Problem as Pl

Problemas Seleccionados por Ing. Miguel Jiménez C. Para el curso IO - PL

Docente Adscrito al Dpto. Acad. De Investigación de Operaciones FII-UNP

Pág 1 de 21

1) Una empresa fabricante de productos electrónicos manufactura tres tipos de productos:

Transistores; Micromódulos y Circuitos Ensamblados. Posee cuatro zonas o áreas de

fabricación:

a) Producción de Transistores

b) Ensamblaje de Circuitos

c) Control de Calidad de Transistores y Micromódulos y,

d) Ensamblaje y Prueba de los Circuitos Ensamblados.

Producir un transistor requiere: 0.1 horas de capacidad del área de producción de

transistores; 0.5 horas de capacidad del área de control de calidad de transistores y 0.70

soles de costos directos.

Producir un micromódulo requiere: 0.4 horas de capacidad del área ensamblaje de

circuitos, 0.5 horas de capacidad del área de control de calidad, 3 transistores y 0.50 de

costos directos.

Producir un circuito ensamblado requiere 0.1 horas de capacidad del área ensamblaje de

circuitos, 0.5 horas del área de ensamblaje y prueba de circuitos ensamblados, un

transistor, tres micromódulos y S/. 2.00 de costos directos.

Cualquiera de los tres productos se vende suelto en cantidades ilimitadas a precios de

S/.2.00, S/.8.00 y S/.25.00 cada uno respectivamente (transistores, micromódulos y c.

ensamblados). Si existe 200 horas de trabajo disponible en cada una de las cuatro áreas de

producción en el próximo mes, que productos y en que cantidad deben producirse para

alcanzar la utilidad máxima.

Solución

Se debe tener presente que la producción de un Micromódulo se requiere 3 Transistores

además del tiempo de paso por las diversas áreas que le compete, así mismo la producción

de un Circuito ensamblado requiere de tres Micromódulos y un Transistor además del

tiempo de paso en las áreas que le concierne; lo cual nos indica que para la elaboración de

cada tipo de producto se debe considerar los productos que ellos necesitan como si fueran

especialmente hechos para ellos esto implica el calculo total del tiempo total en cada área

de fabricación así como también el calculo total del costo directo lo cual se resume en la

tabla No1:



Pág 2 de 21

Tabla No1: Cálculo de horas utilizadas de las diferentes áreas para los tres productos

ÁREAS

PRODUCTO

TIEMPO

DISPONIBLE

Transistor

Micromódulo

Circuito

Ensamblado

Producción de

Transistores

0.1 hrs

3 x 0.1 = 0.3 hrs 1 x 0.1 = 0.1 hrs

3 x 0.3 = 0.9 hrs

1.0 hrs

200 hrs

Ensamblaje de

Circuitos

0.4 hrs 3 x 0.4 = 1.2 hrs

+0.1 hrs

1.3 hrs

200 hrs

Control de

Calidad de

Transistores y

Micromódulos

0.5 hrs

3 x 0.5 = 1.5 hrs

+0.5 hrs

2.0 hrs

3 x 2.0 = 6.0 hrs

+0.5 hrs

6.5 hrs

200 hrs

Ensamblaje y

Prueba de los

Circuitos

Ensamblados

0.5 hrs

200 hrs

Costos Directos

S/. 0.70

3 x 0.70 = 2.10

+0.50

S/. 2.60

1 x 0.70 = 0.70

3 x 2.60 = 7.80

+2.00

S/. 10.50

Precio de Venta S/. 2.00 S/. 8.00 S/. 25.00

Definición de las variables de decisión:

X1: Es el número total de Transistores producidos

X2: Es el número total de Micromódulos producidos

X3: Es el número total de Circuitos Ensamblados producidos

La función objetivo se define entonces como la maximización de la utilidad la cual esta

representada por la siguiente Función lineal:

Max U = (2.00 – 0.70)X1 + (8.00-2.60)X2 + (25.00-10.50)X3

o Max U = 1.3X1 + 5.4X2 + 14.5X3

Las restricciones se obtienen en forma directa del cuadro y representan el tiempo utilizado

en cada área de fabricación en consecuencia se tienen 4 restricciones como sigue:

0.1X1 + 0.3X2 + 1.0X3 <= 200

0.4X2 + 1.3X3 <= 200

0.5X1 + 2.0X2 + 6.5X3 <= 200

+ 0.5X3 <= 200

X1,X2,X3 >= 0



Pág 3 de 21

2) Tengo ahora 100 dólares. Durante los próximos tres años, hay las siguientes

inversiones:

Inversión A. Cada dólar invertido ahora produce 0.10 de dólar dentro de un año y 1.30

dólares dentro de tres años.

Inversión B. Cada dólar invertido ahora produce 0.20 de dólar dentro de un año y 1.10

dólares dentro de tres años.

Inversión C. Cada dólar invertido dentro de un año producirá 1.50 dólares dentro de

tres años.

Cada año se puede colocar el dinero no invertido en fondos del mercado de dinero, lo

que produce 6% de interés anual. Se puede colocar a lo más 50 dólares en cada una de

las inversiones A, B y C. Formule un PL para maximizar el efectivo en caja, dentro de

tres años

Solución

Una Imagen Vale más que mil Palabras

Al inicio del 1er año se tiene $100 que se invierten del siguiente modo:

X1A dólares al inicio del 1er año en el Proyecto de Inversión A,

X1B dólares al inicio del 1er año en el Proyecto de Inversión B,

Fond1 dólares al inicio del 1er año en Fondos del mercado de dinero

0 dólares en el proyecto de Inversión C dado que este proyecto no es factible invertir sino

hasta dentro de un año es decir al inicio del año 2.

La primera restricción es: X1A + X1B + Fond1 = 100

1.3X1A+1.1X1B+1.5X2C

+1.06Fond3 1.06Fond2 0.1X1A+0.2X1B

+1.06Fond1 100

1 2 3 4

X1A X1B Fond1 X2C Fond2 Fond3



Pág 4 de 21

Al inicio del segundo año se cuenta con el dinero producido en el primer año por las

inversiones efectuadas y mostradas anteriormente, a saber : 0.1X1A+0.2X1B+1.06Fond1.

Este dinero se invierte del siguiente modo:

X2C dólares al inicio del 2do año en el Proyecto de Inversión C

Fond2 dólares al inicio del 2do año en Fondos del mercado de dinero

La segunda restricción es: X2C + Fond2 = 0.1X1A + 0.2X1B + 1.06Fond1

Al inicio del 3er año solo se cuenta con: 1.06Fond2 dólares, producto de la inversión de

Fond2 dólares en el año anterior.

La tercera restricción es: Fond3 = 1.06Fond2

Al final de los tres años se cuenta con: 1.3X1A+1.1X1B+1.5X2C+1.06Fond3 lo cual

hay que maximizar, en consecuencia la función objetivo es:

FO Max U = 1.3X1A + 1.1X1B + 1.5X2C + 1.06Fond3

Sin embargo por las condiciones del problema se tiene tres restricciones más que dependen

de la capacidad de inversión en los proyectos como se puede observar:

X1A <= 50, X1B <= 50 y X2C <= 50

Resumiendo el modelo matemático de Pl es:

Max U = 1.3X1A + 1.1X1B + 1.5X2C + 1.06Fond3

sa

X1A + X1B + Fond1 = 100

X2C + Fond2 = 0.1X1A + 0.2X1B + 1.06Fond1

Fond3 = 1.06Fond2

X1A <= 50

X1B <= 50

X2C <= 50

Xij>=0

Fond1,Fond2,Fond3>=0

Rpta: X1A=50

X1B=9.3023

X2C=50, Fond1=40.6977 y Max U=150.2325



Pág 5 de 21

3) Una fábrica de papel recibió tres pedidos de rollos de papel con los anchos y longitudes

indicadas en la tabla siguiente:

Pedido Nº Ancho (pies) Longitud (pies)

1 5 10000

2 7 30000

3 9 20000

Los rollos se producen en la fábrica con dos anchos estándar, 10 y 20 pies, los cuales hay

que recortar a los tamaños especificados por los pedidos. No existe límite sobre la longitud

de los rollos estándar ya que para propósitos prácticos los rollos de longitud limitada

pueden unirse para proporcionar las longitudes requeridas. Formule el problema como uno

de programación lineal que permita determinar el esquema de producción (modelos de

corte) que minimice la pérdida por ajuste y satisfaga la demanda dada.

Solución

Primero se deben identificar los diferentes tipos de corte que se pueden hacer con cada

tipo de papel determinando en cada caso los desperdicios esto se resume en la tabla que

sigue:

Anchura i = 1 (10´) i = 2 (20´) Requisitos

X11 X12 X13 X21 X22 X23 X24 X25 X26

5´ 2 0 0 4 2 2 1 0 0 10000

7´ 0 1 0 0 1 0 2 1 0 30000

9´ 0 0 1 0 0 1 0 1 2 20000

Pérdida 0 3 1 0 3 1 1 4 2

Sean S1, S2 y S3 las longitudes producidas en exceso de los rollos con anchos de 5´, 7´ y 9´,

respectivamente. Entonces el modelo queda definido como:

Min Z = 3X12 + X13 + 3X22 + X23 + X24 + 4X25 + 2X26 + 5S1 + 7S2 + 9S3

s.a 2X11 + 4X21 + 2X22 + 2X23 + X24 - S1 = 10000

X12 + X22 + 2X24 + X25 -S2 = 30000

X13 + X23 + X25 + 2X26 -S3 = 20000

Xij 0, Si 0 Para toda i y todas las j



Pág 6 de 21

4) Se hace un pedido a una papelería de 800 rollos de papel corrugado de 30 pulgadas de

ancho, 500 rollos de 45 pulgadas de ancho y 1000 rollos de 56 pulgadas de ancho. Si la

papelería tiene solamente rollos de 108 pulgadas de ancho, como deben cortarse los rollos

para surtir el pedido con el mínimo desperdicio de papel.

Solución

Ancho

Tipos de corte posibles en papel de 108”

Requisitos X1 X2 X3 X4 X5

30” 2 0 1 0 3 800

45” 1 1 0 2 0 500

56” 0 1 1 0 0 1000

Perdida 3 7 22 18 18

El modelo matemático de Pl es:

Min Dt = 3X1 + 7X2 + 22X3 + 18X4 + 18X5

sa

2X1 + X3+ + 3X5 = 800

X1 + X2 + + 2X4 = 500

X2 + X3 = 1000

X1, X2, X3 >= 0

4) Un fabricante pude producir normalmente 450 unidades del producto X en un mes.

Pero con arreglos especiales, a un costo de $1.50 por cada unidad adicional; la

capacidad puede incrementarse a 600 unidades al mes. Las demandas para los

siguientes cuatro meses son de 200, 800, 600 y 400 unidades, respectivamente. La

compañía almacena y distribuye su producto a partir de su almacén que está a cierta

distancia. El transporte de la fábrica al almacén presenta un problema debido a que el

fabricante tiene solo un camión adecuado que puede entregar hasta 300 unidades con un

costo de $2por unidad. Un vehículo idéntico está disponible para alquiler durante

cualquier porción del mes. Sin embargo, los costos son $2.50 por unidad cuando se

utiliza este camión alquilado. El inventario cuesta $1.00 por unidad al mes, y el

inventario disponible al inicio del mes 1 es de 100 unidades. Plantéese este problema

como un problema de transporte para minimizar el costo y encuentre la solución

Solución al final de esta separata



Pág 7 de 21

5) Un expendio de carnes de la ciudad acostumbra preparar la carne para Hamburguesas

con una combinación de carne molida de res y carne molida de cerdo. La carne de res

contiene 80% de carne y 20% de grasa, y le cuesta a la tienda S/ 10.00 el kilo; la carne

de cerdo contiene 68% de carne y 32% de grasa, y cuesta S/. 8.00 el kilo. ¿Qué cantidad

de cada tipo de carne debe emplear la tienda en cada kilo de carne de Hamburguesa, si

se desea minimizar el costo y mantener el contenido de grasa no mayor de 25%.

Solución

Contenido porcentual por kilo de carne

% de carne % de grasa costo por kilo

Carne de res 80 20 S/. 10

Carne de cerdo 68 32 S/. 8

Se definen las variables de decisión como:

Xr: la fracción de kilo de carne de res

Xc: la fracción de kilo de carne de cerdo

La Función Objetivo será Minimizar el costo de preparación o sea:

Min Cp = 10Xr + 8Xc

Con respecto a las restricciones en este problema existe preocupación por la cantidad de

grasa la cual no debe ser superior al 25% del peso total, la cual se representa por la

siguiente restricción:

0.20Xr + 0.32Xc <= 0.25 x 1

La siguiente restricción está referida a la cantidad que debe prepararse o sea 1

kilogramo de carne de Hamburguesa y está representada por:

Xr + Xc = 1

En Resumen el modelo de Pl es:

Min Cp = 10Xr + 8Xc

s.a

0.20Xr + 0.32Xc <= 0.25

Xr + Xc = 1

Xr,Xc >= 0



Pág 8 de 21

6) Cierta corporación tiene 3 plantas sucursales con capacidad de producción en exceso.

Las tres plantas tienen los elementos necesarios como para producir determinado

producto y el gerente ha decidido usar parte de la capacidad de producción en exceso

para tal fin. Este producto puede hacerse en 3 tamaños: grande, mediano y pequeño que

dan como resultado una utilidad unitaria neta de $140, $120 y $100 respectivamente.

Las plantas 1, 2 y 3 tienen la capacidad de mano de obra y equipo en exceso como para

producir 750, 900 y 450 unidades por día de este producto, respectivamente sin importar

el tamaño o la combinación de tamaños que se aplique. Sin embargo, el espacio de

almacenamiento disponible para productos en proceso, también impone una limitación

sobre las tasas de producción. Las plantas 1, 2 y 3 tienen 13000, 12000 y 5000 pies

cuadrados de espacio de almacenamiento disponible para productos en proceso, para un

día de producción de este artículo. Cada unidad de los tamaños grande mediano y

pequeño producida por día requiere de 20, 15 y 12 pies cuadrados respectivamente.

Los pronósticos de ventas indican que pueden venderse al día 900, 1200 y 750 unidades

de los tamaños grande mediano y pequeño.

Con el fin de mantener una carga uniforme de trabajo entre las plantas y conservar

cierta flexibilidad, el gerente ha decidido que la producción adicional asignada a cada

planta debe usar el mismo porcentaje de la capacidad de la mano de obra y equipo en

exceso. Formule un problema de PL, para que le ayude al Gerente a determinar cuanto

debe producirse de cada uno de los tamaños en cada una de las plantas para maximizar

la utilidad.

Solución

La información del problema planteado se resume en el siguiente cuadro:

Pro

duc

tos

Tamaños

Plantas Utilidad neta por unidad

Demanda

M

2/und

1 2 3

Grande (g) Xg1 Xg2 Xg3 140 900 20

Mediano (m) Xm1 Xm2 Xm3 120 1200 15

Pequeño (p) Xp1 Xp2 Xp3 100 750 12

Capac. De Producc./día 750 900 450

Capac. De Almac (m2/día) 13000 12000 5000

Definición de las variables de decisión:

Xij: Número de unidades del producto de tamaño i que se produce en la planta j, donde

i=g,m,p y j=1,2,3



Pág 9 de 21

La F.O:

Max U = 140(Xg1 + Xg2 +Xg3) + 120(Xm1 + Xm2 + Xm3) + 100(Xp1 + Xp2 +Xp3)

s.a

Restricción de Capacidad de producción en Planta No 1: Xg1 + Xm1 + Xp1 <= 750



Restricción de pronósticos de Ventas de tamaño Grande: Xg1 + Xg2 + Xg3 <= 900

Restricción de pronósticos de Ventas de tamaño Mediano: Xm1+ Xm2 + Xm3<= 1200

Restricción de pronósticos de Ventas de tamaño Pequeño: Xp1 + Xp2 + Xp3 <= 750

Restricción de capacidad de Almacenamiento en Planta 1: 20Xg1 + 15Xm1 + 12Xp1 <=13000



Restricción de Carga Uniforme: Xg1 + Xm1 + Xp1 = Xg2 + Xm2 + Xp2 = Xg3 + Xm3 + Xp3

750 900 450

Restricciones de no negatividad Xij >= 0

7) Combustibles S.A, transforma petróleo en queroseno y en aceite combustible. Cuesta

40 dólares comprar 1000 barriles de petróleo, que se destilan después y producen 500

barriles de queroseno y 500 barriles de aceite combustible. Se puede vender

directamente lo que se obtiene de la destilación, o se puede pasar por un reactor

catalítico. El queroseno obtenido después de la destilación y sin más procesos, se puede

vender a 60 dólares los 1000 barriles. El aceite combustible obtenido después de la

destilación y sin más procesos, se puede vender a 40 dólares los 1000 barriles. Tarda

una hora procesar 1000 barriles de queroseno en el reactor catalítico, y se pueden

vender estos 1000 barriles a 130 dólares. El proceso 1000 barriles de aceite combustible

en el reactor catalítico tarda 45 minutos, y se pueden vender estos 1000 barriles a 90

dólares. Se pueden comprar diariamente a lo más 20000 barriles de petróleo, y se

disponen de 8 horas de desintegración catalítica. Formule un PL para maximizar las

ganancias de Combustibles S.A.

Solución

Xqp

Xap

Destilado

Reactor

Catalítico Xp

Xqv

Xav



Pág 10 de 21

Definición de variables:

Xp: Miles de barriles de Petróleo que se compran

Xqv: Miles de barriles de queroseno que se venden después de la destilación

Xav: Miles de barriles de aceite combustible que se venden después de la destilación

Xqp: Miles de barriles de queroseno que entran al proceso del reactor catalítico

Xap: Miles de barriles de aceite que entran al proceso del reactor catalítico

Definición de la F.O

Combustibles SA. En la preparación de sus productos incurre en costos por la compra

de crudo y obtiene ingresos por la venta de sus productos en consecuencia el beneficio o

Ganancia por cada mil barriles tiene que maximizarse de la siguiente manera:

Max G = Ingresos – costos = (60Xqv + 40Xav + 130Xqp + 90Xap) – 40Xp

Las restricciones:

R1 que representan cantidades iguales de producción: Xqv + Xqp = Xav + Xap

R2 que representan que lo que se produce es igual a lo que se compra: Xqv + Xqp + Xav + Xap =Xp

R3 que representan horas disponibles en el reactor catalítico: Xqp + 0.75Xap <= 8

R4 que representan la disponibilidad de Crudo por día: Xp <= 20

R5 que representan que todas la variables son no negativas: Xqv, Xqp, Xav, Xap,Xp >= 0

8) Una fábrica de acero produce tres tipos de cable cada uno se hace con un tipo

diferente de aleación. El proceso es mostrado en el esquema de la figura Nº1. El

problema consiste en determinar las cantidades de cada una de las aleaciones a producir,

dentro de las limitaciones de ventas y capacidad de máquinas, como para lograr la

máxima utilidad.

Aleación 3

Aleación 2

Aleación 1

A C

B

Figura Nº1



Pág 11 de 21

Datos sobre cantidad y utilidad:

Departamento Nº de máquinas Nº de hrs. Disponibles Tiempo per

por máquina y por semana dido. %

A 4 21 5

B 1 20 10

C 1 12 0

Aleación Operación Tasa de operación Potencial de venta Utilidad por Tn.

1

2

3

A

C (1º)

B

C (2º)

A

B

C

B

C

28 hr/Tn

50 pies/min

20 pies/min

25 pies/min

35 hr/Tn

20 pies/min

25 pies/min

16 pies/min

20 pies/min

1200 Tn/mes

250 Tn/mes

1500 Tn/mes

S/. 25

S/. 35

S/. 40

Para todas las aleaciones el cable tiene el mismo peso 4Tn. por cada 400 pies. Formular

el problema como un modelo de P.L

Solución

Se definen las variables de decisión como:

X1: Las Toneladas de aleación 1 que se produce en el mes



La Función Objetivo:

Max U = 25X1 + 35X2 + 40X3



Pág 12 de 21

Es necesario determinar el tiempo disponible para cada departamento de acuerdo a lo

siguiente:

No de horas/mes = (No de máquinas) x (hrs disponibles/semana x máquina) x (No de semanas por mes) x (tiempo útil)

Dpto A: 4 x 21 x 4 x (1-0.05) = 319.2 hrs/mes disponibles

Dpto B: 1 x 20 x 4 x (1-0.10) = 72.0 hrs/mes “

Dpto C: 1 x 12 x 4 x (1-0.00) = 48.0 hrs/mes “

Restricciones de horas utilizadas

Las restricciones vienen dadas por la cantidad de horas utilizadas de cada departamento

en la producción de las tres aleaciones, así tenemos:

Restricción de horas utilizadas en en el Dpto A: Del gráfico se observa que solo la

aleación 1 y aleación 2 requieren de este departamento, en consecuencia la restricción es

directa:

28X1 + 35X2 <= 319.2

Restricción de horas utilizadas en en el Dpto B: Del gráfico se observa que las tres

aleaciones producidas requieren de este departamento, la restricción en este caso no es

directa y tiene que calcularse la cantidad de horas utilizadas como sigue:

Horas utilizadas por aleación1: 20 pies/minuto x 60 minutos/hora x 4 Tn/400 pies = 12 Tn/hora 1/12 horas/Tn

Horas utilizadas por aleación2: 20 pies/minuto x 60 minutos/hora x 4 Tn/400 pies = 12 Tn/hora 1/12 horas/Tn

Horas utilizadas por aleación3: 16 pies/minuto x 60 minutos/hora x 4 Tn/400 pies = 9.6 Tn/hora 5/48 horas/Tn

Por tanto la restricción es:

X1/12 + X2/12 + 5X3/12 <= 72

Restricción de horas utilizadas en en el Dpto C: Del gráfico se observa que las tres

aleaciones producidas requieren de este departamento, sin embargo la aleación 1 tiene 2

pasadas; la restricción se calcula para la cantidad de horas utilizadas como sigue:

Horas utilizadas por aleación1: (50+25) pies/min x 60 min/hora x 4 Tn/400 pies = 45 Tn/hora 1/45 horas/Tn

Horas utilizadas por aleación2: 25 pies/min x 60 min/hora x 4 Tn/400 pies = 15 Tn/hora 1/15 horas/Tn

Horas utilizadas por aleación3: 20 pies/min x 60 min/hora x 4 Tn/400 pies = 12 Tn/hora 1/12 horas/Tn

Por tanto la restricción es:

X1/45 + X2/15 + X3/12 <= 48



Pág 13 de 21

Restricciones de potencial de ventas

X1<=1200, X2<= 250, X3<= 1500

Resumiendo el Modelo matemático resulta:

Max U = 25X1 + 35X2 + 40X3

sa

28X1 + 35X2 <= 319.2

X1/12 + X2/12 + 5X3/12 <= 72

X1/45 + X2/15 + X3/12 <= 48

X1 <= 1200

X2 <= 250

X3 <= 1500

9) Todo el acero producido por Aceros Arequipa tiene que cumplir con las siguientes

especificaciones: 3.2 a 3.5% de carbono; 1.8 a 2.5% de silicio; 0.9 a 1.2% de níquel;

resistencia a la tracción de por lo menos 45000 lb/pulg2. Aceros Arequipa produce el

acero mezclando dos aleaciones. El costo y las propiedades de cada aleación se dan en

la tabla siguiente. Supóngase que se puede determinar la resistencia a la tracción de una

mezcla promediando las resistencias de las aleaciones que se mezclan. Por ejemplo, una

mezcla de una tonelada que se compone de 40% de la aleación_1y 60% de la

aleación_2, tiene una resistencia a la tracción de 0.4(42000)+0.6(50000). Utilice la

programación lineal para determinar cómo minimizar los costos de producción de una

tonelada de acero.

Aleación 1 Aleación 2

Costo por Tn (US$) 190 200

% de Silicio 2% 2.5%

% de Níquel 1% 1.5%

% de carbono 3% 4%

Resistencia a la Tensión 42 000 lbs/pulg2 50 000 lbs/pulg

2



Pág 14 de 21

Solución

Definición de variables de decisión:

X1: Cantidad de toneladas de aleación 1 a utilizar

X2: Cantidad de toneladas de aleación 2 a utilizar

La Función Objetivo: minimiza el costo de producción de una tonelada de acero:

Min Cp = 190X1 + 200X2

sa

R1: representa los requerimientos máximos de Carbono 0.03X1 + 0.04X2 <= 0.035

R2: representa los requerimientos mínimos de Carbono 0.03X1 + 0.04X2 >= 0.032

R3: representa los requerimientos máximos de Silicio: 0.02X1 + 0.025X2 <= 0.025

R4: representa los requerimientos mínimos de Silicio: 0.02X1 + 0.025X2 >= 0.018

R5: representa los requerimientos máximos de Niquel: 0.01X1 + 0.015X2 <= 0.012

R6: representa los requerimientos mínimos de Niquel: 0.01X1 + 0.015X2 >= 0.009

R7: representa la resistencia a la Tracción: 2000X1 + 50000X2 >= 45000

R8: representa la restricción de cantidad a producir: X1 + X2 = 1

X1, X2 >= 0

10) Conteste Verdadero (V) ó Falso (F), según corresponda:

a) (F) Las condiciones de no negatividad significan que todas las variables de

decisión deben ser positivas.

b) (V) En el contexto de la formulación de modelos, las limitaciones de las

decisiones permisibles se llaman restricciones.

c) (F) Un modelo es un buen sustituto del juicio y la experiencia del ejecutivo.

d) (F) Supóngase que tanto x1 como x2 son variables binarias donde xi = 1 tiene la

interpretación de construir una planta en la localidad i. La condición «se puede

construir una planta en la localidad 2 sólo si también se construye una planta en

la localidad 1» es capturada mediante la restricción x1 2

11) Un fabricante tiene cuatro artículos A, B C y D que deben ser producidos este mes.

Cada artículo puede ser manejado en cualquiera de los tres talleres. El tiempo requerido

para cada artículo en cada taller, el costo por hora en cada uno de ellos y el número de



Pág 15 de 21

horas disponibles este mes se dan en la tabla que sigue. También es permisible repartir

cada artículo entre los talleres en cualquier proporción. Por ejemplo se puede hacer un

cuarto del artículo A en 8 horas del taller 1 y un tercio del artículo C en 19 horas en el

taller 3. El fabricante desea determinar cuantas horas de cada artículo deben manejarse

en cada taller para minimizar el costo de terminar los cuatro artículos. Identifique las

variables de decisión y formule un modelo de programación lineal para este problema.

TA

LLER

ARTÍCULO COSTO POR HORA DE

TIEMPO DEL TALLER

TIEMPO DE TALLER

DISPONIBLE (horas) A B C D

1 32 151 72 118 89 160

2 39 147 61 126 81 160

3 46 155 57 121 84 160

Ai = horas de trabajo del artículo A manejadas en el taller i

Bi = horas de trabajo del artículo B manejadas en el taller i

Ci = horas de trabajo del artículo C manejadas en el taller i

Di = horas de trabajo del artículo D manejadas en el taller i

Min Z = 89( A1 + B1 + C1 + D1) + 81(A2 + B2 + C2 + D2) + 84(A3 + B3 + C3 + D3)

s.a A1 + B1 + C1 + D1 160

A2 + B2 + C2 + D2 160

A3 + B3 + C3 + D3 160

A1 + A2 + A3 = 1

32 39 46

B1 + B2 + B3 = 1

151 147 155

C1 + C2 + C3 = 1

72 61 57

D1 + D2 + D3 = 1

118 126 121

Ai, Bi, Ci, Di 0 para toda i



Pág 16 de 21

12) Marque la respuesta correcta y justifique su respuesta

En el modelo de programación lineal que se ilustra:

Max Z = 5X1 + 3X2

s.a

X1 + X2 <= 6

X1 >= 3

X2 >= 3

2X1 + 3X2 >= 3

X1,X2 >= 0

a) El espacio de soluciones contiene cuatro puntos

b) El espacio de soluciones contiene dos puntos

c) El espacio de soluciones contiene solo un punto*

d) El espacio de soluciones no contiene ningún punto

e) El espacio de soluciones contiene infinitos puntos

13) Conteste verdadero (V) o falso (F), que corresponda y marque la respuesta correcta

y justifique su respuesta en cada caso.

a) Un modelo es un buen sustituto del juicio y la experiencia del ejecutivo.

b) El análisis de sensibilidad obtiene información adicional sobre las

variaciones en la solución óptima debidas a ciertos cambios en los

coeficientes y en la formulación del problema

c) Las condiciones de no negatividad significan que todas las variables de

decisión deben ser positivas.

a) VVF b)FFV c)FVV d)FFF e)FVF*

14) Marque la respuesta correcta y justifique su respuesta:

Un modelo de P.L que tiene múltiples soluciones, es:

a) Un problema degenerado

b) Por que la función objetivo es paralela a una de las restricciones obligatorias*

c) Un problema mal formulado

d) Un modelo que tiene restricciones redundantes

e) Tanto b) como d)



Pág 17 de 21

15) Marque la respuesta correcta y justifique su respuesta:

El rasgo distintivo de un programa lineal (en oposición a modelos de programación

matemática más generales) es que

a) se producen valores óptimos para las variables de decisión

b) el problema tiene una función objetivo y restricciones

c) convierten la expresión verbal en modelos formales

d) todas las funciones del problema son lineales*

e) la función objetivo se optimiza dentro del conjunto de decisiones permisibles

16) Marque la respuesta correcta:

Una de las restricciones de un modelo de P.L indica: X1 - X2 <= 1, si las variables de

decisión son X1, X2>=0

a) Una de las variables de decisión es igual a cero

b) Las variables son binarias

c) X1 siempre es mayor que X2 excepto cuando son iguales

d) X2 siempre es mayor que X1 excepto cuando son iguales

e) Las variables son enteras.

17) Una compañía de zapatos predice las siguientes demandas para los próximos seis

meses: mes1, 200; mes2, 260; mes3, 240; mes4, 340; mes5, 190, mes6, 150. La

producción de un par de zapatos, con tiempo regular (TR), cuesta 7 dólares y con

tiempo extra (TE) 11 dólares. En cada mes la producción regular se limita a 200 pares

de zapatos, y la producción de tiempo extra se limita a 100 pares de zapatos. Cuesta 1

dólar el mes, mantener un par de zapatos en el inventario. Plantee un problema de

transporte balanceado para minimizar el costo total para satisfacer, a tiempo, las

demandas de los siguientes seis meses.

Solución

Se debe plantear el modelo de transporte en primera instancia para conocer mes a mes y

durante 6 meses cuales son los niveles de producción en tiempo normal y en tiempo

extra. La restricción es que no se permiten satisfacer pedidos atrasados. En

consecuencia se tiene que determinar para cada mes de producción el costo de

producción más inventario si existe producción en exceso para los siguientes meses.

Esto se resume en la tabla siguiente:



Pág 18 de 21

Cálculo de costo de producción más inventario mes a mes

Demanda de zapatos durante los seis meses

Mes1 Mes2 Mes3 Mes4 Mes5 Mes6

Niveles

De

Producción

En

Los

Seis

Meses

En

Tiempo

Normal

Y tiempo

Extra

TR1 7 7+1 7+2 7+3 7+4 7+5 200

TE1 11 11+1 11+2 11+3 11+4 11+5 100

TR2 7 7+1 7+2 7+3 7+4 200

TE2 11 11+1 11+2 11+3 11+4 100

TR3 7 7+1 7+2 7+3 200

TE3 11 11+1 11+2 11+3 100

TR4 7 7+1 7+2 200

TE4 11 11+1 11+2 100

TR5 7 7+1 200

TE5 11 11+1 100

TR6 7 200

TE6 11 100

200 260 240 340 190 150

Como se puede observar la capacidad de producción entre producción normal y extra

son 300 pares de zapatos mensuales lo que hacen un total de 1800 de capacidad durante

los seis meses, mientras que la demanda en ese mismo período haciende a 1380 lo que

significa un exceso de producción de 420 pares de zapatos los cuales para balancear el

sistema se tiene que crear un centro de consumo ficticio.

Resumiendo se tiene la nueva tabla de transporte balanceada:

Mes1 Mes2 Mes3 Mes4 Mes5 Mes6 MesF

Niveles

De

Producción

En

Los

Seis

Meses

En

Tiempo

Normal

Y tiempo

Extra

TR1 7 8 9 10 11 12 0 200

TE1 11 12 13 14 15 16 0 100

TR2 7 8 9 10 11 0 200

TE2 11 12 13 14 15 0 100

TR3 7 8 9 10 0 200

TE3 11 12 13 14 0 100

TR4 7 8 9 0 200

TE4 11 12 13 0 100

TR5 7 8 0 200

TE5 11 12 0 100

TR6 7 0 200

TE6 11 0 100

200 260 240 340 190 150 420



Pág 19 de 21

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Una firma industrial elabora dos productos, en los cuales entran cuatro componentes

en cada uno. Hay una determinada disponibilidad de cada componente y un

beneficio por cada producto. Se desea hallar la cantidad de cada artículo que debe

fabricarse, con el fin de maximizar los beneficios. El siguiente cuadro resume los

coeficientes de transformación o sea la cantidad de cada componente que entra en

cada producto.

Producto

Componente

P1 P2 Disponibilidad

(Kg)

A 1 3 15000

B 2 1 10000

C 2 2 12000

D 1 1 10000

Beneficios s/. unidad 4 3

2. La compañía XYZ produce tornillos y clavos. La materia prima para los tornillos

cuesta S/. 2 por unidad, mientras que la materia prima para cada clavo cuesta S/.

2.50. Un clavo requiere dos horas de mano de obra en el departamento nº 1 y tres

horas en el departamento nº 2, mientras que un tornillo requiere cuatro horas en el

departamento nº 1 y dos horas en el departamento nº 2 . El jornal por hora en ambos

departamentos es de S/. 2. Si ambos productos se venden a S/.18 y el número de

horas de mano de obra disponibles por semana en los departamentos es de 160 y 180

respectivamente, expresar el problema propuesto como un programa lineal, tal que

maximice las utilidades.

3. A un joven administrador de empresas se le pidió que entretuviese a un visitante de

su empresa durante 90 minutos. El pensó que sería una excelente idea que el

huésped se emborrache. Se le dio al administrador S/. 50. el joven sabia que al

visitante le gustaba mezclar sus tragos, pero que siempre bebía menos de 8 vasos de

cerveza, 10 ginebras, 12 whiskys y 24 martinis. El tiempo que empleaba para beber

era 15’ por cada vaso de cerveza, 6`por vaso de ginebra, 7`y 4`por cada vaso de

whisky y martíni.

Los precios de las bebidas eran: el vaso de cerveza s/. 1, el vaso de ginebra s/. 2, el

vaso de whisky s/.2, el vaso de martín s/.4.

El administrador pensaba que el objetivo era maximizar el consumo alcohólico

durante 90`que tenía para entretener a su huésped. Logró que un amigo químico le

diese el contenido alcohólico de las bebidas en forma cuantitativa, siendo las

unidades alcohólicas por un vaso de 17, 15, 16 y 7 el vaso. El visitante siempre

bebía un mínimo de 2 whiskys.

¿Cómo resolvió el administrador el problema?

4. Un fabricante desea determinar cuantas mesas, sillas, escritorios o libreros debe

fabricar para que la madera de que dispone sea óptimamente aprovechada ( es decir,

rinda el mayor beneficio posible). Cualquiera de los muebles precisa de dos

calidades de madera, cedro y caoba. El dispone de 1500 pies de cedro y 1000 pies de

caoba. El capital de que dispone le permite contratar hasta 800 horas de trabajo

(horas hombre). En su programa de ventas de acuerdo a los pedidos pasados, él



Pág 20 de 21

necesita mínimo 40 mesas, 130 sillas, 30 escritorios y un máximo de 10 libreros.

Cada mesa, silla, escritorio y librero necesitan 5, 1, 9 y 10 pies respectivamente de

cedro y 2, 3, 4 y 1 de caoba. Cada mesa requiere de 3 horas hombre para ser

fabricada y da una utilidad de 5 soles; cada silla requiere 2 horas hombre, y da 2

soles; cada escritorio precisa 5 horas –hombre y da 7 soles; cada librero necesita 10

horas hombre y proporciona una utilidad de 4 soles.

El problema es escribir una formulación completa de programación lineal en

términos de maximizar la utilidad.

5. Una compañía manufacturera Fabrica dos productos 1 y 2 y es suficientemente

afortunada como para vender todo lo que puede producir actualmente.

Cada producto requiere un tiempo de manufacturación en los 3 departamentos y la

disponibilidad de una cantidad fija de horas hombre por semana en cada

departamento, tal como se muestra en el cuadro siguiente:

Producto

Tiempo de manufacturación

/horas

Dpto. 1 Dpto. 2 Dpto. 3

1 2 1 4

2 2 2 2

H-H

disponibles/semana

160 120 280

El problema consiste en decidir que cantidad de cada producto debe manufacturarse

con el objeto de hacer el mejor empleo de los medios limitados de producción,

sabiendo que la ganancia por cada unidad de producto 1 es S/. 1.00 y del producto 2

es S/. 1.50

6. Dos fábricas de papel producen 3 tipos diferentes de papel de bajo grado, medio

grado y alto grado. Se tienen contrato de venta para proveer: 16 toneladas de bajo

grado, 5 ton. De medio grado y 20 ton. De alto grado. Los costos de operación son

de S/. 1000 por día para la primera fábrica y S/. 2000 para la segunda.

La fábrica nº 1 produce 8 ton. De bajo grado, 1 ton de medio grado y 2 ton. De alto

grado en un día de operación. La fábrica nº 2 produce 2 ton,. De bajo grado, 1 ton.

De grado medio y 7 ton. De alto grado por día.

¿Cuántos días debe trabajar cada fábrica a fin de cumplir con el mencionada

contrato de venta en la forma más económica?

7. PCC tiene un contrato para recibir 60000 libras de tomates maduros a 0.07 $/lb. De

las cuales producirá jugo de tomates y puré de tomate enlatado.

Los productos enlatadois se empacan en cajas de 24 latas cada una. Una lata de jugo

requiere 1 lb. De tomates frescos en tanto que una de puré requiere solo 1/3 lb. La

participación de la compañía en el mercado está limitada a 2000 cajas de jugo y

6000 cajas de puré. Los precios al mayoreo por caja de jugo y de puré son $ 1.8 y $

0.9, respectivamente. Genere un programa de producción para esta compañía.

8. una compañía elabora dos tipos de sombreros. Cada sombrero del primer tipo

requiere dos veces más tiempo de mano de obra que un producto del segundo tipo.

Si todos los sombreros son exclusivamente del segundo tipo, la compañía puede



Pág 21 de 21

producir un total de 500 unidades al día. El mercado limita las ventas diarias del

primer y segundo tipo a 150 y 200 unidades. Supóngase que la ganancia que s

obtiene por producto es $ 8 para el tipo 1 y $ 5 para el tipo 2. Determine el número

de sombreros de cada tipo que deben elaborarse para maximizar las ganancias.

Problem as Pl

Documents

Transcript of Problem as Pl