueden escogerse cuatro interruptores buenos y dos defectuosos de un lote que contiene 20 interruptores buenos y cinco defectuosos?

Solución. Los cuatros interruptores que funcionan pueden seleccionarse en formas,

los dos interruptores defectuosos en formas y, por medio de la multiplicación de opciones, se tiene

En este caso, se buscaron los coeficientes binomiales en la tabla IX.Cuando se seleccionan r objetos de un conjunto de n objetos diversos, n – r de los objetos quedan en el grupo y, en consecuencia, hay tantas maneras de dejar (o seleccionar) n – r objetos de un conjunto de n objetos distintos como maneras de seleccionar r objetos. En forma simbólica, escribimos:

Regla de los coeficientes binomiales. Algunas veces, esta regla sirve para simplificar detalles y, a veces, se necesita emplear junto con la tabla IX.

Ejemplo. Determine el valor de

Solución. Para no tener que escribir el producto 85 . 84 . 83 . … . 4 y cancelar 82 . 81 . … . 4, se escribe directamente

Ejemplo. Determine el valor de

Solución. no se puede obtener directamente en la tabla IX, pero si es posible encontrar

Evaluación: Resolver los siguientes problemas.

1) Un corredor de bolsa recibe el mismo número de órdenes de compras y de venta de títulos de sus clientes. Elabore un diagrama de árbol que muestre en relación con las tres órdenes siguientes que reciba el corredor, cuántas pueden ser ordenes de compras u órdenes de ventas. En cuántos casos puede haber:

a) Exactamente dos órdenes de venta; b) Exactamente una orden de venta;c) Exactamente tres órdenes de compra; d) Exactamente tres órdenes de venta.

2) Un Constructor puede terminar 0, 1 ó 2 casas residenciales en un mes. Construya un diagrama de árbol para indicar que hay seis formas en las que el constructor puede terminar exactamente dos casas residenciales en tres meses.

3) Un cuarto de hotel puede ocuparse con reservación por correo, por teléfono o sin reservación. La Política del hotel consiste en que las reservaciones por correo pueden pagarse en efectivo, cheque o tarjeta de crédito; El alojamiento por teléfono se puede pagar en efectivo y con tarjeta de crédito; y el alojamiento sin previa reservación se puede pagar en efectivo. Trace un diagrama de árbol que muestre las seis formas en que es posible obtener una habitación del hotel y pagar el alojamiento.

4) Un fabricante de yates ofrece el modelo deportivo para pesca con dos, tres o cuatros camarotes; con o sin puente de flotación, con motor de gasolina o diesel y en varios colores de casco diferentes. Si existen 72 opciones posibles abiertas a un comprador, ¿De cuántos colores se dispone para el casco?5) Un profesor de Estadística puede asignar calificaciones de A, B, C, D o F a los exámenes de sus alumnos.

a) ¿En cuántas formas puede el profesor asignar las calificaciones a tres diferentes exámenes?

b) ¿De cuántas maneras puede asignar el maestro calificaciones de A o B a tres exámenes distintos?

6) En un estudio de investigación de las mujeres que compran acciones con capital mancomunado, las entrevistadas se clasifican en 7 categorías de ingreso, cuatro categorías de objetivos de inversión, cinco categorías de lugares de residencia y dos categorías de posición ocupacional. ¿En cuántas formas puede clasificarse a una mujer que compra acciones con capital mancomunado?

7) Un examen consta de 10 preguntas, con cuatro opciones cada una, sólo una es correcta y tres incorrectas.

a) ¿En cuántas formas puede un alumno marcar las respuestas a estas preguntas, si señala una respuesta para cada una de las 10 preguntas?

b) ¿De cuántas maneras puede un alumno obtener una calificación prefecta (Todas las respuestas correctas) en este examen?

c) En cuántas formas puede marcar el estudiante las respuestas a estas preguntas, si responde las 10 preguntas incorrectamente?

8) El Wall Street Journal publica una lista diaria de los 10 valores o títulos más activamente negociados en la American Stock Exchange (Bolsa de Valores Norteamericana). Un inversionista desea elaborar una lista de estos títulos, en orden de importancia para la posible compra. ¿Cuántas permutaciones habrá con tres de los 10 títulos negociados cierto día en dicha bolsa de valores?

9) El representante de un sindicato desea hablar con tres de los 10 trabajadores inmiscuidos en un procedimiento que es motivo de una queja.

a) Si es importante el orden de las entrevistas, ¿En cuántas formas puede planear las tres entrevistas el representante del sindicato?

b) Si no importa el orden de las entrevistas, ¿De cuántas maneras puede planearlas el representante del sindicato?

10) ¿En cuántas formas puede acomodar un juez a seis corredores en una línea de partida de una carrera?

11) Calcule el número de formas en que un capataz puede escoger a 12 de 18 trabajadores para asignarles trabajo en tiempo extra.

12) Una caja contiene una docena de focos eléctricos, que incluyen dos unidades defectuosas. ¿De cuántas maneras se pueden seleccionar tres focos, de manera que:

a) No se incluya ninguno de los focos defectuosos;b) Se incluya una de las unidades defectuosas;c) Se incluyan ambos focos defectuosos.

13) Una tabla de coeficientes binomiales es fácil de construir, siguiendo el modelo que se muestra a continuación, el cual se denomina triángulo de Pascal.

En esta disposición, cada renglón principia con 1 y termina con 1, y cada número adicional está dado por la suma de los datos más próximos del renglón que está inmediatamente arriba.

a) Utilice la tabla IX para verificar que el tercer renglón del triángulo contiene los valores de para

r = 0, 1 y 2; que el cuarto renglón contiene los valores de para r = 0, 1, 2, y 3; y que el quinto

renglón contiene los valores de para r = 0, 1, 2, 3, y 4.Obtenga los dos renglones siguientes del triángulo y utilice la tabla IX para verificar los resultados.

14) Verifique la identidad expresando cada uno de los coeficientes binomiales en los términos de los factoriales. Explique porqué esta identidad justifica el método que se aplica en la construcción del triángulo de Pascal del ejercicio anterior.

TABLA IX Coeficientes Binomiales.

n

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

6 1 6 15 20 15 6 1

7 1 7 21 35 35 21 7 1

8 1 8 28 56 70 56 28 8 1

9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

10

1 10 45 120 21 252 210 120 45 10 1

11

1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11

12

1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66

13

1 13 78 286 715 1 287 1 716 1 716 1 287 715 286

14

1 14 91 3641

0012 002 3 003 3 432 3 003 2 002 1 001

15

1 15 105 4551

3653 003 5 005 6 435 6 435 5 005 3 003

16

1 16 120 5601

8204 368 8 008 11 440 12 870 11 440 8 008

17

1 17 136 6802

3806 188 12 376 19 448 24 310 24 310 19 448

18

1 18 153 8163

0608 568 18 564 31 824 43 758 48 620 43 758

19

1 19 171 9693

87611 628 27 132 50 388 75 582 92 378 92 378

20

1 20 190 11404

84515 504 38 760 77 520 125 970

167 960

184 756

Si es necesario, utilice la identidad: