7/24/2019 Problema de La Aguja de Buffon

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Una aguja de longitud   es arrojada al azar en un piso rayado por rectas paralelas entre si una

distancia   donde < . Encuentra la probabilidad de que al caer, la aguja corte una recta

cualquiera.

Solución. Convenimos en que al caer la aguja al piso el extremo que quede más al sur, sea el extremoa partir del cual midamos la posición de la aguja; si la aguja queda paralela a una de las rectas de

manera que ninguno de sus extremos este más al sur, entonces vamos a tomar el extremo oriente

de la aguja como el punto a partir del cual se va a medir la posición de la aguja.

Ahora introduciremos las siguientes designaciones.

1.- Sea  la distancia del extremo a partir del cual mediremos la posición de la aguja a la recta que

quede al norte más cerca.

2.- Sea  el ángulo formado por la aguja y una línea imaginaria paralela a las rectas del piso que pasa

por el extremo a partir del cual mediremos la posición de la aguja. Es claro que:

0 ≤ ≤  

0 ≤ ≤

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Por lo tanto, todas las posibilidades que tiene la aguja de caer al suelo quedan expresadas en la

siguiente región de ℝ. Notemos que dicha región Ω tiene área .

La región rectangular, es considerada como el espacio de probabilidad de cada posible posición en

que puede quedar la aguja al caer al piso y está representada por los puntos de la forma = (, ). Hay dos posibilidades de la aguja al caer al piso:

a) Que corte a una de las líneas al caer al piso.

b) Que no corte a ninguna de las líneas.

El siguiente triangulo nos da la relación entre  y .

Notemos que la aguja cortara a la recta más cercana si ≤ . Recordemos que < .

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Por lo tanto, la aguja intersectara a una de las rectas paralelas al piso, si el punto = (, ) de la

posición de la recta se encuentre en la región sombreada que se indica.

Finalmente, si definimos al evento A como

  = {  , } 

Entonces

( ) =Á

Á Ω=

∫

=

2

 

Y de esta manera, si hacemos que = , entonces ( ) =

.