problema 2.1 Vibraciones.docx

8/11/2019 problema 2.1 Vibraciones.docx

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2.1 Una prensa industrial se encuentra montada sobre una base de caucho para aislarla de su

cimentacin. Si la base de caucho se comprime 5 mm por el peso mismo de la prensa, encuentre

la frecuencia natural del sistema.

De la ecuacin

tenemos que

donde

Sustituyendo en la primera ecuacin:

Conocemos

Entonces

2.3 La frecuencia natural de un sistema de resorte-masa es de 10 Hz. Cuando la constante deresorte se deduce en 800 N/m, la frecuencia se modifica en 45 por ciento. Encuentre la

constante de resorte del sistema original.

Podemos calcular la frecuencia con la expresin siguiente: Donde

es la frecuencia del sistema, entonces sustituimos 10 Hz por

en la ecuacin:

Ahora calculamos la masa de acuerdo a la siguiente ecuacin:

Conociendo

Despejando


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Dejamos la ecuacin marcada como la ecuacin 1 para sustituirla en otra y asi despejar una sola

variable, de un sistema de ecuaciones.

Ahora calculamos la constante del resorte despus de que se altera la frecuencia en un 45%, esto

teniendo presente que la masa se mantiene constante:

En esta nueva ecuacin sustituiremos por , por y por , todolo anterior en la siguiente ecuacin:

Despejando para Despejando la raz y el coeficiente de la frecuencia natural hacia la izquierda y reacomodando la

ecuacin nos da:

Resolviendo para

Factor comn

Y por lo tanto, la constante del resorte en el sistema original es de


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Seccin 2.3 Vibracin libre de un sistema torsional no amortiguado

2.65 Una polea de 250 mm de dimetro impulsa una segunda polea de 1000 mm de dimetro por medio de un banda

(vea la figura 2.90). El momento de inercia de la polea impulsada es de 0.2 kg-m2. La banda que conecta estas poleas

est representada por dos resortes cada uno de rigidez k. Con qu valor de k ser la frecuencia natural de 6 Hz?

2.67 Una masa m se fija en el extremo de una barra de masa insignificante y se hace que vibre en tres diferentes

configuraciones, como se indica en la figura 2.91. Determine la configuracin correspondiente a la frecuencia natural

ms alta.

Energa K Cintica del sistema

La potencial del sistema es (como la masa de la barra, acta a travs de su centro)


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2.83 Encuentre la respuesta de vibracin libre y la constante de tiempo en los casos en que sea aplicable, de sistemas

regidos por las siguientes ecuaciones de movimiento:

Sugerencia: La constante de tiempo tambin se define como el valor de tiempo al cual la respuesta

gradual de un sistema se eleva a 63.2% (100.0% 2 36.8%) de su valor final.


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2.85 La ecuacin de movimiento de un cohete, de masa m, que se eleva verticalmente bajo un empuje F y resistencia o

arrastre del aire D es Si m =1000 kg, F = 50,000 N, D = 2000 v y g = 9.81 m/s2, encuentre la variacin con el tiempo de la velocidad del cohete,

utilizando las condiciones inicialesx(0)= 0 y (0) = 0, dondex(t) es la distancia recorrida por el cohete en eltiempo t.

Xo

Xo


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Seccin 2.5 Mtodo de la energa de Rayleigh.

2.7. Tres resortes y una masa se fijan a una barra PQ rgida sin peso como se muestra en la figura 2.51.

Determine la frecuencia natural de vibracin del sistema.

SOLUCION:Para la rotacin pequea angular para la barra PQ alrededor de P.

(K12) eq. (3)2 = K1 (1)2 + K2 (l2)(K12)eq. = (K1 l12 + K2 l22)/l32

Permitimos que Keq.= constante del amortiguador Q

= + Keq=

= {}

Wn= = ( )

2.89 Encuentre la frecuencia natural del sistema que se muestra en la figura 2.54. Un chasis

electrnico que pesa 500 N se asla montndolo sobre cuatro resortes helicoidales, como se


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muestra en la figura 2.54. Disee los resortes de modo que la unidad pueda usarse en un

ambiente en el que la frecuencia vibratoria oscile de 0 a 50 Hz.

Suponiendo que se disearon los resortes helicoidales con K= 1 x 105, la deflexin esttica

ser de .005 mm.

Con la formula de frecuencia natural sustituimos la gravedad y la deflexin esttica yobtenemos la frecuencia natural.

Formula:

Wn= (g/def. est.)1/2

Sustitucion:

Wn= (9.81/.005)1/2

Resultado:

Wn= 69.577 Hz

2.97 Un pndulo simple vibra a una frecuencia de 0.5 Hz en el vaco y a 0.45 Hz en un fluido

viscoso. Determine la constante de amortiguamiento, suponiendo que la masa de la lenteja del

pndulo es de 1 kg.


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Ct = 8.5013 N-m-seg/rad2.99 Suponiendo que el ngulo de fase es cero, demuestre que la respuesta x(t) de un

sistema de un solo grado de libertad subamortiguado alcanza un valor mximo cuando y un valor mnimo cuando

Solucin a) Dnde:

Para mximo o mnimo de x(t) Como 0 para finito de t: =0 Usando la relacin:

Nosotros obtenemos: Y

Por lo tanto: Corresponde al mximo de x(t)Cuando


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Por lo tanto:

Corresponde al mnimo de x(t)Demuestre tambin que las ecuaciones de las curvas que pasan por los valores mximo y

mnimo dex(t) son, respectivamente y

Solucin b)

Envolviendo las curvas, tenemos que la curva pasa entre el punto mximo (o mnimo):

Para puntos mximos: ( )

Y: Por lo tanto:

X(t)

0


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Para puntos mnimos: ( ) Y

Por lo tanto:

2.135

2.137 Considere la ecuacin caracterstica . Trace el lugar geomtrico de lasraces para . Valor de k Valor de s1 Valor de s2

0 -6 0

10 -1 -5

20 -3+i -3-i

50 -3+4i -3-4i


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2.139 Un sistema de un solo grado de libertad se compone de una masa de 20 kg y un resorte de

4000 N/m de rigidez. Las amplitudes de ciclos sucesivos son de 50, 45, 40, 35,... mm. Determine

la naturaleza y magnitud de la fuerza de amortiguamiento y la frecuencia de la vibracin

amortiguada.

Datos:

M = 20kg

K = 4000 N/m

X = 50, 45, 40, 35, 30, 25, 20, 15, 10, 5 mm Solucin:


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Fuerza amortiguamiento = de magnitud Frecuencia de vibracin amortiguada = 2.151 La curva de fuerza-deflexin experimentalmente observada de una estructura compuesta

se muestra en la figura 2.117. Determine la constante de amortiguamiento de histresis, el

decremento logartmico y la relacin de amortiguamiento viscoso correspondiente a esta curva.

La Energa disipada en cada ciclo de carga completa est dada por el rea encerrada por el

bucle de histresis.

La zona se encuentra contando los cuadrados cerrados por el bucle de histresis. En la fig.2.117, el nmero de cuadrados es = 33. ya que cada cuadrado , laenerga disipada en un ciclo es:


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ya que la deflexin mxima = x = 4,3 mm, y la pendiente de la curva de fuerza-deflexin

es:

La constante de amortiguamiento de histresis est dada por:

El Coeficiente Equivalente de amortiguamiento viscoso es:

2.153 Una viga en voladizo cuya rigidez a flexin es de 200 N/m soporta una masa de 2 kg en su

extremo libre. La masa se desplaza inicialmente 30 mm y se suelta. Si la amplitud es de 20 mm

despus de 100 ciclos de movimiento, estime la constante de amortiguamiento de histresis de la viga.

F=200 N/m

m=2kg

x=30mm

X=20mm despus de 100 ciclos=?


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2.155 Considere la ecuacin de movimiento de un pndulo simple

a)

Linealice la ecuacin (E.1) con respeto a un desplazamiento angular arbitrario

R=

b) Investigue la estabilidad del pndulo con respecto a

por medio de

la ecuacin de movimiento linealizada.

R=

Ya que esta en positivo, tenemos la siguiente ecuacion

Donde

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