TEORÍA COMBINATORIA

HAMLET MATA MATA PROFESOR DE LA UNIVERSIDADPOLITÉCNICA DE EL TIGRE-VENEZUELA

TEORÍA COMBINATORIA.- Es la rama del Álgebra que se encarga del estudio y propiedades de los grupos que se pueden formar con un conjunto de elementos dado, diferenciándose entre sí por el número de elementos que entran en cada grupo, por la clase de esos elementos y por el orden de colocación de esos elementos.

ARREGLO DE OBJETOS.- Es la acción de arreglar, componer u ordenar objetos determinados en los estudios de probabilidades. Una forma útil de contar todos los posibles arreglos de un conjunto de datos es por medio de un DIAGRAMA DE ARBOL, que es una gráfica en donde se presentan todos los posibles arreglos de uno ó varios eventos en forma de árbol.

Los procedimientos de cálculo para hallar el número de arreglos probables de objetos de un conjunto, son indispensables en el estudio de probabilidades. Al enumerar los arreglos, es útil contar todos los posibles arreglos en la forma de un árbol, llamado diagrama de árbol; también se puede aplicar el método de la REGLA MULTIPLICATIVA o principio multiplicativo del conteo ó también aplicando las técnicas de la teoría combinatoria (variación y combinación).

PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN.- El mismo está basado en el método de razonamiento del diagrama de árbol; el mismo se define así: " Si una acción puede efectuarse, de a maneras diferentes, una segunda acción puede efectuarse de b maneras diferentes, una tercera acción puede efectuarse de c maneras diferentes, y así sucesivamente para n acciones, entonces el número total de maneras diferentes en que pueden efectuarse todas estas acciones en el orden mencionado está dado por: axbxc...xn".

PROBLEMAS.- Un joven tiene cuatro camisas de los siguientes colores: roja (R), blanca (B), negra (N) y verde(V),también posee dos pantalones, gris(G) y azul (A). ¿De cuantas maneras pueden combinarse los pantalones con las camisa o viceversa.

Un restaurante de la localidad ofrece un menú de tres componentes:1.- Aperitivo: Sopa (S), o Ensalada(E).2.- Plato Principal: Bisté (B), Carite (C), o Pavo (P).3.- Postre:Torta (T), o Helado (H).Construya un diagrama de árbol, indicando el número posible de comidas completas (aperitivo, plato principal y postre) que se pueden consumir.

Como se puede observar en el diagrama de árbol M hay 12 arreglos posibles.

Los resultados obtenidos con el diagrama de árbol también se pueden, obtener aplicando la regla multiplicativa: En el caso primero tenemos que multiplicar 4x2 = 8 posibles arreglos; en el segundo problema se multiplica 2x3x2=12 posibles arreglos el mismo resultado que se logró con el diagrama de árbol.

VARIACIÓN.- Dado un conjunto de m objetos o elementos, se llaman variaciones de esos elementos tomados de n en n, al conjunto formado por todas las colecciones de n elementos elegidos entre los elementos dados, considerando como distintas dos colecciones que difieran en algún elemento o en el orden de colocación de los mismo

N! Esta es una notación matemática que recibe el nombre FACTORIAL y se define como el producto de todos los números consecutivos decrecientes que comienzan en 1 hasta n, entonces si n es entero positivo tenemos:

N! = n(n-1) (n-2) (n-3)..................1.

6! = 6x5x4x3x2x1 =720. En particular, 1! = 1; por definición, 0! = 1.

Formula de las Variaciones:

COMBINACIONES.- Se llama combinación de m elementos tomados de n en n al conjunto de todas las colecciones de n elementos dados, considerando distintas, dos colecciones cuando difieran en uno o más elementos.

Formula de las combinaciones:

ALGUNAS OBSERVACIONES PARA CALCULAR VARIACIONES Y COMBINACIONES.-

Para diferenciar en la resolución de un problema y determinar si es una variación o una combinación se hace lo siguiente:

1.-Se forma un grupo cualquiera, según el enunciado del problema y con los mismos elementos de ese grupo se trata de formar otro grupo, si se consigue formar otro grupo diferente, el problema en cuestión es una variación, si por el contrario no se logra formar otro grupo, el problema es una combinación. Cuando en el grupo entran todos los elementos y los grupos difieran en el orden de colocación, son variaciones, de no ser así son combinaciones.

2.- Cuando una persona forma un grupo y otra persona que no haya visto la formación del mismo es capaz de decir en que orden se colocaron los elementos, entonces se afirma que el grupo formado es una variación, si por el contrario no se puede decir el orden de colocación de los elementos que conforman el grupo, entonces, el mismo es una combinación.

1.-¿Cuántos números de 3 cifras pueden hacerse con las cifras 1,2,3,4,5 y 6? que sean diferentes?.

Razonamiento: Se forma un número cualquiera de 3 cifras, ejemplo 154, con esos mismos elementos se forma otro número 541. Los dos números formados tienen los mismos elementos aunque los números son diferentes, por tal razón es una variación, por influir el orden de colocación de sus elementos.

2.- Con los números 1,2,3,4,5 y 6, ¿Cuántas sumas diferentes de 3 sumandos cada una pueden hacerse?.

Razonamiento: Formamos una suma cualquiera con tres de las cifras dadas......-.1 + 2 + 3 = 6, con los mismos números formamos otra suma ... ...3 +2 +1 = 6, como las dos sumas son iguales , entonces el problema es una combinación , por no influir el orden de colocación de sus elementos.

En una mezcla de tres pinturas de diferentes colores, que dio un color determinado, es imposible decir en que orden se echaron las tres pinturas, por lo tanto es una combinación. En una bandera de tres colores se puede decir en que orden están colocados los colores, por lo tanto es una variación.

3.- Se tienen 4 pinturas de colores diferentes. ¿ Cuantos colores pueden obtenerse mezclando los 4 colores en la misma proporción?.

Razonamiento; se forma una mezcla con los 4 colores A + B + C+ D = Color.

Se forma otra mezcla con los 4 colores A +D + B + C = Color, se observa como las dos mezclas dan el mismo color puesto que no influye el orden de colocación de los elementos, entonces es una combinación.

Solución:

Elementos de que disponemos.........................m = 4 .

Elementos que entran en el grupo......................n = 4 . Luego,

4.- Con las cifras 1,2,3,4,5 y 6.¿ Cuántos números de 3 cifras pueden hacerse, que sean diferentes?.

Razonamiento:

Se forma un número de 3 cifras 123

Con los mismos elementos se forma otro número 321

Como los dos números formados son diferentes el problema es una Variación, por influir el orden de colocación de los elementos.

Solución:

Elementos de que se disponen m = 6.

Elementos que entran en la formación de cada número n = 3.

Entonces: V6 ,3 = 6.5.4 = 120 Números diferentes.

5.- Con los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6. ¿Cuántas sumas diferentes de 3 sumandos cada una pueden hacerse?. Es una Combinación por no influir el orden de colocación de los elementos.

Solución:

Elementos de que se disponen m = 6.

Elementos que entran en la formación de cada suma n = 3

PROBLEMAS DE FORMACIÓN DE NÚMEROS

Cuando en un problema de combinatoria se dice que uno o más elementos estarán fijos en un problema, entonces al componente m y n de las variaciones o combinaciones se les restará el número de elementos que se tomen como fijos. Ejemplo:

1.- Con los números 1,2,9,7 y 5, calcular cuántos números de 3 cifras empiezan con 5.

Razonamiento como el problema es de formación de números es importa el orden, por lo tanto es una variación. Se dice que el número 5 tiene que iniciar los números de 3 cifras entonces tendrá la forma 5XX y como hay un número fijo entonces m =5-1 = 4 y n =3-1 = 2 luego la variación es:

V4,2 = 4x3 =12 este es el número de cifras que se inician con 5.

2.- Con las cifras del número 876321, calcular cuántos números de 4 cifras pueden formarse con la condición de que empiecen en 8 y terminen en 1.

Razonamiento: este es un problema de formación de números por lo tanto es importante el orden, en consecuencia es una variación. Los números de 4 cifras tendrán las siguientes formas generales: 8XX1 esto indica que habrán 2 números fijos por lo tanto m =6-2 = 4 y n = 4-2 = 2 y la solución se expresa así V4,2 = 4x3 = 12, se pueden formar 12 números de 4 cifras que empiecen en 8 y terminen en 1.

3.- Con las cifras del número 98753. Calcular en cuántos números de 3 cifras interviene el número 8.

Razonamiento: este es un problema de formación de números por lo tanto es importa el orden, en consecuencia es una variación. La forma general de un número de 3 cifras es XXX y las diferentes posiciones que puede ocupar el 8 son: 8XX, X8X y XX8 como se observa el número 8 estará fijo y por lo tanto m = 5-1 = 4 y n =3-1 = 2 luego la variación es: V4,2 = 4x3 = 12, pero como el número 8 aparece en tres posiciones, entonces el resultado es: 3V4,2 =3x12 = 36 que es el número de veces donde aparece el número 8.

4.-Con los números 8,5, 7, 9, 1 y 0. Calcule cuántos números de 3 cifras pueden formarse.

Razonamiento como es una formación de números es importa el orden de los elementos, es en consecuencia una variación y la solución es la siguiente: como m =6 y n = 3 se tiene que V6,3 = 6x5x4 el valor de V6,3 = 120. La forma general de un número de 3 cifras es XXX pero en nuestro caso el cero iniciará algunos números y eso no serán de 3 cifras por lo tanto se le tendrán que restar al total de 120, puesto que los números que se inician con cero tienen la forma siguiente: 0XX, entonces habrá un número fijo y por lo tanto el valor de m =6-1 = 5 y el n =3-1 =2 luego los números que no son de 3 cifras son las siguientes: V5,2= 5x4 = 20, entonces el resultado final será: V6,3-V5,2 = 120-20 = 100 .

5.- Con las cifras del número 98764. Calcule cuántos números pares de 4 cifras se pueden formar.

Razonamiento; como es una formación de números influye el orden, por tal razón es una variación. Los números pares son aquellos que terminan en cero o cualquier número par; la forma general de un número de cuatro cifras es XXXX en nuestro caso la forma de los números será: XXX8, XXX6 y XXX4 como se puede observar hay un numero fijo,

entonces m = 5-1 = 4 y n =4-1 = 3, en consecuencia la variación total será:.3V4,3=3x4x3x2=72 número pares de 4 cifras que se pueden forma.

6.- Con las cifras del número 80342. Calcule cuántos números pares de 3 cifras se pueden formar.

Razonamiento; es una variación por ser una formación de número en donde importa el orden de colocación de los elementos. La forma general de los números pares de 3 cifras en este caso es: XX0, XX2, XX4 y XX8, como se puede notar hay un elemento fijo, luego m = 5-1 = 4 y n = 3-1 = 2 entonces la variación es: V4,2 = 4x3 =12 pero como hay 4 formas de las cifras terminar en número par habrá que multiplicar el resultado por 4, así: 4V4,2 = 4x12 = 48 pero los números que se inician con cero de la forma siguiente: 0X2,0X4 y 0X8 no forman números de 3 cifras ya que el cero a la izquierda no tiene ningún valor, por lo tanto estos números son de 2 cifras y se tendrá que calcular cuántos son y posteriormente restársele al total de 48 para ello determinaremos el valor de m =5-2 = 3 y n = 3-2 = 1 y la variación será : 3V3,1 =3x3 = 9 este es el número de cifras que se tendrá que restársele al total de 48 de la forma siguiente: 4V4,2-3V3,1 = 48-9 = 39 es la cantidad de números pares de 3 cifras que se pueden formar.

7.- Con los números del 1 al 9 ambos inclusive.¿Determine cuántos números de 5 cifras pueden formarse con la condición de que las 3 primeras cifras sean pares y las 2 ultimas sean impares?.

Razonamiento; este es un problema de formación de números por lo tanto es una variación, en este problema hay dos clases de números para la formación de los grupos, los números PARES y los IMPARES. Los números a formar son de la siguiente forma: PPPII; los grupos que se pueden formar con los números pares vienen dado por la variación de estos (2, 4, 6 y 8) en donde m = 4 y n = 3 por tanto, la variación de estos es: V4,3 = 4x3x2x = 24. Los grupos que se pueden formar con los números impares (1,3,5,7 y 9) son: V5,2 = 5x4 = 20 . Para obtener el resultado final se multiplica la variación de números pares (24) por la variación de los números impares(20) ), en este caso tenemos:

V4,3xV5,2 = 24x20 = 480 viene a ser la cantidad de números de 5 cifras que se pueden formar en los que las 3 primeras cifras son pares y las dos ultimas son impares.

8.- En una reunión hay 8 mujeres y 6 hombres. Calcule cuántos grupos pueden formarse, en los que estén presente 4 mujeres y 3 hombres.

Razonamiento como en este problema no influye el orden de colocación de cada una de sus integrantes, es por lo tanto una combinación. El grupo tendrá la forma general siguiente:

MMMMHHH, para su solución primero se dejan los hombres fijos y se calcula el grupo que se puede formar con las mujeres de la forma siguiente:

Si se dejan las mujeres fijas se puede calcular el grupo que se forma con los hombres de la

siguiente manera: Luego el resultado final de este problema será la multiplicación del grupo de mujeres por la del grupo de hombres así:

C8,4xC6,3 = 70x20 = 1400 ,son los grupos que se pueden formar en los que estén presentes 4 mujeres y 3 hombres.

9.-Encuentre los diferentes grupos que se pueden hacer con 4 cifras y 4 letras con la condición de que en todos, letras y números vayan alternados y en cada grupo entren las letras y todos los números.

Razonamiento como este problema es una formación de letras con número y el orden de colocación es importante, es entonces una variación, en la que hay 2 clases de elementos para formar cada grupo.

La forma general del grupo es: A1B2C3D4 y 1A2B3C4D. Dejando las letras fijas los números 1, 2, 3 y4 pueden variar de 4 en 4, es decir m = 4 y n = 4 y por lo tanto:

V4,4 = 4x3x2x1 = 24 ; si ahora se dejan fijos los números las letras se pueden calcular así:

V4, 4 = 4x3x2x1 = 24 teniendo los 2 grupos el de letras y el de números se pueden multiplicar entre si de la siguiente manera: V4,4 x V4,4 = 24x24 = 576.

Como en este problema se puede empezar por las letras o por los números entonces él número 576 se tiene que multiplicar por 2 que son la forma como puede empezar cualquiera de los grupos que se formen, así tenemos: 576x2 = 1.152 que es la cantidad de grupos que se pueden hacer de acuerdo con las condiciones dadas en el problema.

10.- Se dispone de 10 consonantes y 5 vocales. ¿ Cuántas palabras pueden hacerse sabiendo que cada palabra está formada por 3 consonantes y 2 vocales?. Razonamiento como influye el orden de colocación de cada palabra, entonces es una variación. La forma general de las palabras será: CCCVV. Las variaciones de las vocales en este caso serán:

V5, 2 xV10, 2 = 5x4 = 20 y las variaciones de las consonantes serán: V10, 3 = 10x9x8 = 720 ahora se multiplican las variaciones de las vocales por las variaciones de las consonantes y el resultado es: V5,2 = 14.400 pero como no está determinada la posición de las letras en la formación de cada palabra significa que cada una de las palabras formadas puede variar de todas las maneras posibles, es decir:

V5,5 = 5x4x3x2x1 = 120 , por lo tanto el resultado final será:

V5,2XV10,3XV5,5 = 20x720x120 = 1.728.000 que es la cantidad de palabras que se pueden formar con las condiciones establecidas.

11.- De cuántas maneras se pueden repartir 5 helados de diferentes sabores entre 2 niños, dándole 2 helados a cada niño.

Razonamiento como no influye el orden de entrega de los helados es una combinación Al primer niño se le puede dar C5,2 =10 maneras diferentes; pero al darle 2 helados al primero nos quedan 3 helados para formar grupos de 2 en 2 así: C3,2 = 3 formas diferentes. El resultado final será la multiplicación de C5,2 xC3,2 = 10x3 = 30 formas de repartir los helados.

PROBLEMAS

1.- Con las cifras del número 836214; determine cuántos números de 4 cifras pueden formarse con la condición de que empiecen en 2 y terminen en 8. Resultado.- 12.

2.- Con las cifras del número 738642; determine en cuántos números de 3 cifras interviene él número 7. Resultado.- 60.

3.- Con las cifras del número 978054; calcule cuántos números de 5 cifras pueden formarse. Resultado.- 600. 4.- Con las cifras del número 9876541; calcule cuántos números de 5 cifras se pueden hacer con la condición de que la primera cifra de la izquierda sea un 7 la tercera un 8 y la quinta cifra sea 1. Resultado12.

.-5.- Con las cifras del número 9280541; calcule cuantos números pares de 3 cifras se pueden formar. Resultado.- 10 6.- ¿ Cuántos números de 5 cifras, sin que haya ninguna repetida, pueden formarse con las cifras del sistema decimal?. Resultado.- 27.216.

7.- ¿ Cuántos números pares de 4 cifras se pueden formar con los números 7, 5, 2 y 3? Resultado.- 6.

8.- Para formar el tren directivo de una compañía se deben elegir 4 Administradores y un Gerente entre un grupo de 12 personas de las cuales 9 son Administradores y 3 son Gerentes. ¿ Cuántos trenes directivos se pueden formar?. Resultado.- 378.

9.- Un Gerente de una empresa es invitado a una reunión y dispone de 7 pantalones, 6 chaquetas, 10 corbatas, 5 camisa y 10 pares de zapatos. ¿ De cuántas maneras puede ir vestido sabiendo que se pondrá una pieza de cada una de las antes mencionadas?. Resultado.- 21.000. 10.- Se cuenta con 10 profesores, 6 profesoras y 4 estudiantes para formar una comisión. ¿Cuántas comisiones se pueden formar sabiendo que en cada comisión tienen que estar 5 profesores, 3 profesoras y un estudiante?. Resultado.- 30.240. 11.- Se dispone de 10 juguetes diferentes. ¿ De cuántas maneras diferentes se pueden repartir entre 3 niños dándole 3 juguetes a cada niño?. Resultado.- 16.800. 12.- Para formar la tripulación de un barco se necesitan 5 maquinistas 3 pilotos y un capitán. ¿ Cuántas tripulaciones diferentes pueden formarse sabiendo que se disponen de 8 maquinistas, 6 pilotos y 3 capitanes? . Resultado.- 3.360. 13.- En una fiesta hay 5 muchachas y 8 jóvenes. ¿ Cuántas parejas distintas de baile se podrán formar tomando siempre parte en ellos las 5 muchachas? . Resultado.- 40.

14.- ¿ Cuántas partidas de ajedrez se podrán hacer entre 11 competidores? . Resultado.- 55. 15.- Con las cifras del numero 64123587. Calcular cuántos números se pueden formar con la condición de que estén presentes tres números pares y dos impares. Resultado.- 34.560. 16. - Ocho estudiantes deben repartirse en tres residencias distintas de El Tigre. ¿ De cuántas maneras pueden hacerlo si al menos ha de haber dos estudiantes en cada residencia? . Resultado.- 2.940. 17. - Se forman banderas tricolores a franjas horizontales con los 7 colores del arco iris. Averiguar:

A.- ¿ Cuántas banderas se podrán formar?. Resultado.- 210.

B.- ¿ Cuántas tendrán la franja superior roja? . Resultado.- 30.

C.- ¿ Cuántas tendrán la franja superior roja y la inferior azul?. Resultado.- 5.

D.- ¿ En cuántas de ellas intervendrá uno al menos de los dos colores siguientes: rojo, amarillo’. Resultado.-150. 18.- Se dispone de 7 personas para formar comisiones de 3 personas. Se supone que en las comisiones no existe ninguna jerarquía, o sea, que las 7 personas desempeñan la misma labor. En estas condiciones:

A.- ¿ Cuántas comisiones distintas se pueden formar? . Resultado.- 35. B.- ¿ En cuántas de ellas intervendrán una determinada persona, llamémosle Petra? .Resultado.-15.

TEORÍA DE PROBABILIDADES

La teoría de probabilidades es muy extensa y sus aplicaciones han adquirido mucha importancia en la administración pública y empresarial. Las probabilidades son de gran importancia en la estadística. Para iniciar el estudio de las probabilidades es necesario definir una serie de términos básicos para su mejor comprensión.

Experimento Deterministico.- Es aquel experimento en el que es posible predecir

el resultado final de ese proceso aun sin haberlo realizado. Ej. Cuando los químicos

combinan oxigeno más hidrógeno el resultado es agua; este experimento no es necesario

realizarlo para conocer el resultado.

Experimento Aleatorio.- Es aquel que puede dar lugar a más de un resultado, por lo que, no se puede predecir uno de ellos en una prueba en particular. Ej. Los experimentos relacionados con juego de envite y azar, no se pueden predecir los resultados de los ganadores del 5 y 6 en un domingo cualquiera ó el resultado del Kino puesto que en estos casos pueden haber múltiples resultados.

Espacio Muestral.- Es el conjunto de los posibles resultados de un experimento aleatorio; generalmente se le designa con la letra S o E. Ej. El espacio muestral al lanzar un dado es: S = {1,2,3,4,5,6} esto es así puesto que un dado tiene 6 caras numeradas de 1 al 6 y cualquiera de estas puede salir. El espacio muestral de lanzar una moneda es: S = {c, s}, esto es así puesto que al lanzar una moneda puede salir una cara ó un sello.

Sucesos ó Eventos.- Es todo aquel resultado o grupo de resultados que pueden dar origen un experimento aleatorio. También se puede decir que es un subconjunto del espacio muestral. Ej. El espacio muestral de lanzar un dado esta formado por varios eventos: { 1 },{ 2 }, { 3 }, { 4 },{ 5 } y {6}. Los eventos pueden ser simples ó compuestos.

Eventos Simples.- Son aquellos eventos cuyas características son las de estar

constituidos por un solo elemento; por lo tanto no se pueden descomponer en otros

elementos. Ej. Al lanzar un dado se pueden obtener 6 eventos simples que serian el

1,2,3,4,5 y 6 respectivamente. Los eventos simples son mutuamente excluyentes.

Eventos Mutuamente Excluyentes.- Son aquellos eventos que no pueden ocurrir simultáneamente al realizar una sola vez un experimento. Se dice que dos eventos A y B son mutuamente excluyentes si y solo si, su intersección es el conjunto vacío, es decir AB = Ø. Ej. El resultado obtenido al lanzar un dado, si sale una cara con un 3, no puede salir otro número en este mismo lanzamiento.

Eventos Compuestos.- Son aquellos eventos que se pueden descomponer en una combinación de eventos. Ej. obtener un número par al lanzar un dado, el espacio muestral de este evento es:

E = {2, 4, 6}, este es el evento par del lanzamiento de un dado, pero este evento se puede descomponer en 3 eventos simples a saber{2}, {4}: y 6.

Eventos Imposibles.- Son aquellos sucesos que nunca ocurren. Ej. Obtener un 7 al lanzar un dado normal, esto es imposible por cuanto un dado normal tiene solamente 6 caras por lo tanto este resultado es el conjunto vacío, {Ø}.

Eventos Seguros.- Son aquellos sucesos constituidos por todos los eventos simples del espacio muestral. Ej. Al lanzar un dado sacar cualquiera de sus caras.

Eventos Exhaustivos.- Dos eventos A y B son colectivamente exhaustivos si su unión es la totalidad del espacio muestral, es decir, AB = E.

Eventos Dependientes.- Son aquellos sucesos en los que el conocimiento de la verificación de uno de ellos altera la probabilidad de verificación del otro. Se dice que dos o más eventos son dependientes si la ocurrencia de uno cualquiera de ellos afecta la probabilidad de la ocurrencia de alguno de los otros eventos. Ej. Consideremos la probabilidad de obtener 2 cartas de basto al sacar sucesivamente 2 cartas de una baraja de 40 cartas. Al sacar la primera carta la probabilidad de obtener basto es de 10/40 y al no sustituirla quedaran en el paquete 39 cartas de las cuales 9 son de basto, en la segunda extracción la probabilidad de obtener basto es de 9/39, en este caso la segunda extracción depende de la primera que tenía como probabilidad 10/40 y la segunda extracción tendrá ahora 9/39 como se puede observar la probabilidad de la segunda extracción es afectada por la primera.

Eventos Independientes.- Se dice que dos ó más eventos son independientes si la ocurrencia de uno cualquiera de ellos no afecta la probabilidad de la ocurrencia de ninguno de los otros sucesos. Ej. el evento de obtener simultáneamente un 2 al lanzar un dado y sello al tirar una moneda, esta compuesto de 2 sucesos independientes, puesto que la ocurrencia de un 2 en el dado no afecta la probabilidad de la aparición de sello en la moneda y viceversa.

Eventos complementarios.- Dos eventos A y Ā son complementarios si y solo si, se cumple que: P(A) + P(Ā) = P(S), es decir, son eventos mutuamente excluyentes y su unión es el espacio muestral, entonces tenemos, P(A) + P(Ā) = P(S), pero P(S) = 1, entonces,

P(A)+ P(Ā) = 1 P(A) = 1- P(Ā), donde P(Ā), se lee probabilidad de A complemento.

Eventos no Mutuamente Excluyentes.- Son aquellos eventos que pueden

verificarse simultáneamente. A estos eventos también se les llaman Sucesos Compatibles.

CORRIENTES QUE DEFINEN LA PROBABILIDAD

Diariamente se escuchan afirmaciones que llevan implícito el concepto de probabilidad como por ejemplo los pronósticos del tiempo que indican las probabilidades de lluvia; los galenos indican la probabilidad que tiene un enfermo de curarse si realiza al pie de la letra sus tratamientos farmacológicos, los docentes especulan sobre las posibilidades de éxito del estudiantado si dedican más tiempo al estudio, las compañías encuestadoras predicen las oportunidades que tienen los políticos de ganar una elección determinada, etc.

La Teoría de la Probabilidad es una rama de las matemáticas que se encarga de los eventos que se realizan al azar o fenómenos aleatorios, como a menudo se les denominan. Se define la probabilidad como un número comprendido entre 0 y 1 , que se le asigna a un evento para señalar su posibilidad de ocurrencia. Por lo general las probabilidades se expresan en porcentajes, también se pueden expresar con números decimales. Es una condición de esta cátedra que siempre sé resuelvan las fracciones con que se expresan las probabilidades de un problema dado; los resultados de esos cocientes deben tener por lo menos 4 decimales y el mismo se representa en porcentaje. La probabilidad de cualquier evento se representa con la letra P.

Se le asigna la probabilidad de 1 al evento que con certeza ocurrirá y se le asigna la probabilidad de 0 a un suceso que no puede ocurrir; se le asigna una probabilidad de 0.5

a un fenómeno que tenga la misma posibilidad de suceder o de no suceder. Se le asigna una probabilidad 0 P 0.5, a un fenómeno que tenga más posibilidades de no suceder que de suceder; y se le asigna una probabilidad 0.5 P 1 a un evento que tenga más posibilidades de suceder que de no suceder.

La probabilidad es una característica que interviene en todos los trabajos experimentales. Es necesario obtener un procedimiento lógicamente sólido para que dichos enunciados tengan validez científica. En otras palabras, en virtud de que la probabilidad en definitiva, es un cuantificador o medida de la posibilidad de ocurrencia de un suceso al que se le asocia un grado de incertidumbre, se debe estudiar la forma en que esta medida puede ser obtenida.

Existen tres enfoques o escuelas que tratan de dar una definición de la probabilidad: La Clásica, La de Frecuencia Relativa y La Subjetiva.

Escuela Clásica.- Esta plantea que si un suceso puede ocurrir en a formas y fallar en b formas posibles, entonces el número total de formas posibles en que puede ocurrir o no ocurrir es a + b. Sí a + b formas son igualmente probables, la probabilidad P de que el suceso ocurra se define como el cociente P = a /a + b, y la probabilidad q de que el suceso no ocurra se define como el cociente q = b / a + b, en otras palabras, la probabilidad de que ocurra o no un suceso, se define como el cociente del número de casos favorables entre el número de casos posibles, siendo todos estos casos igualmente probables.

Ej. Al tirar un dado una sola vez puede salir una cara cualquiera de las 6 que posee el dado, todas igualmente probables; la obtención de un 3 en el lanzamiento del dado, es una de las diferentes caras que posee el dado, se dice que hay un caso favorable para que salga el 3 entre 6 casos posibles; en este caso se tiene que a = 1(caso favorable de obtener un 3), b = 5 (caso no favorable para obtener un 3), de modo que la probabilidad de acertar es: P=1 / 1 + 5 = 1 / 6 y la probabilidad de fallar es: P = 5 /1 + 5 = 5 / 6

Escuela de la Frecuencia Relativa.- Este enfoque surge por la necesidad de asignar probabilidades a aquellos eventos considerados no simétricos. Los seguidores de esta corriente afirman que solo a partir de experimentos realizados varias veces en las mismas condiciones, es posible asignar probabilidades a los eventos de un experimento aleatorio. En términos generales el empeño de esta teoría es destacar que cuando el número de experimentos aumenta, la frecuencia relativa del evento se estabiliza y se acerca bastante a un valor determinado que podría ser prácticamente igual a la probabilidad del evento con un elevado grado de certeza.

Definición.- Si se considera un suceso que puede verificarse o fallar al efectuar una prueba, sí sé observa que ese suceso se verifica m veces en un total de n pruebas bajo las mismas condición esenciales, entonces la razón m/n se define como la probabilidad P de que el suceso se verifique en una cualquiera de las pruebas, entonces, P = m/n. En esta definición de frecuencia, la probabilidad es un número estimado y la confianza de esta estimación aumenta con n, es decir, cuando el número de observaciones crece. La probabilidad de la frecuencia relativa está basada en un gran número de experimentos y observaciones, y muy a menudo se le llama probabilidad Empírica, Estadística, A Posteriori o Teoría Objetiva. Esta es la definición más utilizada en la teoría de probabilidades.

TEIRÍA DE LA PROBABILIDAD SUBJETIVA.- Existen varios sucesos de sumo interés cuyas probabilidades no se pueden calcular tomando en cuenta los métodos de frecuencia relativa ni con la teoría de la probabilidad clásica. Surge entonces, el punto de vista subjetivo el cual hace hincapié en la probabilidad que resulta de una opinión, creencia, o juicio personal sobre una situación determinada. El enfoque subjetivo denominado también probabilidad personal, asigna a los eventos probabilidades, aun cuando los datos experimentales sean escasos o imposibles de obtener.

Los que toman decisiones utilizando este tipo de probabilidad se fundamentan en sus propias experiencias personales y en muchos casos en presentimientos. Este enfoque de

la probabilidad personal se aplica a problemas de toma de decisiones tales como construcciones de plantas, compras de equipos, licitaciones de contratos, etc. . La probabilidad personal se ha vuelto sistemáticamente popular entre los teóricos de la toma de decisiones. Los defensores de esta corriente tratan de buscar soluciones a la asignación de probabilidades de aquellos eventos que solo ocurren una vez o que no pueden estar sometidos a experimentos repetidos. La asignación de probabilidades a un evento en estas condiciones, más que un juicio arbitrario, es un juicio de valor.

AXIOMAS DE LA TEORÍA DE PROBABILIDADES.- Los axiomas de las probabilidades son los fundamentos básicos de las reglas del cálculo de las probabilidades de eventos; estas reglas también se conocen como propiedades de las probabilidades y son:

1.- La probabilidad de todo evento o suceso es un número no negativo, es decir: P(xi)0.

2.- La suma de las probabilidades de todos los sucesos posibles, mutuamente excluyentes de un experimento aleatorio es la unidad, es decir: P (X1) + P(X2) + P(X3)+.............+ P(Xn) = 1

3.- La probabilidad de cualquier suceso varia entre 0 y 1,es decir 0 P(XI) 1.

4.- La suma de las probabilidades de que un suceso ocurra y no ocurra es igual a la unidad. Si se designa con P la probabilidad de que un evento ocurra y con q la probabilidad de que el evento no ocurre, se tiene entonces:

P + q = 1, luego la probabilidad de que un suceso ocurra es: P = 1 q y la probabilidad de que el evento no ocurra es: q = 1 P.

Es importante destacar que las probabilidades se deben expresar por lo menos con 4 decimales y luego a estos expresarlos en porcentaje.

TEOREMAS FUNDAMENTALES DE LA TEORÍA DE PROBABILIDADES

1.-TEOREMA DE LA SUMA O DE LA “ O “

Para su mejor estudio el teorema de la suma se divide en dos casos:

A.- Para sucesos Incompatibles (aquellos que no pueden ocurrir simultáneamente o al mismo tiempo) o Excluyentes; el teorema se enuncia así:

“ Sean A y B dos eventos mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad de obtener al menos uno de ellos, esto es P(A o B) es igual a la probabilidad de A, o sea, P(A), más la probabilidad de B, es decir, P(B)“, simbólicamente así:

P(A o B) = P (A) + P(B).

Este teorema se puede generalizar para A, B, C,.................N, que se excluyan mutuamente y tienen P1, P2, P3 , Pn, probabilidades de ocurrir, así :

P(A o B o C o N) = P(A) + P ( B ) + P(C) +.....................+ P(N) . Ej.:

1.- Se saca al azar una carta de una baraja de 40 cartas. ¿ Cuál es la probabilidad de que sea un As o un Rey?.

Solución : la probabilidad de sacar un as es 4/ 40 y la probabilidad de sacar un rey es 4 /40, luego la probabilidad buscada se encontrará así: si se llama P(A)= 4 / 40 obtener un as y probabilidad de obtener un rey se le denominara B, entonces P(B) = 4 / 40, entonces:

P(A o B) = P(A) + P(B), luego P(A o B) = 4 /40 + 4 / 40 = 8 / 40 = 1 / 5 = 0.200 = 20.0 %. .

B.- Si los eventos son Compatibles (aquellos que pueden verificarse simultáneamente, es decir cuando hay eventos que son comunes o que hay intersección entre los sucesos) o no Mutuamente Excluyentes. El teorema se enuncia así:

“Sean A y B dos eventos compatibles, es decir eventos que tienen por lo menos un suceso simple en común; la probabilidad de obtener al menos uno de ellos, esto es P(A o B) es igual a la probabilidad del evento A, es decir, P(A), más la probabilidad de B, o sea P(B ) menos la probabilidad de la intersección de ambos eventos, es decir P(AB)”. Simbólicamente se puede expresar así: P(A o B) = P(A) + P (B) P(AB). Ej.

2.- Se lanza una moneda y un dado al aire. ¿ Cuál es la probabilidad de obtener una cara en la moneda o un dos en el dado?.

Solución : Si llamamos A, el evento de obtener una cara en la moneda y B, al suceso de obtener un 2 en el dado; el espacio muestral de una moneda es 2, (cara y sello) mientras que el espacio muestra de un dado es seis, (1,2,3,4,5,6). El espacio muestral de ambos eventos será la multiplicación de sus espacios muéstrales, es decir, 2x6 = 12. El gráfico nos indica el espacio muestral de ambos eventos:

S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 SC 1 C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 C

1 2 3 4 5 6

Eventos de A = 1C,2C,3C,4C,5C,6C, P(A) = 6 / 12; el evento B = C, 2S , luego P(B) = 2 / 12, los eventos que son comunes a ambos, es decir, que se interceptan son:

AB = 2C, luego, P(AB) = 1 / 12, ahora se aplica el teorema de la suma para datos compatibles. Tenemos:

P(A o B) = P(A) + P(B)P(AB), P(A o B) = 6 / 12 + 2 / 12 1 / 12 = 7 / 12 = 0.5883 = 58.33 %, por lo tanto, esa es la probabilidad buscada. PROBABILIDAD CONDICIONADA.- La probabilidad de que ocurra un evento B cuando se sabe que ha ocurrido algún otro evento A, se denomina PROBABILIDAD CONDICIONADA y se designa como P(B/A). Él símbolo P(B/A) se lee como la probabilidad de que ocurra B sabiendo que ocurrió A o sencillamente probabilidad de B dado A Las probabilidades condicionadas están relacionadas a probabilidades asociadas a los eventos definidos en subpoblaciones o espacios muéstrales reducidos. Se dice que la probabilidad de ocurrencia de un evento dado es condicionada, si esta se afecta por la ocurrencia de otro evento presente.

Definición.- Sean A y B dos eventos asociados a un experimento aleatorio. La probabilidad que ocurra el evento B, dado que ocurrió el suceso A se llama probabilidad condicionada del suceso B, esta se simboliza por P(B/A) y se calcula mediante la formula:

Si P(A) = 0 , entonces P(B/A ), no esta definida.

. El conjunto P(AB), se le denomina probabilidad conjunta de los eventos A y B. El conjunto AB se define como la intersección de A y B, es decir, los eventos comunes entre A y B.

entonces , P(AB) = P(A) P(B/A).

Si P(B/A) P(B), se dice que el evento B es dependiente del evento A.

Sí P(B/A) = P(B), se dice que el suceso B es independiente del suceso A, luego:

P(AB) = P(A) P(B), esta formula recibe el nombre de la Probabilidad Compuesta. Ej.

3.- Un curso de matemáticas avanzada esta formado por 10 administradores, 30 ingenieros y 10 economistas. Al finalizar el curso 3 administradores, 10 ingenieros y 5 economistas aprueban el curso con 20 puntos. Se seleccionó un al azar un participante del mismo y se detecto que la calificación obtenida en el curso había sido de 20 puntos. ¿ Cuál es la probabilidad de que ese participante sea un ingeniero?.

Solución: si llamamos A al evento en que un participante obtuvo una calificación de 20 puntos; si denominamos como B el evento de seleccionar un ingeniero y si llamamos AB, los eventos comunes entre A y B, tenemos los siguientes sucesos:

El total de participantes en este caso será el espacio muestral, que en el problema planteado es de 50, por lo tanto los diferentes eventos serán:

A = 3 admist., 10 ing. 5 econ., ,Luego P(A) = 18 / 50.

B = 10 ing. con 20 ptos., 20 ing., con menos de 20 ptos. .

AB = 10 ing. con 20 puntos , luego P(AB) = 10 / 50.

Por lo tanto 5/9=0.5556 = 55.56 %, es la probabilidad de extraer un ingeniero con 20 puntos. Este problema se puede resolver también aplicando una tabla o matriz de doble entrada donde se observan todos los eventos:

ADMINIST. INGENIERO ECONOMISTA

TOTAL

Aprobaron Con20 puntos.

3 10 5 18

No AprobaronCon 20 puntos

7 20 5 32

TOTAL 10 30 10 50

En la tabla se observa que el espacio muestral de 50 se redujo a 18, que vienen a ser los casos posibles de acuerdo con el planteamiento del problema; por otro lado los ingenieros que aprobaron con 20 en este caso son 10, que vendrían a ser los casos favorables, por lo tanto la probabilidad buscada será el cociente que resulta de dividir los casos favorables (CF) entre los casos posibles (CP), así:

4.- Se lanza un dado y se obtiene un número par. ¿ Cuál es la probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de 3?. Solución: Sea A, el evento de obtener un número par, y sea B el evento de obtener un número múltiplo de 3, entonces el evento común entre los sucesos A y B será AB. El espacio muestral del lanzamiento de un dado es 6, ahora bien los diferentes eventos del problema serán: A = 2, 4,6, entonces P(A) = 3/6

B = 3, 6. AB = 6, luego P(AB) = 1/6

Este problema también se puede resolver aplicando una tabla o matriz de doble entrada, en donde se observan todos los eventos del problema planteado, observemos la siguiente tabla:

Números MúltiplosDe 3

Números noMúltiplos de 3

TOTAL

Eventos queSon pares

6 2, 4 3

Eventos queNo son pares

3 1, 5 3

TOTAL 2 4 6

Solución: En esta tabla se observa que los eventos pares en total son 3, por lo tanto el espacio muestra original que era 6 se redujo a 3. En la fila de los eventos que son pares se observan los que cumplen con la condición de ser múltiplo de 3, por lo tanto es un solo caso favorable, de la misma forma se observa que solo hay 3 caso posibles de números pares, luego la probabilidad buscada será el cociente que resulta de:

es la probabilidad buscada.

PROBABILIDAD PRODUCTO.- Se conoce como probabilidad producto de 2 eventos A y B en el espacio muestral E, la probabilidad de que los 2 sucesos se den simultáneamente.

La probabilidad de ocurrencia simultanea de 2 o más eventos recibe el nombre de probabilidad conjunta. En la probabilidad producto es muy importante el uso de la letra “Y”, esta letra es característica en la gran mayoría de los problemas relacionados con la probabilidad producto, ya que esta se utiliza muy a menudo en el enunciado del problema. . La probabilidad conjunta se designa así: P(AB) = P(AB)= P(A y B), cualquiera de estos términos significa lo mismo.

La formula de la probabilidad conjunta se obtiene de la formula de la probabilidad condicional, si esta, se multiplica por P(A), así:

. Esta la

formula para calcular la probabilidad producto o lo que es lo mismo, la probabilidad conjunta. La formula de la probabilidad conjunta para eventos independientes será: P(AB) = P(A) P(B). La formula para calcular la probabilidad conjunta de eventos dependientes será: P(AB) = P(A) P(B/A).

Si en un experimento aleatorio pueden ocurrir los sucesos A, B, C, .......,N independientemente, entonces:

P(ABC.......N) = P(A) P(B) P(C)..........P(N). De la misma forma si en un experimento aleatorio pueden ocurrir los sucesos A, B, C,........., N dependientes, entonces:

P(ABC.........N) = P(A) P(B/A) P(C/AB).............P(N/ABC............N 1). Es de suma importancia en los problemas de probabilidad conjunta diferenciar los eventos aleatorios con reposición o sustitución de los eventos aleatorios sin reposición o sin sustitución los primeros se refieren a los experimentos que se realizan y se vuelven a colocar en el mismo lugar donde se realiza el experimento aleatorio. Los eventos aleatorios con reposición son característicos de los eventos independientes. Los eventos sin reposición son característicos de los sucesos dependientes.

5.- ¿ Cuál es la probabilidad de obtener 2 caras en 2 lanzamientos al aire de una moneda normal de 5 bolívares?.

Solución: Los eventos son independientes y la probabilidad de sacar una cara en una moneda es 1/2. Si llamamos A, el evento de sacar cara en el primer lanzamiento y se llama B el evento de sacar cara en el segundo lanzamiento, entonces:

P(A) = P(B) = 1/2. Luego la probabilidad conjunta para eventos independientes se calcula con la formula:

P(AB) = P(A) P(B). = 1/2 x 1/2 = 1/4 = 0.25 = 25.0 %, esta es la probabilidad buscada. 6.- Si la probabilidad de un evento A es igual 0.65, la probabilidad de un evento B es de 0.40 y la probabilidad conjunta de A y B es igual a 0.20. Determine entonces si los eventos A y B son independientes. Solución: Para que los eventos A y B sean independientes tiene que cumplirse que su probabilidad conjunta sea igual a 0.20, para ello aplicamos la formula de la probabilidad conjunta de eventos independientes de esta forma:

P(AB) = P(A) P(B) = 0.65 x 0.40 = 0.26, por lo tanto los eventos A y B no son independientes puesto que la probabilidad conjunta entre A y B es igual a 0.20 de acuerdo con los datos dados y esta es diferente de la probabilidad conjunta obtenida, que es 0.26.

7.- ¿ Cuál es la probabilidad de sacar primero cuatro números 3 y después otro número diferente de 3 en 5 tiros de un dado equilibrado?.

Solución: Los 5 tiros del dado son independientes, el obtener un número determinado en un dado tiene una probabilidad de 1/6, puesto que el espacio muestral del lanzamiento de un dado posee 6 eventos diferentes. Ahora bien la probabilidad de obtener un número diferente de 3 es:

1 1/6 = 5/6. Si llamamos A, B, C y D los eventos de obtener un 3 y llamamos E el suceso de sacar un número diferente de 3, entonces las probabilidades de A, B, C, D y E, serán:

: P(A) = P(B) = P(C) = P(D) = 1/6, y P(E) = 5/6, por ser el problema una probabilidad conjunta de eventos independientes se aplicará a siguiente formula:

P(ABCDE) = P(A) P(B) P(C) P(D) P(E) = (1/6)4 x (5/6) = 5/ 7776 = 0.0006 = 0.06 %, esta es la probabilidad conjunta solicitada.

8.- ¿ Cuál es la probabilidad de sacar 2 ases consecutivos en 2 cartas tomadas al azar de un juego ordinario de barajas de 40 cartas, si se sustituye la primera carta antes de tomar la segunda?.

Solución: Este es un problema de probabilidad conjunta para eventos independientes por cuanto son suceso aleatorio con sustitución. El espacio muestral es 40; un juego de barajas tiene 4 ases, por lo tanto la probabilidad de sacar un as es P(4/40)= 1/10. Si llamamos A, el evento de sacar la primera carta y B el suceso de sacar la segunda carta, entonces:

P(A) = P(B) = 1/10, ahora se aplica la formula de la probabilidad conjunta para eventos independientes así:

P(AB) = P(A) PB) = 1/10 x1/10 = 1/100 = 0.01 = 1.0 %, esta es la probabilidad buscada. 9.- ¿ Cuál es la probabilidad de sacar 2 ases consecutivos en 2 cartas tomadas al azar de un juego ordinario de una baraja de 40 cartas, si no se sustituye la primera carta antes de sacar la segunda carta?.

Solución: Este es un problema de probabilidad conjunta para eventos dependientes por cuanto no hay sustitución del primer evento al sacar el segundo. Si llamamos A, el suceso de tomar la primera carta, entonces la probabilidad de A será P(A) = 4/40 = 1/10, si ahora llamamos B el evento de sacar la segunda carta sin reposición, entonces la probabilidad de B será (B) = P(B/A)= 3/39, esto es así por cuanta B depende de A, al ocurrir el suceso A entonces en el juego de cartas quedan 39 barajas de las cuales 3 son ases. Ahora aplicamos la formula de la probabilidad conjunta para eventos dependientes se tiene:

P(AB) = P(A) P(B/A) = 1/10x 3/ 39 = 1/130 = 0.0077 = 0.77 %, esta es la probabilidad conjunta buscada.

10.- Una caja contiene 100 bombillos, se sabe que hay 15 defectuosos. Se toman 2 bombillos aleatoriamente sin remplazarlos. ¿ Cuál es la probabilidad de que los 2 bombillos estén defectuosos?.

Solución: Lo primero que se observa es un experimento sin reposición, por lo tanto la probabilidad a buscar es la conjunta para eventos dependientes. Si se llama A, el evento de sacar el primer bombillo defectuoso, entonces la probabilidad de A será P(A)= 15/100, y si llamamos B el suceso de sacar el segundo bombillo defectuoso, entonces su probabilidad será:P(B) = P(B/A) = 14/99, esto es así por ser B un suceso dependiente de la ocurrencia de A, es decir, que al ocurrir el evento A, entonces quedan en la caja 99 bombillos de los cuales solo 14 serán defectuoso. Ahora se aplica la formula de la probabilidad conjunta para sucesos dependientes así:

P(AB) = P(A) P(B/A) = 15/100 x 14/99 = 21/ 990 = 0.0212 = 2.12 %, esta es la probabilidad conjunta buscada.

11.- Un comerciante recibe en su negocio una caja con un pedido que contiene 6 cepillos verde, 4 blancos y 5 azules. Se extraen de la caja aleatoriamente 3 cepillos sin remplazarlos. ¿ Cuál es la probabilidad de que sean extraídos de la caja en el orden verde, blanco y azul?.

Solución: Como la extracción de los cepillos de la caja es sin remplazo, entonces los sucesos a obtener son eventos dependientes. El total de cepillos es de 15; si se denomina con V el evento de extraer el primer cepillo verde, entonces su probabilidad de extraerlo será P(V) = 6/15, si ahora se llama B el evento de sacar en la segunda extracción un cepillo blanco, entonces su probabilidad de salir será P(B) =P(V(/B) = 4/14, esto es así por ser B un evento que depende de la ocurrencia de V, por lo tanto al salir el primer evento verde en la caja quedan 14 cepillos, finalmente se denomina con A, el suceso de la extracción del tercer cepillo que será azul y su probabilidad de salir es P(A) = P(A/VB) = 5/13, con estos datos se aplica la siguiente formula:

P(VBA) = P(V) P(B/V) P(A/VB) = 6/15 x 4/14 x 5/13 = 4/91 = 0.0440 = 4.40 %, esta es la probabilidad conjunta buscada.

12.- Las probabilidades de que A y B resuelvan un determinado problema son 2/3 y 3/4 respectivamente. Encuentre la probabilidad de que el problema sea resuelto cuando menos por uno de los dos.

Solución: Este problema quedará resuelto si A y B no fallan simultáneamente en la solución del mismo. Para ello calculamos la probabilidad de fallar de A y B así:

P(A) = 1q, entonces, q =1P(A) = 12/3 = 1/3, luego la probabilidad de fallar el evento B es así:

q = 1P(B) = 1P(B) = 13/4 =1/4.. Si la probabilidad de fallar A se le denomina P(A1), entonces la de fallar B será P(B1), luego tenemos que P(A1) = 1/3 y P(B1) =1/4, ahora calculamos la probabilidad conjunta de A1 y B1 así: P(A1B1) = p(A1) P(B1) = 1/3 x 1/4 = 1/12, esta es la probabilidad conjunta de fallar A y B, ahora bien, para saber cual es la probabilidad de acertar aplicamos la formula: P = 1q, como q = 1/12, esta es la probabilidad de fallar conjuntamente A y B, entonces se tiene que:

P = 11/12 = 11/12 = 0.9167 = 91.67 %, esta es la probabilidad de que el problema sea resuelto cuando menos por uno de los dos.

13.- Se tiene una caja con 20 fusibles, se sabe que 5 fusibles están defectuosos . Se eligen al azar 2 fusibles y se retiran de la caja en forma sucesiva sin remplazar al primero . ¿ Cuál es la probabilidad de que ambos fusibles sean defectuosos?.

Solución: De acuerdo con el planteamiento del problema se trata de una probabilidad conjunta para eventos dependientes, ya que el mismo es sin sustitución. Si se denomina con A, el evento de sacar el primer fusible defectuoso, entonces la probabilidad de ocurrencia será:

P(A) = 5/20, si ahora llamamos B el suceso de sacar el segundo fusible defectuoso, la probabilidad de ocurrencia será: P(B) = P(B/A) = 4/19, esto es así debido a que el evento B depende de la ocurrencia de evento A y como se sabe que ocurrió A, entonces en la caja quedan 19 fusibles de los cuales 4 son defectuosos. Ahora aplicamos la formula de la probabilidad conjunta para sucesos dependientes así:

P(AB) = P(A) P(B/A) = 5/20 x 4/19 = 1/19 = 0.0526 = 5.26 %, esta es la probabilidad de sacar 2 fusibles defectuosos consecutivamente.

SUCESOS DE PRUEBAS REPETIDAS.- Los sucesos de pruebas repetidas son de gran importancia en el cálculo de probabilidades y sus aplicaciones. Este problema se presenta cuando un experimento u observación se repite cierto número de veces bajo las mismas condiciones. Se dice que un suceso simple interviene en una prueba si necesariamente acurre o deja de ocurrir una sola vez. Se dice que un suceso simple interviene en pruebas repetidas si necesariamente bajo exactamente las mismas condiciones, ocurre o deja de ocurrir, cada vez, una vez.

Si un evento ocurre en una prueba, se acostumbra a decir que se acierta, y que la probabilidad de que el suceso ocurra es la probabilidad de acertar. De la misma forma, si un evento no ocurre en una prueba, se acostumbra a decir que el suceso falla, y que la probabilidad de que el suceso no ocurra es la probabilidad de fallar.

TEOREMA 1 (Ley del binomio).- Sea P la probabilidad de acertar y q = 1 P la probabilidad de fallar en un suceso de una prueba. Entonces la P1 de exactamente r aciertos en n pruebas repetidas está dada por La formula

P1 = C (n, r) pr qnr , si r n .

En esta formula n es el número total de suceso, r es el número total de aciertos, n1 es el número total de fallar, C es la combinación de los eventos n y r, p es la probabilidad de acertar un evento determinado, q es la probabilidad de fallar y P1 es la probabilidad buscada. Ej.

14.- Calcular la probabilidad de obtener exactamente 3 cuatros en 5 lanzamientos de un dado normal.

Solución: Cada tiro del dado es una prueba, llamaremos acertar el acto de obtener un cuatro. La probabilidad de obtener un 4 en el dado o acertar es de 1/6, entonces p = 1/6 , la probabilidad de no obtener un 4, es decir, la probabilidad de fallar es: 11/6 =5/6 = q, como n = 5, r = 3, nr = 2, ahora se aplica la formula del teorema 1 así :

0.0322 = 3.22 %, esta es la probabilidad buscada.

15.- Una moneda de 5 bolívares se lanza 8 veces al aire. ¿ Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 6 caras?.

Solución: Es muy importante que observe en este tipo de problemas la palabra clave: exactamente, tal y como lo anuncia el teorema 1.. En un lanzamiento de una moneda la probabilidad de obtener una cara es de 1/2 y la probabilidad de fallar es también de 1/2, por lo tanto p = q = 1/2. En este problema n = 8,

r = 6, nr = 2, aplicando la formula del teorema 1 se tiene:

buscad a.

TEOREMA 2.- Sea P la probabilidad de acertar y q = 1p la probabilidad de fallar de un suceso en una prueba. Entonces la probabilidad P2 de obtener por lo menos r aciertos en n pruebas está dada por la relación

Esta formula es similar a la del teorema 1, pero para determinar la probabilidad en este caso se calculan todo los valores de n y finalmente se suman todas las probabilidades y el resultado de la sumatoria es la probabilidad buscada. En la aplicación de esta formula hay una frase clave que es: por lo menos, lo cual significa que se deben tomar las probabilidades desde r hasta n y luego sumarlas todas y esa será la probabilidad buscada. Ejemplo:

16.- Una moneda de 5 bolívares se lanza al aire 8 veces. ¿ Cuál es la probabilidad de que por lo menos aparezcan 6 caras?.

Solución: Este es un problema que se resuelve aplicando el teorema 2 por cuanto presenta la palabra clave por lo menos, que indica la aplicación de la formula del teorema mencionado. En el lanzamiento de una moneda la probabilidad de acertar es 1/2 y la de fallar es 1/2 por lo tanto la p = q =1/2, n = 8, r = 6 y n – r = 2, aplicando la formula tenemos:

P1 = C(n, r) pr qn-r = C (8, 8) (1/2)8 + C (8, 7) (1/2)7 (1/2) + C (8, 6) (1/2)6 (1/2)2

P1 = 18 / 28 + 8 x 18 / 28 + 28 x 18 / 28 = 37 / 256 = 0.1445 = 14.45 %, esta es la probabilidad buscada.

17.- La probabilidad de que un hombre de 50 años viva 20 años más, es de 60.0 %. Dado un grupo de 5 hombres de 50 años, ¿ cuál es la probabilidad de que por lo menos 4 hombres lleguen a 70 años?.

Solución: De acuerdo con el planteamiento del problema se trata de sucesos de pruebas repetidas tal y como lo plantea el teorema 2, por cuanto presenta la frase clave por lo menos. En este problema la probabilidad de que un hombre viva 70 años es:

60/100 = 6/10 = p, la probabilidad que no llegue a los 70 años es 4/10 = q, n = 5, r = 4 y n – r = 1. Aplicando la formula del teorema 2 se tiene:

P1 = C (n, r) pr qn–r = C(5,5) (6/10)5 + C(5, 4) (6/10)4 (4/10) =

7776 / 100000 + 5 x 5184 / 100000 =

7776 / 100000 + 25920 / 100000 = 1053 /3125 =0.3370 =33.70 %, esta es la probabilidad buscada.

PROBLEMAS

1.- Calcular la probabilidad de obtener una suma de por lo menos 10 puntos en un lanzamiento de 2 dados. Resultado: 16.67 %.

2.- Una tabla de mortalidad muestra que de 949.171 personas de 21 años, 578.050 aún viven a la edad de 65 años. Determine la probabilidad de que un hombre que actualmente tiene 21 años viva lo necesario para cumplir 65 años. Resultado: 60.90 %.

3.- Una Compañía envía 2.000 bombillos para surtir una orden de compra de una ferretería. Se sabe que el registro llevado de producción indica que cada 100.000 bombillos del mismo tipo y bajo las mismas condiciones esenciales han resultado 1.000 bombillos defectuosos. ¿ Cuántos bombillos se espera que salgan defectuosos en la orden de compra solicitada?. Resultado: 20 bombillos defectuosos.

4.- Un TSU en administración siente que la probabilidades de obtener un empleo en una empresa son 7 a 4. ¿Qué probabilidad asigna él para obtener el empleo?. Resultado: 63.64 %.

6.- Dado 2 eventos A y B en el espacio muestral E y sabiendo que P(A) = 1/3, (B/A) = 1/2 y que PA/B) = 1/3, entonces calcule la probabilidad de que se de al menos uno de los sucesos A y B. Resultado: 67.67 %. 7.- Un experimento aleatorio consiste en lanzar 2 dados. Sea A, el evento de que el resultado de ambos dados sea el mismo. Sea B el suceso de que la suma de los resultados de los 2 dados es un número par. Sea C el evento de que al menos el resultado de uno de los 2 dados es un 6. Determine: a ).- P(ABC).- b).- P(B)- c). - P(A).- d ).- P(C/A). Resultados: a).- 2.78 %. b).- 100.0 %. c) .- 0. d ) .- 16.67 %.

8.- En una caja hay 100 fichas numeradas del 1 al 100. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una ficha, su número sea múltiplo de 9?. Resultado: 11.0 %.

9.- En un edifico viven 12 familias, de las cuales 3 tienen ingresos mensuales mayores de 300.000 bolívares, 4 tienen ingresos de 150.000 bolívares y 5 presentan ingresos de 100.000.En el edificio del frente viven 18 familias, de las cuales 5 tienen ingresos mayores de 300.000 bolívares, 6 tienen ingresos de 150.000 bolívares y 7 poseen ingresos de 100.000 bolívares. Se escogen 2 familias aleatoriamente, una de cada edificio. ¿ Cuál es la probabilidad: a) de que ambas familias tengan ingresos de 150.000 bolívares, b) de que ambas estén en el mismo intervalo de ingresos?. Resultados: a).- 11.11 %.- b)- 34.26 %.

10.- En una caja hay 150 bombillos, 100 son de alógeno y 50 son incandescentes. Se sacan al azar 50 bombillos con remplazamiento. ¿ Es independiente el suceso de sacar el primer bombillo de alógeno y el suceso de que el bombillo número 50 sea de alógeno?. Explique

11-. La probabilidad de que Antonio esté vivo dentro de 20 años es de 0.70, y la de que Julia esté viva dentro de 20 años es 0.90. Si se asume independencia para ambos eventos, ¿ cuál es la probabilidad de que ninguno de los dos esté vivo dentro de 20 años?. Resultado: 3.0 %.

12.- Se lanza un par de dados una sola vez. ¿ Cuál es la probabilidad de obtener un total de 7 u 11 puntos en los dos dados?. Resultado22.22%.

13.-La probabilidad de que un vuelo programado en forma regular salga a tiempo es P(D)= 0.83, la probabilidad de que llegue a tiempo es P(A) = 0.92, y la probabilidad de que salga y llegue a tiempo es P(DA) = 0.78. Encuentre la probabilidad de que un avión: a) llegue a tiempo, dado que salió a tiempo, y b) haya salido a tiempo, dado que llego a tiempo.

14.- Una moneda regular se lanza 10 veces al aire. Encuentre la probabilidad de obtener por lo menos 8 caras. Resultado: 5.47 %.

15.- Se efectúan 5 lanzamientos con un par de dados. Hallar la probabilidad de obtener por lo menos 4 siete. Resultados:0.33 %.

16.- En promedio, un tirador pega en el blanco 300 veces en 400 tiros. Hallar la probabilidad de que pegue en el blanco por lo menos 3 veces en 5 tiros. Resultado: 89.65 %.

17.- Sé efectúan 6 lanzamientos con un par de dados. ¿ Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 3 siete?. Resultado: 5.36%.

18.- Un jugador de béisbol cuyo promedio de bateo es 0.300, va al bate 4 veces en un juego dado. Calcular la probabilidad de que pegue exactamente 2 hit. Resultado: 26.46%.

19.- La calificación aprobatoria en un examen que consta de 10 problemas es 70 %. En promedio, cierto estudiante resuelve correctamente 4 de cada 5 problemas. Calcular la probabilidad de que ese estudiante apruebe el examen. Resultado: 87.91 %.

20.- La probabilidad de que un hombre de 50 años viva 20 años más es 0.60. Dado un grupo de 5 hombres de 50 años, ¿ cuál es la probabilidad de que por lo menos 4 llegue a los 70 años?. Resultado: 33.70 %.

21.- Una moneda se lanza al aire 8 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número impar de caras?. Resultado: 50.0 %.

22 – Si A, B y C tiran a un blanco con probabilidad de acertar de 2/7, 2/5 y 2/3,

respectivamente, ¿ cuál es la probabilidad de que alguno acierte, al blanco, al hacer un

disparo cada uno?. Resultado: 85.71 %.

23 – En la tabla que aparece a continuación se clasifica una muestra aleatoria de 200

adultos, de acuerdo con el sexo y el nivel de educación.

EDUCACIONÓ MASCULINO FEMENINO

PRIMARIA 38 45

SECUNDARIA 28 50

SUPERIOR 22 17

Si se elige al azar una persona de este grupo, encuentre la probabilidad de que

a). La persona sea hombre, dado que tiene educación secundaria.

b). Que la persona no tenga instrucción superior, dado que es mujer. Resultado: a). 35.90 %. B). 84.82 %.

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