Mg. AUGUSTO FERNÁNDEZ HUAMÁN

¿Qué tan posible

es que salga Cara o sello?

¡ Ya no juego...!

¡ Espera, soloera

broma

Entonces, decimos Que la

posibilidadQue salga es

1/2

¡ Yo sé...! de dosposibilidades...

unaes cara

Lo que no es lo mismo

que tu cara seaPosiblemente la

misma

PROBABILIDADES

La probabilidad es una posibilidad de que algo pase. Ejemplo:

2. De 30 estudiantes del cuarto grado. ¿Cuántos conocerán el Teorema de Pitágoras?

experimento aleatorio, porque no es posible conocer el resultado antes de realizado el experimento. Se denota con ( E )

: son todos los sucesos posibles de un experimento (S).: Es el subconjunto del espacio muestral. Se denota por A. B.C., etc.

Ejemplo: Cuando tiramos un dado ( experimento aleatorio ), su espacio muestral será: S = 1,2,3,4,5,6 y si buscamos un número impar mayor de 2 el evento o suceso será: A = 3, 5 ; entonces:

La posibilidad de obtener de obtener un número impar > 2 es un tercio.

Otro ejemplo: Se tiene una baraja de 52 cartas y de ello se extrae una. Calcular la probabilidad de que la carta extraída:a) Sea de color rojob) Sea de espadac) Represente un número menor que 10d) Sea As o trébol. Resolución:Al extraer una carta al azar, puede salir cualquiera de las 52 cartas, Luego el númerode casos posibles para cualquiera de los eventos es 52. n = 52

a) sale carta roja, entonces m = 26

P(A) = m/n = 26 / 52 = 1/2.

b) Sale carta de espada:El número de casos favorables es 13, entonces P (B) = m/n = 13/52 = ¼

c) El número de carta es menor que 10, entonces el número caso favorable es 4x 9 = 36 P(C) = m/n = 36 / 52 = 9/13

d) Sale As o trébol, entonces el número de casos favorables es 4 + 13 – 1 = 16

P (D) = m/n = 16/52 = 4 / 13

Ejemplo 3. En una caja hay 6 bolas rojas y 4 blancas. Se extraen una a una dos bolas(sin reposición ) Calcular las siguientes probabilidades.a) Que ambas bolas sean rojasb) Que ambas bolas sean blancasc) Que la primera sea roja y la segunda blanca.d) Que la primera sea blanca y la segunda roja

Resolución

Aplicamos el principio de multiplicacióna) Cuando ambas bolas son rojas La `primera bola se puede extrae de 6 maneras diferentes. La segunda bola se puede extraer de 6 – 1 = 5 maneras diferentes porque una bola roja no se ha devuelto a la caja. Luego la 1ra. Roja y la 2da. Roja se pueden extraer de 6x5=30 maneras diferentes. El total de casos posibles: La primera bola se extraer de 10 maneras diferentes La segunda sería de 9 formas diferentes; entonces sería 10x9=90

P(A) = m/n = 30/ 90 = 1/3

b. Que ambas bolas sean blancasNúmero de casos favorables: m = 4 x 3 = 12Número de casos posibles: n = 10 x 9 = 90

P( B ) = 12/ 90 = 2 / 15

c. La primera bola roja y la segunda blanca: Número de casos favorables: m = 6 x 4 = 24

Número de casos posibles: n = 10 x 9 = 90

P( C ) = 24 / 90 = 4 / 15

d. Que la primera bola sea blanca y la segunda roja Número de casos favorables: m = 4 x 6 = 24Número de casos posibles: n = 10 x 9 = 90

P( D ) = m / n = 24/ 90 = 4 / 15

EJM: Con los datos del ejercicio anterior, pero considerando que ahora se extraen las dos bolas una a una con reposición. Calcular las mismas probabilidades.

a) Que ambas bolas sean rojas Número de casos favorables: m = 6 x 6 = 36 Número de casos posibles: n = 10 x 10 = 100 P( A ) = m / n = 24/ 90 = 4 / 15

b) La primera blanca y la segunda blanca Número de casos favorables: m = 4 x 4 = 16 Número de casos posibles: n = 10 x 10 = 100 P( B ) = m / n = 24/ 90 = 4 / 25

c) La primera roja y la segunda blanca Número de casos favorables: m = 6 x 4 = 24 Número de casos posibles: n = 10 x 10 = 100 P( C ) = m / n = 24/ 100 = 6 / 25

d) La primer blanca y la segunda roja Número de casos favorables: m = 4 x 6 = 24 Número de casos posibles: n = 10 x 10 = 100 P( D ) = m / n = 24/ 90 = 6 / 25

EJM: En una urna hay 5 tarjetas que tienen escritas las letras G, E, L, A, N; se extraen una por una y se pone en fila sobre una mesa. Calcular la probabilidad de que queden ordenadas de modo que se pueda leer : ANGEL.

Resolución

Las 5 tarjetas se pueden ordenar de P (5) = 5! = 120 maneras diferentes. El número de casos posibles son 120 y de los 120 casos posibles , sólo uno corresponde al orden. Número de casos favorables es = 1Por lo tanto: P ( A, N, G, E, L ) = 1/ 120

EJM: De una baraja de 52 naipes se extrae al azar 3 cartas. ¿ Cuál es la probabilidad de que las tres sean de espada?

Resolución

* 3 cartas de 52 se puede extraer de maneras diferentes.

Númerop de casos posibles:

A N G E L

1 0 02 2!4 9!3

!5 23 23 ==

xC

5 23C

* De los 52 naipes, 13 son de espada, entonces las 3 se escogerán de las 13 de Maneras diferentes.* Número de casos favorables:

* Luego P ( 3 cartas de espada )

1 33C

2 8 6!1 0!3

!1 31 33 ==

xC

1 33C5 23C

= 286/22 100 = 11/ 850

EJM: De un grupo de 6 hombres y 4 mujeres se va ha formar una comisión de 3 Personas. Calcular la probabilidad de que la comisión esté conformada por:a) 3 hombresb) 3 mujeresc) 1 hombre y dos mujeresd) al menos una mujerResolución:a) Evento A: comisión formada por 3 hombres

* Número de casos posibles =

Número de casos favorables A =

Entonces P ( A ) = 20/120 = 1 / 6

1 2 01 03 =C

2 06

3 =C

b) Evento B: Comisión formada por 3 mujeres

* Número de casos posibles:

* Número de casos favorables:

1 2 01 03 =C

44

3 =C

Entonces P ( A ) = 4/120 = 1 /30

c) Evento C: Comisión formada por 1 hombre y 2 mujeres

* Número de casos posibles:

* Número de casos favorables:

1 2 01 03 =C

3 64

261 =CxC

Entonces P ( A ) = 4/120 = 1 /30

d) Evento D: Comisión formada por al menos una mujer

* Número de casos posibles:

* Número de casos favorables: Al menos una mujer significa que la comisión de tres personas puede estar integrada por: (1 mujer y 2 hombres) o (2 mujeres y 1 hombre) o (3 mujeres)

1 2 01 03 =C

1 0 04661 54

3 643

61

42

62

41

=++=

xx

CxCxCxCxCEntonces: P (D) = 100/120 = 5 / 6

1 23

545

2( ) 1 0n C→ Ω = =

A : L a s u m a d e l o s n ú m e r o s e s 7 .

( 2 ; 5 ) , ( 3 ; 4 ) ( ) 2A n A= → =

P o r l o t a n t o : ( ) 2 1

1 0 5P A = =

EjemploEn una urna se colocan 5 fichas numeradas con 1,2,3,4 y 5. Si se extraenal azar 2 fichas. ¿Cuál es la probabilidad que sus números sumen 7?

Resolución

Se extraen 2 fichas de 5.