Problema de valor de frontera bidimensional
5
Click here to load reader
-
Upload
ronald-purca -
Category
Engineering
-
view
237 -
download
2
Transcript of Problema de valor de frontera bidimensional
BACH. RONALD J. PURCA PROBLEMA DE VALOR DE FRONTERA BIDIMENSIONAL
1
Ejercicio Resuelto 1.2
Como ejemplo para el caso bidimensional se tiene una losa simplemente apoyada en sus cuatro extremos, como se muestra en la figura.
La ecuación diferencial que gobierna el problema es
4x
w x y( )d
d
4
22
x2
y
w x y( )d
d
2d
d
2
4
y
w x y( )d
d
4
q
D 0=
Cuyas condiciones de contorno para la restricción de simplemente apoyado son:
w 0 a( ) 0= w 0 b( ) 0= 2
x
w x y ( )d
d
2
0= 2
y
w x y( )d
d
2
0=
Como función de aproximación se utilizara:
x y ( )
1
2
m 1
2
n
a m n( ) si nm x
a
si nn y
b
a
Esta función satisface las condiciones de borde
x y( ) substitute x 0= 0
2x
x y ( )d
d
2
1
2
m 1
2
n
a m n( )m
a
2
si nm x
a
si nn y
b
=
x y( ) substitute x a= 0
x y( ) substitutey 0= 0
2y
x y ( )d
d
2
1
2
m 1
2
n
a m n( )n
b
2
si nm x
a
si nn y
b
=
x y( ) substitute y b= 0
BACH. RONALD J. PURCA PROBLEMA DE VALOR DE FRONTERA BIDIMENSIONAL
2
1
2
m 1
2
n
a m n( )m
a
2
si nm x
a
si nn y
b
substi t ute x 0= 0
1
2
m 1
2
n
a m n( )m
a
2
si nm x
a
si nn y
b
substi t ute x a= 0 Se cumple de igual forma para "y"
Sustituyendo la función de aproximación en la ecuación diferencial se obtiene la función de residuo
R x y( )4
x
x y( )d
d
4
22
x2
y
x y( )d
d
2d
d
2
4
y
x y( )d
d
4
q
D Luego desarrollando por términos se tiene:
4x
x y ( )d
d
4
1
2
m 1
2
n
am nm
a
4
si nm x
a
si nn y
b
=
4y
x y ( )d
d
4
1
2
m 1
2
n
am nn
b
4
si nm x
a
si nn y
b
=
2x
2y
x y ( )d
d
2d
d
2
1
2
m 1
2
n
am nm
a
2
n
b
2
si nm x
a
si nn y
b
=
R x y ( )
1
2
m 1
2
n
am n 4
m
2
a2
n2
b2
2
si nm x
a
si nn y
b
q
D a
BACH. RONALD J. PURCA PROBLEMA DE VALOR DE FRONTERA BIDIMENSIONAL
3
Debe determinarse los parámetros am n que optimicen en cierto sentido la solución. Para lo cual se empleara el Método de Galerkin
x y( ) si n x
a
si n y
b
a1 1 si n x
a
si n2 y
b
a1 2 si n2 x
a
si n y
b
a2 1 si n2 x
a
si n2 y
b
a2 2
N1 x y( ) si n x
a
si n y
b
a
N3 x y( ) si n2 x
a
si n y
b
a
N2 x y( ) si n x
a
si n2 y
b
a
N4 x y( ) si n2 x
a
si n2 y
b
a
Luego desarrollamos la formulación Integral para el método de Galerkin
0
a
y
0
b
xR x( ) N1 x( )
d
d
4
a b1
a2
1
b2
2
a1 1
4
4 a b q
2
D
= 0=
0
a
y
0
b
xR x( ) N3 x( )
d
d
24
a b4
a2
1
b2
2
a2 1
4
4 a b q
2
D
= 0=
0
a
y
0
b
xR x( ) N2 x( )
d
d
24
a b1
a2
4
b2
2
a1 2
4
4 a b q
2
D
= 0=
0
a
y
0
b
xR x( ) N4 x( )
d
d 4
a b4
a2
4
b2
2
a2 24 a b q
2
D
= 0=
De donde se obtiene para cada coeficiente
a1 11 6 q
6
D1
a2
1
b2
2
= a1 28 q
6
D1
a2
4
b2
2
= a2 18 q
6
D4
a2
1
b2
2
= a2 24 q
6
D4
a2
4
b2
2
=
BACH. RONALD J. PURCA PROBLEMA DE VALOR DE FRONTERA BIDIMENSIONAL
4
Luego la función de aproximación es:
x y ( )
1 6 q si n x
a
si n y
b
6
D1
a2
1
b2
2
8 q si n x
a
si n2 y
b
6
D1
a2
4
b2
2
8 q si n2 x
a
si n y
b
6
D4
a2
1
b2
2
4 q si n2 x
a
si n2 y
b
6
D4
a2
4
b2
2=
Para fines de comparación, se realiza el calculo de la deflexión en el centro de una losa rectangular de concreto armado de 6x8m con 0.15m de espesor, sujeta a una carga constante distribuida en toda el área de 1.2 tonf/m2, luego se tiene:
Propiedades de la Losa Propiedades Geométrica Cargas
E 1 50000 210 2.1 7 4 1 06
a 8 b 6 t 0.15 q 1.2
0.25
DE t
3
1 2 1 2
652.11 2 Rigidez de flexión de la losa
De modo que para la deflexión de la losa se tiene la función de aproximación
x y ( )
1 6 q si n x
a
si n y
b
6
D1
a2
1
b2
2
8 q si n x
a
si n2 y
b
6
D1
a2
4
b2
2
8 q si n2 x
a
si n y
b
6
D4
a2
1
b2
2
4 q si n2 x
a
si n2 y
b
6
D4
a2
4
b2
2
Deflexion en el centroide de la losa 4 3( ) 0.016 m
BACH. RONALD J. PURCA PROBLEMA DE VALOR DE FRONTERA BIDIMENSIONAL
5
Comparación de Resultados con el Modelo de elementos Finitos realizado en SAP2000
Para el gráfico del ejercicio solo se muestra una cuarta parte de la solución
El "error" obtenido con la función de aproximación fue:
e0.01581 0.016( )
0.01581
Modelo de Elementos Finito de una losa bidireccional e 0.012 (1.2% de error)
