Probabilitate ereduak (I) - UPV/EHU · Teoria afecta a las observaciones, pero sin duda llega un...

Probabilitate ereduak (I)

Josemari Sarasola Ledesma

2007ko urria

Figure 1: De manera breve, podemos decir que Kuhn acierta al decir que losmodelos cientificos se aceptan antes de ser plenamente demostrados, y que laTeoria afecta a las observaciones, pero sin duda llega un momento, antes odespues, en que la eleccin del paradigma es objetiva, basada en hechos queno pueden ignorarse. Y, la existencia de paradigmas, es en si mismo unconocimiento objetivo, independiente del paradigma en el que se origina?

Estatistika II Josemari Sarasola Ledesma

Contents

1 Zer ikasi behar dugun 4

2 Bernoulli-ren banakuntza 5

3 Banakuntza binomiala 6

3.1 Eredu binomialaren adibideak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2 Bernoulli-ren banakuntzatik banakuntza binomialera . . . . . . . 9

3.3 Banakuntza binomialaren batezbestekoa eta bariantza . . . . . . 9

4 Banakuntza geometrikoa 10

5 Banakuntza binomial negatiboa 11

5.1 Banakuntza geometrikotik banakuntza binomial negatibora . . . 11

5.2 Ariketak: prozesu binomialak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

6 Poisson-en banakuntza 18

6.1 Lambda parametroa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

6.2 Itxaropena eta bariantza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

6.3 Poisson-en banakuntzaren dedukzioa . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6.4 Poisson-en legea banakuntza binomialaren hurbilketa moduan . . 19

6.5 Ariketak: Poisson-en banakuntza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

7 Banakuntza esponentziala 25

7.1 Dedukzioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7.2 Probabilitateen kalkulua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

7.3 Banakuntzaren ezaugarriak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

7.4 Ahanztura propietatea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

7.5 Banakuntzaren esponentzialaren erabilera . . . . . . . . . . . . . 27

2

7.6 Ariketak: banakuntza esponentziala . . . . . . . . . . . . . . . . 28

8 Banakuntza uniformea 30

8.1 Ezaugarriak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

8.2 Banakuntza uniforme diskretua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

8.3 Erabilera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

8.4 Ariketak: banakuntza uniformea . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30


1 Zer ikasi behar dugun

Banakuntzei buruzko kontzeptuak ikasi ditugu: trinkotasun funtzioa, banaketafuntzioa, itxaropena, ... Jarraian,ikasiko ditugun banakuntza arrunt batzuk,praktikan maiz erabiltzen direnak, azaltzen dira:

I Bernoulli-ren banakuntza

II banakuntza binomiala

III banakuntza geometrikoa

IV banakuntza binomial negatiboa

V Poisson-en banakuntza

VI banakuntza esponentziala

VII banakuntza uniformea

VIII banakuntza normala

Izen berezia duten beste banakuntza asko badaude. Denak dira jakingar-riak, baina ez daukagu dneak ikasteko denborarik: Gamma banakuntza, Betabanakuntza, banakuntza hipergeometrikoa, Pareto-ren banakuntza, ...

4


2 Bernoulli-ren banakuntza

Honelakoa da:

x p(x)1 p0 q=1-p

1

Ikusten denez, banakuntzak parametro bat du: p.

0 eta 1 balioek zerbait ez gertatzea eta zerbait gertatzea adierazten dutehurrenez hurren. Bernoulli-ren banakuntzaren interesa teorikoa da gehien bat:beste banakuntza batzuei buruzko frogapenak egiteko erabiltzen da.

X zorizko aldagai bat Bernoulli-ren banakuntzaren arabera banatzen delaadierazteko, honela idatziko dugu:

X ∼ b(p)

Itxaropena eta bariantza hauek dira:

µX = p ; σ2X = pq

5


3 Banakuntza binomiala

Adibideak garatuz helduko gara banakuntza binomialaren definiziora.

Seiko bat 6 aldiz botatzen da. 3 zenbakia 4 aldiz ateratzeko probabilitateaeman ezazu:

Orain, 5 aldiz ateratzeko probabilitatea eman ezazu:

Orohar, x aldiz 2 zenbakia ateratzeko probabilitatea nola kalkulatzen da?

Beste adibide bat gara dezagun. Familia batean 6 seme alaba daude. 2 neskaizateko probabilitatea eman behar da:

Eta 3 neska izateko probabilitatea nola emango zenuke?

x neska izateko probabilitatea nola kalkulatzen da?

Aurreko bi ”formula” edo, hobeto esanda, probabilitate funtzio hauek itxuraberdina dute:

P [X = x] = px(1− p)n−x n!x!(n− x)!

; x = 1, 2, ldots, n

Probabilitate funtzio honen bitartez definituta datorren ereduari eredu bi-nomiala deitzen zaio.

Horrela banatzen dela honela idatziko dugu laburrago: X ∼ B(n, p).

Adibidez, aurreko adibideetan:

X: hirukoen kopurua izanik, X ∼ B(n = 4, p = 16 )

Y: neska kopurua izanik, Y ∼ B(n = 6, p = 0.5)

6


Noiz erabiltzen da eredu binomiala? Baldintza hauek bete behar dira:

• aldi bakoitzean bi emaitza posible bateraezin daude: 3/ez 3 , neska/mutil.

• aldi ezberdinen artean erabateko independentzia dago.

• Aldagaiak emaitza bat zenbat aldiz azaltzen den adierazten du.

3.1 Eredu binomialaren adibideak

Pilota zuriak eta beltzak bakarrik dituen ontzi batetik pilotak ateratzen dira. Berekolorea begiratu eta gero, ateratako pilotak ontzira itzultzen dira.

Bi emaitza posible eta bateraezin baitugu: zuria eta beltza. Saiakuntzakerrepikatzean, p eta q, zuria eta beltza ateratzeko probabilitateak alegia, ez diraaldatzen, ateratako pilotak ontzira itzultzen direlako. Pilotak itzuliko ez balira,p eta q, aldatuko lirateke ateraldi bakoitzean. Adibidez, ontzian 3 beltz eta 2zuri badaude, zuria ateratzeko probabilitatea 2/5 da. Lehenego ateraldian zuriaatera bada, bigarrenean zuria ateratzeko probabilitatea 1/4 da. Probabilitateakaldatu egin dira.

Horregatik, esan dezakegu ateraldien emaitzak elkarrekiko independenteakdirela. Hau da, aurretik gertatu denak ez du inongo eraginik, ez da kontutanhartu behar gerora gertatu behar den horretan.

Beraz, banakuntza binomiala erabil dezakegu pilota zurien kopurua mod-elizatzeko, baina beti ere itzulera badago.

Herri batean inkesta bat egin nahi dela eta, 100 lagun aukeratu da. Inkestagalderetako bat sexua da. 100 lagunen erantzunetan dagoen gizon kopururakobanakuntza binomiala erabil al daiteke

Adibide hau eta aurrekoa kidekoak dira. Lagunak pilotak dira eta koloretzatsexua har dezakegu. Koska pilotak itzultzen ote diren da.

Lagunak edo elementuak aukeratu ahala, lagunak herrira edo populazioraitzuliko genitu, gizonezko eta emakumezkoen hainbatekoa ez litzateke aldatuko,eta ondorioz probabilitateak ezta ere: banakuntza binomiala erabil dezakegu.Era honetan, lagunei berriz ere aukeratuak izateko aukera emango genieke etaberaz, bi aldiz galdezkatuak izan litezke. Era honetako laginketei zorizko lagin-keta itzuleradunak deitzen zaie.

Lagunak bi aldiz galdezkatuak izateko aukera baztertuko bagenu, hau da,aukeratutako laguna aparte, nolabait esateko jarriko bagenu, gizonezkoak edoemakumezkoak atera ahala, hurrengo laguna gizonezkoa edo emakumezkoa iza-teko probabilitatea aldatuko litzateke: banakuntza binomiala ezin dugu erabili.Laginketa mota honi itzulerarik gabeko zorizko laginketa deitzen zaio.

7


Itzulerarik gabeko zorizko laginketan, elementu kopurua edo bestela esanda,populazioaren tamainua oso handia denean, probabilitateak oso gutxi aldatzendira eta beraz, hurbilketa gisa banakuntza binomiala erabil daiteke. Adibidez,herria 200.000 lagunekoa izanik, gizonezko kopurua 100.000 bada, gizonezko batateratzeko probabilitatea 100.000/200.000 da. Lehenengo aukeratua gizonezkoaizan bada, bigarrena ere gizonezko probabilitatea 99.999/199.999 da. Probabil-itatea aldatu egiten da, baina oso gutxi.

Ondoz ondoko hamar eguni buruzko eguraldi datuak jaso eta ondoko dikoto-miaren arabera sailatu dira: eguzkitsua/lainotsua. Egun eguzkitsuen kopururakobanakuntza binomiala erabil al dezakegu?

Egoera honetan, bi emaitza posible daude, eguzkitsua/lainotsua, baina inde-pendenteak al dira bi gertakizunak? Independenteak al dira egun ezberdinetakoeguraldi motak? Ezetz dirudi. Izan ere, egun batean eguzkitsua bada, hurrengoegunean ere ziru aski eguzkitsua (edo lainotsua) izango dela pentsa dezakegu,biharko eguraldia gaurkoaren menpe baita neurri handi batean. Beraz, biharlainotsua izateko probabilitatea atzo izandakoeguraldiaren menpe dela pentsadaitekeenez, gertakizunak ez dira elkarrekiko independenteak izango eta beraz,ezin esango dugu egun eguzkitsu edo lainotuen kopuruak banakuntza binomi-alari darraionik.

Lantoki batean ekaiak bi kategoriatan banatzen dira: akastunak eta akas-gabeak. Akastuna ekoizteko probabilitatea 0,02 dela uste da. Ekai akastunenkopururako banakuntza binomiala erabil al daiteke?

Ekaiak independenteki ekoizten al dira? Ekai akastun bat ekoizten bada,pentsatzekoa da makina ez dela oso ondo funtzionatzen ari eta ondorioz hurrengopieza akastuna izateko probabilitatea handiagoa izango dela. Ondoz ondokogertakizunak ezin dira beraz independentetzat jo. Baina, makina oso egonkorradela uste bada, akastunak erabat zoriz azalduko dira, independentzia dagoelaesan daiteke, eta beraz banakuntza binomiala erabil daiteke.

8


3.2 Bernoulli-ren banakuntzatik banakuntza binomialera

Banakuntza binomiala Bernoulli-ren banakuntzen batura da.

Demagun n Bernoulli-ren banakuntza berdin: X1, X2, . . . , Xn, non Xi alda-gaiak i-garren pieza bat akastuna den adierazten duen (0: ez, 1: bai).

Piezak banan banan aztertzen ditugu eta emaitza jasotzen dugu: 0, 1, . . . ,

Argi dago: emaitza hauen batura akastunen kopurua izango da.

0/1 emaitza bakoitza Bernoulli-ren banakuntzaren arabera banatzen denez,Xi guztien batura, X idatziko duguna, banakuntza binomialaren arabera ba-natuko da. Hau da, X1, X2, . . . , Xn ∼ b(p) izanik:

X = X1 + X2 + . . . + Xn ∼ B(n, p)

3.3 Banakuntza binomialaren batezbestekoa eta bariantza

Arestiko loturak banakuntza binomialaren eta Bernoulli-ren banakuntzaren arteanbanakuntza binomialaren itxaropena eta bariantza modu erosoan emateko balioizango digu:

X1, X2, . . . , Xn ∼ b(p) izanik:

X = X1 + X2 + . . . + Xn ∼ B(n, p)

Beraz,

E[X] = E[X1] + E[X2] + . . . + E[Xn] = p + p + . . . + p = np

eta Xi aldagaiak elkarrekiko independenteak direnez:

var[X] = var[X1] + var[X2] + . . . + var[Xn] = pq + pq + . . . + pq = npq

Adibidez, piezak modu independentean ekoizten direla, akastuna izatekoprobabilitatea 0.3 da. 1000 unitatetan dauden X akastun kopuruaren itxaropenaeta bariantza hauek izango dira:

E[X] = 1000× 0, 3 = 300 ; σ2X = 100× 0.3× 0.7 = 210

9


4 Banakuntza geometrikoa

Prozesu binomial bat garatzen denean (txanpona bota behin eta berriz, au-rpegikoa edo gurutzekoa ateratzen delarik; piezak ekoiztu independenteki, akas-tunak edo akasgabe; ...), zorizko aldagaitzat arrakasta kopurua (aurpegiko kop-urua, akastun kopurua, ...) hartu dugu, baina prozesuan badira beste zorizkoaldagai batzuk. Horietako bat, lehenengo arrakasta izan aurretik (p probabil-itateaz gertatzen dena), izan den porrot kopurua. Zorizko aldagai hau honelabanatzen da:

P [X = x] = pqk = p(1− p)k ; x = 0, 1, 2, . . .

Banakuntza honi banakuntza geometrikoa deritzo (Pascal-en banakuntzaizenez ere ezagutzen da) eta ikusten denez parametro bakar baten menpe dago:p. Laburrago honela idatziko dugu: X ∼ G(p).

Bere ezaugarriak hauek dira:

E[X] =q

p; σ2

X =q

p2

Banakuntza honek ahanztura propietatea delakoa betetzen du:

P [X ≥ m + n/X ≥ m] = P [X ≥ n]; m,n = 0, 1, . . .

Hau da, m-garren saiakuntzan arrakasta lortu ez bada (eta ondorioz, X ≥m), orduan beste n aldiz gutxienez porrota izateko probabilitatea, hasieratikbertatik gutxienez n porrota izateko probabilitatearen berdina da. Beste hitze-tan esanda, prozesua independentziaz garatzen denez, ez dugu pentsatu orainarte arrakasta gertatu ez delako, probabilitate handiagoz gertatu behar dela.

10


5 Banakuntza binomial negatiboa

Banakuntza geometrikoak lehenengo arrakasta arte izan den porrot kopuruaaztertzen du. Prozesu binomial batean r-garren arrakasta gertatu arte, izanden porrot kopurua ere zorizko aldagaia da. Zorizko aldagai honi dagokionbanakuntzari binomial negatiboa deitzen zaio eta bere probabilitate funtzioahau da:

P [X = x] = (1− p)xpr−1 (x + r − 1)!x!(r − 1)!

p ; x = 0, 1, . . .

Azal dezagun: r-garren arrakasta izan arte, x porrot izateko,

• aurretik x porrot eta,

• (r − 1) arrakasta gertatu behar dira nahasian (hortik permutazioak),

• azkenik r-garren arrakasta izan behar dela.

Labur honela idatziko dugu: X ∼ BN(r, p).

5.1 Banakuntza geometrikotik banakuntza binomial negat-ibora

Lehenengo arrakasta gertatu arte izandako arrakasta kopurua; lehenengo ar-rakastatik bigarren arrakasta gertatu arte, izandako porrot kopurua, ..., (r− 1)arrakastatik r-garren arrakastara gertatu arte, izandako porrot kopurua, ba-nakuntza geometrikoaren arabera banatzen dira. X aurreko porrot guztienbatura r arrakasta gertatu arte izandako porrot kopurua da. Beraz, X1, X2, . . . , Xn ∼G(p) izanik,

X = X1 + X2 + . . . + Xn ∼ BN(r, p)

Hau da, p parametrodun banakuntza geometrikoen batura banakuntza bi-nomial negatiboarekin dator bat. Propietate hau banakuntza binomial negati-boaren itxaropena eta bariantza kalkulatzeko erabil daiteke:

Beraz,

E[X] = E[X1] + E[X2] + . . . + E[Xn] =q

p+

q

p+ . . . +

q

p=

nq

p

eta Xi aldagaiak elkarrekiko independenteak direnez:

var[X] = var[X1] + var[X2] + . . . + var[Xn] =q

p2+

q

p2+ . . . +

q

p2=

nq

p2

11


5.2 Ariketak: prozesu binomialak

I Zenbatekoa da txanpon bat 10 aldiz botata, 4 aurpegiko izateko probabil-itatea? Nola banatzen da aurpegiko kopurua?

II Kaxa batean 10 pieza gorri, 5 beltz eta 2 zuri. Zenbatekoa da 7 piezaaldi bakoitzean itzuleraz aterata, 3 gorri izateko probabilitatea? Eta 2beltz? Eta 4 zuri? Nola banatzen da hurrenez hurren pilota gorri, beltzeta zurien kopurua?

III Akasgabe kopurua B(n=5, p=0.6) banatzen da. Nola banatzen da akastunkopurua?

IV Pieza akastun bat ekoizteko probabilitatea 0,35 da. Piezak elkarrekikoindependentziaz ekoizten direla suposatuz, zenbat akastun espero da 10piezetan?

V 12 pieza ekoiztu dira. Pieza bat akastun suertatzeko probabilitatea 0.5bada, zenbat gainditu akastun daudela esango zenuke? Eta 0.7 bada akas-tun suertatzeko probabilitatea? Eta 0.9 bada? Itxaropenak kalkula itzazueta modarekin aldera itzazu.

VI Pieza akastun bat ekoizteko probabilitatea 0,8 da. Piezak elkarrekiko inde-pendentziaz ekoizten badira, zenbatekoa da 12 piezatan 5 akastun izatekoprobabilitatea? Eta 3 akastun baino gutxiago? Eta 8 akastun edo gehi-ago? Eta 10 akastun baino gehiago? Eta akastun kopurua [3,7] tarteanizateko probabilitatea? Eta 4 akasgabe izateko probabilitatea?

VII Egun batean Ondarretan bandera gorria edo horia izateko probabilitatea0.3 da. Zenbatekoa da 10 egunetatik 4tan gutxienez lasai bainatu ahalizateko probabilitatea?

VIII 10 piezetan 6 akastun edo gutxiago izateko probabilitatea 0.4 da. Zen-batekoa da 3 akasgabe edo gutxiago izateko probabilitatea?

IX Hurrengo urtean Nintendo baten jabeak konpetentziaren konsola ere erostekoprobabilitatea 0,6 bada, zenbat konsola saltzea espero du konpententziak,Nintendo makina dutenak 4.000 badira?

X Txanpon bat aidera botatzen da behin eta berriz. Aurpegiko kopuruazenbatzen da. 20 aldiz botata, zenbatekoa da itxaropenetik %25 bainogehiago desbideratzeko probabilitatea? Eta 40 aldiz botatzen bada?

XI 1etik 10erako zenbaki bat aukeratzen da zoriz. Zenbatekoa 6 aldiz zenbakibat aukeratuta, denak 8 baino txikiago izateko probabilitatea?

XII Txanpon bat eta seiko bat 10 aldiz botatzen da aldi berean. Zenbatekoada 5 alditan aurpegiko eta 2 ateratzeko probabilitatea? Zenbatekoa da 5alditan aurpegiko eta 5 alditan 2 ateratzeko probabilitatea? Zenbatekoada 5 alditan aurpegiko edo 2 ateratzeko probabilitatea?

12


XIII Pieza akastun bat ekoizteko probabilitatea 0,1 da. Piezak elkarrekiko inde-pendentziaz ekoizten badira, zenbatekoa da 10 piezatan 2 akasgabe bainogutxiago izateko probabilitatea? Kalkulagailurik ez da erabili behar.

XIV Pieza akastun bat izateko probabilitatea 0.22 da. Zenbat pieza egin behardira guztira batezbestez 10 pieza akasgabe behar badira? Eta aurretik 4pieza akasgabe badaude?

XV Pieza akastuna izateko probabilitatea 0.4 da. Langile batek 12 pieza akas-gabe egin ditu. Guztira zenbat pieza eraldatu dituela esango zenuke?

XVI DVD disken %40 10 urteren buruan hondatzen da. 20 diskete dauzkat.Zenbatekoa da 4 diskete baino gutxiago hondatzeko probabilitatea 10urteren buruan? Garatu kalkulagailurik gabe.

XVII Ardien %25ek 2naka izaten dituzte arkumeak. 15 ardi dauzka artzainbatek. Zenbatekoa da guztira gutxienez 22 arkume izateko probabilitatea?

XVIII 25 egunetatik 4tan trena gutxienez 10 minutuko atzerapenez etorri da.Hurrengo 14 egunetan tren ordutegiko ordua baino 10 minutu berandu-ago joango naiz. Zenbatekoa trena 3 egunetan edo gehiagotan galtzekoprobabilitatea?

XIX Pieza batek bi akats mota izan ditzake: A akatsa izateko probabilitatea0,2 da, B akatsa izateko probabilitatea 0,1 da eta bi akatsak batera iza-teko probabilitatea 0,05 da. Zenbatekoa da 10 piezatan 3 akastun izatekoprobabilitatea?

XX Barazki baten hazkuntza denboraren lehendabiziko 15 egunetan 25 gradu-tik gora edo 5 gradutik behera egiten badu egunen batean, barazki lan-darea hondatu egiten da. Egun batean 25 gradutik gora izateko probabili-tatea 0,2 da. 5 gradutik behera izateko probabilitatea 0,1 da. Zenbatekoada landarea hondatzeko probabilitatea 15 egunetan zehar?

XXI Maiatzeko lehendabiziko 15 egunetan 25 gradutik gora izateko probabili-tatea egun batean 0,3 da. Barazki batek 25 gradutik gorako gutxienez 5egun behar ditu hazitzeko. Baina 10 egunetan 25etik gora gradu badaude,landarea galdu egingo da. Zenbatekoa da 15 egun horietan barazkia aur-rera ateratzeko probabilitatea?

XXII Langile batek 5 saialditan behin lortzen du ekintza jakin bat ondo bu-rutzea. Besteetan gaizki ateratzen zaio. Horrelako 5 ekintza egiteko, zen-batekoa da 12 saialdi egin behar izateko probabilitatea?

XXIII Toki batean egunen %25 euritsu dira neguan. Bertako teilatu bat kon-pontzeko gutxienez euririk gabeko 6 egun beharko dira. A priori, zenbategunetarako alkilatu behar da garabia teilatua egin ahal izateko probabil-itatea 0,9 baino handiagoa izan dadin gutxienez?

13


XXIV 10 piezetatik, 6 akastun gutxienez izateko probabilitatea 0,46 da. Zen-batekoa da 5 akastun edo gehiago izateko probabilitatea?

XXV Joku batean irabazteko dudan probabilitatea 0,2 da. 10 aldiz galdu artejarraituko dut jokatzen. Zenbatekoa da gutxienez 15 aldiz jokatzeko prob-abilitatea?

XXVI Lantegi batean ekoiztutako pieza bat akastuna izateko probabilitatea 0,05da. Piezak 20 unitateko kaxetan sartzen dira. Kaxa batean 2 akastunbaino gehiago badaude, bezeroari itzuli egiten zaio dirua. Bezero batek15 kaxa erosi baditu, zenbatekoa 7 kaxa baino gehiago itzultzeko proba-bilitatea?

XXVII Bikote batek honela planifikatzen du familia: haurrak izango dituzte hariketa 2 neska eta 2 mutil dituztenera arte. Zenbatekoa da 6 haur bainogehiago izateko probabilitatea?

XXVIII 40 zenbaki dituen erruleta bat egin dugu, baina koloreak falta zaizkio:gorria eta beltza. 10 aldietatik 2tan gorria ateratzen bada, irabazi egitenda. Zenbat zenbaki koloretu behar ditugu gorriz irabazteko probabilitateahandiena izan dadin? Eta zenbat koloretu behar dira gorriz, 10 aldietatik2tan gorria edo 2tan beltza ateratzen denean irabazten bada?

XXIX Konpainia bateko hegazkin hegaldiak erreserbapean egiten dira. Hegazkinbatek 12 eserleku ditu. Erreserba bertan behera uzteko probabilitatea0,3 da. Zenbat erreserba onar daitezke hegaldi bakoitzean ”overbooking”delakoa gertatzeko probabilitatea 0,1 baino txikiagoa izan dadin?

XXX Lantegi batean dauden 22 langileetatik 4k pieza okerrak egiten dituztebeti, gainerakoek egiten dituzten piezen erdiak bakarrik direla akastu-nak. Erritmo berean lan egiten dute, zenbatekoa da zoriz aukeratutako26 piezetan 14 akastun izateko probabilitatea?

XXXI A eta B puntuak kable bidez lotuta daude paraleloan dauden 12 adarrenbitartez. Adar bakoitzean 7 modulo daude seriean. Adarrak funtzion-atzeko, bertako modulo guztiak funtzionatzen izan behar dira. Une bateanmodulo bat hondatzeko probabilitatea 0,4 bada, zenbatekoa egun bateanA eta B etenik gabe lotuta izateko probabilitatea? Gutxienez zenbat adarjarri beharko dira bi puntuak lotuta izateko probabilitatea 0,999 izateanahi bada? Zenbat modulo jarri ahal izango dira adar bakoitzean, lotutaizateko probabilitatea 0,999 izatea nahi badugu, 100 adar izanik?

XXXII 10 piezako lote bat gaur bertan burutzeko agindua jaso du lagun taldebatek. Absentismoaren tasa %35ekoa bada, eman ezazu, ahal bada, agin-dua bete ahal izateko probabilitatea, lagun bakoitzak 2 pieza egiten badituegunean. Falta den datua 18 bada, eman ezazu arestian eskatutako prob-abilitatea.

14


XXXIII Lantegi batean bi motako makinak daude: 8 makina A motakoak eta4 makina B motakoak. A motako makinetan akastunak %10eko prob-abilitateaz azaltzen dira. B motako makinek askoz ere akastun gutxiagosortzen dute: %2ko probabilitateaz sortzen dira. Makina hauek eraldatzendituzten piezak 20 unitateko loteetan saltzen dira. Lote batean pieza akas-tunen bat azaltzen bada, lotea itzuli egingo digula esan digu bezero na-gusiak. B motako zenbat makina gaineratu behar dira lotea itzultzekoprobabilitatea 0.05 izan dadin?

XXXIV Josemarik, Enekok eta Laurak arku tiroan 11 gezi jaurtiki dute guztienartean. Geziak txandaka jaurtiki dituzte: lehenik Josemari, gero Eneko,azkenik Laura, ... Dianan 5 gezi badaude, zenbatekoa da Josemarik betihuts egin izanaren probabilitatea? Laurak diana egiteko probabilitatea 0.3da. Enekok diana egiteko probabilitatea 0.6 da. Josemarik diana egitekoprobabilitatea 0.9 da.

XXXV Bezero batekin honela egiten dugu lana. Nahi dugun pieza kopurua bidaltzendiogu aldi bakoitzean, baina baldintza hau jarri digu: piezen %30 bainogehiago akastuna bada, itzuli egiten digu lote osoa. Pieza bat akastunaizateko probabilitatea 0.15 da. Eman ezazu bidali beharreko lotearentamainua (pieza kopurua) ez itzultzeko probabilitatea 0.9 izan dadin.

XXXVI Piezak ekoizten dituen makina batek honela funtzionatzen du. Aldez au-rretik langileak erabakitako pieza kopuru bat ekoizten du. Pieza hauekegin ondoren, akastunak edo akasgabeak diren egiaztatzen du makinakberak. Akastunak baztertu eta aurretik agindutako kopurua betetzekofalta den pieza kopurua ekoizten du, baina inongo kalitate kontrolik gabeoraingo honetan (akastunak ere onartuz). Prozesua bigarren txanda hone-tan bukatzen da. 5 pieza agindu bazaizkio aurretik, zenbatekoa da azke-nean 5 pieza akasgabe izateko probabilitatea? Pieza bat akastuna izatekoprobabilitatea 0.2 da.

XXXVII Lantegi batean osagaiak eraldatzen dira torlojuak ekoiztearren. Osagaiaakastuna bada, torlojua akastuna izateko probabilitatea 0.8 da. Osagaiaakasgabea bada, torlojua akasgabea izateko probabilitatea 0.9 da. Os-agaia akasgabe izateko probabilitatea 0.6 da. Zenbatekoa da 4 piezakolote batean akastun bakarra izateko probabilitatea? Torloju lotea onartuegiten da 4 piezetatik akastun bakarra dagoenean gehienez 0.2ko prob-abilitateaz; zenbateko proportzioaz azaldu behar dira osagai akastunakhorretarako?

HIPOTESI KONTRASTEAK: BANAKUNTZA BINOMIALA

XXXVIII Lantegi batean normaltzat jotzen da piezen %5 gaizki ateratzea. Makinabatek 15 piezatik 4 egin ditu gaizki. Kasualidadearen emaitza da edotanormaltasunetik desbideratzen dela esan al daiteke? Alfa: %10

XXXIX Test batean 20 galdera daude. Galdera bakoitzeko 5 aukera daude. Pert-sona batek 20 galderetatik 6 asmatu ditu. Erantzunak zoriz egin ditu edo

15


hainbat galderaren erantzunak ezagutzen zituen? Alfa: %1

XL 5 lagunen artean, Josemari tartean dela, 15 arrain harrapatu dituzte. Jose-marik 15etatik 10 harrapatu ditu. Suertea izan du edota arrantzale onadela esan daiteke?Alfa: %10

XLI Iaz gertatu ziren 15 istripuetatik, 10 istripu urteak zituen 82 jaiegune-tan eta jaiegun bezperetan gertatu ziren. Istripuak egun hauetan ugalduegiten direla esan al daiteke?

XLII Etxe batean 4 ahizpa bizi dira. Ontzien garbiketa txandaka egiten dute:txanda egunero aldatzen da. Egunero 5 platera garbitzen da. 5 egunetan6 platera puskatu da. Ahizpa zaharrenak 6etatik platera bakarra puskatudu. Platerak besteek baino hobeki garbitzen dituela esan al daiteke?

XLIII Makina batek egiten dituen pieza guztietatik %10 akastuna dela uste da.Makina berri bat eskaini digute: akastun kopuru txikiagoa egiten duelaziurtatu digute. Fidatzen ez garenez, makina berriarekin esperimentubat egitea eskatu dugu: 20 pieza ekoiztu dira eta akastunak zenbat direnikusiko dugu. Adierazgarritasun maila %20 bada, zenbat pieza akastunizan behar dira makina berriak akastun gutxiago egiten duela baieztatuahal izateko?

XLIV 1910-1990 datuak hartuta, urtarrilean 0 graduko tenperaturara jeistenzireneko egunak 224 izan ziren toki batean. 1991etik aurrera datu hauekjaso ditugu 0tik beherako egun kopuruari buruz: 1991: 2 egun, 1992: 1egun, 1993: 0 egun, 1994: 4 egun, 1995: 1 egun, 1996: 2 egun, 1997: 0egun, 1998: 1 egun, 1999: 2 egun, 2000: 0 egun. Urtarrileko klimatolojiaazken 10 urteotan aldatu egin dela esan al daiteke? Adierazgarritasunmaila: %1

XLV Arto landare mota batek ematen duen arto kopurua honela banatzen da:f(x) = 1/30 ; 20 < x < 50 x:gramuak. 20 landareri tratamendu berezi bategin zaie eta hauetatik 6 landarek 45 gramuko ekoizpena gainditu dute.Tratamenduak errendimendua hobetu egiten duela esan daiteke? Alfa:%10

XLVI Langile bat egun batean lanera ez joateko probabilitatea 0.18 dela uste da.20 langileko tailer batean 7 lagun izan dira gaur lanera etorri ez direnak.Normaltasunaren barnean gaudela esan al daiteke? Kalkulagailurik gabeerantzun ezazu jakinda B(20, 0.2) batean P(X=7 edo handiago) izatekoprobabilitatea 0.09 dela eta adierazgarritasun maila %10 finkatu dela.

XLVII Seiko baten figarritasuna aztertzeko 10 aldiz bota eta 3tan 4 atera da.Kalkulagailurik gabe, baina B(10, 0.15) batean P(X=3 edo handiagoa)=0.18dela jakinik eta adierazgarritasun maila 0.1 finkatu delarik, erabaki ezazuseikoa fidagarria den.

16


XLVIII Hornitzaile batek saltzen dituen arraultzetan bat ustela izateko probabil-itatea 0.12 dela ziurtatu zaigu. Azken aldian erosi diren 8 arraultzetan 2ustelak izan dira. Ba al da arrazoirik probabilitate hau ezeztatzeko, adier-azgarritasun maila %20 izanik? Kalkulagailurik gabe erabaki behar da,jakinda B(8, 0.1) batean P(X=2 edo gehiago)=0.1869 dela. Eta B(8,0.2)batean P(X=2 edo gehiago)=0.4966 dela jakinik?

BANAKUNTZA GEOMETRIKOA ETA BINOMIAL NEGATIBOA

XLIX Akastun bat ekoizteko probabilitatea 0.23 da. Zenbat akasgabe espero diralehenengo akastuna atera arte? Eta zenbat akastun lehenengo akasgabeaatera arte? Zenbat akasgabe espero dira 4 akastuna atera arte?

17


6 Poisson-en banakuntza

Demagun makina batean egunean izango den matxura kopurua 4 izateko prob-abilitatea kalkulatu nahi dugula. Demagun datorren astean hiri batean izangoden heriotza kopurua 10 baino handiagoa izateko probabilitatea kalkulatu nahidugula. Demagun datoren urtean kontzensionario batean 20 auto baino gutxi-ago saltzeko probabilitatea kalkulatu nahi dugula. Probabilitate hauetan guzti-etan elementu amankomun hauek ditugu: denbora aldi batean hainbat gertak-izun izatea planteatzen da. Froga daiteke gertakizun hauek (matxurak, heri-tozak, salmentak, ...) zoriz gertatzen badira denboran zehar batezbesteko tasajakin batez, aldiko gertakizun kopurua orduan, honela banatuko dela:

P [X = x] =e−λλx

x!, x = 0, 1, 2, . . . ;λ > 0

Banakuntza honi Poisson-en banakuntza deitzen zaio eta berriz ere diogu:gertaera kopuru bat aldi jakin batean azaltzeko erabiltzen da, betiere gertaerakzoriz gertatzen badira tasa jakin batez. Labur, honela idatzen da: X ∼ P (λ).

Ohartu behar da balio posibleak 0, 1, 2, . . . direla infinituraino.

6.1 Lambda parametroa

Ikus daitekeenez, banakuntza parametro positibo baten menpe dago: lambdahizki grekoaz izendatzen dugu. Zer esan nahi du?

Aldi bakoitzeko, gertaera kopuruari dagokion batezbesteko tasa da. Adibidean,matxurak batezbestez 2ko tasa batez gertatzen badira egunean, orduan λ =2. Asteko heriotza kopurua batezbestez, 8 bada, orduan λ = 8. λ para-metroa emanda, probabilitateak zehazteko moduan gaude. Adibidez, egunean4 matxura izateko probabilitatea hau izango litzateke:

P [X = 4] =e−224

4!= 0.090

ADI! Kalkulatu nahi dugun probabilitatea beste aldi bati buruzkoa bada,adibidez matxura kopurua aste batean 10 izateko probabilitatea nahi badugu, λparametroa asteko epera aldatu behar da: λegun = 2 izanik, λaste = 2× 7 = 14izango dugu.

6.2 Itxaropena eta bariantza

Poisson-en banakuntzaren itxaropena eta bariantza hauek dira hurrenez hurren:

µX = λ ; σ2X = λ

18


Egia esan, itxaropenaren emaitza erabat lojikoa da, λ parametroak aldiko batezbestekoaadierazten duela esaten baigenuen arestian.

6.3 Poisson-en banakuntzaren dedukzioa

Poisson-en banakuntza banakuntza binomialaren limitea da, aldiko gertaerakopuru jakin baten probabilitatea kalkulatzeko egokituz.

Egunean 4 matxura izateko probabilitatea eman nahi badugu, eguna zatitxiki txikitan egiten dugu. Eguna 1000 zati txikitan egin badugu, eta zatibakoitzean matxura izateko probabilitatea 0.002 bada (txikia izango da derrig-orrez), 4 matxura izateko probabilitatea B(n = 1000, p = 0.002) banakuntzaerabiliz eman dezakegu.

Beraz, Poisson banakuntza banakuntza binomialaren limitea izango da, nonparametroak hauek diren: n →∞ eta p → 0. Baldintza bakarra np biderkadu-rak konstante jakin bat izan behar dela daukagu: np = λ. Ikus dezagun:

limn→∞, p→0, np=λP [X = k] = limn→∞, p→0, np=λ

(nk

)· pk · (1− p)n−k

= limn→∞n× . . .× (n− k + 1)

k!·(λ

n

)k

·(1− λ

n

)n−k

=λk

k!· limn→∞

n× . . .× (n− k + 1)k!

·limn→∞

(1− λ

n

)n

limn→∞

(1− λ

n

)k

=λk

k!· limn→∞

(1− λ

n

)nλ

=λk

k!· e−λ

6.4 Poisson-en legea banakuntza binomialaren hurbilketamoduan

Aurreko atalean, Poisson-en banakuntza banakuntza binomialaren limitea besterikez dela ikasi dugu. Beraz, probabilitate binomialak kalkulatzeko Poisson-enlegea ere erabil daiteke hurbilketa moduan, betiere n handia eta p txikia dire-nean, λ = np izanik.

Adibide bat eman dezagun. Populazio batean 100.000 lagun bizi dira. La-gun batek gaisotasuna garatzeko probabilitatea 0.0001 da. Zenbatekoa da pop-ulazioan 5 gauso izateko probabilitatea?

Gaiso kopurua B(n = 100000, p = 0.0001) banatzen da. Beraz, eskatutako

19


probabilitatea hau izango da:

P [X = 5] = 0.00015 · 0.999999995 · 100000!99995!5!

Probabilitate hau kalkulatzen erosoa ez denez, kalkulagailuz eginez ere, binomi-alaren limitea den Poisson-en legea erabiltzen dugu, λ = 100000× 0.0001 = 10izanik:

P [X = 5] =e−10 · 105

5!Aurreko adierazpenak kalkulatzen badituzu zehaztasunez, berdin beridnak ezdirela ikusiko duzu: zehatz zehatza lehenengoa da, baina bigarrena oso hur-bilketa ona da.

6.5 Ariketak: Poisson-en banakuntza

I Banketxe batetara heltzen den bezero-kopurua Poisson-en legeaz modelizadaiteke. Batezbestez 1.4 bezero heltzen da minutuko. Eman itzazu:

• Minutu batean 2 bezero heltzeko probabilitatea

• Minutu batean inor ez heltzeko probabilitatea.

• 5 minututan 2 bezero heltzeko probabilitatea.

• 5 minututan 4 bezero edo gutxiago heltzeko probabilitatea.

• 5 minututan 5 bezero baino gutxiago heltzeko probabilitatea.

• 10 minututan 6 bezero edo gehiago heltzeko probabilitatea.

• Ondoz ondoko bi bezeroren artean 2 minutu baino gehiago izatekoprobabilitatea.

• Ondoz ondoko bi bezeroren artean 4 minutu baino gutxiago izatekoprobabilitatea.

• Ondoz ondoko bi bezeroren artean 2tik 5 minutura bitarteko denborapasatzeko probabilitatea.

• 10 minututan bezerorik ez dela heldu jakinda, hurrengo minutuanere bezerorik ez heltzeko probabilitatea

II Egunero batezbestez eta erabat zoriz orduko 2 matxura izaten da makinabatean. Emaitza posibleen probabilitateen grafikoa era ezazu. Zein daprobabilitate handieneko gertakizuna (moda, alegia)? Eta batezbestez6.7heltzen badira, zein da probabilitate handieneko gertakizuna?

III Eguneko 4 akats izaten ditu makina batek batezbestez eta zoriz. Zen-bat akats ziurta daitezke egun batean 0.9ko probabilitateaz? Eta 0.99koprobabilitateaz?

20


IV Lantegi batean 8 pieza ekoizten da eguneko batezbestez Poisson-en prozesubaten arabera. Zenbat piezako ekoizpena ziurta daiteke 0.9ko probabili-tateaz? Eta 0.99ko probabilitateaz?

V Hari batean metroko 0,2 akats izaten da batezbestez eta zoriz. Zenbatekoada 10 metrotan 0 akats izateko probabilitatea? Zenbat metro garantizatudaiteke akatsik gabe 0.9ko probabilitateaz?

VI Bide batetik batezbestez 3.4 kotxe pasatzen da minutuko. Zenbatekoada minutu batean 2 kotxe eta hurrengoan beste 2 kotxe pasatzeko prob-abilitatea? Eta 2 minututan 4 kotxe izateko probabilitatea? Zergatik dalehenengo probabilitatea txikiagoa?

VII Lagun batek etxetik banku sukurtsal batera joan behar da 10 txeke ko-bratzeko asmoz. Sukurtsalean 2 minutuko txeke bat tramitatzen dutebatezbestez Poisson-en banakuntzaren arabera. Presa handia duenez, etadenbora ahalik eta gehien aprobetxatzeko, txekeak tramitatu bitarteanbankutik atarako da. Zenbat denbora aurrikusi behar du kobraketarako,etortzen denerako txekeak eginda izateko probabilitatea 0.9 izatea nahibadu?

VIII Denda batek datorren hileko kotxe-salmentak aurrikusi nahi ditu. Salmen-tak zoriz gertatzen dira eta 4 kotxe saltzen da hilero batezbestez. Zenbatkotxe eskatu beharko ditu, eskaera bete ahal izateko probabilitatea 0.80koagutxienez izan dadin? Eta 0.99koa izan dadin?

IX Aseguru-konpainia batek 4000 bezero ditu. Urtebetean gaisotzeko prob-abilitatea 0.002koa da. Zenbatekoa da urtebetean 6tik gora laguni or-daindu behar izateko probabilitatea? Bezero bakoitzak 1000 ordaindubadu eta istripua izatekotan 100.000 ordaindu behar bazaizkio, zenbatekoada urtean galtzen ateratzeko probabilitatea?

X Sendagile batek batezbestez 5 kontsulta hartzen ditu orduko Poisson-enprozesu baten arabera. Itxaron-gelan hirugarrena baldin banaiz, 18tikgora minutu ez itxaroteko probabilitatea zenbatekoa da?

XI Ospitale batera batezbestez 6 gaiso sartzen da egunero, Poisson-en prozesubaten arabera. Zenbat ohe eduki beharko dira libre, egun batean sartzendiren gaiso guztiak jaso ahal izateko probabilitatea gutxienez 0.90ekoaizan dadin?

XII Telefonista batek gehienera 4 dei jaso ditzake minutuko. Batezbestez 3dei jasotzen du minutuko Poisson-en legearen arabera. Minutu batean,gutxienez dei bat erantzun gabe geratzeko probabilitatea eman ezazu.

XIII Banketxe bateko zerbitzu bat erabiltzen duen lagun kopurua orduko batezbestez20 da. Lagunen etorreren artean independentzia badago, zenbatekoa dalehenengo bezeroa etorri zenetik hamargarren bezeroa etorri bitartean 20minutu baino gehiago izateko probabilitatea? Zerbitzua betetzeko ordu

21


erdia behar bada, zenbat langile izan behar dira libre bezeroek itxaronbehar ez izateko probabilitatea 0,9 baino handiagoa izan dadin?

XIV Denda batera batezbestez 2.2 bezero sartzen da orduko zoriz larunbatee-tako goizeetan. Sartzen dena eroslea izateko probabilitatea 0.4 dela usteda. Zenbatekoa da ordubetean 2 lagun sartu eta biak erosleak izatekoprobabilitatea? Eta ordubetean 0 erosle izateko probabilitatea? 10 bezerosartzen badira ordubetean, zenbatekoa da gutxienez 6 erosle izateko prob-abilitatea?

XV Piriniotan batezbestez 4 gradu baino gehiago duten 0.08 lurrikara izatenda urteko. Zenbat urtez ziurtatu daiteke ez dela lurrikararik izango 0.9ekoprobabilitateaz? Eta 0.99ko probabilitateaz?

XVI Sifilisak jota izateko probabilitatea 0,02 bada, zenbatekoa da 800 lagunekotalde batean sifilisak jota 5 lagun baino gutxiago izateko probabilitatearekin?

XVII Joko batean irabazle izateko probabilitatea 0.002 bada. 1200 aldiz jokatuta,zenbatekoa da 4 aldiz edo gehiago irabazteko probabilitatea? Zenbataldiz jokatu behar dut gutxienez behin irabazteko probabilitatea 0.99 izandadin? Eta 0.9999 izan dadin?

XVIII Denda bateko kaxa ireki baino 2 minutu lehenago ilaran 4 lagun daudelaikusi du dendariak. Bezero batek kaxan ematen duen denbora finkoa da:3 minutukoa. Zenbatekoa da 5. bezeroak itxaron behar izateko probabil-itatea?

XIX Batezbestez 10 lagun suizidatzen dira astean hiri batean. Suizidatzenden lagun kopuruak Poisson-en legeari darraiola uste da. Kantari os-petsu bat suizidatu eta hurrengo astean 16 lagun suizidatu ziren. Kasual-idadearen emaitza da edota kantariaren suizidioaren ondorioz izan zirelaesan daiteke? Adierazgarritasun maila: %10

XX 1000 lagunetatik 5 izaten dira daltonikoak. Eskualde batean 2500 lagunbizi dira eta 15 daltoniko daude. Eskualdean daltonismoa sortaraztenduen faktoreren bat dagoela esan daiteke edo kasualidadearen emaitzada? Adierazgarritasun maila: %1

XXI Asteko 10 heriotza izaten istripuz Gipuzkoako errepideetan. Segurat-sunaren aldeko kanapaina bat burutu eta hurrengo hilabetean 30 heritozaizan da. Kanpaina arrakastatsua suertatu al da? α = 0.05

XXII 400 pertsonetatik bat izaten da 100 urtetik gorakoa. 1000 laguneko herribatean 100 urtetik gorakoak 10 dira. Kasualidadearen emaitza da edoherriko jendea berezia da? Adierazgarritasun maila: %5

XXIII Azken urtebetean asteburuetan 5 istripu larri izaten dira. Alkoholarenaurkako kontrolak ezarri eta 2 astetara 6 istripu gertatu da. Kontrolekistripu kopurua murriztu dutela esan daiteke? Adierazgarritasun maila:%10

22


XXIV Aste batean 1.000.000 lagunek jokatu dute kinielan. Zenbatekoa da 15ekoasmatzaile 2 izateko probabilitatea?

XXV Aseguru enpresa batek bizitza aseguruak egiten ditu. 2000 bezero ditu.Urte batean bezero bat hiltzeko probabilitatea milako 3 da. Hildakobakoitzeko 1.000.000 pezeta eman behar bazaio familiari. Zenbateko er-reserba eduki behar da urte hasieran enpresak aseguruak ordaindu ahalizateko probabilitatea 0,99 izan dadin? Zenbateko erreserba eduki beharda hilabete guztien hasieran urtean zehar aseguruak ordaindu ahal izatekoprobabilitatea 0,99 izan dadin?

XXVI Makina batean matxura bat dagoenean 20 minutuz geldirik izan behar da.Matxura kopurua Poisson-en legearen araberakoa bada, orduko batezbestekoa0.4 matxurakoa izanik, zenbatekoa da 6 orduetan zehar 5 matxura ger-tatzeko probabilitatea?

XXVII Loto joku batean apostu bakoitzean 50 zenbakietatik 6 zenbaki aukeratubehar dira. Sari nagusia zozketako 6 zenbakiak asmatzen direnean ger-tatzen da. Hurrengo lotorako 1000 milioi pezetako saria dago 6 zenbakienasmatzaileen artean banatzeko. Zenbat ordainduko zenuke 6 zenbakietatikaldez aurretik 2 ezagutzearen truke, 20.000.000 apostu izatea espero bada?

XXVIII X eta Y futbol taldeek partidu bat jokatu behar dute. X taldeak egingoduen gol kopuruak Poissonen legeari darraio eta batezbestekoa 0.5 golekoada. Y taldearen gol kopuruak ere Poissonen legeari darraio eta batezbestez1.5 gol sartuko ditu. Bi taldeen gol kopuruak independenteak badira, zeinemaitzaren alde egingo zenuke apostu?

XXIX Argazki denda batek goizeko 10etan zabaltzen ditu bere ateak. Karreteakerrebelatzen dituen makina 10.15etan hasten da funtzionatzen (aurretikberotu egin behar baita). Karrete bat errebelatzeko ematen duen denborafinkoa da: 10 minutu.Argazki dendak argazkiak ordubetean errebelatzendituela ezarrita du eskaparatean. 10 minutuko 4 bezero etortzen badabatezbestez Poisson-en prozesu baten arabera, zenbatekoa da denda irekieta lehenengo ordulaurdena baino lehen etortzen diren bezeroek ordu-betera etorri eta argazkiak errebelatuta izateko probabilitatea?

XXX Tren geltoki batean lehiatila bakarra dago. Lehiatiletako langileek min-utu bat ematen dute bezero bati txartela emateko. Bezeroak Poisson-enprozesu baten arabera etortzen direla esan daiteke: minutuko 5 etortzendira. Lehiatila irekitzean 3 lagun zeuden zai. Zenbatekoa lehiatilak irekieta 2 minututara ilaran 4 lagun baino gehiago izateko probabilitatea?(Tiketa hartzen duen laguna ilaran dagoela pentsatu behar da)

XXXI Tren geltoki batean lehiatila bakarra dago. Lehiatiletako langileek min-utu bat ematen dute bezero bati txartela emateko. Bezeroak Poisson-enprozesu baten arabera etortzen direla esan daiteke: minutuko 5 etortzendira. Lehiatila irekitzean ez zegoen inor zai. Zenbatekoa lehiatilak ireki eta

23


2 minututara ilaran 4 lagun baino gehiago izateko probabilitatea? (Tiketahartzen duen laguna ilaran dagoela pentsatu behar da)

XXXII Tren geltoki batean lehiatila bakarra dago. Lehiatiletako langileek min-utu bat ematen dute bezero bati txartela emateko. Bezeroak Poisson-enprozesu baten arabera etortzen direla esan daiteke: minutuko 5 etortzendira. Lehiatila irekitzean lagun bat zegoen zai. Zenbatekoa lehiatilakireki eta 3 minututara ilaran 4 lagun baino gehiago izateko probabilitatea?(Tiketa hartzen duen laguna ilaran dagoela pentsatu behar da)

XXXIII Peaje batera 4 ibilgailu heltzen da batezbestez minutuko Poisson-en prozesubaten arabera. Zenbatekoa da lehendabiziko 2 minututan 3 baino gutx-iago eta lehendabiziko 5 minututan 5 ibilgailu heltzeko probabilitatea?Zenbatekoa da lehendabiziko ibilgailua heldu denetik bigarrena heldu arte2 minutu baino gutxiago eta lehenengotik laugarrenera 5 minutu bainogutxiago izateko probabilitatea? Eta lehenengotik bigarrenera 2 minutubaino gutxiago eta lehenengotik laugarrenera 5 minutu baino gehiago iza-teko probabilitatea?

24


7 Banakuntza esponentziala

Demagun bezeroak kaxa batera heltzen direla Poisson-en prozesu baten arabera:tasa jakin batez eta erabat zoriz. Aldi jakin bateko bezero kopurua Poisson-en banakuntzaren arabera banatzen dela ikasi dugu. Baina, bezero kopuruazorizkoa den bezala, ondoz ondoko bezeroen artean igarotzen den denbora erezorizkoa izango da. Ondoz ondoko bezeroen arteko denbora banakuntza espo-nentzialaren araberakoa dela esango dugu.

7.1 Dedukzioa

Demagun bezero kopurua Poisson-en banakuntzaren araberakoa dela, minutukoλ tasa jakin batez.

Ondoz ondoko bi bezeroetatik lehenengoa etorri den momentuan gaude. Bi-garrena etorri arteko D denbora d minutu baino luzeagoa izateko, lehenengoaetorri den une honetatik eta d minutuko epe batean zehar, ez da inoretorri behar. d minutuko epeari dagokion parametroa Poisson-en banakuntzanλ× d izango da, minutuko parametroa lambda baita. Beraz, eskatutako proba-bilitatea honela azaltzen dugu:

P [D > d] = P [d minututan 0 bezero] =e−λdλd0

0!= e−λd

Banaketa funtzioa osagarritasuna erabiliz deduzitzen da:

FD(d) = 1− P [D > d] = 1− e−λd ; d ≥ 0

Eta trinkotasun funtzioa deribatuz izango dugu:

fD(d) = λe−λd ; d > 0

Banakuntza esponentziala da eta labur honela idatziko dugu: X ∼ Exp(λ).

Triknotasun funtzioa grafikoki azaltzen bada, esponentzialki beheraka egitenduen kurba bat ikusiko dugu, 0tik abiatuz eta infinituraino.

25


7.2 Probabilitateen kalkulua

Adibide batez azalduko dugu. Makina bateko matxura kopurua Poisson-enbanakuntzaren arabera banatzen da, orduko batezbestekoa 2 izanik. Zenbatekoamatxura batetik bestera 3 ordu baino gutxiago igarotzeko probabilitatea?

P [D < 3] = FD(d = 3) = 1− e−2×3 = 0.9975

Hau oso garbi eduki behar da: λ parametroa orduko bada, d denbora ordutanezarri behar da. λ minutuko ezartzen badugu (λ = 2

60 ), denbora minututanezarri beharko da. Orduan:

P [D < 3 ordu] = P [D < 180 minutu] = FD(d = 180) = 1− e−260×3 = 0.9975

Emaitza berdina da noski.

7.3 Banakuntzaren ezaugarriak

Itxaropena eta bariantza hauek dira:

µ =1λ

; σ2 =1λ2

Adibidez, aurreko ataleko adibidean, matxuren arteko denboraren batezbestekoaµ = 1

2 = 0.5 ordukoa izango da. Bariantza hau izango da: σ2 = 122 =

0.25 ordu2.

7.4 Ahanztura propietatea

Adibide batez azalduko dugu. Matxura kopurua orduko 2ko batezbestekoazgertatzen da, erabat zoriz. Zenbatekoa matxura bat izan eta hurrengo matxuraarte gutxienez ordubete igarotzeko probabilitatea?

Aurreko atalean azaldu dugun bezala:

P [D > 1] = 1− FD(d = 1) = e−2×1 = 0.1353

Demagun lehenengo matxura gertatu denetik 3 ordu pasa direla. Zenbatekoada hurrengo matxura arte gutxienez ordubete gehiago izateko probabilitatea?

26


3 ordu pasa dira azken matxura gertatu zenetik, bien arteko denbora gutx-ienez 3 ordukoa izango dela dakigu. Beraz, eskatutako probabilitatea hau da:

P [D > (3 + 1)/D > 3] =P [D > 4] ∩ P [D > 3]

P [D > 3]

=P [D > 4]P [D > 3]

=e−2×4

e−2×3= e−2×1

= 0.1353

Ikusten denez, hurrengo matxura gertatu arteko denboraren probabilitateaez dago azken matxuratik pasa den denboraren menpe: azken matxuratik 1, 2,... ordu pasata, hurrengo matxura arte hanibat denbora pasatzeko probabili-tatea konstantea izango da. Horregatik esan ohi da banakuntza esponentzialakez duela oroimenik, ahanztura propietatea duela, azken matxuratik pasa dendenborarekin independentea baita.

Beraz, banakuntza esponentziala Poisson-en prozesu bateko bi gertakizunenarteko denbora baino harago, hurrengo gertakizuna gertatu arteko denborarenbanakuntza dela esan daiteke.

7.5 Banakuntzaren esponentzialaren erabilera

Poisson-en prozesu batean hurrengo gertakizuna izan arteko denboraren ba-nakuntza dela ikasi dugu. Baina, bestelako aplikazioak ere baditu banakuntzaesponentzialak: makina, pieza eta osagaien bizi iraupena erabilgarrirako ereerabiltzen da.

Bizi iraupena erabilgarrirako aplikazioa ordea mugatua da. Ahanztura propi-etateak aplikazio honetan makina, pieza edo osagaia denbora igaro ahala xahutzenez dela esan nahi du.

Adibide bat eman dezagun. Bizi iraupenerako banakuntza esponentziala er-abiltzen badugu, ahanztura propietatea dela eta, pieza batek gutxienez 3 urtezirauteko probabilitatea eta 4 urte pasata gutxienez beste 3 urtez irauteko prob-abilitatea berdinak dira, eta hau erreala izango da bakarrik pieza desgasterikjasaten ez badu denboran zehar. Makina, pieza eta osagai gehienetan ez dahorrela gertatzen, baina bai izaten dela horrela osagai elektroniko batzuetan.

Biz iraupen erabilgarrirako beste banakuntza orokorrago bat, desgastea barn-eratzen duena, asmatu behar da beraz. Eta Erlang-en banakuntza da horietakobat.

27


7.6 Ariketak: banakuntza esponentziala

I Telefonista batek 2 dei jasotzen ditu minutuko Poisson-en legearen arabera.Zenbatekoa da dei batetik bestera 4 minutu baino gehiago izateko prob-abilitatea? Eta hurrengo deia izan arte 4 minutu baino gehiago izatekoprobabilitatea? Zenbatekoa da minutu batean 0 dei izateko probabili-tatea? Eta 3 dei izatekoa? Hurrengo deia izan arte, zenbat denborapasatzen da batesbestez?

II Telefonista batek deiak jasotzen ditu zoriz. Batezbestez deiak 40 segun-duro jasotzen ditu. Zenbatekoa da dei batetik bestera 4 minutu bainogehiago izateko probabilitatea?

III Peaje batera batezbestez 4 ibilgailu heltzen da minutuko batezbestez etazoriz. Zenbatekoa da minutu batean ibilgailurik ez etortzeko probabil-itatea? Banakuntza esponentziala zein Poisson-en banakuntza erabilizegin ezazu. Zenbatekoa da 10 minututan 2 ibilgailu edo gutxiago izatekoprobabilitatea?

IV Anbulantzia baten presentzia eskatzen duen istripu batetik bestera pasatzenden denbora esponentzialki banatzen da, batezbestekoa 25 minutukoaizanik. Zenbatekoa da 2 orduetan zehar anbulantziarik behar ez izatekoprobabilitatea? Zenbatekoa da ordubetean 5 istripu gertatzeko proba-bilitatea? Azken istriputik 4 ordu pasa badira, zenbatekoa da hurrengoistripua gertatu arte ordubete baino gutxiago pasatzeko probabilitatea?

V Saltzaile batek hurrengo bezeroa etorri arteko denbora esponentzialki ba-natzen dela pentsatzen du. Denbora hau batezbestez 10 minutukoa delauste du. Saltzaileak 15 minuturako atera behar du eta denda itxi egiten du.Zenbatekoa da bezeroren batek denda itxita aurkitzeko probabilitatea?

VI Denda bateko kaxa batean 6 lagun daude ilaran. Ordainketa denborafinkoa da: minutu bat. 10 minutuko 4 bezero etortzen da batezbestezeta zoriz. Zenbatekoa da 7. bezeroak itxaron behar izateko probabili-tatea? Zenbatekoa da 7. bezeroak gutxienez 4 minutuz itxaron beharizateko probabilitatea? Zenbatekoa da 7. bezeroak 8 minutuz gutxienezitxaroteko probabilitatea?

VII Haginlari batek orduko hartzen duen lagun kopurua Poisson-en legearenarabera banatzen da: batezbestez orduko 3 lagun hartzen dituela zen-batetsi da. Agendan haginlariak ordu erdi hartzen du lagun bakoitzeko.Zenbatekoa da eguneko bigarren bezeroak itxaron behar izateko probabil-itatea? Eta 3. bezeroak itxaron behar izatekoa?

VIII Makina baten bizi iraupen erabilgarria esponentzialki banatzen da batezbestekoa2 urte izanik. 10 makina erosten badira, horietatik 5 berriak eta beste5ak urtebeteko bizitza dutenak direla, zenbatekoa da 4 urtera gutxienez 8funtzionatzen izateko probabilitatea?

28


IX makina baten bizi iraupena batezbestez 10 urtekoa dela ziurtatu digusaltzaile batek, iraupena banakuntza esponentzialari darraiola. zenbatekoiraupena ziurta dezake saltzaileak 0.9ko probabilitateaz? Eta 0.99ko prob-abilitateaz? Makina erosi eta 6 hilabetez iraun du funtzionatzen. Saltza-ileak ziurtatutako zalantzan jartzeko arrazoirik ba al da? α = 0.1

29


8 Banakuntza uniformea

Honela banatzen den banakuntza da:

fX(x) =1

b− a; a < x < b

Grafikoki adierazten baduzu, gerta daitezkeen balioen tarte osoan zeharprobabilitate berdintasuna ezartzen duen eredua dela ikusiko duzu.

Labur honela idatziko dugu bi parametro dituen banakuntza hau:

X ∼ U(a, b)

8.1 Ezaugarriak

Erraz froga daiteke itxaropena eta bariantza hauek direla:

µ =a + b

2; σ2 =

(b− a)2

12

8.2 Banakuntza uniforme diskretua

Zorizko aldagai batek a, a+1, a+2, . . . , a+n balioak hartu ahal baditu probabil-itate berdinez, banakuntza uniforme diskretuaren arabera banatzen dela esatenda. Probabilitate funtzioa hau izango da:

P [X = x] =1

n + 1

8.3 Erabilera

Probabilitate berdintasun edo uniformetasuna dela eta, bereziki erabiltzen dazorizko aldagai bati buruz erabateko zirugabetasuna dugunean. Adibidez, mak-ina baten gehienezko iraupena 10 urtekoa dela besterik ez badakit, bestelakoinformaziorik gabe, iraupenerako U(0, 10 urte) eredua uakeratuko nuke.

8.4 Ariketak: banakuntza uniformea

I X zorizko aldagai bat U(a, b) ereduaren arabera banatzen da. Aurki ezazuprobabilitate hau: P (X < a + d).

30


II Denda bateko eguneko salmentak 100 eurotik 200 eurotara bitartekoakizango direla besterik ez dakigu. Zenbatekoa izango da salmentak [150, 160]tartean izateko probabilitatea

III Kotxez lantokira heltzeko denbora uniformeki banatzen da 80 minututik120 minutura. Goizeko zortziretan hasten da lan eguna, zein ordutanabiatu behar naiz garaiz heltzeko probabilitatea 0.85 izan dadin? Eta0.95 izan dadin?

31

Probabilitate ereduak (I) - UPV/EHU · Teoria afecta a las observaciones, pero sin duda llega un...

Documents

Transcript of Probabilitate ereduak (I) - UPV/EHU · Teoria afecta a las observaciones, pero sin duda llega un...