Una onda transversal de 16 Hz se propaga en el sentido positivo del eje X a lo largo de una cuerda tensa conuna velocidad de 64 m/s. Si su amplitud es de 5 cm, se pide:(a) Escribir una ecuación para la onda sabiendo que en t = 0 la elongación del punto x = 0 es igual a + 2.5 cm.(b) Calcular la diferencia de fase entre dos puntos de la cuerda separados una distancia de 0.5 m.(c) Determinar la velocidad de vibración transversal y la aceleración del punto x = 0 en el instante t = 0.

(a) Calculamos los parámetros w y k rad/s 32 2 w fk

v w rad/m

26432 w

v

k

txy 32

2 sin 05.0

Llamamos a la fase inicial que debemos calcular 025.0sin 05.00,0 y 2

1sin 30º rad 6

6 32

2 sin 05.0

txy

(b) Diferencia de fase: calculamos la longitud de onda

La distancia lineal Dx = 0.5 m representa entonces

rad/m 2

2 k m 4

45º rad 4

245.02

DD

x

(c) Cálculo de la velocidad de vibración derivamos respecto al tiempo

6 32

2 cos 05.0 32

txdtdy

Velocidad de vibración transversal m/s 35.4

23 05.0 32

6cos 05.0 32

0,0

dtdy

Cálculo de la aceleración derivamos por segunda vez

Aceleración

6 32

2 sin 05.0 3232

txdtdy

2

0,0

m/s 25321 05.0 3232

6sin 05.0 3232

dtdy

PROBLEMA 1 OPCIÓN A

Una onda transversal de 16 Hz se propaga en el sentido positivo del eje X a lo largo de una cuerda tensa conuna velocidad de 64 m/s. Si su amplitud es de 5 cm, se pide:(a) Escribir una ecuación para la onda sabiendo que en t = 0 la elongación del punto x = 0 es igual a + 2.5 cm.(b) Calcular la diferencia de fase entre dos puntos de la cuerda separados una distancia de 0.5 m.(c) Determinar la velocidad de vibración transversal y la aceleración del punto x = 0 en el instante t = 0.

Continuación: resolución alternativa usando la forma

w xktAy sin

(a) Calculamos los parámetros w y k rad/s 32 2 w fk

v w rad/m

26432 w

v

k

2 32sin 05.0 xty

Llamamos a la fase inicial que debemos calcular 025.0sin 05.00,0 y 2

1sin 30º rad 6

62 32sin 05.0

xty

(b) Diferencia de fase: calculamos la longitud de onda

La distancia lineal Dx = 0.5 m representa entonces

rad/m 2

2 k m 4

45º rad 4

245.02

DD

x

Exactamente igual que si consideramos la forma de ecuación

w txkAy sin

(c) Cálculo de la velocidad de vibración derivamos respecto al tiempo

62 32cos 05.0 · 32 xt

dtdy

Velocidad de vibración transversal m/s 35.4

23 05.0 · 32

6cos 05.0 · 32

0,0

dtdy

Cálculo de la aceleración derivamos por segunda vez

Aceleración

62 32sin 05.0 3232

xt

dtdy

2

0,0

m/s 25321 05.0 3232

6sin 05.0 3232

dtdy

PROBLEMA 1 OPCIÓN A

Dos conductores rectilíneos paralelos muy largos transportan corrientes iguales en sentidos contrarios. Ladistancia entre ellos es d = 1 m, y el campo magnético en el punto medio de la distancia que los separa esigual a 8·10-7 T. Se pide:

1I

2I

d

2B

1B

III 21

La corriente que circula por los dos conductores tiene el mismo valor

2

0

rIB

101 d

IB

202 d

IB

210

21 2 BBdIII

2/d

2B

1B

2/d1I 2I

Vista lateral

Vista frontal

Líneas de campo magnético

alrededor de I2

Líneas de campo magnético

alrededor de I1

a) Explicar razonadamente, ilustrando gráficamente la situación mediante un esquema adecuado, cuál esel sentido del campo magnético en el punto medio entre los dos conductores.

b) Calcular el valor de la corriente que circula por cada conductor.c) Calcular la fuerza ejercida entre los dos conductores por unidad de longitud y explicar razonadamente

si dicha fuerza es atractiva o repulsiva.

a) El campo magnético en el punto medio es sumade los campos magnéticos de ambos conductores:aplicando la regla de la mano derecha vemos quelas dos contribuciones tienen igual sentido. Si lascorrientes están dispuestas como se ilustra abajo,el sentido del campo magnético será vertical.

b) El campo magnético de una corriente Ique circula por un conductor rectilíneoindefinido a una distancia r del conductor es

Dato: Permeabilidad del vacío 0 = 4p·10-7 N·A-2

En nuestro caso r = d/2 = 0.5 m

210

21 2 BBdIII

Despejamos corrientes

1

01 BdI

2

02 BdI

A 110 · 8 10 · 4 · 2

7721

III

Además, ambos campos magnéticos son iguales entre si ya que las corrientes y las distancias son también iguales. Su suma es T 10 · 8 7

21 BB

Despejamos la corriente circulante

PROBLEMA 2 OPCIÓN A

Dos conductores rectilíneos paralelos muy largos transportan corrientes iguales en sentidos contrarios. Ladistancia entre ellos es d = 1 m, y el campo magnético en el punto medio de la distancia que los separa esigual a 8·10-7 T. Se pide:a) Explicar razonadamente, ilustrando gráficamente la situación mediante un esquema adecuado, cuál es

el sentido del campo magnético en el punto medio entre los dos conductores.b) Calcular el valor de la corriente que circula por cada conductor.c) Calcular la fuerza ejercida entre los dos conductores por unidad de longitud y explicar razonadamente

si dicha fuerza es atractiva o repulsiva.Dato: Permeabilidad del vacío 0 = 4p·10-7 N·A-2

c) Calculemos el campo magnético B1d creadopor la corriente I1 a distancia d = 1 m en laposición que ocupa el conductor quetransporta la corriente I2. Véase en el esquemasu dirección y sentido, de acuerdo con la reglade la mano derecha. Su módulo será:

1I d

dB1

dB1

d1I

Vista lateral

Vista frontal

Líneas de campo magnético

alrededor de I1

2

101 d

IB d

dB1

LI

2

dF1

La fuerza F1d que el campo magnético B1d ejercesobre una longitud de conductor L que transporta lacorriente I1 está dada por: 121 dd BLIF

Su sentido es alejándose del conductor I1 (fuerza repulsiva)

Módulo (todos los ángulos son iguales a 90º)

121 dd BLIF

2

2101

dII

LF d

Fuerza por unidad de longitud

N/m 10 · 21

1·1 210 · 4 7

71

L

F d

(Puede hacerse también elrazonamiento calculandola fuerza que el campo B2hace sobre la corriente I1)

PROBLEMA 2 OPCIÓN A

1I

corregido

Dos cargas negativas –q y dos cargas positivas +q están alineadas manteniendoposiciones fijas (véase esquema adjunto). Las distancias entre cargasadyacentes son iguales. Explicar razonadamente en cual de los tres puntosseñalados A, B o C será mayor el potencial eléctrico. Cada uno de los puntos A,B, C está situado a igual distancia de sus dos cargas vecinas.

x x x x x x

xq

xq

xq

xqkVA 53

51

3111

xqk

xq

xq

xq

xqkVC 53

51

3111

xqk

xq

xq

xq

xqkVB 33

31

3111

xqk

1522

xqk

1522

xqk

Sea x la distancia de cada uno de los puntos A, B, C hasta cada una de las cargas vecinas. El potencial en cada punto será el siguiente:

0 El potencial en B se anula

El potencial en A es negativo

El potencial en C es positivoPotencial mayor CV

Argumentación sin cálculos:(1) El potencial en el punto central B es igual a cero, pues la distribución de cargas a su derecha e izquierdaes completamente simétrica en cuanto a distancias, y las cargas de un signo ocupan la posición derecha ylas de signo contrario la izquierda.(2) El potencial en los puntos laterales A y C será el mismo en valor absoluto, pues ambos tienen las cargasque les rodean (de igual valor absoluto) a las mismas distancias. Pero en cuanto al signo, el punto A estásituado entre dos cargas negativas, que al estar más próximas que las otras harán su potencial negativo.En cambio, el punto C está situado entre dos cargas positivas, que al estar más próximas que las otrasharán que su potencial sea positivo. Por tanto el potencial mayor de entre los tres es el del punto C.

PREGUNTA 3 OPCIÓN A

La frecuencia de un rayo gamma de alta energía es 1021 Hz. ¿Cuál es su longitud de onda en el vacío?¿Cuántas veces sobrepasa su energía a la de un fotón de luz ultravioleta de 331.5 nm?

Constante de Planck h = 6.63·10-34 J·s; velocidad de la luz = 3·108 m/s; 1 nm = 10-9 m

fhE

cf

La energía de la radiación es proporcional a la frecuencia

La frecuencia es inversamente proporcional a la longitud de onda chE

fhE Energía fotón gamma J 10 · 63.610 · 10 · .636 132134

Longitud de onda fotón gamma fc

m 10 3· 10

10 · 3 1321

8

Energía fotón UVUV

UVUVchfhE

J 10 · 6

10 · 33110 · 3 · 10 · .636 19

9

834

610 · 1.1UVEE

Energía fotón gamma / Energía fotón UVLa energía que transporta el rayogamma es 1.1 millones de vecesmayor que la del fotón ultravioleta.

PREGUNTA 4 OPCIÓN A

(b) Si la partícula b emitida se hace entrar en un campo eléctrico orientado en laforma que se indica en la figura, ¿se desviará hacia arriba o hacia abajo? Explicar.

(a) Un núcleo radiactivo de número atómico 53 y número másico 131 se desintegraemitiendo una partícula b. ¿Cuáles serán los números atómico y másico del núcleoresultante?

(a) La partícula es un electrón procedente de la transformación de uno de los neutrones del núcleo enun protón. Por consiguiente después de su emisión, el núcleo hijo tendrá un protón más que suprogenitor y su número atómico será una unidad mayor, en este caso 54 el núcleo emisor se haconvertido en un núcleo del elemento siguiente en la tabla periódica.Como la masa del electrón emitido es muy pequeña en comparación conla masa del núcleo, el número másico se mantiene y seguirá siendo 131. b YX 131

5413153

(b) Puesto que la partícula b emitida es un electrón, su carga es negativa y cuando entre en el campoeléctrico que nos indican se desviará hacia los lugares de mayor potencial eléctrico, que se encuentransituados en la parte superior en vista de la orientación de las líneas de campo que aparecen en la figura.La partícula b se desviará por lo tanto hacia arriba, como se indica en el esquema siguiente

bCampo eléctrico

Conteste razonadamente a las siguientes preguntas sobre las partículas b:

PREGUNTA 5 OPCIÓN A

PREGUNTA 6 OPCIÓN A

CUESTIÓN EXPERIMENTAL6.- Para medir la aceleración de la gravedad se han colgado del techo de un taller anexoal laboratorio de Física varios péndulos simples de distintas longitudes y se han medidolos tiempos invertidos por cada uno de ellos en completar 5 oscilaciones (véase la tabla).Calcular la aceleración de la gravedad.

L (cm) t (s)220 14,9302 17,4401 20,1502 22,5

gLT 2

Partimos de la ecuación que nos da el periodode un péndulo simple en función de su longitud 2

24TLg →

n = 5L (cm) t (s) L (m) T (s) g (m·s-2)

220 14,9 2,20 2,98 9,78302 17,4 3,02 3,48 9,84401 20,1 4,01 4,02 9,80502 22,5 5,02 4,5 9,79

g (m·s-2) = 9,80

El periodo se obtiene dividiendo por 5 los tiempos dados en la tabla, ya que 5 es el número de oscilaciones

Para cada dato obtenemos un valor de g aplicando la relación 2

24TLg

Finalmente promediamos las cuatro medidas (media aritmética)

Pasamos las longitudes dadas en cm a m

Un asteroide de 1013 kg viaja directamente en rumbo de colisión hacia un planeta de masa 6.39·1023 kg.Cuando se encuentra a una distancia de 20000 km del centro, su velocidad respecto al planeta es de 4 km/s.(a) Calcular la energía mecánica del asteroide.(b) Si el radio del planeta es 3390 km, calcular la velocidad del asteroide en el momento del impacto contra

la superficie planetaria y, suponiendo que toda la energía cinética se convierte en calor, calcular laenergía desprendida en el choque.

(c) Este planeta tiene un pequeño satélite que describe una órbita circular con una velocidad de 2.69 km/s.¿A qué altura sobre la superficie se encuentra dicho satélite?

Dato: constante de gravitación G = 6.67·10-11 N m2 kg-2

(a) La energía mecánica total del asteroide puede calcularse a partir de los datos conocidos cuando se encuentra a 20000 km

2 21 vm

rmMGKUE Energía mecánica = Potencial U + Cinética K

m 10 · 2 7r

MR

kg 10 · 39.6 23M

m/s 4000v

m 10 · 39.3 6R

kg 1013m

10· 4 ·10 ·21

10 · 210 · 10 · 39.610 · 67.6 2313

7

132311 E

(b) El campo gravitatorio es conservativo, por lo que a medida que el asteroide se acerca a la superficie, suenergía cinética aumenta y su energía potencial disminuye, pero la suma de ambas se mantieneconstante. En el instante en que se produce el choque contra la superficie se verifica que

2 21 vm

RmMGKUEE

RmMGE

mv 2

10 · .393

10 · 10 · 39.610 · 67.610 · .875 10

26

13231119

13

v

kg 1013m

MR

kg 10 · 39.6 23Mm 10 · 39.3 6R

m

J 10 · 87.5 19E

m/s 6073v

Energía cinética cuando choca J 01 · 84.10736 0121

21 202132 vmK

J 01 · 84.1' 20 KQCalor desprendido en el choque

PROBLEMA 1 OPCIÓN B

Siendo E su energía mecánica, que hemos calculado antes

Un asteroide de 1013 kg viaja directamente en rumbo de colisión hacia un planeta de masa 6.39·1023 kg.Cuando se encuentra a una distancia de 20000 km del centro, su velocidad respecto al planeta es de 4 km/s.(a) Calcular la energía mecánica del asteroide.(b) Si el radio del planeta es 3390 km, calcular la velocidad del asteroide en el momento del impacto contra

la superficie planetaria y, suponiendo que toda la energía cinética se convierte en calor, calcular laenergía desprendida en el choque.

(c) Este planeta tiene un pequeño satélite que describe una órbita circular con una velocidad de 2.69 km/s.¿A qué altura sobre la superficie se encuentra dicho satélite?

Dato: constante de gravitación G = 6.67·10-11 N m2 kg-2

(c) La atracción gravitatoria del planeta sobre el satélite está dada por:

SrR Sm

SF

kg 10 · 39.6 23M

Sv

Rrh S S

SS r

vm2

2

S

SS r

mMGF 2

2

SS

S

rMG

rv

De aquí calculamos la distancia del satélite al centro del planeta

2S

S vMGr km 5890 m 10 · 89.5

500010 · 39.610 · 67.6 6

2

2311

Sr

Altura sobre la superficie del planeta km 250033905890 Rrh S

PROBLEMA 1 OPCIÓN B

En el laboratorio de física tenemos dos pequeñas esferas cargadas, cuyos radios respectivos son 2 cm y 8cm, que tienen igual carga q0 = +2 mC. Las esferas están colocadas en posiciones fijas, siendo la distancia decentro a centro entre ellas igual a 5 m. La constante de la ley de Coulomb es k = 9·109 N m2 C-2.a) Las dos esferas se conectan usando un hilo conductor muy fino. Calcular la carga y el potencial de cada

esfera después de conectarlas.b) Calcular el campo eléctrico en el punto medio del segmento que las separa después de conectarlas.c) Calcular la fuerza repulsiva entre ellas después de conectarlas.

a) El conductor permite que las cargas se redistribuyan hasta que se igualan los potenciales eléctricos deambas. Además, el sistema considerado en total tiene una carga 2q0 que debe conservarse.

1q

1r

2q

2r

Situación después de redistribuir las cargas

V V

2102 qqq

2

2

1

1

rqk

rqkV

Conservación carga

Equilibrio potencial 22

11 q

rrq

22

212

2

10 12 q

rrrq

rrq

C 10 · 2.3 2 30

21

22

qrr

rq C 10 · 8 2 40

21

11

qrr

rq V 10 · 6.3 8

2

2

1

1 rqk

rqkV

1q 2q

b) Campo eléctrico en el punto medio del segmento d = 2.5 m

V/m 10 · 152.1 621

1 dqkE

1E

V/m 10 · 608.4 622

2 dqkE 2E

E

V/m 10 · 456.3 612 EEE

m 5

c) Fuerza repulsiva ley de Coulomb1q

F2q

Fm 5

m 5.2

N 60.921

2

221

dqqkF

m 5

PROBLEMA 2 OPCIÓN B

Un conductor rectilíneo muy largo transporta la corriente I tal y como se indica enla figura, donde también se representan las líneas del campo magnético quegenera. Contestar razonadamente a las siguientes cuestiones:(a) Dibujar sobre el esquema la dirección y sentido del campo magnético.(b) Suponiendo que una partícula cargada negativamente cuya velocidad es 푣⃗

pasa por el origen de coordenadas O mostrado en la figura, ¿cuál es ladirección y sentido de la fuerza que actúa sobre ella en ese instante?

(a) De acuerdo con la regla de la mano derecha, si el conductor transporta la corriente indicada, el sentido del campo magnético debe ser antihorario visto desde la parte anterior (ver esquema a la derecha)

I B

B

B

B

(b) La fuerza sobre una carga móvil –q en un campo magnético es

I X

Y

Z

vO

I X

Y

Z

vB

BvqF

Bv

O

BvqF

En el punto O el productor vectorial apunta en el sentido positivo del eje X. Bv

Puesto que la carga es negativa, la fuerza sobre ella estará dirigida en el sentido del eje X negativo (esquema abajo).

PREGUNTA 3 OPCIÓN B

(a) Explicar brevemente el significado de la ecuación de Einstein E = mc2.(b) Si una partícula y su antipartícula chocan, se aniquilan entre si convirtiendo toda su masa en energía, que

es liberada en el proceso. Calcular la energía liberada en el choque de un electrón e- y un positrón e+,expresando el resultado en eV.

Masa electrón = masa positrón = 9.1·10-31 kg; velocidad de la luz = 3·108 m/s; 1 eV = 1,602·10-19 J

(b) Energía desprendida en el proceso de aniquilación partícula-antipartícula: usamos la ecuación de Einstein la masa totalconvertida en energía es la suma de las masas de las dospartículas, es decir, el doble de la masa del electrón

J 10 · .641 10 · 9 ·10 · 1.9 · 2 1316312 cmE

Convertimos a eV eV 10 · 02.1J/eV 10 · 1.602J 10 · 1.64 6

19

13

E

(a) La ecuación de Einstein establece que la masa y la energía pueden convertirse entre si, existiendo unfactor de proporcionalidad entre ellas, el cuadrado de la velocidad de la luz, el cual permite calcular laenergía equivalente a una masa dada (o viceversa).Esta conversión se pone de manifiesto en algunos procesos físicos, tales como las reacciones nucleares, enlas que parte de la masa de ciertos núcleos atómicos es convertida en energía (reacciones de fisión y defusión), o en procesos de interacción de partículas elementales, como los procesos de aniquilaciónpartícula-antipartícula donde toda la masa de las partículas que interactúan es convertida en energía. Estees el caso propuesto en este enunciado.

Acerca de la masa y la energía:

PREGUNTA 4 OPCIÓN B

corregido

Louis de Broglie asoció el concepto de masa, propiedad de las partículas, con una característicaespecífica de las ondas, su longitud de onda: estableció el principio de que a toda partícula enmovimiento le corresponde una longitud de onda inversamente proporcional a su momento lineal,que es igual al producto m·v (masa × velocidad).

¿A qué se refiere el concepto dualidad onda-corpúsculo? Explicarlo brevemente y comparar la longitudde onda de De Broglie de una partícula de 0.1 gramos que se mueve a 6400 m/s con la longitud de ondade un electrón que viaja a la misma velocidad.Constante de Planck h = 6.63·10-34 J·s; masa electrón me = 9.1·10-31 kg

vmh

donde h es la constante de Planck.

Él hecho de asignar a una partícula en movimiento una longitud de onda significa que este movimientopuede estudiarse como la propagación de una onda, pero los efectos prácticos de esto no se manifiestancon facilidad en el mundo macroscópico debido a que las longitudes de onda asociadas con cuerposgrandes (en comparación con las partículas subatómicas) son extraordinariamente pequeñas, lo quehace difícil de observar fenómenos característicos de las ondas tales como interferencia y difracción.

Longitud de onda partícula 0.1 g m = 10-4 kgvm

h

m 10 1.04· 6400 · 10 10 · 63.6 33

4

34

23 órdenes de magnitud menor que el tamaño típico de un átomo

Longitud de onda electrón me = 9.1·10-31 kgvm

h

m 10 1.14· 6400 · 10 · .19

10 · 63.6 731

34

3 órdenes de magnitud mayor que el tamaño típico de un átomo. Esto permite observar efectos tales como la difracción de electrones

PREGUNTA 5 OPCIÓN B

PREGUNTA 6 OPCIÓN B

agua

aire

i

CUESTIÓN EXPERIMENTAL6.- Un rayo láser procedente de la parte inferior izquierda de la figura alcanza lasuperficie del agua que llena parcialmente la cubeta, y se observa que se refleja sin quehaya ningún rayo refractado que atraviese la superficie pasando al aire que hayencima. (a) Explicar por qué se produce este fenómeno. (b) ¿Tiene algo que ver en estefenómeno el ángulo i con el que incide el rayo de luz por debajo de la superficie?Índice de refracción del agua: 4/3; índice de refracción del aire: 1.

Cuando n1 > n2, el ángulo r será mayor que i, pues sin r > sin i. Además, debe notarse que el máximo valor que puede tomarel ángulo r es 90º: en este caso el rayo refractado emergería rasante a la superficie de la lámina. Véase que si los valores de rfuesen mayores de 90º, el rayo incidente ya no sería transmitido al aire, sino que volvería a entrar en la lámina (y por tantono habría tal rayo refractado al exterior). Existe un valor máximo del ángulo de incidencia, que llamamos iL, para el cual severifica r = 90º. Calculamos este valor con la ley de Snell:

El valor así obtenido del ángulo de incidencia se llama ángulo límite, porque si el ángulo de incidencia es mayor que ese, nohay rayo refractado al exterior de la lámina: toda la energía luminosa del rayo incidente se refleja en la superficie deseparación y vuelve al interior. El fenómeno se llama reflexión total interna.Este caso es precisamente el que se ilustra en la figura del enunciado de la pregunta. El ángulo de incidencia i mostrado endicha figura debe ser mayor que el valor de 48.6º que hemos calculado.

Cuando un rayo de luz alcanza la superficie de separación entre dos medios de propiedades ópticas diferentes (distintosíndices de refracción) una fracción de la energía que transporta el rayo regresa al medio del que procede: este es el rayoreflejado y el ángulo que forma con la normal es igual al ángulo de incidencia i. La fracción restante se transmite al otromedio, siendo este el que llamamos rayo refractado, el cual forma con la normal un ángulo dado por la ley de Snell:

rnin sinsin 21 Aquí llamamos 1 al medio del que procede el rayo, el otro es el medio 2.

43sin Lirnin sinsin 21 1º90·sin1sin

34

Li º6.48Li