PROBABILIDADES

CALCULO COMBINATORIO

Se desarrolla algunos métodos para determinar sin enumeración directa el número de resultados posibles de un experimento particular o el número de elementos de un conjunto.

PRINCIPIOS BÁSICOS DEL PROCESO DE CONTAR PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN.- TEOREMA.- Una 1ª decisión se puede tomar de m

manera Una 2ª decisión es tomada de n maneras Entonces el número de maneras de tomar

ambas decisiones es igual a m x n

PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN

Ejemplo.- Supongamos que cuatro universidades de La Paz desean contratar un empleado para cada de las 3 áreas.

Biblioteca Mantenimiento Personal

Solución: Tenemos 2 conjuntos Universidades (cuatro) Empleado (tres)

Hay 3 empleos para cada una de las cuatro universidades. m * n = 4 3 = 12 posibles pares de universidad y empleo. Luego hay 12

oportunidades disponibles de empleo

PRINCIPIOS DE ADICIÓN.-

TEOREMA.- Si dos decisiones son mutuamente excluyentes y la primera se puede tomar de m maneras y las segunda de n maneras, entonces una o la otra se puede tomar de n + m maneras.

PRINCIPIOS DE ADICIÓN

Ejemplo.- Una persona puede viajar de A a B por vía aérea o por vía terrestre y tiene a su disposición 5 líneas aéreas, 6 líneas terrestres. ¿De cuántas formas puede hacer el viaje?

n1 + n2 = 5 + 6 = 11 formas posibles

PERMUTACIONES SIMPLES.-

TEOREMA.- El número de permutaciones distintas que pueden formarse con n objetos se obtiene mediante la fórmula:

Pn = n! = n (n - 1) (n - 2) ...............3 * 2 * 1

PERMUTACIONES SIMPLES.-

Se proyecta presentar 6 conferencistas en una reunión de padres de familia y profesores de un colegio. ¿El moderador del programa desea saber de cuántas maneras diferentes se pueden situar en el escenario las 6 conferencias en fila?

Solución: P6 = 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN

TEOREMA.- Sean k1, k2, ........km números enteros positivos tal que k1 + k2 + ...... + km = n

El número de maneras en que un conjunto de n elementos puede ser dividido en m partes ordenados (particionado en m subconjuntos) de las cuales el primero contiene k1 elementos, el segundo k2 elementos, etc., se obtiene mediante la siguiente fórmula:

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN

k1, k2, ........km

Pn = n

k1! * k2! * ........ * km!

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN

Ejemplo: ¿Cuántas permutaciones distintas se pueden formar usando las letras MEMMER?

Solución: n = 6 letras k1 = n1 = 3 letras M k2 = n2 = 2 letras E k3 = n3 = 1 letra R 3 * 2 * 1 P6 = 6! =

60 3! 2! 1! 60 permutaciones distintas de las Letras

COMBINACIONES.-

TEOREMA.- El número de combinaciones de n objetos tomando de k veces se obtiene mediante la fórmula siguiente.

n C = n! k k! (n – k!)

COMBINACIONES

Ejemplo: El numero de combinaciones de las letras a,b,c tomadas de dos en dos es:

3 C = 3! = 1*2*3 = 3 2 2! 1! 2*1

conceptos

EXPERIMENTO.- Es un proceso mediante el cual se obtiene un resultado de una observación. Un experimento puede ser determinístico y no determinístico.

EXPERIMENTO DETERMINISTICO.- Un experimento es determinístico cuando el resultado de la observación es determinada en forma precisa por las condiciones bajo las cuales se realiza dicho experimento.

conceptos

EXPERIMENTO ALEATORIO O NO DETERMINÍSTICO.- Un experimento es aleatorio cuando los resultados de la observación no se puede predecir con exactitud antes de realizar el experimento.

Ejemplo: El número de estudiantes en la carrera de Ingeniería

de Sistemas (Determinístico) Lanzar un dado y observar el número que aparece

en la cara superior (Aleatorio).

conceptos

ESPACIO MUESTRAL.- Es el conjunto de todos los resultados de un experimento; en términos de conjuntos, es un conjunto del espacio muestral (S).

En particular S y (conjunto vacío) son eventos. Al espacio muestral S se le llama evento seguro y a evento imposible.

Conceptos

Ejemplo: Sea el experimento: lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara superior. El espacio muestral asociado a este experimento es:

S = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Para este experimento podemos definir los siguientes

eventos:

A : Observar un número impar. Entonces A = 1, 3, 5

B : Observar un número múltiplo de 2 B = 2, 4, 6

C : Observar un número menor que 4 C = 1, 2, 3

OPERACIONES CON EVENTOS

Usando las operaciones con conjuntos, podemos formar nuevos eventos.

Estos eventos serán nuevamente subconjuntos del mismo espacio muestral de los eventos dados.

UNION DE EVENTOS.-

A U B

A B

UNION DE EVENTOS

Ejemplo: Un experimento consiste en lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara superior. Sean los eventos:

A : Observar un número impar B : Observar un número mayor o igual a 4 Listar los elementos del evento A U B Solución: S = 1, 2, 3, 4, 5, 6 A = 1, 3, 5 B = 4, 5, 6 A U B = 1, 3, 4, 5, 6

INTERSECCIÓN DE EVENTOS

A ∩ B

A B

INTERSECCIÓN DE EVENTOS

Ejemplo: Un experimento consiste en lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara superior. Sean los eventos:

A : Observar un número mayor que 3 B : Observar un número par Listar los elementos del evento A ∩ B

S = 1, 2, 3, 4, 5, 6 A = 4, 5, 6 B = 2, 4, 6 A ∩ B = 4, 6

DIFERENCIA DE EVENTOS

A – B

A B

DIFERENCIA DE EVENTOS

Un experimento consiste en lanzar tres monedas y observar el resultado. Sean los eventos:

A : Observar por lo menos una vez cara B : Observar por lo menos dos veces

cara

Listar los elementos del evento A – B S = ccc, ccs, csc, scc, css, scs, ssc, sss A = ccc, ccs, csc, scc, css, scs, ssc B = ccc, ccs, csc, scc A – B = css, scs, ssc

COMPLEMENTO DE UN EVENTO

A

A1

COMPLEMENTO DE UN EVENTO

Ejemplo: Un experimento consiste en lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara superior. Sean los eventos:

A : Observar los números pares

Listar los elementos del evento A1 = S – A S = 1, 2, 3, 4, 5, 6 A = 2, 4, 6 A1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 - 2, 4, 6 = 1, 3, 5

Antecedentes

En el siglo XVIII apareció junto con los juegos de azar:

Arrojar dados Girar ruletas Barajar cartas

Definición. Es el estudio de experimentos aleatorios o

libres de determinación.

Existen: Probabilidad a Priori (clásica) Probabilidad a Posteriori (de frecuencia)

Probabilidad a “priori”

Si un experimento aleatorio puede dar lugar a h resultados mutuamente excluyentes e igualmente posibles de un total de n posibilidades. La probabilidad de que ocurra el experimento (E) viene dada por el cociente de los h resultados entre el total de las posibilidades.

p(E) = h/n

Probabilidad a “priori”

Ejemplo: Se arroja un dado, cual es la probabilidad de que muestre un cuatro.

n=6 y h=1 P(E)= h/n P(E)= 1/6

* ** *******

*****

******

Probabilidad a “posteriori”

Cuando el experiemento de repite varias veces (n veces), el experimento tiene una frecuencia.

Ejemplo: Si en 1000 tiradas de una moneda salen 529

caras, la frecuencia es 529/1000. Si en otros 1000 salen 493, entonces la frecuencia total es (529+493)/2000 = 0.5

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Las probabilidades condicionadas se calculan una vez que se ha incorporado información adicional a la situación de partida:

Las probabilidades condicionadas se calculan aplicando la siguiente fórmula:

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Donde: P (B/A) es la probabilidad de que se de el

suceso B condicionada a que se haya dado el suceso A.

P (B ^ A) es la probabilidad del suceso simultáneo de A y de B

P (A) es la probabilidad a priori del suceso A

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Ejemplo: se tira un dado y sabemos que la probabilidad de que salga un 2 es 1/6 (probabilidad a priori). Si incorporamos nueva información (por ejemplo, alguien nos dice que el resultado ha sido un número par) entonces la probabilidad de que el resultado sea el 2 ya no es 1/6.

Ejemplo

P (B/A) es la probabilidad de que salga el número 2 (suceso B) condicionada a que haya salido un número par (suceso A).

P (B ^ A) es la probabilidad de que salga el dos y número par.

P (A) es la probabilidad a priori de que salga un número par.

Por lo tanto: P (B ^A) = 1/6 P (A) = 1/2 P (B/A) = (1/6) / (1/2) = 1/3