BACH. RONALD J. PURCA PROBLEMA DE VALOR DE FRONTERA UNIDIMENSIONAL

1

Ejercicio Resuelto 1.1

Obtener la función de aproximación para el desplazamiento para la viga simplemente apoyada que se muestra en la figura. Luego compare la deflexión de la viga con los Métodos de residuos ponderados y la deflexión teórica.

yL

2

5 w L4

384 EI= Deflexión teórica en el centro de luz de la viga

La ecuación diferencial que gobierna el problema físico es:

EI2

x

y x( )d

d

2

w x L x

2 0=

Con condiciones de Frontera y 0( ) 0= Y y L 0=

En primer lugar, consideraremos una solución aproximada en forma de Serie de Fourier de dos términos.

x( )

1

2

i

a i si n x i

L

si n x

L

a1 si n2 x

L

a2L

Función de Aproximación

Esta expresión satisface exactamente las condiciones de frontera y son continuas en todo el dominio, luego la función de Residuo se obtiene al reemplazar La función de aproximación x( ) en la ecuación diferencial de gobierno.

EI2

x

si n x

L

a1 si n2 x

L

a2

d

d

2

w x L x

2

R x( ) EI

2

L2

si n x

L

a1 4

2

L2

si n2 x

L

a2

w x L x

2

EI Función de Residuo

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2

Ahora veamos cómo resolver la ecuación diferencial, utilizando la función de aproximación y los cuatro criterios usados para minimizar el residuo R x( )

a) Método de Colocación (Colocación por Punto)

Este método requiere que la función de residuo, sea forzada a ser cero en tantos puntos como coeficientes desconocidos exista.

Para nuestro caso se "ajustara" la curva en los puntos xL

4= y x

3 L

4=

Luego por definición se tiene que:

Por lo tanto se definen las ecuaciones para cada punto (o cada coeficiente desconocido)

R x( ) substi t ute xL

4=

3 w L4

1 28 2

EI a2 1 6 2 2

EI a1

32 L2

R x( ) substi t ute x3L

4=

3 w L4

1 28 2

EI a2 1 6 2 2

EI a1

32 L2

De donde se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones

1 6 2

1 6 2

1 28

1 28

a1

a2

3 w L4

2

EI

3 w L4

2

EI

= 1 6 2

1 6 2

1 28

1 28

1

3 w L4

2

EI

3 w L4

2

EI

3 2 L4

w

32 2

EI

0

a1

a2

3 2 L4

w

32 2

EI

0

=

Luego la función de aproximación utilizando este método es: x( )3 2 L

4 w

32 2

EI

si n x

L

=

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3

b) Método de Subdominio (Colocación por Subdominio)

Este método requiere que la integral de la función de residuo sobre algún intervalo seleccionado sea nula, para nuestro caso utilizaremos 2 intervalos Porque se tienen dos coeficientes desconocidos a 1 y a2.

Los intervalos son:

0

L

2

x1( )R x( )

dw L

4 24 EI a1 96 EI a2

24 L

L

2

L

x1( ) R x( )

dw L

4 24 EI a1 96 EI a2

24 L

De donde se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones

24

24

96

96

a1

a2

w L4

EI

w L4

EI

= 24

24

96

96

1

w L4

EI

w L4

EI

L4

w

24 EI

0

a1

a2

L4

w

24 EI

0

=

Luego la función de aproximación utilizando este método es: x( )L

4 w

24 EIsi n

x

L

=

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4

c) Método de Mínimos Cuadrados

Este método requiere que la integral sobre el dominio (en este caso la longitud) de la varilla del cuadrado de la función de residuo, sea minimizado Con respecto a cada uno de los coeficientes en la función de aproximación.

Luego para desarrollamos esta integral para cada uno de los coeficientes de la función de aproximación

a1

R x( )d

d

EI 2

L2

si n x

L

= a2

R x( )d

d4 EI

2

L2

si n2 x

L

=

Sustituyendo en la Integral se obtiene

0

L

xR x( )EI

2

L2

si n x

L

d2 EI L w

4

EI2

a1

2 L3

0

L

xR x( ) 4 EI

2

L2

si n2 x

L

d8

4 EI

2 a2

L3

De donde se tiene el siguiente sistema de ecuaciones

1

2

0

0

8

a1

a2

2 w L4

5

EI

0

= a1

a2

4w L4

5

EI

0

=

Luego la función de aproximación utilizando este método es: x( )4w L

4

5

EI

si n x

L

=

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5

d) Método de Galerkin

Este método requiere que el error sea ortogonal a alguna función de peso W i de manera que:

Estas funciones "ortogonales" pueden concebir como funciones de forma Ni

x( )

1

2

i

a i si n x i

L

si n x

L

a1 si n2 x

L

a2L

Función de Aproximación

De donde se define como funciones de peso a las funciones que acompañan a los coeficientes desconocidos

W1 x( ) si n x

L

L

W2 x( ) si n2 x

L

L

En este contexto estas funciones fungen de funciones de forma (Ver Gráfico)

Desarrollando la Integral para cada coeficiente se tiene:

0

L

xsi n x

L

R x( )

d2 L

3 w

3

2EI a1

2 L

0

L

xsi n2 x

L

R x( )

d2

2 EI a2

L

De donde se tiene el siguiente sistema de ecuaciones

a1

a2

4w L4

5

EI

0

= Luego la función de aproximación utilizando este método es: x( )4w L

4

5

EI

si n x

L

=

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6

Comparación de los cuatro criterios

De lo anterior se tienen las siguientes funciones de aproximación para cada criterio y la solución analítica o "exacta". Además para fines de comparación Se definen los valores numéricos para las variables del problema.

Para una viga de Concreto Armado de 0.30x0.50m y 5.0m de longitud, sujeta a una carga distribuida de 1.2 Tonf/m, se tiene:

L 6 w 1.2

EI 1 50000 2100.3 0.5

2

1 2 1 .359 1 0

4 Solución Exacta y x( )

1

EI

w L x3

1 2

w x4

24

w L3

x

24

a) Método de Colocación por Punto b) Método de Colocación de Subdominio c) Método de Mínimos Cuadrados d) Método de Galerkin

1 x( )3 2 L

4 w

32 2

EI

sin x

L

2 x( )L

4 w

24 EIsin

x

L

3 x( )4w L

4

5

EI

sin x

L

4 x( )4w L

4

5

EI

sin x

L

0 2 4 6

1.5 103

1 103

5 104

0

Defl exi on de una v iga simpl em en te A poyada

Longi t ud L (m)

De

flex

ion

y(x

) (m

)

y x( )

1 x( )

2 x( )

3 x( )

4 x( )

x

Conclusiones:

-En los cuatro métodos se observó que el segundo termino De la función de aproximación, no aporta a la solución Debido a que en todos los casos es de coeficiente nulo, en lo que sigue se sugiere buscar funciones de forma que "aporten" a la "forma" de la solución. - Los cuatro métodos producen resultados similares para el mismo problema de deflexión.