SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS DE

CIRCUNFERENCIAS

4.- Halla la ecuación de la circunferencia

que pasa por los puntos A( 1, 1) B( – 2, 3)

C(– 1,– 1)

Elaborado por Pascual Sardella

Solución al Problema Nº

4Datos del Problema: Como dichos puntos pertenecen a lugar

geométrico de la circunferencia cuya ecuación general es:

𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0Entonces tenemos que sustituir a «x» y «y» en la ecuación

anterior, así obtenemos tres ecuaciones con las variables A, B y

C:

Para P(1,1): 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0(1)2+(1)2+𝐴 1 + 𝐵 1 + 𝐶 = 0 → 1 + 1 + 𝐴 − 𝐵 + 𝐶 = 0

𝑨 − 𝑩 + 𝑪 = −𝟐 (1)

Para Q(-2,3): 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0(−2)2+(3)2+𝐴 −2 + 𝐵 3 + 𝐶 = 0 → 4 + 9 − 2𝐴 + 3𝐵 + 𝐶 = 0

−𝟐𝑨 + 𝟑𝑩 + 𝑪 = −𝟏𝟑 (2)

Para R(-1,-1): 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0−𝟏 𝟐 + −𝟏 𝟐 + 𝑨 −𝟏 + 𝑩 −𝟏 + 𝑪 = 𝟎 → 𝟐 − 𝑨 − 𝑩 + 𝑪 = 𝟎

−𝑨 − 𝑩 + 𝑪 = −𝟐 (3)

Luego tenemos el sistema siguiente:

𝑨 − 𝑩 + 𝑪 = −𝟐 (1)

−𝟐𝑨 + 𝟑𝑩 + 𝑪 = −𝟏𝟑 (2) 𝟏 −𝟏 𝟏

−𝟐 𝟑 𝟏−𝟏 −𝟏 𝟏

−𝟐−𝟏𝟑−𝟐

−𝑨 − 𝑩 + 𝑪 = −𝟐 (3)

Solución al Problema Nº 4

Paso 1: Empezamos a calcular el determinante del sistema (∆𝑺)

∆𝑺=𝟏 −𝟏 𝟏

−𝟐 𝟑 𝟏−𝟏 −𝟏 𝟏

Paso 2: Resolvemos este determinante por la Regla de Sarrus,

es decir:

a) Repitiendo filas 1 y 2 debajo de la fila 3:

∆𝑠=

1 −1 1−2 3 1

−1 −1 11 −1 1−2 3 1

= 6 − (−2) → ∆𝐒= 𝟖

Ó b) repitiendo columnas 1 y 2 después de la 3:

∆𝑺=𝟏 −𝟏 𝟏

−𝟐 𝟑 𝟏−𝟏 −𝟏 𝟏

𝟏 −𝟏

−𝟐 𝟑−𝟏 −𝟏

→ ∆𝑺=𝟏 −𝟏 𝟏

−𝟐 𝟑 𝟏−𝟏 −𝟏 𝟏

𝟏 −𝟏−𝟐 𝟑−𝟏 −𝟏

= ∆𝑺=8

Debe dar igual, por lo que puedes usar cualquier método.

𝟏 −𝟏 𝟏

−𝟐 𝟑 𝟏−𝟏 −𝟏 𝟏

−𝟐−𝟏𝟑−𝟐

Solución al Problema Nº 4Ahora debemos hallar el determinantes de las variables A, B y

C, es decir:

∆𝑨=−𝟐 −𝟏 𝟏−𝟏𝟑 𝟑 𝟏−𝟐 −𝟏 𝟏

→ ∆𝑨=−𝟐 −𝟏 𝟏−𝟏𝟑 𝟑 𝟏−𝟐 −𝟏 𝟏

−𝟐 −𝟏−𝟏𝟑 𝟑−𝟐 −𝟏

∆𝑨= 𝟏

∆𝑩=𝟏 −𝟐 𝟏

−𝟐 −𝟏𝟑 𝟏−𝟏 −𝟐 𝟏

→ ∆𝑩=𝟏 −𝟐 𝟏

−𝟐 −𝟏𝟑 𝟏−𝟏 −𝟐 𝟏

𝟏 −𝟐−𝟐 −𝟏𝟑−𝟏 −𝟐

∆𝑩= −𝟐𝟏

∆𝑪=𝟏 −𝟏 −𝟐

−𝟐 𝟑 −𝟏𝟑−𝟏 −𝟏 −𝟐

→ ∆𝑪=𝟏 −𝟏 −𝟐

−𝟐 𝟑 −𝟏𝟑−𝟏 −𝟏 −𝟐

𝟏 −𝟏−𝟐 𝟑−𝟏 −𝟏

∆𝑪= −𝟑𝟖

𝑨 =∆𝑨

∆𝑺=

𝟏

𝟖; 𝑩 =

∆𝑩

∆𝑺= −

𝟐𝟏

𝟖; 𝑪 = −

𝟑𝟖

𝟖

Ahora se debe sustituir estos valores en la ecuación general,

es decir:

Solución al Problema Nº 4𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

𝑥2 + 𝑦2 +1

8𝑥 + −

21

8𝑦 −

38

8= 0

𝟖𝒙𝟐 + 𝟖𝒚𝟐 + 𝟏𝒙 − 𝟐𝟏𝒚 − 𝟑𝟖 = 𝟎

Luego la ecuación de la circunferencia es:

𝟖𝒙𝟐 + 𝟖𝒚𝟐 + 𝟏𝒙 − 𝟐𝟏𝒚 − 𝟑𝟖 = 𝟎

Para llevarla a la ecuación ordinaria o usual se agrupa términos en

«x» y en «y» y se busca configurarlo como trinomios notables, es

decir:

𝟖𝒙𝟐 + 𝟖𝒚𝟐 + 𝒙 − 𝟐𝟏𝒚 − 𝟑𝟖 = 𝟎

𝟖𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟖𝒚𝟐 − 𝟐𝟏𝒚 = 𝟑𝟖 → 𝟖 𝒙𝟐 +𝟏

𝟖𝒙 + 𝟖 𝒚𝟐 −

𝟐𝟏

𝟖𝒚 = 𝟑𝟖

8 𝑥2 +1

8𝑥 +

1

256− 8 ·

1

256+ 8 𝑦2 −

21

8𝑦 +

441

256− 8 ·

441

256= 38

8 𝑥 +1

8

2+ 8 𝑦 −

21

8

2= 38 +

8

256+

3528

256=

13264

256

𝑥 +1

8

2

+ 𝑦 −21

8

2

=829

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Gráfica del Problema Nº 4

Para la representación gráfica utilizamos el software Geogebra