PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL RESUELTO POR MÉTODO SIMPLEX Planteamiento del problema: Una compañía de manufactura se dedica a la fabricación de tres productos: A, B y C. El procedimiento de producción involucra tres operaciones: formación, acabado e inspección. El departamento de ingeniería industrial, ha establecido los siguientes estándares de producción en cada operación.

DATOS DE PRODUCCION PARA LA COMPAÑÍA (MINUTOS POR PRODUCTO)PRODUCTO FORMACION INSPECCION ACABADO

A 2 3 2B 6 6 2C 2 2 4

El departamento de contabilidad por su parte, pronostica los siguientes costos e ingresos para la compañía.

DATOS DE COSTOS E INGRESOS PARA LA COMPAÑÍAPRODUCTO COSTO

PRODUCTOCOSTO

MATERIALESCOSTO TOTAL

PRECIO DE VENTA

A 18,0 12,0 30 50B 50,0 15,0 65 100C 25,0 20,0 45 90

Haga uso del método simplex para saber el número de cada tipo de producto que deberán producirse de tal manera que se optimice el beneficio por las 8 horas de trabajo del día.

SOLUCIÓN

Primero definir las variables:Las variables asignadas son:X1: Número producido del producto AX2: Número producido del producto BX3: Número producido del productos C

Segundo Definimos la función a maximizarPara determinar la utilidad obtenida por producción definimos la función objetivo que se desea maximizar la cual quedará establecida comoMax Z = 20X1 + 35X2 + 45X3 donde los valores de 20, 35, y 45 es el valor de la utilidad obtenida de cada producto y que se deduce la tabla de “costos e ingresos para la compañía”

Tercero definimos la restricción de cada productoPara producir el producto A se requieren 2 min de formación, 3 min de inspección y 2 min de acabado pero para todo el proceso de formación se tiene en tiempo máx de 8 horas que serían 480 minutos y para los productos B y C se tiene la misma restricción de tiempo que es de 8 horas, por lo tanto la restricción o limitante para cada proceso es el tiempo de 480 minutos para cada proceso, entonces las restricciones nos quedaría

R1 : 2X1 + 6X2 + 2X3 ≤ 480R2 : 3X1 + 6X2 + 2X3 ≤ 480R3 : 2X1 + 2X2 + 4X3 ≤ 480

Cuarto: se introducen variables de holgura para convertir las desigualdades en una ecuación lineal estándar

2X1 + 6X2 + 2X3 + X4 = 4803X1 + 6X2 + 2X3 + X5 = 4802X1 + 2X2 + 4X3 + X6 = 480

Con la condición de que X1 X2 X3 X4 X5 X6 ≥ 0

Quinto : se plantea la tabla para el método Simplex

Cj X120

X235

X345

X40

X50

X60

B

(0)X4 2 6 2 1 0 0 480(0)X5 3 6 2 0 1 0 480(0)X6 2 2 4 0 0 1 480

Zj 0 0 0 0 0 0 0Cj - Zj 20 35 45 0 0 0

Sexto : Se halla el número pivote

Para hallar el numero pivote se escoge en la fila Cj – Zj el número mayor positivo que es 45, lo que indica que la variable de entrada es la variable X3

Luego se divide cada coeficiente de la columna Variable X3 con cada valor de B y se escoge el menor coeficiente

480/2 = 240 480/2 = 240 480/4 = 120 por lo tanto 4 es el # pivote

Y la variable X3 entra en la restricción (0)X6

Séptimo : Se por Gauss Jordan se convierte el numero pivote en 1 y se halla cero por encima y del # pivote

Se divide la fila del # pivote entre 4 y nos queda

0,5 0,5 1 0 0 0,25 120

El resultado anterior se multiplica por menos uno (-1) y el resultado se suma a la fila 2 y a la fila 1 y nos queda como resultado

Coeficientes de Z Máx

Octavo : Construimos nuevamente la tabla con los resultados obtenidos en la fila 1,2 y 3

Cj X1

20X2

35X3

45X4

0X5

0X6

0B

(0)X4 1 5 0 1 0 -0,5 240(0)X5 2 5 0 0 1 -0,5 240(45) X1 0,5 0,5 1 0 0 0,25 120

Zj 22,5 22,5 45 0 0 11,25 5.400Cj - Zj -2,5 12,5 0 0 0 -11,25

Como los resultados de Cj – Zj no son todos negativos, entonces volvemos aplicar el procedimiento anterior tomando la última tabla obtenida hasta que todos los valores sean negativos

Se halla el número pivote

Cj X1

20X2

35X3

45X4

0X5

0X6

0B

(0)X4 1 5 0 1 0 -0,5 240(0)X5 2 5 0 0 1 -0,5 240(45) X1 0,5 0,5 1 0 0 0,25 120

Zj 22,5 22,5 45 0 0 11,25 5400Cj - Zj -2,5 12,5 0 0 0 -11,25

Fila 12 6 2 1 0 0 480

+Fila 3 dividida entre 4 y * (-2)

-1 -1 -2 0 0 -0,5 -240

Resultado suma de fila 1 y fila 3 y se obtiene nuevos resultados para la nueva fila 11 5 0 1 0 -0,5 240

Fila 23 6 2 0 1 0 480

+Fila 3 dividida entre 4 y * (-2)

-1 -1 -2 0 0 -0,5 -240

Resultado suma de fila y fila 3 y se nuevos resultados para la nueva fila 22 5 0 0 1 -0,5 240

Se escoge en la fila Cj – Zj el número mayor positivo que es 12.5, lo que indica que la variable de entrada es la variable X2

Luego se divide cada coeficiente de la columna Variable X2 con cada valor de B y se escoge el menor coeficiente

240/5 = 48 240/5 = 48 120/0.5 = 240 como tenemos dos coeficientes iguales podemos tomar cualquiera de los dos pero por orden tomamos la fila de X4

Y la variable X2 entra en la restricción (0)X5

Por Gauss Jordan se convierte el numero pivote en 1 y se halla cero por encima y por debajo del # pivote

Se divide la fila del # pivote entre 5 y nos queda

0,2 1 0 0,2 0 -0,1 48

El resultado anterior se multiplica por menos uno (-1) y el resultado se suma a la fila 2 y nos queda como resultado

Fila 22 5 0 0 1 -0,5 240

+Fila 1 dividida entre 5 y * (-5)

-1 -5 0 -1 0 0,5 -240

Resultado suma de fila 1 y fila 2 y se obtiene nuevos resultados para la nueva fila 11 0 0 -1 1 0 0

Fila 30,5 0,5 1 0 0 0,25 120

+Fila 1 dividida entre 5 y * (-0,5)

-0,1 -0,5 0 -0,1 0 0,05 -24

Resultado suma de fila 3 y fila 2 y se nuevos resultados para la nueva fila 30,4 0 1 -0,1 0 0,3 96

Octavo : Construimos nuevamente la tabla con los resultados obtenidos en la fila 1,2 y 3

Cj X1

20X2

35X3

45X4

0X5

0X6

0B

(35)X2 0,2 1 0 0,2 0 -0,1 48(0)X5 1 0 0 -1 1 0 0(45) X3 0,4 0 1 -0,1 0 0,3 96

Zj 25 35 45 2.5 0 10 6000Cj - Zj -5 0 0 -2,5 0 -10

Como los resultados de Cj – Zj son todos negativos entonces hemos llegado al final de la operación, por lo tanto

Max Z = 20X1 + 35X2 + 45X3 donde X1 =0 ; X2 = 48 Y X3 = 96, reemplazando en la función nos queda

Max Z = 20(0) + 35(48) + 45(96) = 6.000

Esto es $6.000 es la máxima utilidad que la compañía obtenfrá si se decide producir las cantidades indicadas

2. Dada la siguiente función objetivo Max Z = 50X1 + 56 X2 y las siguientes restricciones:X1 + X2 ≤ 803X1 + 2X2 ≤ 2202X1 + 3X2 ≤ 210

Con la condición de que X1, X2 ≥ 0

Determina la región factible y el punto óptimo donde la función tenga un valor máximo

Solución:Para realizar la gráfica de las restricciones, convertimos las desigualdades en igualdades y através del método algebraico hallamos las coordenadas de los puntos. Y nos queda

X1 + X2 = 80 Ecua. 13X1 + 2X2 = 220 Ecua. 22X1 + 3X2 = 210 Ecua. 3

Las ecuaciones 1, 2 y 3 son ecuaciones lineales por lo tanto la gráfica será una línea recta. Una línea recta se forma con la unión de dos puntos coordenados, por lo tanto en cada ecuación 1, 2 y 3 se necesitan dos coordenadas, para ello utilizamos el valor de cero en cada una de las variables para poder hallar el valor de la otra variable

Tomamos la ecuación 1

X1 + X2 = 80 Ecua. 1

Cuando X1 = 0 entonces X2 = 80, entonces tenemos la coordenada (0,80)Ahora Cuando X2 = 0 entonces X1 = 80 y tenemos la coordenada (80,0)

Siguiendo el mismo procedimiento para las ecuaciones 2 y 3 tenemos los siguientes resultados

ECUACIONES COORDENADA 1 COORDENADA 2X1 + X2 = 80 Ecua 1 (0 , 80) (80 , 0)3X1 + 2X2 = 220 Ecua 2 (0 , 110) (73,33 ; 0)2X1 + 3X2 = 210 Ecua 3 (0 , 70) (105 , 0)

Ahora realizamos la gráfica de estas tres ecuaciones en el plano cartesianos, tengamos en cuenta que en la restricciones indican que X1, X2 ≥ 0 por lo tanto solo utilizaremos el primer cuadrante

Región Factible

La región factibles es el área bajos la curva que se encuentra formada por parte de la recta de color verde Ecua. 3, parte de la recta de color azul Ecua 1 y parte de la recta de color naranja Ecua 2. En la intersección entre cada una de estas rectas asignamos los valores de A, B, C, D para establecer los puntos coordenados y poder determinar el valor optimoEl punto A está formado por las coordenada (0 , 0) , El punto B esta formado por la recta de color verde que hace parte de la ecuac. 3 y allí queda la coordenada (0 , 70). El punto E está formado por la recta naranja de la Ecua. 2 y allí queda la coordenada (73,33 ; 0) El punto C está formado por la intersección de las rectas Azul y Verde, o sea las ecuaciones 1 y 3 y el punto D esta formado por la intersección de las rectas de color naranja y color azul, o sea las ecuaciones 1 y 2 , por lo tanto en el punto C y D nos que un sistema de ecuaciones

Para el punto C X1 + X2 = 80 Ecua 1

2X1 + 3X2 = 210 Ecua 3

Para el punto D X1 + X2 = 80 Ecua 1

3X1 + 2X2 = 220 Ecua 2

E

B

C

D

X1

X2

A

Aplicamos el método algebraico por el método de eliminación y/o reducción y hallamos los valores de las variables X1 y X2 para cada sistema de ecuaciones planteado para el punto C y para el punto D

Luego nos queda los siguientes resultados

Función a Maximizar Punto A Punto B Punto C Punto D Punto E

Z = 50X1 + 56 X2

X1 =0X2 = 0

X1 = 0X2 = 70

X1 =30X2 =50

X1 =60X2 =20

X1 =73,33X2 = 0

Reemplazando cada uno de estos valor en la función obtenemos el valor de Z para cada punto

Z = 0 Z = 3920 Z = 4300 Z = 4120 Z =3666,66

Como lo que se busca es maximizar, entonces el valor mas alto de Z será el punto factible Z = 4300 en el punto C para valores de X1 =30 ; X2 =50