Problem as Mecanic A

Problemas y ejercicios de Mecanica Clasica

Propuestos por los profesores de la asignatura

Escuela de Ingenierıa Aeronautica y del Espacio

Universidad Politecnica de Madrid

3 de septiembre de 2012

II

EIAE. Problemas de Mecanica Clasica

Indice general

1. Cinematica del Solido: Actitud 1

2. Cinematica del solido: Campo de velocidades 3

3. Composicion de movimientos 73.1. Composicion de movimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 73.2. Movimiento plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18

4. Ecuaciones generales 21

5. Estatica 23

6. Movimiento rectil ıneo 316.1. CasoF(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.2. CasoF(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.3. Oscilador armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 32

7. Movimiento del punto libre 357.1. Partıcula libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 357.2. Movimientos centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 377.3. Dinamica orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 39

8. Punto sometido a ligaduras 438.1. Punto sobre superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 438.2. Punto sobre curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46

9. Dinamica relativa 49

10. Examenes: Dinamica del Punto 5310.1. Examenes recientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 5310.2. Examenes mas antiguos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 59

11. Dinamica del solido 6311.1. Geometrıa de Masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 6311.2. Cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6511.3. Dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6711.4. Examenes recientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 72

III

IV INDICE GENERAL


Capıtulo 1

Cinematica del Solido: Actitud

Ejercicio 1.1: SeanOx2y2z2 los ejes ligados a un solido. En el instante inicial coinciden conlos fijosOx1y1z1. Se gira el solidoπ

4 alrededor de su ejeOz2, y luego otra vezπ4 alrededor deOx2.

Obtener la matriz de giro proyectando directamente los vectores unitarios.

Obtenerla mediante la composicion de los dos giros.

Comprobar que es ortogonal, multiplicandola por su transpuesta.

Ejercicio 1.2: SeanOx2y2z2 los ejes ligados a un solido. En el instante inicial coinciden conlos fijosOx1y1z1.

Se gira el solido 90o alrededor de su ejeOx2 y a continuacion otros 90o alrededor de suejeOy2, en la nueva posicion. Obtener la posicion de los vectoresunitarios del solido.

Con el solido en la posicion original, se dan los mismos giros pero en orden inverso:primero alrededor deOy2 y luego deOx2. Obtener la matriz de giro, y comprobar que nocoincide con la anterior.

Ejercicio 1.3: Una placa rectangularS2 puede mo-verse sobre un plano fijoS1 manteniendo un ladoen contacto con el plano. Como coordenadas se to-maran el anguloϕ que forma ese lado con el ejeO1x1, y el θ que forma el plano de la placa con elplano fijoO1x1y1.Calcular el tensor de giro de los ejesOx2y2z2 ligadosa la placa (ver figura) en funcion deϕ y θ .

x1

y1

z1

ϕ

O1

x0 ≡ x2

y0

z0

θ

y2z2

O

Ejercicio 1.4: Una placa planaS2, a la que se fijaun sistema de referenciaOx2y2z2, esta siempre apo-yada en un plano movilO1x0y0. Este plano puede gi-rar respecto a unos ejes fijos alrededor el eje comunO1y1. Se tomaran como coordenadas el anguloφ en-treO1x1 y O1x0, el anguloθ entreOx2 y O1x0, y lascoordenadas(ξ ,η,0) deO en ejesS0.

Obtener la matriz de giro de los ejesS2 ligadosa la placa respecto a los ejes fijos.

SeaM un punto arbitrario de la placa, de coor-denadas(a,b,0) en ejesS2. Obtener sus coor-denadas en ejes fijos.

x1

y1 ≡ y0

z1

φ

O1

x0

z0

η

ξ

O

x2

y2

z2

θ

1

2 CAPITULO 1. CINEMATICA DEL SOLIDO: ACTITUD

Ejercicio 1.5: El detector de estrellas (star tracker) es un ins-trumento para determinar la actitud de un satelite. Identificaestrellas de direccion conocida en ejes fijos (catalogo deestre-llas), y determina su direccion en ejes solido.Un detector ha identificado dos estrellasA y B, de direccionθ1, φ1 y θ2, φ2 en ejes solidoS2. Esas estrellas tienen direc-cionesθ ′

1, φ ′1 y θ ′

2, φ ′2 en ejes fijosS1. θ y φ son coordenadas

esfericas (longitud y latitud o, en astronomıa, ascensi´on rectay declinacion).

Plantear un sistema de ecuaciones del que se pueda ob-tener la matriz de giro del satelite.

Razonar si las condiciones son suficientes o redundan-tes. ¿Bastarıa con detectar una estrella?

x1

y1

z1

O1

⋆A

φ

θ

Ejercicio 1.6: Desde un avionA (sistema asociadoS2) se detecta otroB, y se quiere transmitirsu posicion a un terceroC (sistema asociadoS3). Por sus sistemas de navegacion y control deactitud, cada avion conoce su vector posicion y su matriz de giro respecto a unos ejes fijosS1.

A conoce el vector posicionABen sus propios ejesS2. ¿Que operaciones tiene que realizarpara transmitirle aC el vectorO1B en ejes fijos?

Con lo que recibe deA, ¿Que operaciones tiene que realizarC para conocerCB en suspropios ejesS3?

Ejercicio 1.7: Seak0 el vector unitario segunOzde unos ejes ligados a un solido. Se conocensus componentes en ejes fijosS1, [a,b,c]⊤. Determinar el angulo de nutacionθ del solido.

Ejercicio 1.8: Seak0 el vector unitario segunOzde unos ejes ligados a un solido. Se conocensus componentes en ejes fijosS1, [a,b,c]⊤. Determinar el angulo de precesionψ del solido.

Ejercicio 1.9: Se conocen los versoresi0 y k0 de un solido me-diante sus componentes en ejes fijos,[a,b,c]⊤ y [d,e, f ]⊤. Usandolos angulos clasicos de Euler, razonar un algoritmo que, medianteproductos vectoriales y escalares, permita obtener, en este orden:

El angulo de nutacionθ

El eje de nodos

El angulo de precesionψ

El angulo de rotacion propiaφ

x1

z1

x0

y0

z0 ≡ z3

φ

θ

E. N.

ψ

Ejercicio 1.10: En el ejercicio anterior, razonar como se puede modificar elalgoritmo —cuando sea necesario— para asignar sin ambiguedades el cuadrante de cada angulo.

Ejercicio 1.11: De un avion se conoce el versor segun el eje longitudinal,i0, mediante suscomponentes en ejes fijosS1, [a,b,c]⊤. Determinar el angulo de asientoθ (pitch) del avion. Seusan los angulos de Tait-Bryan.


Capıtulo 2

Cinematica del solido: Campo develocidades

Ejercicio 2.1: Un solido se mueve respecto a un sistema de referenciaOxyz. En un instantedado, la velocidad de puntoA de coordenadas(a,0,0) esv0 j , la deB(0,a,0) esv0(j +k), y ladeC(0,0,a) esv0(i + j +k). Hallar,en ese instante,la velocidad de mınimo deslizamiento, eleje instantaneo de rotacion y la velocidad angular.

Ejercicio 2.2: En un instante dado, los puntosA(a,0,0), B(0,a,0) y C(0,0,a) tienen, respec-tivamente, las velocidades~vA = (vx,aω,−aω),~vB = (0,aω,vz) y~vC = (aω,aω,0). Determinarvx y vz para que los tres puntos puedan pertenecer a un solido. En este caso, determinar suvelocidad angular y eje instantaneo de rotacion en ese momento.

Ejercicio 2.3: Un solido 0 se mueve de modo que:

~i0 = ω~j0−ω~k0 ~j0 =−ω~i0+ω~k0 ~k0 = ω~i0−ω~j0

Calcular el vector velocidad angular, proyectado en ejes s´olido.

Ejercicio 2.4: La varillaABse encuentra unida por jun-tas de rotula a los collaresA y B que se desplazan a lolargo de las dos varillas que se indican en la figura. Sa-biendo que el collarA se mueve hacia el origen de coor-denadas con una velocidad constante de 25 cm/s, calcularla velocidad de collarB y su aceleracion.

Ejercicio 2.5: En la figura se muestra un cubo cuyas aristas tienen de longitudL. En la posicionrepresentada en la figura se conocen las velocidades lineales de sus verticesA, B y C, siendo:

vA =−vi −vj +vk

vB =−vi +2vk

vC = 2vk

Determinar en ese instante:

1. Velocidad angular

2. Ecuacion vectorial del E.I.R.M.D.

3

4 CAPITULO 2. CINEMATICA DEL SOLIDO: CAMPO DE VELOCIDADES

Problema 2.1: En un instante un helicopte-ro avanza horizontalmente con una velocidadconstanteV. El eje rotor del helicoptero esta in-clinado un anguloθ sobre la vertical hacia ade-lante y contenido en el planoOYZ. La velocidadangular del rotor esω constante.Hallar en eseinstante:

1. Los elementos del movimiento helicoidal tangente del rotor.

2. Definir las axoides del rotor.

3. Particularizar los resultados anteriores para los valores:V = 300 KM/h,θ = 30o, ω = 100r.p.m.

Problema 2.2: Un cilindro de radioR rueda, pivota y desliza so-bre un cono vertical, fijo, de radioR y semiangulo en el vertice30o. El movimiento es tal que en todo momento se mantienen encontacto las generatrices de ambos solidos. La base inferior del ci-lindro rueda y pivota sin deslizar sobre la del cono. El planoquecontiene a los dos ejes y la generatriz de contacto gira alrededordel eje del cono con velocidad angular constanteω.

1. Hallar los parametros del movimiento helicoidal tangente del cilindro: E.I.R.M.D., velo-cidad de mınimo deslizamiento y velocidad angular.

2. Hallar las axoides del movimiento del cilindro.

3. Hallar la aceleracion angular del cilindro.

Problema 2.3: Un solidoSse mueve de tal forma que dos de sus puntosA y B, separados poruna distanciaa, recorren respectivamente los ejesOxy Oyde un sistema de referencia ortogonalfijo Oxyz. Ademas un planoπ deSque pasa porAB ha de pasar en todo momento por el puntoC(0,0,a/2) del ejeOz. Se pide:

1. Hallar el eje instantaneo de rotacion y deslizamiento en el instante inicial, cuandoAesta en(a,0,0) y B en (0,0,0).

2. Obtener la velocidad angular y la posicion del E.I.R. en funcion del anguloθ que formanAB y Oxy sus derivadas.

Los ejes ligados al solido se tomaran de modo que en el instante inicial coincidan con los fijos.

Problema 2.4: El sistema de referenciaOxyz(solido 0)se mueve respecto al sistemaO1x1y1z1 (solido 1) de modoque en todo instante: i) el puntoO esta en el ejeO1y1;ii) el eje Ox pasa por el punto fijoA del sistema 1 decoordenadasx1 = a, y1 = z1 = 0; iii) el angulo entre elejeOyy el planoO1x1y1 es igual an angulo entre los ejesO1x1 y Ox. Llamemosθ a este ultimo angulo tal comoaparece en la figura. Se pide: i) Determinar en funcion deθ y θ los vectores~vO

01 y ω01, ii) Determinar las axoidesdel movimiento 0/1.EIAE. Problemas de Mecanica Clasica

5

Problema 2.5: La figura representa esquematicamenteuna junta Cardan para transmitir una rotacion de un arbole1 a otroe2 que forma un anguloα con el y con el quees concurrente. Determinar el coeficiente de transmisionω/Ω en funcion deα y el anguloϕ que forma el brazoAB de la cruz Cardan con una lınea de referencia fijazz′

perpendicular a los ejese1 y e2.

Problema 2.6: Un discoD de radioa se mueve respecto a un sistema de referenciaO1x1y1z1permaneciendo tangente en todo momento a los planosO1x1y1 y O1x1z1. La velocidad de rota-cion del disco tiene componentes iguales segun el ejeO1x1 y la normal al plano que lo contiene.

La velocidad del punto que esta en contacto conO1x1y1 no tiene componente segunO1x1.Hallar las axoides de este movimiento.

Problema 2.7: Un cono circular recto, cuya base tieneun radioR, y cuya altura esh, se mueve con relacion a unsistema de referencia permaneciendo siempre tangente aun planoπ del mismo.El movimiento del cono viene definido en cada instantepor su velocidad de rodadura~ω y la velocidad de desliza-miento correspondiente a la partıculaM que es~vD, ya quese considera nula la velocidad de pivotamiento del mismo(~vD es perpendicular a~ω).

Se pide calcular:

1. a) Velocidades del verticeP y del centroQ de la base del cono.

b) Posicion del eje instantaneo de rotacion del movimiento

2. En el supuesto de que tanto~ω como~vD tengan modulo constante al variar el tiempo.

a) Axoides de este movimiento.

b) Valor de la aceleracion angular de este movimiento.

c) Aceleracion del verticeP y centroQ de la base del cono.

d) Puntos de aceleracion nula.

3. Suponiendo que|~ω|= a · t y |~vD|= b · t repetir los calculos del apartado 2).

NOTA: se entiende aquı por “velocidad de deslizamiento” nola velocidad de mınimo desli-zamiento del solido, sino la de un punto del cono en contactocon el plano, respecto al mismoplano. Velocidad de pivotamiento es la componente de la velocidad angular normal al plano decontacto.

Problema 2.8: Un discoD de radioa rueda y pivota sindeslizar sobre el planoO1x1y1 de un sistema de referenciaortogonal, manteniendose constantemente perpendiculara dicho plano.SeaC la curva del planoO1x1y1 descrita por el punto decontacto yϕ el angulo que la tangente a la misma formaconO1x1. Definamos el sistema de ejes movilesOxyzin-dicado en la figura y tales que el ejeOyes el eje del disco,Ozes paralelo aO1z1 y el triedroOxyzsea a derechas.

Finalmente, llamemosp,q, r a las componentes en los ejesOxyzde la velocidad de rotaciondel disco respecto a triedro de referenciaO1x1y1z1.


6 CAPITULO 2. CINEMATICA DEL SOLIDO: CAMPO DE VELOCIDADES

El movimiento se realiza de tal manera que en todo momento se verifica la relacion

q= 4r cosϕ (2.1)

Si tomamos el origen de arcosC en el puntoO1 en el que ademas se supone queϕ = 0, se pide:

1. Obtener a partir de (2.1) la ecuacion intrınsecas= s(ϕ) de la curvaC.

2. Obtener las ecuaciones parametricasx1 = x1(ϕ), y1 = y1(ϕ) de la curvaC. Dibujarla eidentificarla.En todo lo que sigue se supondra quer = ω =constante.

3. Velocidad de rotacion~Ω del disco.

4. Eje instantaneo.

5. Axoides del movimiento.

6. Valor ded~Ω/dt.

7. Aceleracion del punto del disco que esta en contacto conO1x1y1.

Problema 2.9: Se tiene una escuadra formada por dos varillasDM y DN unidas enD formandoangulo recto. El verticeD de la escuadra recorre con velocidad constanteaω/

√2 una circunfe-

rencia de radioa/√

2, contenida en el plano fijoOx1y1, y de centro el el punto de coordenadas(a/

√2,0,0). La varilla DM desliza por el punto fijoA(0,0,−a

√2) y la DN por B(a

√2,0,0).

En el instante inicialD pasa por el origenO. Del movimiento de la escuadra respecto a los ejesfijos se pide, en funcion del tiempo:

1. Velocidad de los puntos que en cada momento estan pasandoporA y B.

2. Velocidad angular

3. Aceleracion angular

4. Axoide fija

5. Aceleracion de los puntos que estan pasando porA y B


Capıtulo 3

Composicion de movimientos

3.1. Composicion de movimientos

Ademas de los problemas y ejercicios de este capıtulo, es conveniente resolver los del an-terior con las tecnicas de composicion de movimientos, y comparar las ventajas de uno u otrocamino.

Ejercicio 3.1.1: Un disco de radior (solido 2) rueda sin deslizar por el interior de una circun-ferencia fija de radio 2r y centroO (Solido 1). El ejeOx0 del sistema intermedio 0 contiene entodo momento al centro del discoC. En un instante generico, se pide:

Velocidades angulares relativa y absoluta.

Aceleracion del punto de contactoI por composi-cion de movimientos.

Aceleracion deI mediante el campo de aceleracio-nes del solido 2.

Razonar los pasos que habrıa que dar para calcularla aceleracion deI derivando su vector posicion.

Se trabajara en ejes 0, dejando los resultados en funcionde las derivadas del anguloθ que formanOx1 y Ox0.

C

I

x1

x0

O

θ

Ejercicio 3.1.2: SeaS1 un sistema de referencia con origen en el Sol y direcciones fijas en elespacio; el ejeSz1 es normal a la orbita de la Tierra. SeaS0 un sistema con origen en el Sol, ejeSz0 ≡ Sz1, y el ejeSx0 pasa siempre por el centro de la Tierra. Finalmente, seaS2 un sistema dereferencia unido a la Tierra, con origen en su centro. Se llama dıa solar al periodo de rotacion dela Tierra respecto al radio vector desde el SolSx0. Se llama dıa sidereo a su periodo de rotacionrespecto a los ejes de direcciones fijas.

Se supondra, para simplificar, que el eje de ro-tacion absoluta de la Tierraω21 (Eje de polos)es paralelo aSz1. Se supondra tambien que laorbita de la Tierra es circular y se recorre convelocidad uniforme. Inicialmente coincidenS1

y S0. Sabiendo que el periodo de la orbita (ano)vale aproximadamente 365,25 dıas y que el dıasolar dura 24 horas, calcular la duracion del dıasidereo. x1

y1

z1 ≡ z0

x0

y0

ω21

7

8 CAPITULO 3. COMPOSICION DE MOVIMIENTOS

Ejercicio 3.1.3: Se repetira el ejercicio ante-rior, pero teniendo en cuenta la inclinacion deleje polar: la direccion de la velocidad angularabsoluta de la Tierraω21 es paralela al planoSx1z1 y forma un anguloθ = 23,45o conSz1, enla direccion negativa deSx1. Comparar la dura-cion del dıa sidereo con la calculada antes. (ElInternational Earth Rotation Service da un valor|ω21|= 0,000072921 rad/s). x1

y1

z1 ≡ z0

x0

y0

θ ω21

Ejercicio 3.1.4: Un discoS2 de radioR rueda y pivo-ta sin deslizar sobre un plano fijoOx1y1 manteniendosesiempre perpendicular a el. Sean(x,y) las coordenadasen ejesS1 de la proyeccion del centro del disco. Expre-sar en funcion de estas coordenadas, de los angulos deEuler y de sus derivadas la condicion cinematica de nodeslizamiento. x1

y1

z1

x0

y0

z0

ϕ

ϕ

ψ

ψ

I

C

Ejercicio 3.1.5: Un disco S2 de radioR rueda y pi-vota sin deslizar sobre un plano fijoOx1y1. Sean(x,y)las coordenadas en ejesS1 de la proyeccion del centrodel disco. Expresar en funcion de estas coordenadas, delos angulos de Euler y de sus derivadas la condicion ci-nematica de no deslizamiento. x1

y1

z1

x0

y0

z0

ϕ

ϕ

θ

θ

ψ

ψ

I

C

Ejercicio 3.1.6: Una esfera de radioR (solidoS2) rueda y pivota sin deslizar sobre un planofijo Ox1y1. Sean(x,y,R) las coordenadas de su centro en dichos ejes. Expresar la condicioncinematica de no deslizamiento en funcion de las coordenadas, de los angulos de Euler de laesfera, y de sus derivadas.

Ejercicio 3.1.7: En la pelıcula2001: Una odisea del espacio,se pre-senta un sistema para crear gravedad artificial en una astronave. Se tratade un cilindro girando alrededor de su eje, y los astronautasviven en lasuperficie interior. La fuerza centrıfuga proporciona unasensacion degravedad.

Suponiendo un radio de 10m, calcular la velocidad angular delcilindro en rpm para obtener una gravedad de 0,1g.

Sea un caso generico con un cilindro de radioRgirando con velo-cidad angularω. Un astronauta corre por la superficie interior delcilindro con velocidad constante en el mismo sentido de la rota-cion. Calcular la gravedad que experimenta (se puede despreciarla altura del astronauta frente al radio del cilindro.

Supongase ahora que corre en sentido opuesto a la rotacion. ¿Aque velocidad empezarıa a flotar?

Problema 3.1.1: La rueda de un ferrocarril de radior se mueve rodando sin deslizar sobre


3.1. COMPOSICION DE MOVIMIENTOS 9

un raıl que traza una circunferencia de radioR en el plano horizontal. El plano que define larueda es en todo momento tangente al raıl y perpendicular alplano horizontal. Supongamosque el centro geometricoO de la rueda se mueve con una velocidad de modulo constante (v0).Consideremos un sistema de referenciaS0 ligado al movimiento de la rueda: su origen esta en elcentro de la rueda, el ejeZ0 es perpendicular a su superficie,Y0 es vertical yX0 es perpendiculara los dos anteriores. Utilizar coordenadas cartesianas referidas a estos ejes para responder a lassiguientes preguntas:

1) Velocidad angular y aceleracion angular de la ruedarespecto al sistema de referenciaS0 y respecto aotro fijo en la vıa. (7 puntos)

2) Velocidad y aceleracion del punto mas alto de larueda respecto al sistema de referenciaS0 y respec-to al fijo en la vıa. (7 puntos)

3) Eje instantaneo de rotacion y mınimo deslizamien-to de la rueda, ası como su velocidad de mınimodeslizamiento. (6 puntos)

R

r

O

Z0X0

Problema 3.1.2: Un proyectil cilındrico gira con velocidad angular constanteΩ alrededor desu eje. A su vez, el centro geometricoO del cilindro describe, respecto a un sistema de referenciaabsolutoS1, una trayectoria plana que es tangente en todo momento al ejedel cilindro.Definimos un sistema de referenciaS0 asociado al movimiento delproyectil: esta centrado en el puntoO de forma que el ejeXO coin-cide con el eje de simetrıa del cilindro. El ejeYO esta en todo mo-mento contenido en el plano del movimiento del centro del cilin-dro, y es perpendicular a la trayectoria que describe el punto O.FinalmenteZO se define de forma que el sistema de ejes esta orien-tado positivamente (a derechas). Estudiaremos dos casos:

O

XO

YO

O1 X1

Y1

Ω

1) El puntoO describe una circunferencia de radioRcon velocidad de modulo constantev0.Expresar en el sistema de ejesSO:

a) Velocidad y aceleracion angular absolutas del proyectil (7/20).

b) Eje instantaneo de rotacion y mınimo deslizamiento. Velocidad de mınimo desliza-miento (6/20).

2) El puntoO describe la trayectoria correspondiente a un tiro parabolico de angulo 45

sobre la horizontal y velocidad inicialv0, sometido a un valor arbitrariog de la aceleracionde la gravedad. Expresar en el sistema de ejesSO:

c) Velocidad angular absoluta del proyectil en el punto mas alto de la trayectoria (7/20).

Problema 3.1.3: Un disco de radioR gira sobre el plano horizontal con velocidad angularconstanteΩ alrededor de un eje vertical que pasa por su centro. Lo ejes dibujados en la figurapertenecen a un sistema de referenciaS0 solidario al movimiento del disco. Sobre el disco haydos barras,AB y CD, con las siguientes propiedades:



Durante el movimiento del disco ambas barras permanecenen el planoY0Z0.

La barraAB tiene una longitud 2Ry su extremoA esta unidoal borde del disco.

La barraCD tiene una longitudR. Gira con velocidad angularconstante 2ω en el planoY0Z0 de forma que su extremoCpermanece fijo en el centro del disco y el extremoD deslizaa lo largo de la barraAB mediante una corredera.

Se pide calcular:

RA

B

C

D

X0

Y0

Z0

2ωθ

1) Velocidad angular de la barraAB relativa al sistema de referenciaS0 ligado al disco (4puntos).

2) Eje instantaneo de rotacion y mınimo deslizamiento de labarraAB respecto al sistema dereferencia absoluto. Hallar la velocidad de deslizamiento(4 puntos).

3) Velocidad y aceleracion del punto B relativas al sistemaS0. Velocidad y aceleracion ab-solutas del punto B (2 puntos).

Problema 3.1.4: Se quiere estudiar el movimien-to de las helices durante el despegue y transicion avuelo horizontal de la aeronave de rotores pivotantesOsprey. Para simplificar se supondra que los rotoresson solidos rıgidos, que giran con velocidad angu-lar constante respecto a ejes ligados a la barquilla,ωr i0 el derecho y−ωr i0 el izquierdo. Inicialmentelos motores estan verticales (θ = π/2), y se van in-clinando hasta alinearse con el eje longitudinal delaparatoOx1, segun una ley conocidaθ(t).

xT

zT

OT

x1

z1

O

x0θ

Los ejes ligados al aparato,Ox1y1z1 se mantienen siempre paralelos a los fijos en tierra, y atodos los efectos se consideraran como fijos. Se conoceOA= a, AB= b y BC= R. Todos losresultados se proyectaran en los ejes 0.Se pide:

1. Velocidad angular absoluta del rotor derecho (solido 2), ω21, proyectada en los ejesOx0y0z0 solidarios a las barquillas de los motores, en funcion deωr y las derivadas deθ .

2. Aceleracion angular absoluta de este rotor,α21.

3. En el instante inicial, aceleracion respecto al sistemafijo 1 (ejes aparato) del extremoCde la pala, que en ese momento se encuentra en(b,a+R,0), aplicando las expresionesdel campo de aceleraciones del solido 2.

4. Calcular esa misma aceleracion~aC21 mediante la composicion de movimientos 2/0 + 0/1,

y comprobar que se obtiene la misma expresion.



ωr

−ωr

x0

z0

x1

y1 ≡ y0

z1

O

A

B

C

θ

θ

Problema 3.1.5: Un vehıculo rectangular (solido 0), de 4R de largo y 2R de ancho, tienecuatro ruedas de radioRen los vertices. Todas estan contenidas en planos verticales, y ruedan ypivotan sin deslizar sobre el plano horizontalO5x5y5. Las dos delanteras (1 y 2) son directricesy sus planos forman angulosφ1 y φ2 con Ox0z0. Las dos traseras (3 y 4) son motrices y susplanos estan fijos respecto a 0. Para que no deslicen en las curvas, el motor las mueve a travesde un diferencial, de modo que sus velocidades angulares de rodadura cumplen la relacionω r

45+ω r35 = 2ω, siendoω constante. Se pide:

1. Determinarφ2 en funcion deφ1 para que el movimiento 0/5 sea posible.

2. Determinarω r45, ω r

35 y la velocidad angular del vehıculo en funcion deω y φ1.

3. En el caso tanφ1 = 2, hallar razonadamente la base y ruleta del movimiento del vehıculoy la trayectoria deO (punto medio del eje trasero). En el instante inicial,O esta sobreO5y los ejes tienen las mismas direcciones.

Con las mismas condiciones iniciales, y manteniendoω constante, el vehıculo se mueve demodo queO recorre el arco de cicloidex= R(1−cosu), y= R(u−sinu), u∈ [0,2π ]. Se pide:

4. Determinar la ley horariau= u(t).

5. Hallar la ley de mando de la rueda,φ1(t), para queO recorra dicha trayectoria.



Ox

yx

y

O1

2

3

4

ψ

φ

φ

5

5

5

1

20

0

Problema 3.1.6: Un sistema material (un raton de bola) esta apoyado sobre el plano fijoO1x1y1y consta de:

Un paralelepıpedo (S0) que se apoya ydesliza sobre el plano fijo; lleva asocia-do el sistemaOxyzde ejes paralelos a loslados.

Una esfera de radioR (S2) cuyo centroesta fijo en el puntoO deS0; rueda y pi-vota sin deslizar sobre el plano fijo.

Dos discos de radior (S3 y S4) que pue-den girar libremente alrededor de ejes fi-jos en S0; sus centros son(R+ r,0,0)0y (0,R+ r,0)0, respectivamente, y susvelocidades angulares relativasω30 =(0, α,0) y ω40 = (β ,0,0); estan en con-tacto sin deslizamiento con la esfera enlos puntosA y B respectivamente.

x1

y1

z1

b

x

y

z

O

αβ

θ (ξ ,η ,0)

x

z

OA

αy

z

OB

β

Se usaran:(ξ ,η), coordenadas en ejes fijos de la proyeccion deO; θ , angulo entreO1x1 yuna paralela aOx; angulosα y β girados por los discosS3 y S4 alrededor de sus respectivos ejes(ver figuras); velocidad angular absoluta de la esfera, proyectada en ejesS0: ω21= (ωx,ωy,ωz)0.Los resultados se proyectaran en ejesS0, salvo los que por definicion exigen otros. Se pide:

1. Ecuaciones de la ligadura de no deslizamiento de la esferasobre el plano fijo, proyectadasen ejesS0.

2. Expresar las componentes de la velocidad angularω21 en funcion deα, β y θ .

3. A continuacion se estudia un movimiento particular: Se colocaO sobre el ejeO1z1, conlos ejesS0 paralelos a los fijos, y se mueve el raton de modo quevO

01 = ΩRi1 y θ = Ω,ambos constantes. Calcularω21(t).

4. Ecuaciones parametricas de la axoide fija de la esfera,rAF(t,λ )5. Identificar que superficie es.

6. Por razonamientos geometricos, identificar la axoide m´ovil.

7. Obtenerα(t) y β (t), suponiendo que ambas sean nulas ent = 0.

8. Calcular la aceleracion angular relativa de la esfera,ω20.

Problema 3.1.7: Una esfera de radioa rueda y pivota sin deslizar por el interior de una super-ficie conica de revolucion de ejeOz1 y semiangulo conico 60o. El centroC de la esfera describe,



con velocidad angularω constante, una circunferencia de radioa contenida en un plano perpen-dicular aOz1 y con centro sobre este eje. Una figura representa la vista general del sistema y laotra es un corte por el plano auxiliarxOzque contiene el centro de la esfera y que gira alrededordeOzen el curso del movimiento con velocidad angularω. Se pide:

1. Demostrar que con las condiciones impuestas, el vector velocidad angular de la esferaΩ ha de quedar contenido en el planoxOz. En lo sucesivo supondremos que la relacionentre las velocidades de rodadura y de pivotamiento se mantiene constante a lo largo delmovimiento.

2. Demostrar que con esta nueva condicion el eje instantaneo de rotacion de la esfera cortaa Oz1 en un punto fijo.

3. Determinar las superficies axoides y la velocidad angularΩ en los siguientes movimientosparticulares:

a) Cuando en todo momento la velocidad de pivotamiento es nula.

b) Cuando la axoide fija se reduce a un plano.

c) Cuando el movimiento de la esfera es un movimiento plano.

d) Cuando el punto de tangenciaH de la esfera y el ejeOz1 se mantiene fijo.

4. CalculardΩ/dt en el movimiento particular a).

5. calcular la aceleracion deH en este caso particular.

Problema 3.1.8: El sistema material de la figura esta constituido por:

a) Un cono circular recto (Solido 1) fijo en el espacio de semiangulo en el vertice 30o, radiode la baseR y eje verticalOz1.

b) Un cilindro circular recto (Solido 2) movil de alturaR y radio de la baseR/2.

El cilindro rueda, pivota y desliza sobre la superficie exterior del cono de forma que en todomomento tienen una generatriz comun. Se sabe que la generatriz de contacto cilindro/cono giracon velocidad angular constanteω alrededor del ejeOz1, y que la base inferior del cilindrorueda sin deslizar sobre la base del cono.

En el movimiento cilindro/cono descrito se pide:

1. Eje instantaneo de rotacion y deslizamiento.

2. Velocidad angular.

3. Velocidad angular de rodadura y pivotamiento.

4. Axoides fija y movil.

5. Aceleracion angular.



6. Velocidad del puntoM situado en la base superior del cilindro segun se indica.

Nota: todos los calculos deben realizarse en los ejesOx0y0z0 que se indican en la figura y queen todo momento acompanan a la generatriz de contacto cilindro/cono.

Problema 3.1.9: Se considera el sistema material constituido por:

a) Una esferaE, de centroO1 y radioR (solido 3) cuyo movimiento respecto a un sistemafijo (solido 1) es una rotacion pura de valorω constante alrededor de un diametro verticalAB.

b) Un plano horizontalπ (solido 4) cuyo movimiento respecto al solido 1 es tambien unarotacion pura de valorΩ constante alrededor de la verticalAB. Dicho plano esta situadoa una distancia 2R por debajo del centroO1 de la esferaE.

c) Un cono circular rectoC (solido 2) de vertice el puntoO (interseccion de la rectaAB yel planoπ), que rueda sin deslizar por el exterior de la esfera y por la cara superior delplanoπ .

En la figura se representa la seccion meridiana del sistema material considerado. Los ejesOx0y0z0 estan ligados a dicha seccion y deben utilizarse para el c´alculo de todas las magni-tudes vectoriales que intervienen en el problema.

Se pide:

1. Velocidad angular absoluta del eje del cono.

2. Velocidad angular absoluta del movimiento absoluto del cono.

3. Axoides fija y movil del movimiento absoluto del cono.

4. Aceleracion angular absoluta del cono.

Para el caso en queΩ =−ω/2.

5. ¿Cuales son las superficies axoides?

6. Aceleracion del puntoM del cono en contacto con la esfera.



Problema 3.1.10: Un diferencial de automovil esta formado por dos conos iguales (solidos 1y 2) de eje comun y semiangulo en el vertice de 30o. Dichos conos pueden girar librementealrededor de su eje con movimientos independientes.El tercer cono (solido 3) de semiangulo en el vertice de 60o, puedemoverse sobre los conos anteriores girando alrededor de su eje OE3

y rodando sin deslizar sobre las generatrices de contacto con losconos 1 y 2.El eje del cono 3,OE3, es un radio fijo de una corona circular(solido 4) cuyo plano es constantemente perpendicular al eje delos conos 1 y 2, y a la que se comunica una velocidad angularconstanteΩ4.Si la velocidad angular del cono 1 esΩ1, se pide:

1. Velocidades angularesω30 y ω20.

2. Eje instantaneo de rotacion en el movimiento del solido 3.

3. Axoides fija y movil del movimiento anterior.

4. Para una velocidad angularΩ4 dada, ¿que valor debe tomarΩ1 para que el modulo deω34 sea mınimo? ¿Cual sera en ese caso la velocidad angularω20?

5. Representar graficamenteω20 en funcion deΩ1 para unaΩ4 dada y determinar el valordeΩ1 que hace maxima la rotacion deω20.

Problema 3.1.11: Un disco infinitamente delgado (solido 2), de radioR, rueda y pivota sindeslizar sobre un plano fijoOx1y1 (solido 1). Sea I el punto de contacto del disco y el plano.Para especificar su configuracion se usaran:ξ , η coordenadas en ejes 1 de la proyeccion delcentro del discoC sobre el plano;ψ, θ y ϕ, angulos de precesion, nutacion y rotacion propiadel disco, respectivamente. Los resultados se proyectaran en los ejes auxiliaresIx0y0z0 (solido0), con origen en el punto de contacto y girado el angulo de precesion respecto aS1. Para elcaso general, se pide:

1. Velocidad angular del disco en funcion de los angulos deEuler y sus derivadas.

2. Obtenerξ y η en funcion de los angulos de Euler y sus derivadas.

Del movimiento del disco se sabe que la axoide fija es un cono circular con centro en elorigen, ejeOz1, radio de la baseR, y semiangulo en el vertice 30o. En el instante inicial el puntoI esta sobre el ejeOy1. La proyeccion deC se mueve sobre el plano con velocidad de moduloconstanteω R

(

1+√

3/2)

. Para este movimiento, se pide:



3. Basandose en las propiedades de las axoides, deducir razonadamente:

a) Direccion del vector velocidad angular en el momento inicial

b) Axoide movil

c) Valores de los angulos de Euler en el momento inicial.

4. Velocidad angular del disco.

5. Aceleracion angular del disco

ψ

ϕ

I

Cθ θ

x1

y1

z1

x0 ≡ x3

y0

z0 y3

z3

y1

z1

IO

Problema 3.1.12: Una esfera de radioa y cen-tro C (S2) rueda y pivota sin deslizar sobre uncilindro circular fijo de radioR (S1). El puntode contactoM recorre sobre el cilindro la helice

R(cosθ i1+sinθ j1+θ tanα k1)

con velocidadRω. Sobre la esfera recorre unacircunferencia de radioacosβ . De las dos posi-ciones posibles, la circunferencia queda por en-cima del centroC.En la resolucion convendra usar los ejes in-termediosMx0y0z0 asociados a las coordena-das cilındricas del punto de contacto. Salvo quealgun resultado exija otra cosa, las solucionesvectoriales se proyectaran en estos ejes.Se pide: x

y

z

x0

y0

z0

bb

θ

M

C

b bβ

C

M

1. Velocidad angular deMx0y0z0.

2. Eje instantaneo de rotacion del movimiento 2/0.

3. Modulo de la velocidad angularω20.

4. Aceleracion angular absolutaα21

5. Axoide fija del movimiento 2/1.

Problema 3.1.13: Una esfera de radioa se mueve sobre un cilindro circular fijo, de eje verticaly radioR, de manera que:



La esfera rueda sin deslizar sobre el cilindro.

La velocidad angular de la esfera es un vector de moduloω(t), contenido en el planotangente comun a los dos solidos, y que forma un anguloθ constante con la vertical.

En un instante arbitrario la posicion del punto geometrico de contactoM viene dada por suscoordenadas cilındricas(ψ,z), y su velocidadv forma un anguloα con la horizontal.

Se pide:

1. Trabajando en los ejes auxiliaresMx0y0z0, determinar la condicion de no deslizamientode la esfera sobre el cilindro, en funcion deω, θ , α y v.

2. Hallarv y α en funcion deω y θ . Identificar la trayectoria del puntoM sobre el cilindro

para las condiciones inicialesψ(0) = 0, z(0) = 0, v(0) = v(√

22 j1+

√2

2 k1

)

.

3. Identificar la trayectoria deM sobre la esfera. Para ello puede ser util introducir comosistema intermedio el triedro intrınseco de la trayectoria deM sobre el cilindro.

4. Ecuaciones parametricas de la axoide fija. Identificar laaxoide movil, sin necesidad dehallar su ecuacion.

5. Aceleracion del puntoM considerado como de la esfera en el movimiento absoluto.

6. Se estudia ahora el movimiento de la esfera respecto a unosejes paralelos a los fijoscon origen en el centro de la esfera: identificar las axoides fija y movil, sin hallar susecuaciones.



3.2. Movimiento plano

Ejercicio 3.2.1: En un movimiento plano, una recta del plano movil pasa siempre por un puntofijo O, y un punto de la recta describe una circunferencia que pasa por O. Hallar la base y laruleta.

Ejercicio 3.2.2: La base de un movimiento es una recta, y un punto del plano movil recorreotra recta que forma un anguloϕ con la anterior. Hallar la ruleta.

Ejercicio 3.2.3: En un cuadrilatero planoABCD, AB= CD = a,BD= AC= b> a, CD es fijo. Hallar la base y la ruleta del movi-miento deAB.

Ejercicio 3.2.4: Repetir el ejercicio anterior para el casob< a.

Ejercicio 3.2.5: En un movimiento plano la base es una recta y un punto del planomovildescribe una circunferencia tangente a la base. Hallar la ruleta.

Ejercicio 3.2.6: En un movimiento plano, la base es una recta y un punto describe la catenariay= acoshx

a. Hallar la ruleta.

Ejercicio 3.2.7: En un movimiento plano, una circunferencia delplano movil pasa siempre por un punto fijoP, y un puntoM de estacircunferencia describe una rectar que pasa porP.

1. Hallar la base y la ruleta del movimiento.

2. Ecuacion del movimiento del punto que tiene trayectoriarec-tilınea admitiendo que la velocidad de sucesion de los cen-tros instantaneos es una constantev.

Problema 3.2.1: Los engranajesA, B,C, que aparecen en la figura, estan unidos por un pasadoren su centro a la barraABC. El engranajeA es fijo, mientras que la barraABC gira en sentidocontrario a las agujas del reloj con una velocidad angularω constante. Sabiendo que en sumovimiento los engranajes ruedan sin deslizar sobre sus circunferencias primitivas de radiosRA > RB > RC, calcular:

1. Velocidad angular del engranajeB en su movimiento absoluto.

2. Base y ruleta del engranajeB en dicho movimiento.

3. Velocidad angular del engranajeC en su movimiento absoluto. ¿Depende del tamano delengranaje intermedio?

4. Velocidad del engranajeC respecto del engranajeB.

5. Base y ruleta del engranajeC en su movimiento absoluto.

6. Aceleracion lineal del diente del engranajeC situado en cada instante en el punto detangencia entre las circunferencias primitivas de los engranajesC y B.


3.2. MOVIMIENTO PLANO 19

Problema 3.2.2: La figura representa un tren de engranajes planetario con lossiguientes ele-mentos:

Sol: Rueda de radio 2r que gira respecto de su eje fijo a tierra.

Planetarios: Ruedas de radior cuyos ejes estan articulados al brazoAB.

Brazo: BarraAB articulada tanto al engranaje sol como a los planetarios. Posee una ve-locidad angular constanteω0 en el sentido de las agujas del reloj.

Corona: Engranaje estatico y concentrico con el sol.

Teniendo en cuenta que durante la transferencia del movimiento rotatorio las ruedas acopladasruedan sin deslizar, calcular:

1. Velocidad angular de los engranajes planetarios respecto al brazo.

2. Velocidad angular absoluta de los engranajes planetarios.

3. Velocidad angular absoluta del engranaje sol.

4. Velocidad lineal absoluta del puntoC del planetario.

5. Aceleracion lineal absoluta del puntoC del planetario.

NOTA: se recomienda utilizar los ejesOXYZligados al brazo y la numeracion de solidos de lafigura.

Problema 3.2.3: Una varillaAB, de longitud 2a, se mueve en un plano, referido a unos ejesortogonalesO1X1Y1 de forma que su extremoA describe el ejeO1X1 con velocidad constantev,mientras que la velocidad del extremoB forma con la varilla el mismo angulo que esta formacon el ejeO1X1.



En el instante inicial la varilla esta situada sobre el ejeO1Y1 encontrandose el extremoB enla parte negativa de dicho eje. Se pide:

1. Determinar en funcion del tiempo la velocidad angular delavarilla.

2. Determinar la base y la ruleta correspondientes al movimien-to de la varilla.

3. Determinar el valor maximo de la aceleracion angular delavarilla.

O1

y1

x1v

θ

θA

B

vB

Problema 3.2.4: Consideremos un plano horizontal referido a dos ejes ortogonalesOxy. SeaOz la vertical que pasa porO. Sobre los ejesOx, Oy ruedan sin deslizar dos discos igualesAy B de radioR que quedan contenidos respectivamente en los planosOxz, Oyz. Seanx,y lasdistancias de los centros de los discos al ejeOz.

Un planoP que se mantiene horizontal en todo momento se apoya en ambos discos rodandoy pivotando sobre ellos sin deslizamiento.

El movimiento del discoB viene determinado por la ecuacion

y= asinω t

y el discoA vendra obligado por las ligaduras cinematicas que tiene impuestas. Si inicialmentevalex= a, se pide:

1. Demostrar que la distancia entre los centros de ambos discos se mantiene constante a lolargo del movimiento verificandose la relacionx2+y2 = a2.

2. Calcular la velocidad angularΩ del planoP.

3. Determinar la base del planoP.

4. Determinar e identificar la trayectoria del punto deP que inicialmente se proyecta enO.

5. Determinar la ruleta del movimiento deP.


Capıtulo 4

Ecuaciones generales

Ejercicio 4.1: Sea una partıcula libre sometida unicamente a su peso.

Plantear las ecuaciones de la cantidad de movimiento, del momento cinetico en el origen,y de la energıa.

Comprobar que solo las tres primeras son independientes. Razonar si las tres del momentocinetico son independientes entre sı, y por tanto podrıan sustituir a las de la cantidad demovimiento, o no.

Razonar cuales dan lugar a integrales primeras, y cuales son independientes.

Ejercicio 4.2: Sean dos partıculas no pesadas unidas por un muelle ideal delongitud nula.Plantear las ecuaciones generales, y razonar cuales son independientes.

Ejercicio 4.3: Sean tres partıculas no pesadas. Todas estan sometidas a fuerzas de accion-reaccion entre ellas. Razonar como habrıa que plantear las ecuaciones generales para poderdeterminar el movimiento del sistema.

Ejercicio 4.4: Una esfera pesada homogenea rueda, pivota y desliza sobre un plano horizontal.Estudiar las fuerzas de ligadura, los grados de libertad, y las ecuaciones que habrıa que plantearpara resolver el sistema.

Ejercicio 4.5: Una esfera pesada homogenea rueda y pivota sin deslizar sobre un plano hori-zontal. Estudiar las fuerzas de ligadura, los grados de libertad, y las ecuaciones que habrıa queplantear para resolver el sistema.

Ejercicio 4.6: Una esfera pesada homogenea, de masamy radioR, rueda y pivota sin deslizarsobre un plano horizontal rugoso de coeficienteµ. Se sabe que su momento cinetico respectoal centro de masasC vale 2

5mR2 ω. En el instante inicial esta sobre el origen con velocidadv0 = (a,b,0) y velocidad angularω0 = (p,q, r). Obtenerv(t) y ω(t). Calcular, en funcion delos valores iniciales, el tiempo que tarda en dejar de deslizar.

x0

y0

z0

ϕ

ψEjercicio 4.7: Un cilindro homogeneo y pesado, de masamy alturaH, esta en contacto con un plano horizontal liso a lolargo de una generatriz. En ejesS0 ligados a la precesion, suvelocidad angular valeω(t) = [ϕ,0, ψ] y su momento cineticorespecto al centroLG = [Ixϕ,0, Izψ ].

Reducir el sistema de fuerzas de ligadura al centro demasas.

Demostrar que el momento cinetico es constante en ejes movilesS0.

Calcular el valor maximo deψ para que el cilindro no se levante por un extremo.

21

22 CAPITULO 4. ECUACIONES GENERALES


Capıtulo 5

Estatica

Ejercicio 5.1: Una partıcula pesada de masam esta unida al origen de coordenadas por unmuelle ideal de longitud natural nula y constantek. Determinar las posiciones de equilibrio.

Ejercicio 5.2: Una partıcula pesada de masam se mueve por una esfera lisa con ligadurabilateral. Determinar las posiciones de equilibrio. Determinar las zonas de equilibrio si la esferaes rugosa de coeficienteµ.

Ejercicio 5.3: Una partıcula pesada de masam se mueve por un aro vertical liso de radior. Determinar las posiciones de equilibrio tomando como coordenada generalizada el anguloθ desde el punto mas bajo. Determinar las zonas de equilibriosi entre aro y partıcula existerozamiento de coeficienteµ.

Ejercicio 5.4: Una partıcula se mueve sobre un plano rugoso de coeficienteµ inclinado unanguloα respecto a la horizontal. Sea el ejeOx normal al plano hacia arriba y elOx la lıneade maxima pendiente hacia abajo. La partıcula esta unidaal origen mediante un muelle deconstantek y longitud natural nula. Determinar las posiciones de equilibrio.

Ejercicio 5.5: Repetir el ejercicio anterior con un muelle de longitud natural a.

Ejercicio 5.6: En el plano vertical disponemos de una curvaClisa por la que puede deslizar una partıcula material de peso P. Lapartıcula esta unida a un hilo que pasa por una pequena polea parasuspender por el otro extremo otra partıcula de pesoQ. Se pide:

1. Averiguar cual ha de ser la curvaC para que los dos puntosse mantengan en equilibrio para todas las posiciones.

2. Discutir la naturaleza deC segun los valores relativos deP yQ.

Ejercicio 5.7: Una partıcula material de pesoP puede moversesobre una parabola de eje vertical de parametrop y con una conca-vidad dirigida hacia arriba.El punto es ademas repelido por el foco de la parabola con unafuerzaF = hr2 proporcional al cuadrado de la distancia. Hallar lasposiciones de equilibrio de la partıcula y estudiar su estabilidad.

Ejercicio 5.8: Un punto material pesadoM de masamesta obligado a moverse sin rozamientosobre la helice de ecuaciones

x= Rcosθ y= Rsinθ z= Rθ2π

en donde el ejezes vertical y ascendente.

23

24 CAPITULO 5. ESTATICA

Sobre el puntoM actua, ademas de su peso, una fuerza repulsiva de la forma

F =mgR

AM

siendoA el punto de coordenadas(R,0,0). Se pide:

1. Determinar las posiciones de equilibrio situadas en la zona 0≤ z≤ R.

2. Calcular la reaccion normal de la curva en la posicion deequilibrio del puntoM definidapor θ = 2π .

Problema 5.1: Un punto de pesoP puede moverse sobre elhelicoide

x= u cosv y= u sinv z= av

en el queOzes la vertical ascendente.El punto esta sometido a su propio peso y a una repulsion delejeOzde valor

F =Pλ r2

a√

a2+ r2

siendor la distancia que separa al punto de dicho eje.Si entre el punto y la superficie existe un rozamiento de coefi-ciente f = 1/

√2, se pide:

1. Zonas de equilibrio en el caso en queλ = 0.

2. Zonas de equilibrio siλ =√

3/8.

Problema 5.2: Una partıcula de pesoP puede moverse sobre unasuperficie esferica de radioa a la que puede abandonar por su carainterna.La partıcula es repelida por el punto mas bajo de la esfera con unafuerza proporcional a la distanciaF = hr. Se pide:

1. En la ausencia de rozamiento, averiguar las posiciones deequilibrio de la partıcula estudiando su estabilidad y dis-cutiendo el problema segun los valores del parametroλ =ha/P.

2. Si entre la partıcula y la superficie existe un rozamientodecoeficientef , discutir todas las posiciones de equilibrio exis-tentes segun los valores relativos deλ y f .

Problema 5.3: Una partıculaP, de masam y sin peso, se mueve sobre la curva lisa de ecua-cionesx2+y2 = a2, z= 0.

Otra partıculaQ, de la misma masa y tambien sin peso, se mueve por la recta rugosa deecuacionesx= 0, z= a. El coeficiente de rozamiento entre la partıculaQ y la recta esµ.

Como coordenadas generalizadas se tomaran la coordenaday deQ y el anguloθ entreOxyOP.

Las dos partıculas estan unidas por un muelle de constantek y longitud natural nula.Se pide:

Todas las configuraciones de equilibrio conµ = 0 (1/3)

Todas las posiciones y/o zonas de equilibrio conµ > 0 (2/3)

Para cada solucion, ademas de dar los valores habra que hacer un diagrama con las posicio-nes de equilibrio y, de forma aproximada, las zonas de equilibrio.


25

Ejercicio 5.9: Una grua de masaM se apoya sobre una base de longi-tud 2a. Su centro de gravedad esta en la vertical del centro de la base.La pluma mideb> a desde la vertical del centro. Analizar el sistema defuerzas de ligadura sobre la base. Calcular la maxima cargaque puedelevantar sin que vuelque.

Ejercicio 5.10: Una varilla pesada de longituda y masam esta unida al origen mediante uncojinete ideal que le permite girar alrededor deOy manteniendose siempre dentro del planoOxz, dondeOzes vertical ascendente. Dicho plano gira alrededor deOzcon velocidad angularω constante. Seaθ el angulo que la varilla forma con el eje vertical. Determinar todas lasposiciones de equilibrio relativo al plano y su estabilidad.

Problema 5.4: Se dispone de una varillaAB homogenea y pesada de masam y longitud 3R2

cuyo extremoA esta obligado a moverse sin rozamiento sobre una circunferencia fija de radioR, como se indica en la figura. El conjunto esta contenido en unplano vertical.

El ejeOx repele a todas y cada una de las partıculas de la varillaAB con una fuerza propor-cional al producto de la masa de cada partıcula por la distancia que la separa de dicho eje siendola constante de proporcionalidad 2g/3R. Se pide:

1. Resultante y momento resultante de las fuerzas di-rectamente aplicadas a la varilla respecto al puntoA.

2. Plantear las ecuaciones que determinan las posicio-nes de equilibrio y la reaccion ena mediante lasecuaciones generales de equilibrio.

3. Calcular la reaccion enA para las posiciones deequilibrio en que la varillaAB no esta alineada conel ejeOy.

Problema 5.5: Consideremos un taburete formado por un disco de radioa y tres patas soldadasen su superficie en tres puntos que forman un triangulo equilatero. Seaλa la distancia a la quese encuentra el centro de gravedad del taburete del plano quepasa por los extremos de sus patas.

El taburete ası constituido se situa sobre un plano inclinado un anguloα sobre la horizontal.De las tres patas solamente una presenta un coeficiente de rozamientof con el plano. Las otrasdos son lisas.

Llamemosϕ el angulo que forma con la lınea de maxima pendiente del plano el radio queva a la pata rugosa. Se pide:

1. Valores deϕ correspondientes a las posiciones deequilibrio del taburete sobre el plano.

2. Partiendo de una posicion de equilibrio se va au-mentando el anguloα hasta que el equilibrio serompe por el vuelco o por deslizamiento. Discutircual de estas dos circunstancias se presenta prime-ro. Determinar el valor deα para el que se presentay estudiar la influencia que puede tener el valor deλ . Repetir el analisis para todas las posiciones deequilibrio.

Problema 5.6: El sistema material de la figura, contenido en un plano horizontal, esta cons-tituido por dos varillas iguales de longituda articuladas por su extremo en un punto fijoA delplano, por un muelle de longitud natural cero y constante de rigidezk, que une los extremosBy C de las varillas, y por un disco homogeneo de radioa/4 y masaM, que se situa entre las dos



varillas como se indica en la figura.El punto fijo A atrae a todos y cada uno de los elementos diferenciales de masa del dis-

co proporcionalmente al producto de la masa del elemento porla distancia. La constante deproporcionalidad es igual a 4k/m.

Se tomara como parametro para definir la posicion del sistema el anguloϕ de la figura. Sepide:

1. Valores deϕ correspondientes a las posiciones de equilibriodel taburete sobre el plano.

2. Partiendo de una posicion de equilibrio se va aumentandoelanguloα hasta que el equilibrio se rompe por el vuelco opor deslizamiento. Discutir cual de estas dos circunstanciasse presenta primero. Determinar el valor deα para el que sepresenta y estudiar la influencia que puede tener el valor deλ . Repetir el analisis para todas las posiciones de equilibrio.

Problema 5.7: Dos semidiscos iguales y homogeneos de radioR y masam se unen entresı como se indica en la figura; los verticesA mediante una articulacion, y los verticesB y Cmediante un muelle de longitud natural nula y constante de rigidezk = mg/3πR. El conjuntoesta contenido en un plano vertical, apoyado sobre el ejeOx, y sometido al peso.

Suponiendo que entre los semidiscos y el ejeOxno hay rozamiento:

1. Plantear las ecuaciones de equilibrio.

2. Determinar todas las posiciones de equilibrio.

3. Reaccion enA para dichas posiciones.

Si entre los semidiscos y el ejeOx existe un coeficientede rozamientof ,

4. Plantear las ecuaciones de equilibrio.

5. Estudiar como varıan las posiciones de equilibrio al variar f .

Nota: Considerense solamente las posiciones 0≤ ϕ ≤ 0.

Problema 5.8: El sistema de la figura, contenido enel plano horizontalOxy, esta formado por un aro deradioR y centroO, y un disco de radioR/2 y centroC. El aro esta articulado en el puntoO y su masamesta concentrada en un puntoA del mismo. La masadel disco, de valor 6m, se concentra uniformementeen el diametroBD del mismo. Ambos solidos estansiempre en contacto con ligadura bilateral y entre sussuperficies existe un rozamiento de coeficientef .

Sobre las masas del sistema actua una atraccion del ejeOx proporcional a la masa y a ladistancia al mismo, siendok la constante de proporcionalidad.

Para fijar la posicion del sistema se utilizan las siguientes coordenadas generalizadas: i)α,angulo entreOA y el ejeOx; ii) β , angulo entreOC y el ejeOx; iii) γ, angulo entre el diametroBD y OC.

Se pide:


27

1. Determinar en funcion de las coordenadas generalizadas, para una posicion generica, laexpresion de la resultante y del momento respecto aC del sistema de fuerzas de atraccionque actuan sobre el disco.

2. Plantear las ecuaciones e inecuaciones necesarias que permitan obtener las posiciones deequilibrio del sistema.

3. Determinar el rango de valores deβ para los que existe equilibrio. Determinar las posi-ciones de equilibrio.

4. Para el caso particularf = 0, obtener las ecuaciones de equilibrio.

5. Obtener las posiciones de equilibrio correspondientes al apartado anterior.

6. Repetir los dos apartados anteriores para el caso en quef sea infinito.

Problema 5.9: El dispositivo de la figura es un modelo muy simplificado de losreguladorescentrıfugos usados en transmisiones continuas de ciclomotores y camiones. La fuerza centrıfugadel giroω alrededor deOy tira del contrapesoAB, de modo que el extremoD vence la fuerzadel muelle y empuja el plato conico de la polea contra el otroplato. Ası varıa la distancia al ejede la correa y la relacion de transmision.

Se estudiara como un problema de estatica: el equilibrio del contrapesoDCABen su plano,sometido unicamente a la fuerza centrıfuga, a la del muelle y a las ligaduras. El contrapeso semodela como un solido plano formado por dos varillas,AB (de longituda y masaM) y CD(de longitudb y masa despreciable), rıgidamente unidas formando un unico solido en formade L y articuladas en el origenO por el extremoC. La articulacion es lisa y permite el giroen el planoOxy. Cada elemento de masa deAB experimenta una fuerzaδFc = δmω2xi. ElextremoD empuja la polea y sufre la fuerzaFm del muelle de constantek y longitud naturalnula, siempre paralelo al ejeOy. Para simplificar, se desprecian todas las demas fuerzas (pesos,rozamientos, otras fuerzas que la polea pueda transmitir aD, etc.). Se consideran dos disenospara el contrapeso:DCAB (caso a) yCDAB (caso b). La configuracion del sistema viene dadapor el anguloθ de la figura. Para el estudio del equilibrio,ω se considerara como un parametroconstante. Se pide:

1. Para el caso (a), reducir al origen el sistema de fuerzas distribuidas sobre la varillaAB

2. Obtener todas las configuraciones de equilibrio del solidoDCABen funcion deω3. Para el caso (b), reducir al origen el sistema de fuerzas distribuidas sobreAB

4. Obtener la configuracion de equilibrio del solidoCDAB, en la forma tan2θ = f (ω)

5. A la vista de los resultados, razonar cual de los dos dise˜nos es mas apropiado para unregulador que permita aproximar los platos de la polea al crecerω.



θ

k

δFc

Fm

x

y

O

A

B

C D

(a)

θ

k

δFc

Fm

x

y

OA

B

C

D

(b)

Problema 5.10: Se tiene un sistema plano formado por un discopesadode radioR y masam apoyado enB sobre una pared vertical. Su centroC esta suspendido del puntoA de la paredmediante una varillasin masa, con articulaciones lisas enA y C. La longitud de la varilla es talque forma un anguloβ con la pared cuando el disco esta en contacto. Entre el discoy la paredhay rozamiento de coeficienteµ.

Ademas del peso, sobre el disco actua una fuerza conocidaF , aplicada en la periferia y tan-gente a la circunferencia formando un anguloα con la horizontal (podrıa hacerse, por ejemplo,tirando de un hilo arrollado al disco). Se aplica por debajo del centro (caso a) o por encima(caso b). Inicialmente la fuerza es pequena, y el sistema esta obviamente en equilibrio. Luegose va aumentandoF hasta que el disco empiece a girar o se levante. Se pide:

1. Aislando la varilla, determinar ladireccion de la reaccionT que transmite al disco enC.

2. Para el caso a), se pide:

a) Plantear las ecuaciones de equilibrio del disco. Las ecuaciones seran mas sencillassi se escoge bien el punto en que se toman momentos.

b) SeaN la reaccion normal de la pared enB y R la fuerza de rozamiento; obtenerlasjunto conT en funcion de los datos del problema.

c) Obtener el valor deF necesario para que el disco se separe de la pared, en funcionde los demas datos del problema.

d) Obtener el valor deF necesario para que el disco empiece a girar. Comprobar quesiempre gira antes de separarse.

3. Repetir los pasos anteriores para el caso b) (tengase cuidado con el sentido deR).

4. Comparando los resultados, razonar si es mas facil hacerlo girar desde arriba o desdeabajo.


29

A

B C

(a)

β

α

F

A

B C

(b)

β α

F

Problema 5.11: Se tiene una placa cuadrada de ladoa y masam. Uno de sus lados se apoyasin rozamiento sobre el plano horizontal lisoOx1y1. Sobre la placa actuan las fuerzas:

Peso

Muelle de constantek y longitud natural nula ente el punto fijoA(0,0,a) y el B, puntomedio del lado opuesto al apoyado.

Repulsion del origen sobre cada elemento de masa, proporcional a la masa y a la distancia,δ~F = δmω2~r.

La configuracion viene dada por las coordenadasξ ,η del punto medioC del lado que se apoya;el anguloθ del plano de la placa con el horizontalOx1y1; y el anguloψ de la normal al ladoapoyadoCx0 con el ejeOx1. Se pide:

1. Analizar el sistema de reacciones distribuidas sobre el lado con apoyo liso: determinar elnumero de incognitas y escoger un sistema equivalente para representarlo.

2. Hallar la resultante de la repulsion y comprobar que su momento en el centro de masasGde la placa es nulo.

3. Expresar la fuerza del muelle,CB y CG en funcion de las coordenadas generalizadas.

4. Plantear las ecuaciones de equilibrio de fuerzas.

5. De estas ecuaciones obtener una relacion entre tanψ y η,ξ y otra entre la distanciaOC yθ .

6. Interpretar geometricamente la relacion entreψ y las coordenadas deC. Se compro-bara que las soluciones tienen simetrıa de revolucion y que el resto del problema se puederesolver con la simplificacionη = ψ = 0.

7. Plantear con esta simplificacion la ecuacion de equilibrio de momentos enC. Se ob-tendra una relacion entreξ y θ que, con la segunda de (5), determina la configuracionde equilibrio. Comprobar que la componente segunOz1 da la misma informacion que laprimera de (5).



A

O

B

Cx0

y0ψ θ

δ~F

η

ξ

x1

y1

z1

Problema 5.12: Un sistema plano esta forma-do por dos discos homogeneos de radioR, demasa despreciable, y una barra de pesoP y lon-gitud λR. Cada disco esta unido a un extremode la barra con una articulacion lisa. El sistemaesta apoyado sobre una recta rugosa (ejeOx1)que forma un anguloα con la horizontal. Elcoeficiente de rozamiento entre los discos y larecta esf . El disco mas bajo① esta frenado,es decir, la barra ejerce un momentoM sobreel disco, que sera el necesario para que no gi-re. El otro disco puede girar libremente. Para laconfiguracion de equilibrio, se pide:

α

x1①

②

N1

N2R1

R2

1. La reaccion normal sobre el primer disco,N1.

2. Fuerza de rozamiento sobre el primer discoR1.

3. Reaccion normal sobre el segundo discoN2.

4. Rozamiento sobre el segundo discoR2.

5. Momento de frenoM.

6. Valor deα para que el conjunto vuelque.

7. Valor deα para que empiece a deslizar.

8. Valor del coeficiente de rozamientof para que las dos condiciones coincidan


Capıtulo 6

Movimiento rectil ıneo

6.1. CasoF(x)

Ejercicio 6.1.1: Una partıcula de masaM se coloca en reposo sobre un plano inclinado unanguloα con la horizontal. El coeficiente de rozamiento esµ < tanα. Razonar si hay velocidadlımite. Obtener la ley horaria del movimiento.

Ejercicio 6.1.2: Segun la ley de Stokes, la resistencia sobre una esfera de radio r que se mueveen un fluido de coeficiente de viscosidadη esF(v) = 6πη r v. Calcular la velocidad lımite deuna esfera de densidadρ , doble de la del fluido, y la ley horaria cuando se deja caer desde elreposo.

Ejercicio 6.1.3: Una esfera de masam, radio r y coeficiente de resistencia aerodinamicaCD

cae en el aire de densidadρ . Calcular la velocidad lımite y la ley horaria.Aplicarlo al caso de un balon de futbol:m= 410− 450 g,CD = 0,5, 2πr = 68−70 cm,

ρ = 1,225 kg/m3.NOTA: Al superar una velocidad entre 20 y 25 m/s, segun la rugosidad de las superficie, el regimen pasa de

laminar a turbulento, yCD cae bruscamente a un valor de aproximadamente 0,1. Si la velocidad lımite calculada

con el primer valor es mayor que esta, habra que calcularla de nuevo con elCD menor. Este efecto lo uso David

Beckham en el mundial de 2002: Tira a gran velocidad por encima de la barrera; al acercarse a la porterıa parece

que se va alto. Pero ya se ha frenado lo suficiente para entrar en regimen laminar, con lo que de pronto sube la

resistencia, cae bruscamente y entra en la porterıa.

31

32 CAPITULO 6. MOVIMIENTO RECTILINEO

6.2. CasoF(x)

Ejercicio 6.2.1: Un punto material de masam se mueve sobre una rectaOx, sometido a uncampo cuyo potencial esV(x) = mgx[(x/a)2−3]. Determinar su ley horaria, cuando se lanzadesdex0 = a con una velocidadv0 =

√8ga.

Ejercicio 6.2.2: Un punto de masam realiza un movimiento unidimensional a lo largo del ejeOxsometido solo a la accion de la fuerzaF = mKxex/a i, dondeK y a son constantes conocidas.Inicialmente el punto se situa en la posicionx= a y se le comunica una velocidadv0 segun elsentido negativo del ejeOx. Estudiar en funcion dev0 el tipo de movimiento que sigue el punto.

16 de Septiembre de 1991

Ejercicio 6.2.3: Un punto material de masam, realiza un movimiento unidimensional, a lolargo del ejeOx, sometido a una fuerza que deriva del potencialV(x) = −(mg/a2)x2(x−a).Inicialmente, el punto esta en el origen y tiene una velocidadv0, segun el sentido negativo delejeOx. Estudiar cualitativamente el movimiento del punto, segun sea el valor dev0.

4 de Abril de 1991

Ejercicio 6.2.4: Un punto material de masam realiza un movimiento unidimensional segun elejeOxsometido a una fuerza que deriva del potencialV(x) =−mgxe−x/a. Inicialmente se situaenx= a y se le comunica una velocidadv0 hacia la izquierda. Estudiar el movimiento del puntosegun el valor dev0.

11 de Septiembre de 1990

Ejercicio 6.2.5: Un punto material de masam se mueve sobre una rectaOx sometido a unafuerza que deriva del potencialV(x) =−(mg/a3)x2(x2−a2). Inicialmente se situa en el origeny se lanza con una velocidadv0. ¿Cual es el mınimo valor dev0 necesario para que el puntollegue al infinito?

29 de Junio de 1988

6.3. Oscilador armonico

Ejercicio 6.3.1: Un cubo de aristaa y densidad la mitad de la del agua esta flotando con lacara superior horizontal. Se empuja un poco hacia abajo, sinhundirlo del todo, y se suelta singirarlo, de modo que se mueve siempre con la misma orientaci´on. Calcular la frecuencia de lasoscilaciones.

Ejercicio 6.3.2: Una partıcula pesada de masamse mueve por una recta horizontal rugosa, decoeficiente de rozamientof . Esta unida a un puntoO de la recta por un muelle de constantek ylongitud natural cero. Integrar la ecuacion del movimiento, razonando como se han de tratar loscambios de signo en la fuerza de rozamiento. Inicialmente selanza desdeO con velocidadv0.

Septiembre de 1996

Problema 6.3.1: Sea Ox una recta horizontal sobre la que se desplaza un partıcula materialpesadaM de masam; seaµ el coeficiente de rozamiento existente entre la partıculaM y la recta.Ademas del peso, sobreM actua la fuerza de un muelle, de longitud natural nula y constante derigidezk, que une la partıcula con el origenO de la rectaOx.

En el instante considerado como inicial,t = 0, la partıcula se situa en el origen,x0 = 0,y se lanza con una velocidad ˙x0 > 0. Se inicia ası un movimiento en el que la partıcula viajahacia el semiespaciox> 0 hasta alcanzar una separacion maximax1; posteriormente, comienzaa moverse hacia el semiespaciox< 0 hasta alcanzar, en el, una separacion maximax2.

Para el primer tramo del movimiento de la partıcula (cuandox> 0), se pide:


6.3. OSCILADOR ARMONICO 33

1) Plantear las ecuaciones que gobiernan el movimiento deM. Determinar su ley horaria.Calcular la elongacion maximax1, en funcion de los datos conocidos del problema, y eltiempo que tarda en alcanzarla.

Para el segundo tramo del movimiento de la partıcula (cuando x< 0), se pide:

2) Plantear las ecuaciones que gobiernan el movimiento deM. Determinar las condicio-nes iniciales aplicables a este tramo. Determinar su ley horaria. Calcular la elongacionmaximax2, en funcion de los datos conocidos del problema, y el tiempoque tarda enalcanzarla.

3) Determinar el maximo valor de la constante de rigidezk del muelle necesaria para que,una vez alcanzada la maxima separacionx2 en el segundo tramo, la partıculaM perma-nezca en reposo. Explicar razonadamente la condicion que se impone para determinardicho valor maximo.

4) Analizar si se disipa, o no, energıa en el proceso. Si la respuesta es afirmativa determinarla energıa disipada; si es negativa razonar por que no se produce disipacion.

NOTA: El analisis se facilita si se introducen las siguientes variables y parametros adimen-sionales:

ω =

√

km, τ = ω t, z= x

ωx0, ε =

µ gx0

√

mk

ETSIA, septiembre de 2007


34 CAPITULO 6. MOVIMIENTO RECTILINEO


Capıtulo 7

Movimiento del punto libre

7.1. Partıcula libre

Ejercicio 7.1.1: Un punto materialM se desplaza en el espacio sometido a una fuerza quesimultaneamente es paralela a un plano fijoP y normal a la velocidad deM. Sabiendo que lamagnitud de esta fuerza es proporcional a la velocidad deM y que en el instante inicialMesta dotado de una velocidadv0 que forma un anguloα con el planoP, se pide:

1. Determinar el movimiento deM especificando su trayectoria y su ley horaria.

2. Indicar como serıa el movimiento del punto en el caso de que la fuerza indicada fueseproporcional al cubo de la velocidad deM.

Mayo de 1968

Ejercicio 7.1.2: Una partıcula de masam se mueve bajo la accion de una fuerza~F = m~v∧~Bsiendo~v la velocidad de la partıcula, y~B un vector de modulo y direccion constantes. Describirel tipo de movimiento que sigue la partıcula en funcion delvalor inicial de~u, componente develocidad paralela a~B. Obtener el radio de curvatura de la trayectoria cuandou= 0.

Septiembre de 1991

35

36 CAPITULO 7. MOVIMIENTO DEL PUNTO LIBRE

Problema 7.1.1: Una partıculaM de masam y desprovista de peso se mueve sin rozamientosobre un plano referido a un par de ejes ortogonalesOxy, sometida a un campoF tal que si lapartıcula se lanza con una velocidadv0 desde el punto(x0,y0) la velocidadv que lleva cuandollega a un punto generico(x,y) verifica que

v2 = v20+2ω2(xy−x0y0)

Se pide:

a) Determinar del campoF que actua sobre la partıcula.

b) Plantear e integrar completamente las ecuaciones del movimiento de la partıcula.

c) Si la partıcula se lanza desde un punto cuyo vector de posicion esr0 con una velocidadv0, ¿Que condicion deben verificarr0 y v0 para que la partıcula no se marche al infinito?.

d) ¿Cual serıa el movimiento limite de la partıcula si se cumple la condicion anterior?

e) Para una velocidad inicialv0 de modulo dado, ¿desde que region del plano podrıa lanzarsela partıcula para que no se marche al infinito?.

f) Determinar completamente las constantes de integracion y hacer un dibujo aproximado

de la trayectoria si se lanza la partıcula desde(0,a) con una velocidadv0 =−a2

ω(i + j).

Febrero de 1990

Problema 7.1.2: Una partıcula material pesadaM, de masam, y cuya carga electrica esq,esta obligada a moverse sin rozamiento por un plano horizontal OXY. La partıculam esta uni-da al puntoO mediante un muelleOM, cuya longitud sin deformar, y constante elastica sonrespectivamentea y mω2, de forma que la fuerza que el muelle ejerce sobre el puntoM sera:

F =−mω2 (r −a) ur

en donder representa la distanciaOM y ur es el versor de la direccion y sentido deOM.Se considera finalmente un campo magnetico definido por:

B =mωq

k

siendok el versor de la vertical ascendente.La posicion de la partıculaM en el plano quedara determinada indistintamente por sus coor-

denadas cartesianas(x,y) y por sus coordenadas polares(r,θ). Se pide:

1. Determinar, en funcion dex, y, y sus derivadas, las componentes segun los ejesOX y OYde las fuerzas que actuan sobreM.

2. Plantear, utilizando las coordenadasx, y, las ecuaciones de movimiento deM.

3. Plantear, utilizando las coordenadasr, θ , las ecuaciones de energıa cinetica y de momentocinetico respecto aO.

4. Reducir la cuadraturas las ecuaciones determinadas en elapartado anterior con objeto dedeterminar la trayectoria y la ley horaria deM.

5. Suponiendo queM se encuentra inicialmente a una distanciaa de O, ¿en que direccionse debera lanzar y cual debe ser el valor de la velocidad deM, con objeto de que elmovimiento de dicho punto sea uniforme?

6. Suponiendo que el punto se encuentra inicialmente a una distanciaa deO y que se lanzaen direccion radial, ¿cual sera el valor mınimo de la velocidad inicial con objeto de queM llegue a una distancia 2a deO?

E.T.S.I. Aeronauticos


7.2. MOVIMIENTOS CENTRALES 37

Problema 7.1.3: Un punto materialM, de masam, se mueve sin rozamiento sobre un plano,atraıdo proporcionalmente a su masa y a la distancia por dospuntos de ese plano, el unoO fijoy otro Sque gira uniformemente alrededor deO.

La constante de proporcionalidad de las fuerzas atractivasesk.La velocidad angular de la rectaOSse representa porω y la distanciaOSse tomara igual a

a. Se pide:

Calcular la trayectoria deM con relacion a la recta movilOS.

Estudiar el movimiento en el caso particulark = ω2/2 suponiendo que en el instanteinicial el puntoM se encuentra enO y no tiene velocidad.

Calcular el valor maximo de la velocidad relativa deM en el caso particular definido enel apartado 2).

Nota: La ecuacion de la trayectoria pedida en el apartado 2 debe contener cuatro constantesindeterminadas.

E.T.S.I.A., marzo de 1966

7.2. Movimientos centrales

Ejercicio 7.2.1: Una partıcula de masam esta sometida a una fuerza central respecto al puntofijo O de valor:F= Km

(

r2−3ar+2a2)

ur dondeK y a son constantes positivas. Estudiar paraque valores del radio son posibles orbitas circulares de centroO, y determinar la velocidad enfuncion del radio.

Septiembre de 1994

Ejercicio 7.2.2: Una partıcula de masamesta sometida a la fuerza centralF =−kmr3 ur , donde

k es una constante positiva yr es la distancia al polo de atraccion. SeaC la constante de areasy E la energıa mecanica total de la partıcula. Determinar, segun sea(C2− k) > / = / < 0 yE > /= / < 0, si la partıcula puede irse al infinito y en caso de que ası sea, si lo hace con ramaasintotica, parabolica o espiral.

Septiembre de 1993

Ejercicio 7.2.3: Una partıcula describe una orbita circular de radioa bajo la accion de unafuerza central que solo depende de la distanciar al poloO. Sabiendo quedicho polo se encuen-tra sobre laorbita de la partıcula,obtener la ecuacion de la trayectoria respecto a un sistem dereferencia con origen enO y la forma de la fuerza.

Septiembre de 1996



Problema 7.2.1: Una partıcula de masamse mueve sin rozamiento sobre un planoOxysome-tida a la fuerza central

F =−mω2a3

r2 (1−2λ cosθ)ur

dondeλ es un parametro positivo.Inicialmente la partıcula se encuentra en(a,0) con una velocidadωa dirigida segun la parte

positiva deOy. Se pide:

1. Establecer la ecuacion diferencial de la trayectoria dela partıcula, integrarla y particula-rizarla para las condiciones iniciales dadas.

A continuacion vamos a ir resolviendo una serie de cuestiones que tienen por finalidad el analisisdel movimiento y de la trayectoria.

2. Dibujar en un diagrama cartesiano el valor dea/r en funcion deθ y observar la influenciaque tiene el parametroλ en la curva obtenida.

3. Razonar a la vista de las curvas anteriores que para valores pequenos deλ existen dospuntos del plano por los que pasa varias veces la trayectoriaantes de marcharse al infinito.SeanM y M′ estos dos puntos. Situarlos exactamente en el plano.

4. La velocidad de la partıcula va pasando alternativamente por unos valores maximos ymınimos. Seanθi los valores deθ en los puntos correspondientes. Obtener una ecuaciontrascendente que nos de los valoresθi buscados.

5. Hallar el valor que la velocidad va tomando en funcion deθ y en particular calcular susmaximos y mınimos en funcion de losθi anteriores.

6. Establecer la ecuacion que nos da el valorθ∞ para el que la trayectoria se marcha alinfinito.

7. Obtener el mınimo valor deλ para el cual la partıcula se marcha al infinito sin que suvelocidad haya crecido en ningun momento. Seaλm este valor.

8. Estudiar si la marcha al infinito se hace con rama asintotica o parabolica considerandoespecialmente el caso en queλ = λm.

9. Hacer un dibujo aproximado de la trayectoria en el caso en queλ = 1/10.

Septiembre de 1985

Problema 7.2.2: Una partıcula material de masam es atraıda por un punto fijoO de un planoOxycon una fuerza

F =−3kmr4

(

1+2ar

)

donder es la distancia que la separa deO.En el momento inicial la partıcula se encuentra en(3a,0) con una velocidadv0 j . Se pide:

1. Plantear las ecuaciones del movimiento de la partıcula,dejando la integracion pendientede una cuadratura del tipo

t =∫

r2dr√

ϕ(r)2. Obtener completamente integrada la trayectoria para el caso en quev0 es tal queϕ(r)

queda reducida a un polinomio de 2o grado. Dibujar dicha trayectoria.

3. Determinar en este caso el tiempo que la partıcula tarda en llegar aO ignorando la singu-laridad fısica que presenta este punto.

4. Determinar que rango de velocidades hacen que la partıcula se marche al infinito.

5. Estudiar la existencia de asıntota en este caso.

6. Estudiar la existencia y estabilidad de movimientos circulares estacionarios.


7.3. DINAMICA ORBITAL 39

7.3. Dinamica orbital

Ejercicio 7.3.1: Un satelite de masam, sigue una orbita circular de radioa alrededor de laTierra; en un instante dado se ponen en funcionamiento sus cohetes, durante un tiempo muycorto frente al perıodo orbital, que incrementan su velocidad en∆v, en la direccion tangente ala orbita. Discutir el tipo de orbita en funcion de∆v. En caso de orbita cerrada, ¿En que puntoalcanza la distancia maxima a la Tierra?

Junio de 1992

Ejercicio 7.3.2: Una nave espacial describe una orbita circular de radioR con velocidadvc

alrededor de la Tierra, supuesta perfectamente esferica.Desde la nave se lanza una partıcula,de masa despreciable frente a la de la nave, con velocidadv0 = εvc relativa a la nave, en unadireccion que forma un anguloϕ0 con el radio vector. SeanT y T0 los perıodos de las orbitasde nave y partıcula, respectivamente. Determinar el cociente T/T0 en terminos deε y de ϕ0;hallar la relacionf (ε,ϕ0) necesaria para que los perıodos coincidan, y explicarla mediante unadecuado diagrama de velocidades.

Febrero de 1993

Ejercicio 7.3.3: Dos satelites 1 y 2, siguen la misma orbita circular, de radio r0, alrededor dela Tierra, de forma que sus radios vectores estan separadosun anguloα; en un puntoP dadoel satelite 1 enciende sus motores, lo que le comunica subitamente un incremento de velocidad∆v (tangente a la orbita). Determinar el valor de∆v, necesario para que los dos satelites seencuentren la proxima vez que pasen porP.

Septiembre de 1993

Ejercicio 7.3.4: Sobre un plano fijo y lisoOxy, dondeOyes la vertical ascendente, se muevendos partıculas pesadas de igual masam. Ademas de su peso, entre las partıculas existe unafuerza de atraccion de valorGm2

r2 , dondeG es una constante positiva yr es la distancia entreellas. Inicialmente una partıcula esta en el origen con velocidad nula y la otra esta en el puntode coordenadas(0,a) con velocidadv0 i. Determinar el movimiento del centro de masas de laspartıculas y el mınimo valor dev0 para el cual la distancia entre las partıculas aumenta hasta elinfinito.

Febrero de 1995

Ejercicio 7.3.5: Considerese una Tierra perfectamente esferica que atraea una partıcula demasam con una fuerzaF = −mµ

r3 r , siendor el vector posicion con origen en el centroO dela Tierra. Una nave espacial de masam se encuentra en orbita circular de radioa alrededor dela Tierra. En un instante dado(t = 0) se encienden los motores que proporcionan un empujeconstante en la direccion radial de valorF1 = ε mµ

a2 ur . Mostrar que existe un valor crıtico delparametroε, por encima del cual la nave escapa del campo gravitatorio terrestre. Determinardicho valor crıtico.

Junio de 1999

Ejercicio 7.3.6: Se tiene un planeta perfectamente esferico de radioR y constante gravitatoriaµ. A una distanciar > R del centro se lanza una partıcula con una velocidadv normal al ra-dio. Describir y dibujar los tipos de trayectorias que se obtienen cuandov varıa de 0 a∞. Enparticular, hay que calcular los valores dev para las tres trayectoriasseparatrices:tangente alplaneta, circular y parabolica; describir las trayectorias en las cuatro regiones determinadas porlas separatrices; y comentar como varıan la energıa mec´anica, el pericentro y el foco vacıo conv.

Problema 7.3.1: SeaM una partıcula material de masam, que se mueve en un planoP, atraıda



por un puntoA del planoP, con una fuerza de intensidad

mµ|AM|2

.

SeaOx1y1 una referencia galileana, rectangular, ligada al planoP; el centro atractivoA, esmovil, y describe la rectay1 = L, con velocidad constante de valor−U i. En el instante consi-derado como inicial, el puntoA atraviesa el ejeOy1, y la partıcula material se lanza, desde elorigenO, con una velocidad, respecto a la referenciaOx1y1, de valorv0 = v0 j1. Se pide:

a) Determinar la trayectoria seguida porM en una referenciaAxy, con origen enA y ejesparalelos a los de la referenciaOx1y1.

b) ¿Cual es la mınima velocidadv0, con que debe lanzarse la partıcula para que no quedeatrapada por el centro atractivoA?.

c) Determinar, para la trayectoria obtenida en el apartado a), las asıntotas, en el supuesto enque la velocidadv0 sea superior al valor calculado en el apartado b). ¿Cual es la mınimadistancia deM al centro atractivo?.

d) Determinar el valor de la velocidadv0 con la que es necesario lanzar la partıculaM, paraque se escape con una asıntota paralela aAx.

e) Supongase que se cumplen las condiciones del apartado anterior. Un observador ligadoa Ox1y1, si espera un tiempo suficientemente largo, detecta un incremento de la energıatotal de la partıcula. Calcular ese incremento y explicar su origen.

Febrero de 1991

Problema 7.3.2: Se tiene un sistema de referenciaExyz, con origen en el centro de la tierray ejes de direcciones fijas en el espacio, que para este problema se considerara inercial.Ezcoincide con el eje de rotacion de la tierra yExycon el plano ecuatorial. En el instantet = 0 un

satelite se encuentra en la posicion~r0 =24λR

25 (1,0,0) con velocidad~v0 =√

25µ24λR(−

15,

1√2, 1√

2).

R es el radio ecuatorial de la tierra,µ su constante gravitatoria, yλ una constante positiva. Sepide:

1. Determinar los vectores~h (momento cinetico especıfico) y~e (excentricidad).

2. Identificar el tipo de orbita y obtener, en funcion de losdatos del enunciado, el parametrop, si es parabolica, o el semieje mayora si es elıptica o hiperbolica.

3. En el instante inicial, se encienden los motores durante un tiempo muy breve, de modoque su efecto se puede asimilar a una percusion. Calcular, en funcion deλ , R y µ, elimpulso por unidad de masa necesario para que la orbita pasea ser circular y ecuatorial.

4. Sabiendo que en estos ejes la velocidad angular de la tierra esΩE = 0,058833√

µ/R3,calcularλ para que el satelite sea geosıncrono, es decir, el periodode la orbita sea igualque el de revolucion de la tierra (dıa sidereo).

ETSIA, septiembre 2000

Problema 7.3.3: Se tiene un planeta de radioR y constante gravitatoriaµ. Un satelite recorreuna orbita kepleriana respecto al planeta. En un instante dado se encuentra en 3R/5

[

−√

3,1,0]

con velocidad√

µ/R[

−√

2/3,−√

1/2,0]

respecto a unos ejes inercialesOx1y1z1 con origen

en el centro del planeta. Se pide:

1. Vector excentricidad.

2. Radios y velocidades en el apocentro y el pericentro.


7.3. DINAMICA ORBITAL 41

3. ¿Chocara el satelite con el planeta?

El planeta gira con velocidad angular√

µ/(6R)3 k1. Se quiere ahora llevar el satelite a unaorbita tal que este siempre en la misma posicion respectoal planeta. Se tratara por tanto de unaorbita circular y ecuatorial, cuya velocidad angularn sea la misma que la de rotacion del planeta.Se usara una orbita elıptica intermedia o de transferencia, coplanaria y tangente a la inicial ya la circular estacionaria. Cuando el satelite llega al apocentro de su orbita, se encienden losmotores en la direccion tangente, proporcionando un incremento de velocidad instantaneo∆v1,de modo que entre en la orbita de transferencia. Cuando llega al apocentro de esta, se enciendende nuevo para proporcionar un∆v2 que lo lleve a la circular estacionaria. Determinar:

4. Radio de la orbita estacionariarE.

5. Incrementos de velocidad∆v1 y ∆v2 para realizar la transferencia.

S

S

S

P

rE

∆v1

∆v2

Problema 7.3.4: Se quiere estudiar el fenomeno de captura de un cometa por parte de unplaneta, por ejemplo Jupiter. ComomS≫ mJ ≫ mC, se puede considerar que el Sol esta en elorigen de un sistema inercialSx1y1z1; que Jupiter describe una orbita circular de radioa en elsentido contrario a las agujas del reloj, contenida en el plano Sx1y1; y que el cometa se mueveen orbita kepleriana respecto al Sol de modo que la atracci´on de Jupiter es despreciable, exceptocuando este muy cerca, dentro de la llamadaesfera de influencia.

Inicialmente se detecta el cometa en la posicion~r0 = 2a(0,0,−1) con velocidad

~v0 =

√

µs

a

(

0,1/√

2,1/√

2)

en ejes inerciales (µs es la constante gravitatoria del Sol).

1. Determinar~h, p, E y~epara el cometa en orbita solar.

2. Identificar el tipo de orbita y localizar el perihelio.

3. Comprobar que corta a la de Jupiter y calcular la velocidad en el punto de corte.

Supongamos que, cuando el cometa llega a(0,a,0), Jupiter acaba de pasar y esta a una dis-tanciab a lo largo de su orbita. Sib≪ a, podemos considerar que el arco de circunferencia entrelos dos es una recta, y que Jupiter esta en(−b,a,0) con una velocidad paralela aSx1. Tomamosunos ejes paralelos a los fijos con origen en Jupiter,Jx0y0z0, y estudiamos el movimiento delcometa respecto a estos ejes. Al serb≪ a, podemos aplicara el problema de los dos cuerpos,despreciando la atraccion solar. Ademas, como la masa delcometa es despreciable, mientraseste cerca seguira una orbita kepleriana respecto a Jupiter (ahora conµJ en vez deµS). Si escerrada y no sale de laesfera de influencia,el cometa ha sido capturado por Jupiter. Para eseinstante, se pide:



4. Velocidad y posicion del cometa respecto a los ejes 0.

5. Energıa de la orbita respecto a Jupiter (notese que enlas velocidades apareceraµs, perola constante gravitatoria de esta orbita esµJ).

6. Valor maximo de la distanciab de cruce para que la orbita sea cerrada1.

1Notese que esta condicion no es suficiente para que haya captura: ademas hace falta que toda la orbita relativaquede dentro de laesfera de influencia. Para hacerse una idea de las magnitudes,µJ es aproximadamente mil vecesmenor queµS. El paso de orbita solar a orbita respecto a Jupiter deberıa hacerse al entrar en la esfera de influencia,y no en el punto “facil” que se ha escogido aquı para simplificar.


Capıtulo 8

Punto sometido a ligaduras

8.1. Punto sobre superficie

Ejercicio 8.1.1: Un punto pesado de masam esta obligado a moverse sin rozamiento sobrela superficie conica de ecuacionz2 = x2 + y2, referida a un sistema inercialOxyzdondeOzes vertical ascendente. Inicialmente las coordenadas del punto son(a,0,a) y su velocidad es√

ag j . Determinar los paralelos entre los que va a tener lugar el movimiento del punto.Febrero de 1995

Ejercicio 8.1.2: Una partıcula pesada de masam se mueve sin rozamiento en el paraboloideaz= r2, (a ≡Cte. positiva), siendo el ejeOz la vertical ascendente. Si inicialmenter = a y selanza con velocidadv0 tangente al paralelo local, dejar el calculo del movimiento reducido acuadraturas. Determinar los valores maximo y mınimo que alcanzar a lo largo del movimiento.

Abril de 1996

Ejercicio 8.1.3: Una partıcula pesada de masam, se mueve por una superficie lisa esferica,estando atraıda por el punto mas alto de la misma y el modulo de la atraccion es 2mg. Enun instante dado el punto se encuentra en el ecuador con velocidad de modulov0 tangente almismo. Calcular el radio de curvatura de la trayectoria en dicho punto.

Septiembre de 1994

Problema 8.1.1: Un punto materialM, de masam, esta obligado a moverse por el interior de uncilindro recto cuya seccion es una circunferencia de radioR. Se representa porf el coeficientede rozamiento entre el punto y el cilindro.

En el instante inicial el puntoM se encuentra en una determinada posicion del cilindro y sele lanza con una velocidadv0 que forma un anguloα0 con la correspondiente generatriz.

Se pide:

1. Determinar en el instante inicial las componentes tangencial y normal de la aceleracion,ası como el correspondiente radio de curvatura de la trayectoria.

2. Plantear las ecuaciones de movimiento del punto utilizando como parametros las coorde-nadas cilındricas deM.

3. Determinar en un instante arbitrario la reaccion normalN del cilindro en funcion de lavelocidadv deM y el anguloα que dicha velocidad forma con la generatriz.

4. Estudiar el movimiento deM determinando su trayectoria y ley horaria.

5. Calcular en funcion del tiempo la reaccion normalN del cilindro.

NOTA.- Se supondra nulo el peso del punto materialM.Febrero de 1969

Problema 8.1.2: Un punto material de masam sin peso, se mueve sin rozamiento sobre un

43

44 CAPITULO 8. PUNTO SOMETIDO A LIGADURAS

cono de ejeOzy verticeO fijos, y cuyo semiangulo en el verticeα es tal que

tg α =1At

siendoA una constante positiva conocida yt el tiempo.

En el instante inicial(t = 0) se situa el punto a una distancial del verticeO y esta dotadode una velocidad, relativa al cono,λ perpendicular a la generatriz correspondiente.

Sobre el punto actua una fuerza de valor:

F =−ml2λ 2

Ar3tk

siendor la distancia entre el punto y el ejeOzy k el versor del ejeOz. Se pide:

1. Ecuaciones del movimiento absoluto del punto en coordenadas cilındricas.

2. Trayectoria absoluta del punto en coordenadas cilındricas.

3. Reaccion que el cono ejerce sobre el punto en funcion deltiempo.

4. Trabajo realizado porF en el movimiento absoluto del punto en el intervalot = 1 at = 2.

5. Trabajo realizado por la reaccion en el movimiento absoluto del punto en el intervalot = 1 at = 2.

Abril de 1972

Problema 8.1.3: Un punto materialM de masam, no pesado, se mueve sin rozamiento, conligadura bilateral, sobre un helicoide de ecuaciones

x= r cosθ , y= r sinθ , z= kθ

referidas a un sistema de ejesOXYZfijos. El punto es atraıdo por el ejeOZ con una fuerza devalor:F = mk4ω2

r3 , siendok y ω constantes conocidas.En el instante inicial se lanza el punto con las siguientes condiciones iniciales:

r0 = k,

(

drdt

)

0=

kω√2,

(

dθdt

)

0=

ω2

Se pide:

1. Determinar completamente el movimiento del punto, es decir, determinarr(t), θ(t).2. Determinar la reaccion de la superficie sobre el punto, enfuncion del tiempo.

Septiembre de 1981

Problema 8.1.4: SeaO1x1y1z1 un sistema de referencia galileano, triortogonal y orientado aderechas, en el queO1z1 es la vertical ascendente; considerese la esferaE de centroO1 y radioa y seaC1 la circunferencia horizontal deE, situada en el plano de ecuacionz1 = a/2.

Sobre un planoπ , en el que se considera un sistema de referencia ortogonalOxy, se traza lacircunferenciaC, de centroO y radioa

√3.

El planoπ se mueve permaneciendo en contacto con la esferaE, de forma que la circun-ferenciaC de π , rueda sin deslizar sobre la circunferenciaC1 de E; el movimiento se realizade forma tal, que el punto geometrico de contacto entre ambas circunferencias, describe la cir-cunferenciaC1 con velocidad constante de valor(aω

√3). (En la figura se esquematizan los

elementos geometricos que intervienen, en un instante generico).

Dos puntos materialesP y Q, de igual masam, estan unidos por un hilo flexible inextensible,de longitudl y sin masa, y se mueven sometidos a las siguientes condiciones:


8.1. PUNTO SOBRE SUPERFICIE 45

El puntoP, se mueve con ligadura bilateral y sin rozamiento, sobre el planoπ , sometidoa la accion de las siguientes fuerzas directamente aplicadas:i) el peso,mg, ii) una repul-sion del puntoO1 proporcional a la masa y la distancia, siendog/(2a) la constante deproporcionalidad, yiii) una atraccion del diametroOM deC, proporcional a la masa y ladistancia, siendo(3ω2) la constante de proporcionalidad.

El hilo que une ambos puntos, pasa por un orificio del planoπ practicado en el puntoO;de su otro extremo pende el puntoQ, que se mueve en la verticalOO1, y sobre el actuan,como fuerzas directamente aplicadas, unicamente el peso.

Se pide:

a) Determinar las fuerzas de inercia que han de tenerse en cuenta al analizar el movimientorelativo del puntoP respecto del planoπ . Determinar la componente paralela al planoy analizar si se compensa, o no, con alguna de las fuerzas directamente aplicadas queactuan sobre el punto.

b) Comprobar que el movimiento del puntoP, respecto del planoπ , es central; plantearlas ecuaciones que gobiernan dicho movimiento; suponga queel hilo se mantiene tensodurante todo el movimiento (“a posteriori”, una vez determinado el movimiento, puedecomprobarse la veracidad de esta hipotesis).

c) Reducir a cuadraturas las ecuaciones planteadas en b). Determinar los movimientos esta-cionarios del puntoP y analizar cuales son estables y cuales no.

d) Determinar, en un movimiento estacionario generico, lareaccion normal del planoπ so-bre el puntoP.

Junio de 1988



8.2. Punto sobre curva

Ejercicio 8.2.1: Una partıcula pesada se mueve por una circunferencia lisa de radioRy centroO fijo, que gira alrededor de un diametro vertical con velocidad angular constanteω. Se estudiael movimiento relativo a la circunferencia mediante el angulo θ que forma la partıcula con elpunto mas bajo de la circunferencia. (a) Obtener la integral de la energıa para el movimientorelativo. (b) Calcular en funcion de la posicionθ la reaccion de la curva en la direccion normala su plano.

Septiembre de 2001

Ejercicio 8.2.2: Dejar reducido a cuadraturas la ecuacion del movimiento deuna partıcula demasamque puede moverse sobre una circunferencia vertical de radio r y esta unida a un resortede constanteK y longitud natural nula cuyo extremo esta fijo (ver figura) a una distancial pordebajo del punto mas bajo de la circunferencia.

Junio de 2002

Ejercicio 8.2.3: Una partıcula materialM no pesada, de masam, esta obligada a moversesobre un aro circular de radioa situado en un plano vertical y con centro en el origenO. SobreM actua una fuerza repulsiva e inversamente proporcional a la distancia al puntoA = (0,−a)con constante de proporcionalidadK =+2a2m.

a) Plantear las ecuaciones del movimiento. (2 puntos)

b) Si parat = 0, θ = θ0, θ = θ0 siendoθ el angulo entre~OA y ~OM, hallar la reaccion enfuncion deθ . (2 puntos)

c) Dejar reducido a una cuadratura la ecuacion del movimiento. (1 punto)

Junio de 2003

Ejercicio 8.2.4: Una partıcula de masam se mueve con ligadura unilateral por el interior deuna circunferencia vertical, rugosa, de radioR (el coeficiente de rozamiento entre la partıcula yla circunferencia esµ). En el instante inicial se lanza desde el punto mas bajo de la circunferen-cia, con una velocidadv0 suficientemente grande para que la partıcula alcance el punto superior.¿Con que velocidad llega al punto mas alto?

θ

Sugerencias:θ = ddθ

(

12θ2

)

. En algun paso del desarrollo, aparecen dos cami-nos, uno de ellos sencillo y directo; para quienes quieran seguir el complicado,puede ser util la integral siguiente:

∫ θ

0(sinθ +µ cosθ)e2µθ =

−11+µ2

eµθ (cosθ −2µ sinθ −µ2 cosθ)

+µ2−1

Junio de 1994


8.2. PUNTO SOBRE CURVA 47

Problema 8.2.1: Se dispone de un alambre elasticoAB sin masa, de longitudπa el cual seempotra en una pared por su extremoA.

Se flexa el alambre sujetandolo por su extremoB, de manera que adopte la forma de unasemicircunferencia, y en esta posicion, se coloca un puntomaterialM, no pesado, de masamsobre el mismo.

En el instante inicial se suelta el extremoB del alambre y debido a su elasticidad, trata derecuperar su forma rectilınea, arrastrando al puntoM.

Se sabe que la curva que adopta el alambre en cada instante, esun arco de circunferencia,con centro variableC sobre el ejeAY y cuyo radio varıa segun la ley conocida

CA= R(t)

Se tomara como parametro para definir la posicion del punto, el anguloϕ de la figura ad-junta. Sabiendo que no existe rozamiento, se pide:

1. Expresion de la posicion, velocidad y aceleracion absoluta del punto, en funcion det, ϕy sus derivadas.

2. Ecuacion diferencial del movimiento [ecuacion que determinaϕ(t)].

Suponiendo el caso particular en queCA= R(t) = v0t +a, y que se lance el punto en elinstante inicial desdeϕ0 = π/2, con una velocidad absoluta, de valorv0 i +v0 j . Se pide:

3. Integrar completamente la ecuacion del movimiento.

4. Determinar la fuerza que el alambre ejerce sobre el punto en cada instante.

5. Trayectoria absoluta descrita por el punto.

6. Determinar el instante y la posicion absoluta del punto,cuando este abandona el alambre.

7. Trayectoria descrita por el punto, a partir del instante en que abandona el alambre.

Julio de 1974

Problema 8.2.2: Un punto material pesadoM de masam, se mueve sobre una helice situadaen un cilindro recto cuya seccion es una circunferencia de radio R y cuyo eje es vertical. Serepresentara porα el angulo que la helice forma con el plano horizontal y porf el coeficientede rozamiento existente entre el puntoM y la helice.

En el instante inicial se situa el punto en una determinada posicion de la helice y se leabandona sin comunicarle velocidad.

Sabiendo que el coeficiente de rozamientof cumple la condicionf < tg α, se pide:

1. Calcular en el instante inicial las componentes tangencial y normal de la aceleracion deM.

2. Plantear las ecuaciones que proporcionan el movimiento deM.

3. Demostrar que la velocidad del puntoM tiende a un valor finito cuando el tiempo tiendea infinito.



4. Calcular la velocidad lımite deM y determinar los valores lımites de las componentestangencial, normal y binormal de la reaccion que la heliceejerce sobre el punto.

5. Estudiar el movimiento deM en el caso de que el anguloα de la helice valga 45o, que el

coeficiente de rozamiento seaf =

√3

3y que inicialmente se lance el punto hacia abajo

con una velocidadv0 =√

2 ·g ·R.Febrero de 1969

Problema 8.2.3: Sea el sistema inercialOx1y1z1, conOz1 vertical ascendente. Alrededor delejeOz1 gira con velocidad angular constanteω el sistemaOxyz, Ozcoincidiendo conOz1. Unapartıcula pesada de masam se mueve sobre la curva lisa del sistemaOxyzde ecuaciony = 0,z= x3

a2 − x, dondea = g/ω2. Dejar reducido a cuadratura el movimiento de la partıculasobrela curva. Si inicialmente la partıcula esta en el origen y se lanza con una velocidad respecto alsistemaOxyzde valorv0, estudiar cualitativamente el movimiento del punto segunsea el valordev0.

Septiembre de 1994

Problema 8.2.4: SeaO1x1y1 una referencia cartesiana rectangular que, se admitira, constituyeuna referencia galileana. Un aroA de radioa rueda sin deslizar por el interior de un aro de radio2a y centroO1, de forma que su centroO se mueve con velocidad constanteaω. Una partıculaM de masam, no pesada, se mueve con ligadura bilateral y sin rozamientosobre el aroA. Sepretende estudiar el movimiento de la partıculaM relativo al aroA y para ello se toman unosejesOxy ligados a este. En el instante inicial el puntoO se encuentra en(a,0), los ejesOxysonparalelos a losO1x1y1, y la partıcula s encuentra en(2a,0) y se lanza con una velocidad relativaal aro de valor~v0 = (2+Λ)aω~j. Se pide:

1. Plantear la ecuacion que gobierna el movimiento de la partıculaM

2. Reducir a cuadraturas el movimiento. Realizar un analisis cualitativo de los distintos tiposde movimiento que pueden presentarse en funcion del parametroΛ. ¿Para que valores delparametroΛ se generan movimientos asintoticos? ¿A que posicion tiende asintoticamentela partıculaM en dichos movimientos?

En el caso particular en el queΛ = 2:

3. Obtener, integrando completamente el problema, la ley horaria con la que la partıcula semueve por el aro.

4. Determinar, en funcion de la posicion, el valor de la reaccion normal del aro sobre lapartıcula.

5. En el caso en que la ligadura fuese unilateral, con posibilidad de desprendimiento de lapartıcula hacia el interior del aro, analizar si se produceo no desprendimiento; en caso deque se produzca, localizar la posicion en que tienen lugar.

NOTA: resulta conveniente, a partir del apartado 2), utilizar como coordenada generalizadael anguloθ que el radio vector

−−→OM forma con el radio vector

−−→OO1.

ω t

O1 x1

y1

x

y

MθO


Capıtulo 9

Dinamica relativa

Ejercicio 9.1: Una partıcula pesada de masam se encuentra sobre una referencia plana movilOxy, que gira con velocidad constante de moduloω alrededor de su eje fijoOy (vertical as-cendente). La partıcula esta unida al origen del sistema mediante un muelle de longitud naturalnula y constante de rigidezk. Inicialmente se encuentra en reposo en una posicion dada por suscoordenadasx0,y0. Se pide calcular las trayectorias que puede seguir la mismaen funcion delos valores que pueda tomar el parametro adimensionalλ = mω2/k.

Febrero de 1995

Ejercicio 9.2: Una partıcula pesada se mueve por una circunferencia lisa de radioR y centroO fijo, que gira alrededor de un diametro vertical con velocidad angular constanteω. Se estudiael movimiento relativo a la circunferencia mediante el angulo θ que forma la partıcula con elpunto mas bajo de la circunferencia. (a) Obtener la integral de la energıa para el movimientorelativo. (b) Calcular en funcion de la posicionθ la reaccion de la curva en la direccion normala su plano.

Ejercicio 9.3: Un plano liso gira con velocidad angular constante~ω constante alrededor de uneje horizontalOxcontenido en el plano. Una partıcula pesada de masam se mueve sobre dichoplano con un movimiento de leyes conocidasx(t), y(t) respecto a un sistema de referencia ligadoal mismo. Si en el momento inicialt = 0 el plano esta horizontal, se pide obtener la reaccionnormal que ejerce sobre la partıcula.

Abril de 1995

Ejercicio 9.4: Una partıculaM esta obligada a moverse por un plano lisoOxy, que a su vez semueve respecto a un sistema inercial del siguiente modo: la direccionOy permanece siempreparalela a sı misma; el plano gira con velocidad angular constanteω; O se desplaza con acelera-cion constanteg por una recta fija del sistema inercial, ortogonal aOy. Plantear las ecuacionesdel movimiento deM relativo al plano, cuando no actuan mas fuerzas que las de ligadura.

Septiembre de 1996

Ejercicio 9.5: SeaOx1y1z1 un sistema de referencia inercial tal queOz1 es la vertical ascen-dente. SeaOx0y0z0 un sistema giratorio respecto al anterior tal queOz0 siempre coincide conOz1 y ~ω01 = ω~k1 (ω =cte.). Una partıculaP de masam se mueve sin rozamiento por una rectadel sistema 0 de ecuaciones parametricas:

x0 = ξ , y0 = 0 , z0 = κ ·ξ (κ = cte.)

Sabiendo que el peso es la unica fuerza directamente aplicada que actua sobre la partıcula sepide:

a) Dejar reducido a una cuadratura la determinacion deξ (t).b) A partir de la cuadratura anterior, hacer un estudio cualitativo del movimiento de la

partıcula segun sean las condiciones iniciales.

49

50 CAPITULO 9. DINAMICA RELATIVA

Septiembre de 2007

Ejercicio 9.6: En un planeta de radioR y masaM, los cuerpos pesan en los polos el doble queen el ecuador. Determinar la duracion del dıa.

Ejercicio 9.7: Una partıcula pesada se mueve sin rozamiento sobre la parabola de ecuaciony = 0, z= b

(

xa

)2, cuyo ejeOz es vertical. La parabola gira con velocidad angular constante

ω = Λa

√2gbalrededor deOz. Determinar, en funcion deΛ, las posiciones de equilibrio relativo

de la partıcula. En el caso en queΛ = 1, determinar el movimiento y la reaccion normal cuandola partıcula se lanza desde el verticeO con una velocidadv0 relativa a la parabola.

Junio de 2000


51

Problema 9.1: Una estacion espacialO, se encuentra en orbita circularalrededor de la TierrasiendoR el radio de su orbita. Se pretende, analizar el movimiento,respecto de la estacionespacialO, de una naveM que desea atracar en ella.

x1

y1

z1

C

x

y

z

bM

R

O

ρ

Para la descripcion analıtica del problema se consideraran los si-guientes sistemas de referencia:i) Cx1y1z1, con origen en el centrode la TierraC, el planoCx1y1 coincidiendo con el plano de la orbitacircular seguida por la estacion, y el ejeCz1 perpendicular al mis-mo, ii) Oxyz, con origen en la estacion espacial, el ejeOx segunla vertical ascendente, el ejeOy tangente a la orbita y el ejeOznormal al plano orbital. En la resolucion del problema se tendranen cuenta las siguientes hipotesis simplificatorias:a) el sistema dereferenciaCx1y1z1 se considerara inercial y,b) la Tierra es perfec-tamente esferica y atrae a cualquier partıcula materialM de masam con una fuerza igual a

F =− mµ|CM |3CM .

Se pide:

a) Determinar las fuerzas de inercia, de arrastre y de Coriolis, que es preciso tener en cuentapara analizar el movimiento de una partıculaM de masam, respecto de la referenciaOxyz.La posicion de la partıculaM se fijara mediante el radio vectorOM = ρ = xi +yj +zk.

b) Suponiendo que|ρ| ≪ |CM | obtener un desarrollo en serie de potencias del parametropequeno|ρ|/R de la fuerza gravitatoria terrestre que actua sobreM.

c) Se denominagradiente de gravedada la suma de la fuerza de inercia de arrastre y laatraccion gravitatoria terrestre. Obtengase una expresion aproximada del gradiente degravedad, usando, para la atraccion gravitatoria terrestre, los dos primeros terminos deldesarrollo obtenido en b).

d) Planteense las ecuaciones que gobiernan el movimiento libre de una partıculaM de masam, respecto de la estacion espacialOxyz; obtengase una version aproximada de las ecua-ciones, usando, para el gradiente de gravedad, la expresion aproximada determinada enel apartado anterior. (Ecuaciones de Hill).

e) Integrense las ecuaciones de Hill a partir de unas condiciones iniciales arbitrarias

en t = 0 : x= x0, y= y0, z= z0, x= x0, y= y0, z= z0 (1)

Si la partıculaM representa una nave espacial que evoluciona en las proximidades de la estacion,la solucion obtenida en e) permite resolver, en principio,el problema de atraque de la nave enla estacion, mediante una maniobra de dos impulsos:

f) Si en el instantet = 0 la nave se encuentra con el estado dinamico definido en (1),ave-riguar el impulso que es necesario dar a la nave para que en el instante finalt = τ, seencuentre en la estacion espacial (origenO : x= y= z= 0).

g) Averiguar el impulso que es necesario darle a la nave, en elinstante finalt = τ, paradejarla en reposo en el origenO.

Abril de 1994


52 CAPITULO 9. DINAMICA RELATIVA


Capıtulo 10

Examenes: Dinamica del Punto

Se incluyen aquı problemas propuestos en examenes de Mec´anica de anos anteriores. En lassecciones anteriores se han propuesto problemas o ejercicios sobre partes concretas del temariode Dinamica del Punto: movimiento con ligaduras, dinamica relativa, etc. Los de esta seccionsuelen requerir tecnicas correspondientes a varias partes.

10.1. Examenes recientes

53

54 CAPITULO 10. EXAMENES: DINAMICA DEL PUNTO

Problema 10.1.1: Una partıcula pesadaM (solido 2) esta obligada a moverse por el interiorde un tubo liso sin masa (solido 0), tal como se muestra en la figura. El tubo esta contenido enun plano verticalOx1y1 fijo (solido 1), y gira alrededor de su punto centralO, que esta fijo, convelocidad angularω k1. En el instante inicial, el eje del tuboOx coincide con el eje horizontalfijo Ox1, siendoOy1 la vertical ascendente. Se quiere estudiar el movimiento dela partıcularelativo al tubo, es decir, el movimiento 2/0.

1. Calcular todas las fuerzas de inercia que intervienen. (20%)

2. Plantear las ecuaciones del movimiento en el planoOxy. (20%)

3. Calcular la reaccion normal del tubo en funcion dex, x y t. (20%)

4. Integrar completamente la ecuacion diferencial del movimiento relativo, dejandola enfuncion de dos constantes de integracion arbitrariasA y B. (20%)

5. En t = 0, la partıcula esta en el origen y se lanza con velocidad relativa x0. Determinaresta velocidad y las constantesA y B para que el movimiento resultante sea una oscilacionarmonica (se supone que el tubo es suficientemente largo, demodo que la partıcula nollega a salir por el extremo). (20%)

m g

x1

y1

x

y ω t

ω t

M

N

O

EUITA, marzo de 2003

Problema 10.1.2: Una partıculaM (solido 2), de masam, esta obligada a moverse por una rectalisa de movimiento conocido (solido 0), tal como se muestraen la figura. La recta esta contenidaen un plano fijoO1x1y1 (solido 1), y gira alrededor de uno de sus puntosO, con aceleracionangularα k1 constante.O se mueve con aceleracion constantegi1 a lo largo del ejeO1x1. Enel instante inicial,O coincide con el origenO1 y la rectaOx coincide con el eje fijoOx1. Sequiere estudiar el movimiento de la partıculaM relativo a la recta, es decir, el movimiento 2/0.Se tomara como incognita la coordenadax de M, de modo queOM = xi. Todos los resultadosse proyectaran en los ejesOxyz.

Cinematica

1. Calcular el anguloθ de la figura como funcion del tiempo. (10%)

2. Calcular la aceleracion de arrastreaM01 como funcion del tiempo y dex. (30%)

3. Calcular la aceleracion de Coriolis deM en funcion de ˙x y t. (20%)

Se supone ahora que sobre la partıcula actua un pesomgi1 en la direccion del ejeO1x1, y queent = 0 se lanza desdex= 0 con velocidad relativa ˙x= v.


10.1. EXAMENES RECIENTES 55

Dinamica

4. Plantear las ecuaciones de la cantidad de movimiento deM en el movimiento 2/0,proyectadas en ejes 0. (20%)

5. Calcular el valor de la reaccion normal de la recta ent = 0. (20%)

x1

m g

x1

y1

x

y θ

θ

M

N

O

O1

EUITA, junio de 2003

Problema 10.1.3: SeaO1x1y1z1 un sistema de referencia inercial tal que el ejeO1z1 es verticalascendente. El sistemaOx0y0z0 de la figura se mueve respecto al sistema 1 de tal modo que:i) ~ω01 es constante siendo su valorω~k1 = ω~k0; ii) el planoOx0z0 rueda sin deslizar sobre elcilindro circular del sistema 1 de ejeO1z1 y radioR; iii) zO

1 = Ren todo instante. SeaA el puntointerseccion, en un instante generico, entre el ejeOy0 y la generatriz del cilindro que esta encontacto con el planoOx0z0. Seaα el angulo entreO1x1 y Ox0 y η la coordenaday0 del puntoA.

Una partıcula pesadaM, de masam, esta obligada a moverse sin rozamiento por la circun-ferencia del sistema 0 que esta contenida en el planoOx0z0, tiene radioR y centro en el puntoO. Seaθ el angulo, en un instante generico, entreOM y la parte negativa del ejeOz0.

Se pide:

a) Determinarα y η en funcion del tiempo sabiendo que inicialmente sus valores son nulos.

b) Determinar, en funcion deθ y sus derivadas respecto al tiempo, las expresiones de lasfuerzas de inercia que intervienen en el estudio del movimiento de la partıcula respectoal sistema 0.

c) A partir de las ecuaciones del movimiento respecto al sistema 0, dejar el calculo deθ(t)reducido a una cuadratura.

d) Estudiar cualitativamente que tipo de movimientos puede tener la partıcula, indicando enparticular si existen posiciones de equilibrio o siθ puede realizar movimientos asintoticoshacia ciertos valores.

e) Determinar la reaccion de la curva sobre la partıcula.



ETSIA, Junio de 2002



Problema 10.1.4: Se tiene una placa horizontalOx0y0 (sistemaS0) que gira respecto a unsistema fijoOx1y1z1, alrededor del eje vertical comunOz0 ≡ Oz1. La velocidad angular esconstante:ω01 = ω k0. En la placa se talla una ranura de ecuacion polarr = a+bθ , dondea yb son constantes positivas. Por la ranura se mueve sin rozamiento y con ligadura bilateral unapartıculaM de masam (sistemaS2).

En el instante inicial los ejesS0 coinciden con los fijos. La partıcula se deja enr = a, θ = 0,en reposo respecto a la placa giratoria. Se recomienda trabajar en coordenadas polares sobreS0.Se pide:

1. Razonar que fuerzas hay que tener en cuenta en el movimiento de la partıcula relativo ala placa movil, sin calcular todavıa su expresion detallada.

2. Plantear la ecuacion de la energıa para el movimiento relativo 2/0. Razonar cuales de lasfuerzas no trabajan y si alguna es potencial.

3. Dejar el problema reducido a una cuadratura enθ y t. Habra que justificar la eleccion designo, planteando la correspondiente ecuacion de cantidad de movimiento.

4. Demostrar queθ → |ω| cuandot → ∞.

5. Supongase que la ranura esta abierta por su extremormax= c. Calcular la velocidad ab-soluta con que la partıcula abandona la placa (proyectada en ejesS0 y en polares).

6. Razonar el sentido en que ha de girar la placa para que el modulo de la velocidad absolutade salida sea maximo, y si es posible ajustar los parametros para que la velocidad absolutade salida tenga direccion radial.

x1

y1

ω t

O

x0

y0

ur

uθ M

rθ

ETSIA, septiembre de 2008



Problema 10.1.5: El sistemaOx0y0z0 de la figura gira con velocidad angular constanteωalrededor del eje verticalOz1 ≡ Oz0 del sistema inercialOx1y1z1. Considerese el arcoAB de lacurva lisa de ecuaciones:

y0 = 0

z0 =a2(1−cos

πx0

a)

(−2a≤ x0 ≤ 2a)

Un punto materialM de masamse mueve por la curva anterior, a la que puede abandonar porsus extremosA o B, en cuyo caso comenzarıa a moverse sobre el planoOx0y0, que es rugosocon coeficiente de rozamientoµ. Ademas de su peso, sobre la partıcula actua una atracci´ondel puntoO, proporcional a la masa y a la distancia a este punto, siendoω2 la constante deproporcionalidad. Se pretende estudiar el movimiento del punto respecto al sistemaOx0y0z0,para lo cual se pide:

a) Determinar en funcion de la posicion(x0,y0,z0) y velocidad(x0, y0, z0) de la partıcula,las expresiones de las fuerzas de inercia de arrastre y de Coriolis.

b) Suponiendo que el punto se esta moviendo sobre la curva, dejar su movimiento reducidoa una cuadratura.

c) Si inicialmente el punto esta en el origenO y su velocidad respecto al sistema 0 esv0 i0,estudiar cualitativamente el movimiento del punto subre lacurva segun sea el valor dev0.¿Para que rango de valores dev0 el punto abandona la curva por sus extremosA o B?

d) Si v0 = 2√

2ga+ω2a2, comprobar que la partıcula abandona la curva por su extremo A.¿Con que velocidad lo hace?

e) En lo que sigue, el punto se mueve sobre el plano rugosoOx0y0, siendo las condicionesiniciales de este movimiento las que tiene a la salida de la curva. Determinar la compo-nente normal de la reaccion del plano sobre el punto.

f) Determinar las componentes segun la tangente y la normala la trayectoria de las fuerzasque actuan sobre el punto. Siv es la magnitud de la velocidad yϕ el angulo que formacon el ejeOx0, hallarv(t) y ϕ(t).

g) Determinar la trayectoria y la ley horaria del movimiento.

h) ¿Cuanto tiempo transcurre desde que el punto abandona lacurva hasta que se para? ¿Enque punto del plano se para?

i) Calcular el trabajo realizado por la fuerza de rozamientodesde que el punto abandona lacurva hasta que se para.

ETSIA, Junio de 1994

x1

y1

O

x0

y0

z1 ≡ z0

A

Bb

M

b

Mϕ t

n

ω t


10.2. EXAMENES MAS ANTIGUOS 59

10.2. Examenes mas antiguos

En esta seccion se incluyen problemas de examenes anteriores al plan de estudios 2000. Estopresenta dificultades, porque la asignatura Mecanica del plan 1974 de la ETSIA, y la correspon-diente de la EUITA, tenıan programas mas amplios que la Mecanica Clasica; de hecho incluıatemas de Mecanica Analıtica, de Mecanica Orbital y Dinamica de la Actitud, y hasta de Vibra-ciones: teorıa del potencial, formulacion hamiltoniana, linealizacion (pequenos movimientos),modos de vibracion. Por tanto, algunas preguntas no podran resolverse con los conocimien-tos correspondientes a esta asignatura. Pero no por eso vamos a dejar de lado otros temas quesı pueden tratarse y tienen un interes notable.

En las secciones anteriores tambien hay problemas anteriores a 2000, pero todo lo que sepregunta se puede resolver con los conocimientos de Mecanica Clasica. Se dejan para esta partelos que tengan alguna cuestion que ya no se incluye, y que obviamente no es necesario tratar.

Problema 10.2.1: Un punto materialA de masa 3m, se mueve, sin rozamiento, por una cir-cunferencia de centroO y radioa contenida en un plano vertical, en el que se elige un sistemade referenciaOxyzcuyo ejeOy coincide con la vertical ascendente que pasa porO. Un puntoB de masam se mueve, en el planoOxy, unido con el puntoA mediante un muelle de longitudnatural nula y constante de rigidezK = (mg)/a. Para determinar la configuracion del sistemase utilizaran, como coordenadas generalizadas, el angulo ϕ que el radio vectorOA forma conel ejeOy, y las coordenadas(x,y) del puntoB. Se pide:

1. Determınese la energıa potencial del sistema en funci´on de las coordenadas generalizadas.Hallar las posiciones de equilibrio, especificando cuales son estables y cuales inestables.

2. Determınese la energıa cinetica del sistema en funci´on de las coordenadas y velocidadesgeneralizadas.

3. Linealıcese la energıa cinetica y la energıa potencial del sistema, alrededor de la posicionde equilibrio estable determinada en 1.

4. Planteense las ecuaciones de Lagrange que gobiernan lospequenos movimientos del sis-tema alrededor de la posicion de equilibrio estable anteriormente mencionada.

5. Obtenganse las frecuencias naturales de vibracion delsistema y las formas modales aso-ciadas a cada uno de los modos propios de oscilacion. Determınense unas coordenadasnormales del sistema.

7 de Junio de 1986

Aϕ

x

y

O

B



Problema 10.2.2: Se tiene un sistema galileanoOx1y1z1, cuyo ejeOz1 coincide con la verticalascendente. Otro sistemaOxyz, tal queOzcoincide conOz1, gira con velocidad angular cons-tanteω = ω k1 respecto al primero. Solidario aOxyzhay un cilindro circular, de radioR, cuyoeje esOx. Sobre el cilindro se mueve una partıculaP de masamy carga electricaq, con ligadurabilateral sin rozamiento. Sobre la partıcula actuan las siguientes fuerzas.a) el peso;b) Fuerzade LorentzF = qv21∧B, dondeB = Bk1.

1. Plantear las ecuaciones del movimiento de la partıcula respecto al sistema movilOxyz,calculando todas las fuerzas que intervienen.

2. Calcular en funcion deω el valor deB necesario para que desaparezcan las fuerzas de-pendientes de la velocidad.

3. Para este valor deB, comprobar que el movimiento segunOx queda desacoplado, e inte-grarlo completamente.

4. Para este mismo valor, reducir a cuadraturas el movimiento eny y z. Hacer un estudiocualitativo, indicando los distintos tipos de movimiento en funcion del parametroλ = 2g

Rω2

y las posiciones de equilibrio estables o inestables. (Paraeste analisis puede ser mascomodo usar la variableθ indicada en la figura).

5. Linealizar este movimiento para valores pequenos deθ . Determinar el perıodo.

6. Para estos pequenos movimientos en las proximidades deθ = 0, determinar los valoresdeω que dan lugar a trayectorias cerradas sobre el cilindro.

7. Para condiciones indicadas en los numeros 3 y 4, calcularel valor de la reaccion normalen funcion de la posicion.

Marzo de 1993

x1

y1

O

x

y

z1 ≡ z

bP

ω t

P

θ

y

z

O

Problema 10.2.3: Considerese la referencia galileana trirectangularOx1y1z1, cuyo ejeOz1

coincide con una vertical ascendente. SeaOxyzuna referencia trirectangular, que gira con ve-locidad angular constante,−ω j , alrededor del ejeOy1, cuyo ejeOy coincide conOy1 y cuyoplanoOxzcoincide con el planoOx1z1 de la referencia galileana; inicialmente, ambas referen-cias coinciden.

SeaM, una partıcula material, pesada, de masam, sometida a una atraccion del punto decoordenadasx1 = y1 = 0, z1 = a, proporcional a la masa y la distancia, siendok = (g/a) laconstante de proporcionalidad (g≡ aceleracion de la gravedad). Se pide:

Determinar los campos de fuerzas de inercia, de arrastre y deCoriolis, que debe conside-rar un observador unido a la referenciaOxyz, que pretenda analizar el movimiento de lapartıculaM.El puntoM, es obligado a moverse sin rozamiento y con ligadura bilateral, sobre la cir-cunferenciaC de ecuaciones:

x= 0, y2 + z2 = a2.

Dejar reducido a cuadraturas, el movimiento del puntoM.


10.2. EXAMENES MAS ANTIGUOS 61

Realizar un analisis cualitativo del movimiento del punto; mostrar que existe cuatro posi-ciones de equilibrio relativo aC, e indicar cuales son estables.

Determinar el periodo de los pequenos movimientos del punto M alrededor de una de lasposiciones de equilibrio estable.

Obtener la reaccion que la circunferencia ejerce sobre el punto.Supongase al punto situado inicialmente enx= y= 0, z= A; se lanza con una velocidad,relativa aC, de valorv0 = aω.

Determinar el tiempo que tarda el punto en alcanzar el equilibrio relativo aC.

Trabajo que la reaccion normal realiza, en el movimiento del punto, respecto a la referen-ciaOx1y1z1, desde el instante inicial, hasta que alcanza el equilibriorelativo aC.

Abril de 1989

Problema 10.2.4: SeaOx1y1z1 un sistema de referencia galileano triortogonal y orientado aderechas; su origen coincide con el centroO de un aro de masaM y radio a contenido en elplanoOx1y1. Sean(r,θ ,ϕ) las coordenadas esfericas, asociadas a la referenciaOx1y1z1, de unpunto genericoP del espacio, y seaV(r,θ ,ϕ) el potencial gravitatorio generado por la masa delaro en el puntoP. Se pide:

a) Obtener una expresion que proporcione, mediante una unica cuadratura, el potencial gra-vitatorioV(r,θ ,ϕ).

b) Obtengase un desarrollo asintotico deV(r,θ ,ϕ), en potencias del parametro pequeno(r/a)≪ 1, que proporcione expresiones aproximadas para el potencial en las proximida-des del centroO del aro.

c) Compruebe que, si se aproxima el potencial, en las cercanias del origenO, por los tresprimeros terminos del desarrollo asintotico obtenido enb), adopta la forma

V ≃ µ4a3(2z2

1−x21−y2

1)

conµ = GM (G es la constante de gravitacion universal).

Se pretende analizar el movimiento de una partıcula material de masam respecto de la helicede representacion parametrica

(x,y,z) = b(senψ,1−cosψ,ψ);

dicha helice se encuentra rıgidamente unida a una referencia Oxyz, cuyo ejeOzcoincide con elejeOz1 de la referencia galileana, alrededor del cual gira con velocidad angular constanteω. Seadmitiran las siguientes hipotesis:i) la helice es lisa,ii) el cociente(b/a≪ 1, y en consecuenciael potencial gravitatorio puede aproximarse por la expresion recogida en el apartado c). Se pide:

d) Reducir a cuadraturas el movimiento de la partıcula respecto de la helice.

e) Analizar las posibles posiciones de equilibrio en funci´on del parametro,Λ = µ(2a3ω2).¿Para que valor deΛ se presenta una posicion de equilibrio relativo enψ =30o?

f) Realizar un analisis cualitativo del movimiento de la partıcula.

g) Determinar la reaccion de la helice sobre la partıcula, si esta se encuentra en equilibriorelativo en la posicionψ = 30o.

Abril de 1992

Problema 10.2.5: Hay en el sistema solar dos grupos de asteroides, los Troyanos, que acom-panan a Jupiter en su orbita alrededor del Sol. Cada grupose situa en el vertice de un trianguloequilatero contenido en el plano de la orbita, con Jupiter y el Sol en los otros dos vertices. Ungrupo va por delante de Jupiter, y otro por detras.



Para estudiar este movimiento estacionario —que es una solucion particular del problemade los tres cuerpos— se consideraran tres masas aisladas del resto del universo,m1, m2 y m3.Sus vectores posicion respecto de un sistema inercial son~r1,~r2 y~r3. Para facilitar los calculosse usaran las magnitudesM = m1+m2+m3,~u=~r1−~r3 y~v=~r2−~r3.

1. Plantear las ecuaciones del movimiento de las tres masas respecto del sistema inercial.Sera conveniente expresar las fuerzas en funcion de~u y~v.

2. Plantear las ecuaciones del movimiento dem1 y m2 respecto de un sistema con origen enm3 y ejes paralelos a los inerciales.

3. Dejar estas ecuaciones en la forma~u=−GM|~u|3~u+ f (~u,~v), y analogamente para~v.

4. Comprobar que un movimiento tal que las tres masas forman un triangulo equilatero(|~u|= |~v|= |~u−~v|) es solucion de las ecuaciones (si se obtiene la misma ecuacion para~uy~v, y las condiciones iniciales son las adecuadas, tendremos la misma orbita giradaπ/3).

5. Si inicialmente~u = R~i y ~v = R(

12~i+

√3

2~j)

, calcular los vectores velocidad que deben

tener en ese momentom1 y m2 en los ejes no inerciales, para que se produzca este movi-miento estacionario, con orbitas circulares alrededor dem3.

6. Comprobar que tambien es posible una solucion en la que las tres masas estan siemprealineadas (~u= λ~v), pero solo para determinados valores deλ . Obtener la ecuacion escalarde la que se obtienen estos valores (sin perdida de generalidad, se puede considerarλ >1).

Enero de 1998


Capıtulo 11

Dinamica del solido

11.1. Geometrıa de Masas

Ejercicio 11.1.1: Sea un sistema material y un puntoO del espacio. Considerese un sistemade ejes triortogonalOx, Oy, Oz. Demostrar que la suma de dos cualesquiera de los momentosde inercia respecto a los anteriores ejes es mayor o igual queel momento de inercia restante.

Ejercicio 11.1.2: Sea un sistema material y un puntoO del espacio. Considerense los mo-mentos de inercia respecto a todas las rectas que pasan porO. Demostrar que los maximos ymınimos relativos de los anteriores momentos son los momentos principales de inercia.

Ejercicio 11.1.3: SeaSuna distribucion de masa yO un punto; demostrar que si un planoπque pasa porO es plano de simetrıa deSentonces la normal porO aπ es una recta principal deinercia de la distribucionS, en el puntoO.

Ejercicio 11.1.4: Sea una distribucion de masas y un puntoO. Demostrar que si dos direc-ciones principales de inercia respecto al puntoO no son perpendiculares entre sı, entonces losmomentos principales asociados a ellas son iguales.

Como aplicacion, razonese si el tensor central de inerciade un tetraedro regular es esferico.

Ejercicio 11.1.5: Calculese razonadamente el tensor central de inercia de una distribucion demasa formada por cuatro esferas iguales macizas de masam y radioa, situadas en los verticesde un tetraedro regular de lado 2a.

Ejercicio 11.1.6: Determinar el tensor central de inercia del disco plano perfo-rado de la figura, de radioR y densidad superficialσ . La perforacion tiene formade cuadrado circunscrito de ladoR

√2.

x

y

Ejercicio 11.1.7: Un cuerpo esta formado por una esfera de radioR, cuyo material tiene unadensidad volumetricaρ . Tiene un hueco esferico de radioR/2, que se rellena con un materialde densidad 9ρ . Los centros de las dos esferas estan a una distanciaR/2. Calcular su centro demasas y su tensor central de inercia, tomando como ejez el que une los dos centros.

63

64 CAPITULO 11. DINAMICA DEL SOLIDO

Ejercicio 11.1.8: Una pata de tren de aterrizaje se puede modelar de modoesquematico como una varillaOC de longitudL y masam, articulada en elorigenO, y dos cilindros homogeneos de masaM, radio R y alturaH; elcentro geometrico de cada cilindro esta a una distanciaa del extremoC dela varilla. Hallar su tensor de inercia enO (el ejeOz tiene la direccion de lavarilla y el Oyes paralelo a los ejes de los cilindros).

a

O

C

y

z

Problema 11.1.1: Se considera un cono de revolucion homogeneo de masaM, radioRy alturah. Se coloca con su eje coincidiendo conOzy su vertice en el origen. Se pide:

1. Altura a que se encuentra el centro de gravedad.

2. Tensor de inercia en el origen.

3. Tensor central de inercia.

4. Momento de inercia respecto a un diametro de la base.

5. Hallar un punto de su eje en el cual el elipsoide de inercia es esfera.

6. Relacion entreRy h para que el elipsoide central sea esfera.

7. Momento de inercia respecto a una generatriz.

Problema 11.1.2: Se considera el segmento de paraboloide macizo homogeneo yde masam:

z≥ hR2

(

x2+y2) , z≤ h

Se pide:

1. Tensor de inercia en el vertice.

2. Posicion de su centro de gravedad.

3. Tensor central de inercia.

4. Relacion entreRy h para que el tensor sea esferico.

5. Determinar en este ultimo caso los ejes principales en cualquier punto de espacio.


11.2. CINETICA 65

11.2. Cinetica

Ejercicio 11.2.1: Sea el movimiento de un solido respecto a un sistema de referencia dado,y seaP un punto del solido. Si en un instante dadovP = 0 y la velocidad angular valeω~u(‖~u‖ = 1), deducir razonadamente si son validas, en ese instante,las siguientes expresionespara la energıa cinetica y el momento cinetico respecto al puntoP: T = 1

2IPω2; LP = IPω u,dondeIP es el momento de inercia respecto a la recta que pasa porP y tiene direccionu.

Ejercicio 11.2.2: Sean~ω la velocidad angular de un solido respecto a un sistema inercial,e I su momento de inercia enG respecto a la recta paralela a~ω que pasa porG. Responderjustificadamente cuando son ciertas las siguientes afirmaciones:

a) La energıa cinetica del solido en el movimiento relativo al su centro de masas esTG =12I ω2.

b) El momento cinetico del mismo solido enG esLG = I ~ω .

Ejercicio 11.2.3: Una varillaAB de masam y longituda tiene elextremoA articulado en el origenO, y ademas esta contenida enun plano vertical que gira alrededor deOz1 con velocidad angularconstanteΩ. Todas las ligaduras son lisas. Seaθ el angulo de lavarilla con el plano horizontal fijoOx1y1.

Analizar el sistema de fuerzas de ligadura que transmiten laarticulacion y el plano, reducidos aA. En particular conside-rar si trabajan y si se conserva la energıa.

Calcular el tensor de inercia de la varilla en los ejesAx2y2z2

ligados a la varilla y en losAxyz(S0) ligados al plano girato-rio.

Calcular el momento cinetico enA proyectado en ejes 2 y enejes 0.

x1y1

A

Ωt

x

y≡ y2

z1 ≡ z

x2

z2

B

θθ

Ω

Ejercicio 11.2.4: Una placa cuadrada de masam y lado atiene dos vertices fijos mediante rotulas lisas, uno en el origenO y otro en el ejeOy de un sistema inercialOxyz, dondeOzes vertical ascendente. Seaθ el angulo que la placa forma conOyz.

Analizar las fuerzas de ligadura y razonar si el sistemaes isostatico o no.

Calcular el tensor de inercia enO, en ejes paralelos a losS2 de la figura.

Calcular el momento cinetico enO, proyectado en ejesS2 y en ejesS1, y la energıa cinetica.

Obtener una ecuacion que determina el movimiento dela placa.

x

y

z

θ

O

A

x2

y2

z2

G

mg



Ejercicio 11.2.5: Una placa cuadrada de masam y lado atiene una aristaOA apoyada sobre un plano horizontal liso yfijo O1x1z1. Se tomaran los ejesOxyzy Gx2y2z2 de la figura,que acompanan a la placa: uno en la traslacion y precesion, yotro solidario a ella. Seaθ el angulo que la placa forma conla verticalOz (analogo a la nutacion),ϕ el que la aristaOAforma conO1x1 (precesion), yx e y las coordenadas en ejesfijos de la proyeccion del centro de masas de la placa.

Analizar las fuerzas de ligadura y reducirlas al centro dela arista apoyada.

Calcular el momento cinetico enG y enO.

Calcular la energıa cinetica.

Obtener cuatro ecuaciones que den directamente inte-grales primeras.

x1

y1

z1

ϕ

x

y

z

θ

O

A

x2

y2

z2

G

Mx

Nmg

Ejercicio 11.2.6: Un disco pesado de masam y radio aesta ligado de modo que su centroC desliza libremente por eleje Ox0, y gira manteniendose su plano constantemente nor-mal a este. A su vez,Ox0 gira alrededor del eje vertical fijoOx1 ≡ Ox0 con velocidad angular constanteω. Para situar eldisco se usaran las coordenadas generalizadas de la figura.Sepide:

1. Analizar las fuerzas y momentos de ligadura que el eje transmite al disco.

2. Calcular el momento cinetico del disco enC y enO (proyectados en ejesS0), y su energıacinetica.

3. Razonar si se conserva la energıa.

Ejercicio 11.2.7: Un cilindro homogeneo de masaM,radioR y alturah apoya una generatriz en un plano hori-zontal liso. Usando los angulos de la figura, y trabajandoen los ejesGxyz, se pide:

1. Momento cinetico enG y energıa cinetica.

2. Analizar el sistema de fuerzas de ligadura que actuasobre el cilindro y reducirlo aG.

3. Plantear las ecuaciones del movimiento del cilindroe integrarlas.

4. Para las condiciones inicialesφ(0) =ω, ψ(0)=Ω,obtener el momento de las fuerzas de ligadura enG.

5. Para unaω constante, obtener laΩ maxima paraque no se levante del suelo.

x1

y1

z1

G

ψ

x

y

z

ϕ

ψ

Ejercicio 11.2.8: Un disco de radior y masam esta articulado enOmediante una varilla sin masa de longitudL, normal al disco. Se usaranlos angulos de la figura, y se proyectara en los ejes de las coordenadasesfericasa ur , uθ , uϕ . Calcular: a) Momento cinetico del disco respectoal origenO. b) Energıa cinetica del disco.

aHay que tener cuidado con el orden, para que formen un triedroa derechas

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

x

y

z

O

uθ

uruϕ

θ

ϕ

ψ


11.3. DINAMICA 67

11.3. Dinamica

Ejercicio 11.3.1: Sobre la periferia de un disco de masamy radioRse enrolla un hilo, flexible,inextensible y sin masa, de longitudL (yo-yo); con el hilo totalmente enrollado se sujeta unextremoA, se coloca el disco vertical, y se abandona a la accion de la gravedad. Averiguar lavelocidad de rotacion que tiene el disco cuando se ha desenrollado todo el hilo, y el tiempo quetarda en hacerlo.

Septiembre de 1994

Problema 11.3.1: El sistema material indicado en la figura esta formado por una horquilla quepuede girar alrededor de un eje horizontalABy un disco que gira alrededor del ejeCD montadosobre la horquilla perpendicularmente alABy de forma que el plano del disco contiene en todomomento a la horizontalAB

Se supondran los siguientes triedros de referencia,todos ellos triortogonales y a derechas:

El O1x1y1z1 fijo (sistema 1) tal queO1y1 coin-cide con el eje de giroAB y O1z1 es verticaldescendente.

El Ox2y2z2 ligado a la horquilla (sistema 2) talqueOx2 coincide con el eje de giroCD y Oy2

es paralelo alOy1.

El Ox0y0z0 ligado al disco (sistema 0) tal queOx0 coincide conOx2.

La posicion del sistema quedara determinada me-diante el anguloθ que la horquilla forma con la ver-tical descendente y el anguloϕ de giro del disco conrespecto a la horquilla.

Se representara porM la masa de la horquilla, pora la distancia del centro de masasG de lamisma al ejeAB, porρ su radio de giro con respecto al ejeAB, porm la masa del disco, porbla mınima distancia entre los ejesAB y CD y porR el radio del disco.

Suponiendo que el espesor del disco es despreciable, se pide:

1. Calcular la energıa cinetica del sistema constituıdopor la varilla y el disco.

2. Calcular el momento cinetico del disco respecto a su centro de masasO expresado me-diante sus componentes en el triedroOx2y2z2.

3. Calcular el momento cinetico del conjunto horquilla-disco respecto al puntoO1, expresa-do mediante sus componentes en el triedroOx1y1z1.

4. Plantear las ecuaciones del movimiento del sistema y reducirlas a cuadraturas.

5. Determinar los componentes segun el triedroOx2y2z2 de la resultante y momento resul-tante respecto aO de las fuerzas que el ejeCD ejerce sobre el disco.

Julio de 1968



Problema 11.3.2: El sistema material de la figura se compone de dos varillas sinmasa,OAy AG, de longitudes 2a y a, respectivamente, y un disco de centroG, radio 2a y masam. Eldisco se mantiene constantemente perpendicular a la varilla AG, alrededor de la cual puedegirar libremente; la varillaOA puede girar libremente alrededor de la vertical que pasa porsuextremoO, de forma que el extremoA describe una circunferencia horizontal de centroO yradio 2a; las dos varillas se unen por el extremoA mediante una articulacion que unicamentepermite el giro relativo de las dos varillas alrededor de la tangente enA a la circunferenciadescrita por este extremo.Se considerara el movimiento del sistema respectode la referencia triortogonal y orientada a derechas,Oxyz, con origen enO, y cuyo ejeOzcoincide con lavertical ascendente; si se estima conveniente, puedeusarse la referenciaG; u1,u2,u3 que acompanaal disco en su movimiento, y que tiene origen ensu centroG, con los vectores unitariosu3 dirigidosegun la prolongacion de la varillaAG, u2 perpen-dicular al anterior y contenido en el plano verticaldefinido por la varillaAG, y u1 perpendicular a losdos anteriores.

Para el analisis del sistema se tomaran las siguientes coordenadas generalizadas:i) ϕ, anguloque ~OA forma con la direccion del ejeOx, ii) θ , angulo que la varillaAG forma con el planohorizontalOxy, y iii) ψ, angulo que un radio fijo al disco forma con el plano verticalquecontiene a la varilla. Se pide:

a) Determinar, en funcion de las coordenadas y velocidadesgeneralizadas:i) la energıacinetica del sistema,ii) momento cinetico del sistema respecto del centro de masasG,y, iii) momento cinetico del sistema respecto del origenO.

b) Plantear, aislando el disco, la ecuacion de momento cin´etico respecto del centro de masas;deducir una integral primera y las componentes del momento que la varillaAG transmiteal disco.

c) Plantear, para todo el sistema, la ecuacion de momento cinetico en el puntoO; deduciruna integral primera.

d) Deducir otra integral primera independiente de las anteriores y reducir el problema acuadraturas.

e) Plantear, aislando el disco, la ecuacion de cantidad de movimiento; deducir las compo-nentes de la reaccion que la varillaAG transmite al disco.

f) Determinar el sistema de fuerzas que se transmite de una a otra varilla a traves de la uniondeA.

g) Hallar la lagrangiana del sistema y deducir las ecuaciones de Lagrange para las coorde-nadas cıclicas.

Septiembre de 1992


11.3. DINAMICA 69

Problema 11.3.3: Consideremos un plano inclinado un angulo de 30o sobre el horizontal yunos ejesOxy rectangulares marcados en el mismo, siendoOx la lınea de maxima pendienteorientada positivamente en sentido descendente yOyuna recta horizontal.

Sobre dicho plano va a rodar y pivotar sin deslizamientoun artilugio constituido por un eje con dos discos que gi-ran sobre el en sus extremos. El ejeABse puede conside-rar como una varilla de longitud 2a y masam. Los discosextremos tienen radioa y masam. Una vista tomada per-perdicularmente al plano inclinado esta representada enla figura adjunta.La configuracion del sistema ası constituido queda deter-minada por los siguientes parametros. Coordenadasξ , ηdel centro de masas del ejeAB, anguloθ formado porABcon la horizontalOyy angulos de rotacionϕ1 y ϕ2 de losdiscosD1 D2 sobre el ejeAB. En lo que sigue puede serinteresante la consideracion de un sistema de ejes movi-les GXY indicados en la figura, siendoGY coincidenteconAB y GX perpendicular aAB y paralelo al plano in-clinado.

y

x

ξ

η

gsinπ/6

θ

Y

X

G

B

AX1

Y1

X2

Y2

Supondremos que entre los discos y el plano existente en todomomento rozamiento sufi-ciente para evitar el deslizamiento. Las reacciones tangenciales en los puntos de contacto lasdenominaremosX1, Y1, X2, Y2, como estan indicadas en la figura.

El sistema es abandonado a la accion de la gravedad partiendo de las siguientes condicionesinicialesξ = η = 0, ξ = η = 0, ϕ1 =−ω, ϕ2 = ωSe pide:

1. Establecer tres ligaduras que expresen el no deslizamiento de los discos sobre el plano.La primera de ellas (1) expresara la anulacion de la velocidad de los puntos de contactode los discos en sentido deAB y sera comun para ambos discos. Las otras dos (2) y (3)expresaran la anulacion de las velocidades en sentido perpendicular aABde los puntos decontacto deD1 y D2 respectivamente. Comprobar que entre (2) y (3) se verifica lacom-binacion lineal: 2θ + ϕ1− ϕ2 = 0 (4) que sera util a la hora de efectuar la integraciondel sistema de ecuaciones diferenciales.

2. Establecer la ecuacion (5) de la cantidad de movimiento en sentidoGX.

3. Obtener el valor del momento cinetico del artilugio completo enG considerando el mo-vimiento relativo a ejes de direcciones fijas que pasan porG, si bien dicho vector sedebera dar en componentesGXYZ.

4. Aplicar la ecuacion (6) de la componenteGZ del momento cinetico enG.

5. Establecer las ecuaciones (7) y (8) del momento cineticoen el centro de cada uno de losdiscos separadamente, quedandose con la componenteGY.

6. El sistema de ecuaciones (1) a (8), que tiene la ecuacion (4) combinacion de las (2) y (3),nos determina los valores deξ , η, θ , ϕ1, ϕ2, X1, X2. EliminandoX1, X2 entre las (6), (7)y (8) se obtiene una relacion que comparada con la derivada de (4) permite obtener enfuncion del tiempo los valores deθ y deϕ1−ϕ2. Obtener estos valores.

7. EliminadoX1, X2 entre (5), (7) y (8) y combinando con las derivadas de (1) y (2)obtenerel valor deϕ1(t). Como ya se conocıaϕ1−ϕ2 procedente del apartado 6) obtener tambienϕ2(t).

Septiembre de 1984



Problema 11.3.4: Un planoP gira alrededor del eje horizontalOx1 de un sistema de referenciagalileanoOx1y1z1 con una velocidad angular constanteω partiendo de la posicion horizontalOx1y1. Sobre el plano rueda y pivota sin deslizar una esfera homog´enea de radioa y masam.La posicion de la esfera queda fijada mediante las distanciasξ , η del punto de contacto aOy1z1

y Ox1, y mediante los tres angulos de Euler que definen su orientacion respecto al planoP. SeaIxyzun triedro movil que tiene su origen en el punto de contactoI de la esfera con el plano, eleje Ix es una horizontal de este y el ejeIy es una lınea de maxima pendiente. Un observadorligado al planoP pretende estudiar el movimiento de la esfera, determinandolas distanciasξ ,η en funcion del tiempo ası como las componentesp, q, r en los ejesIxyzde la velocidad derotacion de la esfera relativa aP. Para establecer las ecuaciones de este movimiento relativotendra que introducir las correspondientes fuerzas ficticias de arrastre y Coriolis que estarandistribuidas por toda la masa de la esfera.Se pide:

1. Reducir el sistema de fuerzas de inercia dearrastre al puntoI , dando resultante del siste-ma y momento enI .

2. Reducir el sistema de fuerzas de Coriolis alpuntoI .

3. Escribir las ecuaciones (1) y (2) de no desliza-miento de la esfera sobre el plano.

4. Escribir las ecuaciones (3), (4) y (5) del mo-mento cinetico de la esfera respecto al puntoI considerando el movimiento relativo que po-see respecto al triedroIxyz.

5. Integrar completamente el sistema (1) a (5) de-terminando los valores deξ , η, p, q, r en fun-cion del tiempo. Particularizar los resultadosanteriores para el caso en que se tiene inicial-menteξ = η = 0, ξ = v0, η = 0, r = 0.

x1

y1

z1

ω t

O

x

y

z

b

bη

ξ

I

ETSIA, Septiembre de 1984

Problema 11.3.5: Consideremos un disco pesado, homogeneo de masam y radio R. En elcentroM del disco hay unida rıgidamente y perpendicular a el una varilla MN sin masa y delongitud 2R.

El solido ası formado se pone en movimiento de modo que el extremoN se apoye sobre unplano fijo, horizontalOx1y1 y sin rozamiento.

Para el estudio del movimiento se consideran los tres sistemas de ejes siguientes:

Ox1y1z1: Sistema ortogonal que se considera fijo ya sus versores llamaremosi, j , k.

Mx2y2z2: Sistema movil de ejes paralelos aOx1y1z1

y de origenM.

Mx3y3z3: Sistema movil ligado al solido y de origenenM. El ejeMz3 es la prolongacion deNM ylos Mx3, My3 dos diametros ortogonales.

Inicialmente el puntoN se encuentra enO(0,0,0), el M en (√

3R,0,R) y Mx3 esta en elplanoOx1z1.


11.3. DINAMICA 71

La velocidad inicial deM valeωRj y la velocidad de rotacion, tambien en el instante inicial,es la suma de las dos siguientes:

ω1 = ω k sobreOz1 (11.1)

ω2 =16g−ω2R

8ωR(√

3i + k) sobreMz3 (11.2)

Se elegiran como parametros para fijar la posicion del solido las coordenadas(ξ ,η) de laproyeccion deM sobreOx1y1 y los angulos de Euler(ψ,θ ,ϕ) del sistemaMx3y3z3 respecto alMx2y2z2. Se pide:

1o.- Energıa cinetica del solido en funcion de los parametros que fijan su posicion y de susderivadas respecto al tiempo.

2o.- Funcion de fuerzas de la que derivan las fuerzas activas.

3o.- Ecuaciones generales del movimiento.

4o.- Movimiento de M.

5o.- Integrar completamente las ecuaciones del movimiento para las condiciones iniciales da-das.

ETSIA, Marzo de 1973



11.4. Examenes recientes

Mecanica II ETSIA, Junio 2011

El sistema de la figura esta formado por dos discos pesados igualesA (solidoS2) y B (solidoS3), de masam y radio a. Sus centros estan unidos por una varillaAB, de masa despreciabley longitud 2a, mediante cojinetes con restriccion axial, de modo que susplanos permanecennormales a la varilla, y pueden girar libremente alrededor de esta. El conjunto esta apoyadosobre el planoOx1y1 de un sistema inercial dondeOz1 es la vertical ascendente.

Todos los resultados se proyectaran en los ejesGx0y0z0 de la figura, con origen en el centrode masas del sistema,Gx0 segunAB, y Gz0 paralelo aOz1.

La configuracion del sistema viene dada porξ y η, coordenadas enS1 de la proyeccion deG; ψ, angulo que formaGx0z0 conOx1z1; φ , angulo girado porA respecto aGz0 y θ , anguloanalogo paraB1

Supongase que los dos discos ruedan y pivotansin deslizarsobreOx1y1.

1. Calcular las ecuaciones que expresan la condicion cinematica de no deslizamiento en lospuntos de contacto de los discos,C y D. Razonar si son todas independientes y si sepodran calcular todas las fuerzas de ligadura. En caso contrario indicar cuales sı y cualesno o solo en combinacion con otras.2

Supongase ahora que los dos discospueden deslizar libremente.

2. Para el sistema completo, plantear las ecuaciones de cantidad de movimiento y de mo-mento cinetico respecto al centro de masas. Compruebese que hace falta una ecuacionmas.

3. Plantear otra ecuacion, distinta de las anteriores, quede directamente una integral prime-ra. Como hay varias posibilidades, se recomienda tomar la m´as sencilla.

4. Integrar completamente el movimiento para las condiciones inicialesξ = η = ψ = θ =φ = ξ = η = θ = 0, ψ = Ω, φ = ω ent = 0. Calcular las fuerzas de ligadura.

5. Par un valor dado deΩ, calcular el valor maximo deω para que no vuelque el sistema.

x1

y1

z1

O

x0

y0

z0

b

bG

(ξ ,η)

B

AD

C

θ

ψ

φ

ψ

1Solo se tendran en cuenta los resultados proyectados en ejesS0, y en funcion de las coordenadas del enunciado.Cada respuesta tendra que estar incluida en el apartado en que se pregunta.

2Valoracion provisional: 3-4-1-1-1.



Mecanica II ETSIA, Septiembre de 2010

Se tiene una esfera homogenea pesada, de radioa y masamque rueda, pivota y desliza sobre un plano horizontal fi-jo Oxy. El plano es rugoso, con coeficiente de rozamientoal deslizamientoµ, segun el modelo de Coulomb-Morin.No hay resistencia al pivotamiento ni a la rodadura. Noactua ninguna fuerza mas que el peso y las correspon-dientes a las ligaduras que se acaban de describir.Para determinar la configuracion cinematica de la esfe-ra se usaran las componentes de su velocidad angular enejes fijos,(ωx,ωy,ωz), y las coordenadas de su centroCen ejes fijos,(x,y,a) . No se necesita la orientacion de laesfera, ni se usara ningun parametro de actitud. Recuerde-se que el momento de inercia de la esfera respecto a uneje que pasa por su centro es2

5ma2.En el instante inicial, el centro esta sobre el origenO convelocidad(ωa,0,0), y la velocidad angular es(ω,ω,0) .Se pide:

x

y

z

b

B

C

N

Fr

ω

1. Obtener la fuerza de rozamiento en un instante generico,en funcion de las incognitascinematicas y los datos del enunciado.

2. Plantear la ecuacion de la cantidad de movimiento y del momento cinetico enC. Com-probar que, con lo obtenido en el apartado anterior, queda unsistema cerrado con tantasecuaciones como incognitas.

3. Plantear la ecuacion del momento cinetico en el puntoB de contacto con el plano, y obte-ner tres integrales primeras; calcular las constantes paralas condiciones iniciales dadas.

4. Demostrar que esta ultima ecuacion es combinacion lineal de las del segundo apartado.

5. Sustituir las integrales primeras en la ecuacion de cantidad de movimiento, y comprobarque se puede obtener una ecuacion diferencial de variablesseparadas en las derivadas dex ey.

6. Para las condiciones iniciales del enunciado, integrarla completamente, y obtener lasecuaciones horarias deC. Identificar la trayectoria.

7. Calcular el tiempo necesario para que se anule la velocidad de deslizamiento.



Mecanica II ETSIA, junio de 2010

El sistema material de la figura esta formado por:

Una varillaOG3 sin masa, de longitudb, articulada mediante una rotula lisa en el origende coordenadasO de un sistema inercialS1. Oz1 es la vertical ascendente.

Un disco pesadoS3 de masam y radio R, normal a la varilla y fijo enG3 mediante uncojinete liso con restriccion axial que solo permite el giro alrededor deOz0.

Otro disco pesado identicoS2, fijo en un puntoG2 de la varilla a distanciaa < b de O,con un cojinete liso como el anterior.

Para situar los discos se usan como coordenadas generalizadas sus angulos de precesionψy nutacionθ , y los de rotacion propia de cada discoϕ2 y ϕ3. Todos los resultados vectoriales sedaran en los ejes de ResalS0 que se muestran en la figura.

Para simplificar las expresiones, los momentos principalesen O de los discos se tomarancomoA2,A2,C2 y A3,A3,C3, pero cuando haya que usar los centrales se usara su valor real.Todos los resultados se expresaran en funcion de las coordenadas generalizadas y sus derivadas.

Se pide:3

1. Obtener el potencial del sistema.

2. Razonar que componentes de fuerzas y momentos de ligadura se transmiten entre la vari-lla y el discoS3.

3. Determinar el momento cinetico del discoS3 respecto a su centro de masasG3.

4. Obtener el momento cinetico del sistema enO.

5. Obtener la energıa cinetica del sistema.

6. Usando los metodos de la mecanica de Newton-Euler, deducir razonadamente cuatro in-tegrales primeras y calcular su valor.

7. [Esta pregunta es voluntaria, y puede servir para mejorarla nota general] Plantear unaecuacion diferencial que determineθ , y en la que no intervengan incognitas de ligadura.Si se lanza el sistema con unas condiciones inicialesθ0, ψ0, (ϕ2)0, (ϕ3)0 y θ0= 0, deducirla relacion que tienen que cumplir estos valores para que elmovimiento sea estacionario(θ = 0).

x1

y1

z1

θ

θ

bO

ϕ2

G2 b

ϕ3

G3 b

x0

y0

z0

ψ

3Valoracion provisional de los apartados: 1-1-1-2-1-4-(+)



Mecanica II ETSIA, junio de 2007

SeaO1x1y1z1 un sistema de referencia inercial tal queO1z1 es vertical ascendente. El sistemamaterial de la figura esta formado por dos solidos: el solido 3 es un marco cuadradoABCDde lado 2a, con el ejeEF en el centro; su masa es despreciable. En el centroG del ejeEFse coloca el solido 2, un disco de masam y radio R. Esta fijo mediante un cojinete liso conrestriccion axial, de modo que solo puede girar libremente alrededor deEF, manteniendosesiempre perpendicular a el.

El ladoABdel marco se apoya siempre sobre el planoOx1y1 sin rozamiento.La unica fuerza directamente aplicada sobre el sistema es el peso del disco.Para definir la posicion del sistema material respecto a la referenciaO1x1y1z1 se usan las

cinco coordenadas generalizadas siguientes:ξ y η, coordenadasx1 ey1 del puntoG; ψ, anguloque el ladoAB forma con el ejeO1x1; θ , angulo que el ejeEF forma con la vertical;ϕ, angulodefinido entre un radio del disco y la direccion del ladoAB del cuadrado.

Para el estudio del movimiento del sistema, se pide:

a) Obtener, en funcion de las coordenadas generalizadas y sus derivadas, la expresion delmomento cinetico del sistema respecto a su centro de masasG. Puede ser convenien-te trabajar en los ejesS3 de la figura. Obtener la expresion de la energıa cinetica en elmovimiento absoluto.

b) Indicar que componentes no nulas tienen la resultante y el momento del sistema de reac-ciones de contacto del planoO1x1y1 sobre el ladoAB del marco; hacer lo mismo para elsistema de reacciones de contacto del marco sobre el disco.

c) Utilizando los metodos de la mecanica newtoniana, plantear razonadamente cinco ecua-ciones de la dinamica donde solo aparezcan como incognitas las coordenadas generali-zadas y sus derivadas. Estudiar cuantas dan lugar a integrales primeras. Dejar reducido acuadraturas el calculo deθ(t)

d) Determinar cuanto tienen que valer en el instante inicial los angulos y sus derivadas paraque el ejeEF se mantenga siempre vertical.

x1

y1

z1

b

θ

ψ

x3

y3

z3

ϕ

AF

B

G

(ξ ,η)

CE

D

O1


Problem as Mecanic A

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