PROBLEMA DE APLICACIÓN: DECAIMIENTO RADIOACTIVO

1. Describe por qué puede ser relevante resolver este problema

Este problema de aplicación, desde mi punto de vista, es relevante en el campo de la Medicina Nuclear, puesto que el tecnecio 99 (99mTc) es uno de los radiofármacos más utilizados en este campo (primordialmente para efectuar una amplia variedad de pruebas diagnósticas, estimándose su uso en el 80% de los procedimientos de medicina nuclear), esto ocurre debido a sus propiedades radioactivas: corta vida y emisor de rayos gamma. Por lo que, sería muy interesante conocer como va variando la cantidad de núcleos que se desintegran de radiofármaco a lo largo del tiempo en el cuerpo humano, para esto, se considerará el efecto del decaimiento radiológico y biológico, esto lo podemos ver así, debido a que al introducirse el radiofármaco al cuerpo humano, este trata de eliminarlos por medio de mecanismos biológicos (principalmente orina), por lo que no sólo hay que considerar el aspecto físico o radiológico, sino también el biológico.

2 .Describe la metodología para la solución, considerando lo siguiente:

Plantear el modelo (ecuación diferencial) y resolverlo.

Determinar los valores de vida media física y biológica para el caso de un sujeto adulto normal (70 kg) sedentario y para un segundo sujeto adulto normal (70 kg) con una ingesta mayor de líquidos. Justifica la propuesta de valores.

Definir el número de bits en la parte fraccionara en la representación de punto fijo. Justifica la propuesta.

Calcular el error absoluto y relativo debido a la representación numérica.

Decaimiento radioactivo: N(t) es el número de núcleos al tiempo t, entonces el número de núcleos que se desintegra en ese momento por unidad de tiempo es proporcional a N(t). Sea N0 el número de núcleos al tiempo inicial t = t0 . Este fenómeno puede entonces modelarse por medio de la ecuación:

dN (t)/dt = λ N (t), N (t0) = N0

en donde λ > 0 es una constante conocida como la constante de decaimiento radiactivo.

Esta constante es mayor para materiales más radiactivos, y menor para materiales menos radiactivos.

La solución de este problema con valores iniciales se obtiene mediante separación de variables: dN/N= -λ dt, N(t0)=N0

Integrando del lado izquierdo de la ecuación (2) se tiene que:ln(N)-ln(N0)

Y de lado derecho: λ(-t+t0)

Por lo que al resolver la ecuación diferencial (igualando los dos términos anteriores y haciendo t 0=0), nos da como resultado la siguiente expresión, que es la que se utilizará para calcular el decaimiento físico.

N(t) = N0e − λt

Ecuación (1)

Ecuación (2)

Ecuación (3)

Ecuación (4)

Reyes Lagos José Javier

La medida del grado de desintegración de una sustancia radiactiva es su "vida media", la cual se define como el tiempo T en el cual una cantidad dada del material decae a la mitad. Actualmente se conoce la vida media de todas las sustancias radiactivas

Investigando un poco en la literatura, se encontró que el valor de la constante de decaimiento radioactivo para el tecnecio 99m es de =0.1155/h. Esto se puede comprobar conociendo la dosis inicial aplicada (que en nuestro problema ya se conoce N0=30 mCi) y el tiempo de vida medio , que para el caso del 99mTc es de seis horas (T = 6 horas), como se comentó el 99mTc es muy utilizado en Medicina Nuclear debido a su rápido periodo de desintegración, así que era de esperarse un valor “pequeño”:

Por lo que si despejamos λ de la ecuación (4) se tiene que:

λ= 1/t * ln (N0/N)

Ahora bien, si usamos el concepto de “decaimiento biológico”, se sabe que la vida media biológica del tecnecio 99 es aproximadamente de 24 horas 3, por lo que aplicando un análogo de la fórmula (6), podemos decir conocer el valor de la constante de decaimiento biológico ( λB ) que tiene un valor de = 0.0288/h. λB = 1/t * ln (N0/N)

Ya conociendo estos dos fenómenos, podemos sumar ambas constantes de decaimiento (tanto física como biológica) para darnos una λT = λ + λB. = 0.1443. Conociendo esta contante de decaimiento efectivo, podemos introducirla a la fórmula (4) y obtener una nueva ecuación que ya involucra a ambos fenómenos. Podemos decir que ésta constante es más grande que las dos anteriores, ya que es resultado de una suma de ambas, por lo que traerá como consecuencia un decaimiento más rápido del tecnecio 99 al evaluarlo en la fórmula (4). Si consideramos el efecto del tomar mucho agua, este proceso de ingesta, acelerará más el funcionamiento de los riñones, produciendo más orina y por lo tanto eliminando desechos más rápidamente, por lo que la vida media biológica para un sujeto que consume más agua será menor de 24 horas, y haciendo que su constante de decaimiento biológico aumente. Sin embargo; este valor debe ser variable dependiendo del sujeto y de la cantidad de agua, por lo que no se conoce a ciencia cierta los valores numéricos.

Con respecto al número de bits empleados en la representación de punto fijo, observé que la parte entera de la representación de punto flotante que nos da Octave, varía entre valores menores a 72 (que es el tiempo más grande el cual se nos pide evaluar), por lo que con siete bits bastaría con representarlo y por lo que nos quedarían 9 bits más para poder representar la parte fraccionaria (estos valores de variables iniciales fueron calculados manualmente por medio de una calculadora en representación punto fijo).

Tabla 1: Punto Flotante y P. Fijo de variables iniciales.Variable Valor Flotante Valor P.Fijo Error

Abs.Error

Relativo. (%)

0.1155 0.115234375 0.00026563 0.22997835

0.0288 0.02734375 0.001456255.05642361

0.1443 0.142578125 0.00172188 1.19326057

N0 0.03 0.029296875 0.00070312 2.34375

Ecuación (5)

Ecuación (6)

Observamos en la tabla 2 que nuestros valores iniciales cambian ligeramente en ambas representaciones, podemos percatarnos que para el caso de λT su error absoluto es la suma de los errores absolutos de λ y λB .Podemos decir que no están tan distantes de los valores de punto flotante, a excepción del caso de la constante biológica que tiene un error relativo un poco más grande que los demás.

3. Describe y discute los resultados de calcular:

La dosis de fármaco en los tiempos solicitados:

Tabla 2: Resultados obtenidos (considerando sólo decaimiento radiológico).

Tiempo (t) horas N(t) P. Flotante No. De núcleos

N(t) P.FijoNo. De Núcleos

Error Abs Erorr Rel(%)

1 2.6728e-002 2.6108e-002 6.20E-04 2.31966477

2 2.3812e-002 2.3266e-002 5.46E-04 2.29296153

5 1.6839e-002 1.6466e-002 3.73E-04 2.21509591

10 9.4517e-003 9.2548e-003 1.97E-04 2.08322312

15 5.3053e-003 5.2016e-003 1.04E-04 1.95464912

24 1.8761e-003 1.8439e-003 3.22E-05 1.71632642

72 7.3372e-006 7.3036e-006 3.36E-08 0.45794036

Como podemos observar en la tabla 2 y 3, los valores del no. De núcleos en ambos casos son muy pequeños, con respecto a los errores encontrados parecen estar dentro del límite de lo aceptable, debajo del 3% en su error relativo, a excepción del tiempo =10, en los cuales los valor de error relativo se disparó hasta un 10.54%. Esto se debe a una mala representación de punto fijo para este caso en particular.

Tabla 3: Resultados obtenidos (considerando decaimiento radiológico y biológico).

Tiempo (t) horas N(t) P. Flotante No. De núcleos

N(t) P.FijoNo. De Núcleos

Error Abs Erorr Rel(%)

1 2.5969e-002 2.5404e-002 5.65E-04 2.17567099

2 2.2479e-002 2.2028e-002 4.51E-042.00631701

5 1.4581e-002 1.4362e-002 2.19E-04 1.5019546

10 7.0865e-003 7.0406e-003 4.59E-05 0.64771044

15 3.4442e-003 3.4515e-003 7.30E-06 0.21195053

24 9.3988e-004 9.5658e-004 1.67E-05 1.77682257

72 9.2252e-007 1.0198e-006 9.73E-08 10.5450288

Comparando la tabla 2 y la tabla 3, notamos claramente (al observar sus valores) que la influencia del decaimiento biológico afecta de forma considerable a que el radiofármaco se elimine del organismo, esto lo podemos constatar viendo la gráfica.

Muestra las gráficas para los casos: decaimiento sólo físico, incluyendo efecto biológico para ambos sujetos en ambas representaciones numéricas

Fig.1 Gráfica de decaimiento físico y efectivo para representación en punto flotante.

Como ya se mencionó, al comparar la gráfica azul (decaimiento efectivo) y la amarilla (decaimiento físico), se nota claramente que hay una contribución del efecto biológico haciendo que el radiofármaco decaiga más rápidamente.

Fig.2 Gráfica de decaimiento físico y efectivo para representación en punto fijo.

Muestra el cálculo del tiempo en que los sujetos conservan menos del 1% de la dosis administrada.

Se requiere el tiempo en el cual sujetos tengan menos del 1% de la dosis inicial. Únicamente se despeja la variable (t) de la ecuación (5), obteniendo la siguiente ecuación:

t = ln (N0/(N*0.01))/ λT

Dando como resultado t=31.91 horas (esto es considerando decaimiento efectivo), por lo que a tiempos mayores a este, el sujeto tendrá menos del 1% de la dosis inicial, viendo la fig. 1 podemos apreciar esto, ya que a tiempos mayores de este se observa una curva que va decayendo ya casi llegando hacia el cero.

Con respecto a la representación en punto fijo, da como resultado 32.466, con error absoluto de 0.556 y error relativo de 1.74%.

4. Elabora una conclusión sobre este ejercicio de aplicación.

Por medio del presente programa de aplicación, se pudo apreciar el efecto del decaimiento radioactivo del tecnecio 99, por lo que se puede constatar su uso en Medicina Nuclear, esto al poder verificar su eliminación en horas por medio de gráficas y valores numéricos, ya que al ser un elemento radioactivo no es recomendable que permanezca mucho tiempo dentro del cuerpo humano. Además, el concepto de “decaimiento biológico” fue una parte fundamental para poder llevar a cabo este problema de aplicación, ya que sin este elemento, no tendría sentido sólo hablar del decaimiento físico de este radiofármaco. Al observar las gráficas 1 y 2, se percibe que el “decaimiento efectivo” es mucho más rápido que únicamente el físico. Con respecto a la representación en punto flotante y fijo, se afectó a los resultados de una forma no tan drástica, los valores numéricos son ligeramente diferentes y en su mayoría con errores relativos menores al 3%, viendo las gráficas 1 y 2 casi parecerían iguales. Se pudiera haber hecho un algoritmo que calculara la representación en punto fijo con 7 dígitos para enteros y 9 dígitos para números fraccionarios, sin embargo, por cuestiones de tiempo no se pudo realizar, por lo que se optó por un cálculo manual.

5. Referencias

[1]Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera, Escrito por R. Kent Nagle,EDWARD B AUTOR SAFF,ARTHUR DAVID AUTOR SNIDER

[2] http://docencia.izt.uam.mx/lidia/LabSim/tareas/Tarea3.pdf

[3] http://www.hpschapters.org/northcarolina/NSDS/99mTcPDF.pdf

[4] Técnicas de exploración en medicina nuclear, Escrito por César Díaz García