Probabilidades de Eventos

PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOL

Ing. Luis Rodriguez Ojeda, MSc.

3 FUNDAMENTOS DE LA TEORA DE LA PROBABILIDAD En esta unidad se revisan algunas definiciones necesarias para fundamentar el estudio de la Teora de la Probabilidad. 3.1 EXPERIMENTO ESTADSTICO Es un procedimiento que se realiza con el propsito de obtener observaciones para algn estudio de inters. Un experimento requiere realizar pruebas o ensayos para obtener resultados. Un Experimento Estadstico tiene las siguientes caractersticas:

1. Se conocen todos los resultados posibles antes de realizar el experimento. 2. No se puede predecir el resultado de cada ensayo realizado (propiedad de aleatoriedad) 3. Debe poderse reproducir o repetir el experimento en condiciones similares. 4. Se puede establecer un patrn predecible a lo largo de muchas ejecuciones del experimento. Esta propiedad se denomina regularidad estadstica.

Ejemplos

1) Lanzar un dado y observar el resultado obtenido. 2) Medir la altura de una persona 3) Observar el tipo de defecto de un artculo producido por una fbrica

3.2 ESPACIO MUESTRAL El Espacio Muestral, representado con la letra S, es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Cada elemento de S se denomina Punto Muestral. Segn la naturaleza del experimento, los puntos muestrales pueden determinar que S sea discreto o continuo. S es discreto si sus elementos pueden ponerse en correspondencia con los nmeros naturales. En este caso S puede se finito o infinito. S es continuo si los resultados corresponden a algn intervalo de los nmeros reales. En este caso S es infinito por definicin. Ejemplos Experimento: Lanzar un dado y observar el resultado Espacio Muestral: S={1, 2, 3, 4, 5, 6] Propiedades de S: Discreto y finito Experimento: Elegir al azar dos artculos de un lote y observar la cantidad de

artculos defectuosos Espacio Muestral: S={0, 1, 2} Propiedades de S: Discreto y finito Experimento: Lanzar un dado y contar la cantidad de intentos hasta obtener como resultado el 6 Espacio Muestral: S={1, 2, 3, . . .} Propiedades de S: Discreto e infinito Experimento: Medir el peso en gramos de un artculo elegido al azar Espacio Muestral: S={x | x>0, xR} Propiedades de S: Continuo (infinito por definicin)



3.3 EVENTOS Un evento es algn subconjunto del Espacio Muestral S. Se pueden usar letras maysculas para denotar eventos: A, B, . . . Tambin se pueden usar ndices E1, E2, . . . Ejemplo: Experimento: Lanzar un dado y observar el resultado Espacio Muestral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6] Describa el evento de inters: A: el resultado es un nmero par

Respuesta: A = {2, 4, 6} Representacin grfica con un Diagrama de Venn

Definiciones:

Evento nulo: No contiene resultados (puntos muestrales) Evento simple: Contiene un solo resultado (punto muestral) Eventos excluyentes: Eventos que no contienen resultados comunes

3.4 -ALGEBRA El soporte matemtico natural para el estudio de las propiedades de los eventos es la Teora de Conjuntos. Pero existe un lgebra formal especfica para su estudio denominada -Algebra (sigma lgebra). -Algebra A es una coleccin no vaca de subconjuntos de S tales que 1) S A 2) Si A A, entonces AC A 3) Si A1, A2, ... A, entonces = AU i1i A En resumen una -Algebra A incluye a S, a sus subconjuntos y es cerrada con respecto a la operacin de unin de conjuntos. 3.5 PROBABILIDAD DE EVENTOS El valor de la probabilidad de un evento es una medida de la certeza de su realizacin Sea A un evento, entonces P(A) mide la probabilidad de que el evento A se realice

P(A)=0 es la certeza de que no se realizar P(A)=1 es la certeza de que si se realizar P(A)=0.5 indica igual posibilidad de que se realice o no se realice



3.5.1 Asignacin de valores de probabilidad a eventos

1) Emprica

Es la proporcin de veces que un evento tuvo el resultado esperado respecto al total de intentos realizados. Ejemplo. Se han realizado 20 ensayos en un experimento en condiciones similares. Cuatro ensayos tuvieron el resultado esperado. Entonces, la probabilidad que en el siguiente ensayo se obtenga el resultado esperado tiene un valor aproximadamente: 4/20 = 0.2 = 20%

2) Mediante modelos matemticos

Para muchas situaciones de inters puede construirse modelos matemticos con los cuales se puede determinar la probabilidad de eventos. Algunos de estos modelos son estudiados en este curso, tanto para variables discretas como continuas.

3) Asignacin clsica

Su origen es la Teora de Juegos. El valor de probabilidad de un evento es la relacin entre la cantidad de resultados que se consideran favorables para el evento de inters, respecto al total de resultados posibles (Espacio Muestral).

Definicin: Asignacin Clsica de Probabilidad a Eventos

Sean S: Espacio muestral A: Evento de inters .

Si N(S) y N(A) representan la cardinalidad (nmero de elementos)

Entonces la probabilidad del evento A es: N(A)P(A)N(S)

= .

Ejemplo. Calcule la probabilidad que al lanzar una vez un dado y una moneda se obtenga un nmero impar y sello

Si c, s representan los valores cara y sello de la moneda, entonces el espacio muestral es: S = {(1,c),(2,c),(3,c),(4,c),(5,c),(6,c),(1,s),(2,s),(3,s),(4,s),(5,s),(6,s)}

Mientras que el evento de inters es: A = {(1,s),(3,s),(5,s)} Repuesta: P(A) = N(A)/N(S) = 3/12 = 1/4 = 0.25 = 25%

Ejemplo. En un grupo de 15 personas, 7 leen la revista A, 5 leen la revista B y 6 ninguna revista. a) Encuentre la probabilidad que al elegir al azar una persona, sta lea al menos una revista Respuesta: Representacin tabular de datos:

Leen B No leen B Leen A 3 4 7

No leen A 2 6 8 5 10 15

Del cuadro se obtiene que: 4 nicamente leen A 2 nicamente leen B 3 leen A y B 9 personas leen al menos una revista



Sean

E: Evento que la persona elegida al azar lea al menos una revista S: Conjunto de todas las personas entre las que se puede elegir una.

Entonces P(E) = N(E)/N(S) = 9/15 = 0.6 b) Encuentre la probabilidad que al elegir al azar tres personas, dos lean ambas revistas y una no lea revistas. Respuesta: Sean

E: Evento que dos personas lean ambas revistas y una no lea revistas S: Incluye todas las formas diferentes de elegir tres personas

N(S) = 15C3 = 455 Cantidad de formas diferentes de elegir 2 de las 3 que leen ambas

3C2 = 3

Cantidad de formas diferentes de elegir 1 de las 6 que no leen revistas 6C1 = 6

Por el Principio Bsico del Conteo, la cantidad de elementos en el evento E N(E) = 3 x 6 = 18 Por lo tanto

P(E) = N(E)/N(S) = 18/455 = 0.0396 = 3.96% Ejemplo. Suponga que se ha vendido una serie completa de las tablas del Peso Millonario. Cada tabla es diferente y contiene 15 nmeros diferentes elegidos al azar entre los enteros del 1 al 25. Calcule la probabilidad que al comprar una tabla esta sea la tabla ganadora. Respuesta: Sea S: conjunto de tablas del Peso Millonario

N(S) = 25C15 = 3268760 (Cantidad de tablas diferentes que se generan)

Sea E: evento de tener la tabla premiada (solamente hay una tabla premiada)

P(E) = N(E)/N(S) = 1/3268760 0.0000003 (Cercano a cero) Para tomar una idea de lo pequeo que es este nmero imagine cual sera su chance de sacar el premio si en una caja hubiesen 1000 tablas entre las que est la tabla ganadora. Si usted debe elegir al azar una tabla y obtener la tabla ganadora, es muy poco probable que acierte. Ahora suponga que en una bodega hay 3268 cajas, cada una con 1000 tablas. Primero usted debe elegir al azar la caja que contiene la tabla ganadora, y luego de esta caja elegir al azar una tabla esperando que esta sea la tabla ganadora. Se puede concluir que la probabilidad del evento de obtener el premio es insignificante.



3.5.2 Probabilidad de Eventos Simples Un Evento Simple incluye un solo punto muestral. Un evento cualquiera A de S puede considerarse entonces como la unin de sus eventos simples. Definicin: Probabilidad de Eventos Simples Sean S: Espacio muestral, con n puntos muestrales A: Evento cualquiera de S con k puntos muestrales E1, E2, . . ., Ek: Eventos simples incluidos en A Entonces P(A) = P(E1 E2 . . . Ek) = P(E1) + P(E2) + . . . + P(Ek) Si cada evento simple tiene igual probabilidad, entonces P(A) = k (1/n)

Ejemplo. Cual es la probabilidad que al lanzar un dado se obtenga un nmero par? Respuesta: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {2, 4, 6} Evento de inters E1 = {2}, E2 = {4}, E3 = {6}: Eventos simples incluidos en el evento A Entonces: P(A) = P(E1 E2 E3) = P(E1) + P(E2) + P(E3) = 3 (1/6) = 0.5 Ejemplo. Suponga que un dado est desbalanceado de tal manera que se conoce que la probabilidad que salga el nmero 6 es el doble que los otros nmeros. Cual es la probabilidad que al lanzarlo salga un nmero par? Respuesta: En este ejemplo los puntos muestrales no tienen la misma probabilidad (1/6). Sea x la probabilidad que salga alguno de los nmeros 1, 2, 3, 4, 5. Por lo tanto, la probabilidad que salga el nmero 6 es el doble, 2x

Entonces x + x + x + x + x + 2x = 1 x = 1/7 Sean A = {2, 4, 6}: Evento que salga un nmero par E1 = {2}, E2 = {4}, E3 = {6}: Eventos simples incluidos en A P(A) = P(E1) + P(E2) + P(E3) = 1/7 + 1/7 + 2/7 = 4/7 Ejemplo. De una caja que contiene 6 bateras de las cuales 4 estn en buen estado, se extrae una muestra de dos bateras Calcule la probabilidad que ambas bateras en la muestra estn en buen estado. Respuesta: Cantidad total de muestras que se pueden obtener:

N(S) = 6C2 6! 154! 2!= = Sea E: Evento correspondiente a la obtencin de una muestra con ambas bateras buenas Cantidad total de muestras en las que ambas bateras estn en buen estado

N(E) = 4C2 4! 62! 2!= = Entonces

P(E) = N(E)/N(S) = 6/15 = 0.4

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